BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

1.1 Latar Belakang Masalah

Sejarah menunjukkan adanya peranan saling memengaruhi antara matematika dan fisika. Banyak fisikawan mencurahkan perhatian mereka dalam menggali lebih jauh aspek-aspek matematis yang muncul dalam suatu teori, atau bahkan membangun kerangka matematis sebagai alternatif dalam menjelaskan suatu teori. Albert Einstein dan Paul Dirac, dalam usahanya membangun formalisme teorinya, memahami bahwa kebutuhan baik kerangka maupun piranti matematis tidak dapat diabaikan. Teori Re- lativitas membutuhkan konsep keragaman Semi-Riemannan untuk dapat menjelaskan struktur ruang-waktu dengan lebih rinci. Teori Distribusi dan fungsi diperumum (ge- neralized function) diinisiasi oleh kelahiran distribusi delta Dirac yang pada awalnya digunakan Dirac dalam menjelaskan rapat muatan partikel titik. Dengan demikian, penjelajahan untuk memperkaya khazanah berpikir matematis menjadi bagian pen- ting dalam upaya memperluas teori fisika.

Salah satu konsep matematika yang sangat kuat mengakar dalam berbagai te- ori fisika adalah geometri. Geometri pada awalnya merupakan cabang fisika, namun setelah fakta-fakta empiris geometri telah mencukupi, geometri bergeser menjadi ba- gian dari matematika karena segala hal dalam geometri dapat diperoleh secara na- lar melalui inferensi berdasarkan aksioma-aksioma terbatas. Pergeseran lintas ilmu yang dialami oleh geometri ini mendorong Hilbert untuk mempertanyakan kemung- kinan terjadinya perilaku serupa pada bidang fisika yang lain misalnya elektrodinami- ka. Pertanyaan Hilbert ini mengilhami suatu upaya yang disebut aksiomatisasi fisika dan masuk dalam daftar permasalahan-permasalahan Hilbert yang mashur. Penerap- an geometri dalam perumusan teori fisika

¹

dapat dipandang sebagai upaya menjawab permasalahan Hilbert mengenai aksiomatisasi ini.

Mekanika geometrik yang merupakan hasil geometrisasi mekanika klasik men- jadi salah satu contoh penting penerapan geometri dalam fisika. Gambaran geometri mekanika klasik menggunakan geometri simplektik ini pertama-tama digagas oleh Poincare pada 1892 dalam usahanya membuktikan kestabilan sistem tata surya secara kualitatif. Poincare meninjau aspek geometri global sistem mekanis dengan meng-

1hal ini dikenal juga sebagai upaya geometrisasi.

1

gambarkannya sebagai suatu medan vektor dalam ruang fase sedemikian rupa sehing- ga solusinya berupa kurva diferensiabel yang menyinggung setiap titik pada ruang fase tersebut. Gambaran kualitatif sistem tersebut diwakili oleh suatu objek yang di- sebut phase portrait, yakni himpunan seluruh kurva-kurva solusi yang mengisi penuh seluruh ruang fase. Karya tersebut menunjukkan bahwa peninjauan geometri ruang fase secara global sangat penting dalam kajian mekanika. Perkembangan yang dicapai selanjutnya adalah simpulan bahwa ruang fase klasik ini memiliki struktur sebagai su- atu keragaman simplektik, sehingga upaya peninjauan aspek-aspek gerak pada tataran keragaman mulai dilakukan. Hal ini dilakukan pada periode sekitar 1900-1950an oleh Liapounov, Caratheodory, Whittaker, Cartan, Noether, Kolmogorov, Smale dan se- bagainya [Abraham dan Marsden , 1978].

Pencapaian terpenting bagi upaya geometrisasi mekanika klasik dicapai pada tahun 1960an oleh Arnold, Abraham, Marsden dan lainnya dengan membangun gam- baran geometrik mekanika secara utuh. Mereka telah berhasil menunjukkan bahwa keseluruhan fakta mengenai perilaku dinamik suatu sistem mekanis dapat digambark- an oleh forma simplektik pada ruang fase tersebut. Besaran mekanis, persