1.1 Latar Belakang Masalah
Fisika merupakan upaya menemukan pola-pola keteraturan alam dan mem-bingkainya dalam bagan berpikir runtut yang berupa kaitan logis antara konsep-konsep tertentu. Bagan berpikir ini secara matematis disajikan sebagai kaitan-kaitan matema-tis yang menghubungkan struktur-struktur matemamatema-tis yang mewakili konsep tertentu sehingga fisika dan matematika mempunyai kaitan yang erat [Rosyid, 2005].
Peran matematika yang terpenting untuk fisika adalah matematika menyedia-kan peranti analisis yang memungkinmenyedia-kan dikembangmenyedia-kannya teori fisika. Matematika-wan senantiasa mencari konsep matematika yang baru ataupun melakukan abstraksi dan generalisasi terkait konsep-konsep yang sudah ada. Abstraksi dan generalisasi ini diharapkan mampu membuka pemahaman yang lebih utuh dan mendalam tentang konsep-konsep yang sudah ada serta memunculkan ide-ide yang baru untuk dikem-bangkan.
Membangun teori fisika berarti mencari gambaran matematis bagi teori ter-sebut. Menurut von Neumann, gambaran matematik bagi mekanika kuantum adalah ruang HilbertH dan operator-operator yang bekerja dalam ruang Hilbert itu yang dipa-dukan dengan teori peluang [Sion, 1990]. Keadaan sistem secara tradisional diwakili oleh suatu vektor anggotaH yang selanjutnya disebut sebagai vektor keadaan dan ob-servabel kuantum diwakili oleh operator swadamping (self-adjoint) yang bekerja di dalam ruang tersebut. Vektor-vektor keadaan diwakili secara kongkrit dengan fungsi gelombang ataupun matrik kolom. Kaitannya dengan tafsir Kopenhagen, fungsi ge-lombang yang secara eksplisit mewakili vektor keadaan tidak mempunyai arti fisis apapun. Namun kuadrat modulusnya dapat dipandang sebagai rapat peluang untuk menemukan partikel. Hal inilah yang menandai keterkaitan antara ruang Hilbert de-ngan konsep peluang dalam penggambaran kuantum.
Konsep peluang setidaknya dapat didefinisikan dalam tiga cara. Definisi per-tama adalah definisi peluang secara klasik. Definisi ini sangat sederhana dan intuitif karena peluang 'hanya' dipandang sebagai nisbah antara kuantitas kemungkinan yang diharapkan dengan kuantitas kemungkinan luaran. Lebih jauh, definisi ini juga mem-perkenalkan konsep ruang sampel sebagai himpunan seluruh luaran yang mungkin.
Definisi yang kedua adalah definisi peluang secara eksperimental. Definisi ini dipan-dang sebagai rasio antara jumlah kemungkinan eksperimen yang diharapkan dengan jumlah luaran eksperimen. Kedua definisi tersebut muncul dalam bidang fisika.
Kemudian definisi peluang secara aksiomatis diperkenalkan oleh Kolmogorov [1933]. Definisi yang ketiga ini secara aksiomatis menelaah sifat-sifat ruang sampel secara mendalam. Perumusan Kolmogorov ini merupakan jawaban (respon) atas per-masalahan keenam milik Hilbert [Gérard dan Chuang, 2002]:
''The investigations on the foundations of geometry suggest the problem: To treat in the same manner, by means of axioms, those physical sciences in which mathematics plays an important part; in the first rank are the theory of probabilities and mechanics... .'' (David Hilbert, 1902).
Kolmogorov pertama kali mengumumkan hasil pekerjaannya yang secara khusus men-cerminkan kalimat Hilbert tentang aksiomatisasi teori peluang sebagai berikut:
''The theory of probability, as a mathematical discipline, can and shou-ld be developed from axioms in exactly the same way as Geometry and Algebra. This means that after we have defined the elements to be studi-ed and their basic relations, and have statstudi-ed the axioms by which these relations are to be governed, all further exposition must be based exclusi-vely on these axioms, independent of the usual concrete meaning of these elements and their relations'' (Kolmogorov, 1933).
Pada tataran ini, teori peluang merupakan suatu kasus khusus bagi teori ukuran. Ruang sampel dipandang sebagai ruang berukuran dengan aljabar sigma yang disebut sebagai ruang peristiwa. Peluang sendiri diartikan sebagai suatu ukuran yang ternormalisasi yakni memiliki jangkauan nilai berupa selang [0, 1].
Seperti yang telah diungkapkan di atas, konsep peluang muncul dalam meka-nika kuantum sebagai integral modulus kuadrat vektor keadaan pada daerah integrasi tertentu. Vektor-vektor anggota ruang Hilbert yang digunakan untuk memerikan ke-adaan sistem adalah vektor-vektor yang dinormalisasi yakni yang memiliki panjang satu satuan. Misal suatu sistem kuantum diketahui berada pada keadaan ψ ∈ H, ma-ka segala macam informasi yang berkenaan dengan sistem fisis itu tersimpan dalam fungsi gelombang ψ. Akan tetapi korespondensi keadaan dengan vektor bukan ko-respondensi satu-satu. Duah buah vektor|ψ⟩ dan |ψ′⟩ yang berbeda satu dengan yang lain karena faktor skalar θ ∈ C dengan θ ̸= 0 sedemikian rupa sehingga |ψ⟩ = θ|ψ′⟩,
keduanya mewakili keadaan yang sama [Rosyid, 2005]. Dalam hal ini, ruang Hilbert terpartisi menjadi subruang-subruang vektor berdimensi satu yang diwakili dengan vektor satuan ˆψ. Setiap vektor satuan mewakili subruang vektor berdimensi satu yang
disebut sinar. Jadi, boleh dikatakan bahwa sinarlah yang mewakili keadaan kuantum. Untuk membangun model yang lebih utuh penggunaan ruang Hilbert tersebut oleh be-berapa penulis diganti dengan himpunan yang beranggotakan sinar-sinar. Himpunan semua sinar pada suatu ruang HilbertH membentuk suatu ruang yang disebut ruang Hilbert proyektifPH. Sayangnya, ruang PH tersebut bukan merupakan ruang vektor diH. Kombinasi linier dua vektor yang mewakili dua sinar tidak well-defined. Oleh karena itu, masalah superposisi keadaan kuantum menjadi kabur.
Dalam mekanika kuantum, keadaan sistem dibedakan menjadi keadaan murni (pure state) maupun keadaan tercampur (mixed state). Keadaan murni digambarkan oleh fungsi gelombang sedangkan keadaan tercampur merupakan perluasan konsep keadaan murni yang digambarkan oleh operator rapatan. Peranan keadaan menentuk-an pelumenentuk-ang dalam pengukurmenentuk-an. Untuk keadamenentuk-an tercampur, admenentuk-anya pelumenentuk-ang merupakmenentuk-an konsekuensi dari ketidaklengkapan informasi sistem.
Salah satu cara logis untuk mengatasi permasalahan-permasalahan di atas ke-mungkinan dapat dilakukan dengan menggantikan ruang Hilbert dengan ruang yang lain. Pada kajian mengenai pengangkutan optimal (optimal transport) terdapat suatu ruang yang berpotensi untuk dijadikan pengganti ruang Hilbert sebagai penggambar-an keadapenggambar-an-keadapenggambar-an kupenggambar-antum. Rupenggambar-ang tersebut merupakpenggambar-an suatu rupenggambar-ang bermetrik ypenggambar-ang beranggotakan ukuran-ukuran peluang. Ruang yang beranggotakan ukuran-ukuran peluang disertai dengan sifat topologis berupa konsep metrik Wasserstein dikenal se-bagai ruang Wasserstein.
Hal yang mendorong penggunaan ruang Wasserstein sebagai model matematis bagi mekanika kuantum adalah fakta bahwa setiap vektor keadaan yang diwakili oleh fungsi gelombang dalam ruang Hilbert dapat menghasilkan rapat peluang dan integral rapat peluang tersebut pada suatu wilayah anggota suatu aljabar-σ menghasilkan su-atu ukuran peluang. Menurut teorema Ulam, seluruh ukuran peluang yang dibangun tersebut memenuhi sifat Radon anggota suatu ruang Wasserstein. Selain itu, semua ukuran peluang yang diperoleh dari fungsi gelombang merupakan himpunan rapatan di ruang Wasserstein. Penggunaan ruang Wasserstein sebagai ruang keadaan mekani-ka kuantum merupamekani-kan hal yang baru atau belum pernah dilakumekani-kan oleh peneliti lain. Keadaan kuantum diwakili oleh ukuran peluang pada ruang Wasserstein. Oleh kare-nanya, dengan mengaji ruang Wasserstein diharapkan diperoleh gambaran mekanika
kuantum yang lebih utuh.
1.2 Perumusan Masalah
Merujuk pada hal-hal yang telah dipaparkan, maka dirumuskan permasalahan-permasalahan sebagai berikut:
1. Mungkinkah merumuskan mekanika kuantum dengan ruang keadaan ruang Was-serstein?
2. Sifat-sifat apa saja yang dimiliki oleh mekanika kuantum dalam ruang Wassers-tein?
1.3 Batasan Masalah
Penelitian ini dibatasi pada tinjauan mekanika kuantum tak relativistik untuk sistem satu partikel tak berspin.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan pada penelitian ini yaitu merumuskan mekanika kuantum dengan ru-ang keadaan ruru-ang Wasserstein serta mengaji sifat-sifat yru-ang dimiliki oleh mekanika kuantum dalam ruang tersebut.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini yakni perluasan matematik bagi struktur mekanika ku-antum. Adanya perluasan matematik ini harapannya dapat dikembangkan untuk men-jawab beberapa permasalahan yang terdapat di dalam mekanika kuantum.
1.6 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan kajian teoretis, yakni telaah fisika matematis. Objek-objek dan hasil-hasil dalam aljabar liniear, teori ukuran, teori peluang, geome-tri diferensial dan analisa fungsional merupakan peranti yang digunakan pada kajian ini. Pemahaman mengenai hal-hal tersebut dilakukan dengan studi literatur, yakni menelaah buku, artikel, dan lain sebagainya.
1.7 Tinjauan Pustaka
Mekanika kuantum dikembangkan oleh kelompok fisikawan dan matematika-wan seperti Schrödinger, Heisenberg, Born, Bohr, Dirac, Pauli, von Neumann dan lainnya pada tahun 1925-1927 [Basdevant dan Dalibard, 2002].
Pada tahun 1925, W. Heisenberg mempublikasikan karya ilmiahnya dengan judul Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer
Bezie-hungen yang memperkenalkan mekanika matriks [Waerden, 1968].
Pada tahun 1926, Erwin Schrödinger mempublikasikan empat karya ilmiah secara berurutan yang masing-masing diberi judul Quantisierung als
Eigenwertpro-blem. Di dalamnya, Schrödinger memperkenalkan yang dikenal secara luas pada
ma-sa sesudahnya sebagai mekanika gelombang (Wellenmechanik). Dalam tinjauannya Schrödinger berangkat dari pandangan bahwa aras-aras tenaga elektron dalam suatu atom dapat diperlakukan sebagaimana fenomena gelombang tegak (standing wave). Istilah fungsi gelombang baru disebutkan oleh Schrödinger dalam artikel ke empat. Meskipun Schrödinger menafsirkan fungsi gelombang sebagai Gewichtsfunktion im
Konfigurationsraum (fungsi bobot dalam ruang konfigurasi) sedemikian rupa
sehing-ga fungsi gelombang dapat dikaitkan densehing-gan pernik-pernik statistik [Rosyid, 2005]. Empat hari setelah karya ilmiah Schrödinger pada bulan Juni, karya ilmiah Max Born dipublikasikan dengan judul Zur Quanten Mechanik der Stossvorgänge. Dalam karya ilmiahnya, Born memaparkan peluang menemukan partikel. Gagasan tersebut diinterpretasikan dalam intensitas gelombang sebagai rapat peluang mene-mukan partikel. Karya ilmiah Born berikutnya dipublikasikan bulan Juli pada tahun yang sama dengan judul Quantenmechanik der Stossvorgänge. Di dalamnya, Born memaparkan bahwa keadaan suatu sistem dapat dinyatakan ke dalam jumlahan kea-daan yang deterministik dan peluang untuk setiap keakea-daan dinyatakan dalam kuadrat norma koefisien yang menggambarkan sistem pada energi deterministik. Born juga mengusulkan interpretasi statistik fungsi gelombang yang membutuhkan hukum di-namika baru yaitu persamaan gelombang deterministik sebagai didi-namika kuantum. Born menjelaskan pergerakan partikel mengikuti hukum peluang tetapi peluang yang sesuai dengan hukum kausalitas [Barret, 1999].
Pada tahun 1927, Heisenberg mempublikasikan karya ilmiahnya. Di dalam-nya, Heisenberg mengemukakan prinsip ketakpastian yang juga selaras dengan prinsip indeterministik [Hameka, 2004]. Prinsip tersebut mengindikasikan bahwa meskipun mungkin mengukur momentum atau posisi partikel secara akurat tetapi tidak mungkin
mengukur dua observabel tersebut secara serempak dan akurat [Zettili, 2001]. Pada tahun 1930, Dirac mengusulkan formalisme pada mekanika kuantum yang menghubungkan mekanika gelombang Schrödinger dan mekanika matriks He-isenberg. Formalisme Dirac ini mengadopsi notasi vektor berdimensi tak berhingga yang mana vektor tersebut dapat direpresentasikan menjadi basis ortonormal [Dürr dan Teufel, 2009].
Konsep ukuran peluang dalam mekanika kuantum ditentukan oleh besaran yang diukur dan keadaan sistem itu saat dilakukan pengukuran. Penggambaran kea-daan sistem dalam mekanika kuantum dengan matrik rapatan diperkenalkan oleh von Neumann [1927]. Matrik rapatan tersebut dikembangkan secara sistematik sebagai operator statistik [Bengtsson dan Życzkowski, 2006]. Keadaan yang tidak murni disebut keadaan tercampur karena digambarkan oleh superposisi tak koheren dari ke-adaan murni. Konsep keke-adaan tercampur sebagai campuran keke-adaan-keke-adaan murni berasal dari kaitan penelitian mekanika kuantum dan mekanika statistik [Fano, 1957]. Pada tahun 1932, J. von Neumann memperkenalkan ruang keadaan ruang Hil-bert dalam penggambaran keadaan kuantum. Pendekatan yang dilakukan oleh von Neumann yakni pendekatan aljabar. Definisi matematik pada aljabar von Neumann memuat operator-operator liniear ruang Hilbert [Landsman, 1998].
Setelah mekanika kuantum memperoleh dukungan yang kuat dari matemati-kawan seperti D. Hilbert dan J. von Neumann, munculah konsep peluang baru dalam mekanika kuantum [Rédei dan Summers, 2006]. Model peluang yang baru ini dike-nal dengan nama model peluang kuantum dan dibangun di atas aljabar von Neumann dan keadaan normal pada aljabar tersebut. Baik model peluang klasik maupun mo-del peluang kuantum menampilkan konsep peluang yang nilainya berupa bilangan di antara 0 dan 1.
Perumuman ruang keadaan kuantum yang telah dilakukan oleh von Neumann diikuti oleh Gel'fard dan Neumark. Pada tahun 1941, Gel'fard mengusulkan aljabar Banach. Tahun 1943, Gel'fard dan Neumark mendefinisikan aljabar-C* serta mem-buktikan bahwa untuk setiap aljabar-C* isomorfis dengan norma operator-operator aljabar-* pada ruang Hilbert. Kontribusi pada teori aljabar kuantum juga dilakukan oleh Segal yang mengusulkan kaitan antara aljabar operator dengan mekanika kuan-tum serta Haag yang memperumum pada teori aljabar medan kuankuan-tum [Landsman, 1998].
Pada tahun 1952, David Bohm mengusulkan mekanika baru tentang pergerak-an partikel titik ypergerak-ang dinamakpergerak-an mekpergerak-anika Bohm. Dalam mekpergerak-anika tersebut dinamika
partikel bersifat deterministik serta melalui lintasan tertentu. Adanya prinsip ketak-pastian Heisenberg merupakan akibat dari mekanika Bohm. Mekanika Bohm berhasil menjelaskan peluang kuantum atau hukum statistik Born pada basis mekanika statistik prinsip Boltzmann [Dürr dan Teufel, 2009].
Pada bidang matematika, dikembangkan cabang matematika yaitu teori distri-busi. Teori ini juga menyediakan peranti matematik bagi mekanika kuantum. Selan-jutnya teori distribusi ini dikembangkan menjadi ruang Hilbert diperlengkapi (Rigged
Hilbert space). Peranti matematika pada ruang tersebut diperkenalkan oleh Gelfand
dan Maurin sekitar tahun 1967-1968. Perumusan mekanika kuantum pada ruang Hil-bert yang diperlengkapi tidak hanya menggunakan aksioma von Neumann tetapi juga formalisme Dirac [Böhm, 1978].
Tahun 1967, pada bidang matematika juga dikembangkan teori aljabar von Ne-umann. Teori tersebut yang sekarang disebut teori modular atau teori Tomita-Takesaki
[Landsman, 1998].
Pada tahun 1995, upaya mengganti ruang Hilbert dengan obyek yang lebih umum juga dilakukan oleh Busch, dkk. Di dalamnya mekanika kuantum disajikan se-cara sistematik menggunakan struktur peluang dengan diperkenalkannya observabel sebagai ukuran yang bernilai operator positif (POV measure).
Di sisi lain konsep peluang yang beraksioma pertama kali diungkapkan oleh A. N. Kolmogorov pada tahun 1933. Model peluang ini digolongkan sebagai model peluang klasik yakni didasarkan pada satu ruang peristiwa dan satu ukuran peluang [Kolmogorov, 1956].
Pada kajian teori ukuran peluang, telah berkembang kajian mengenai konsep ruang Wasserstein. Konsep ini diinspirasi dari permasalahan dalam bidang ekonomi dan telah memiliki terapan di bidang lain, termasuk fisika. Permasalahan tersebut di-kenal dengan nama permasalahan optimal transport [Villani, 2003]. Ukuran peluang pada ruang Wasserstein menyediakan model penting yakni berlakunya teori metrik [Ambrosio dkk., 2005].
1.8 Sistematika Penulisan
Tesis ini disusun menjadi empat bab dengan uraian singkat sebagai berikut: 1. Bab I merupakan pendahuluan yang mengulas mengenai latar belakang,
peru-musan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka dan sistematika penulisan.
2. Bab II beberapa bagian yaitu teori ukuran, ruang Wasserstein, persamaan konti-nuitas diRn, dan principia universalis. Pada bagian pertama yakni teori ukuran
yang mengulas ukuran peluang, peubah acak, teori integral, distribusi bersama (joint distribution), dan fungsi rapatan. Bagian kedua, mengulas ruang Was-serstein serta sifat topologis yang terdapat padanya. Bagian ketiga mengulas persamaan kontinuitas diRn. Bagian keempat mengulas principia universalis.
3. Bab III membahas bahwa dimungkinkannya perumusan mekanika kuantum da-lam ruang Wasserstein serta hasil kajian sifat-sifat yang ada padanya.
4. Bab IV membahas simpulan yang diperoleh dari hasil kajian tesis ini dan saran bagi penelitian yang mungkin pada masa mendatang.
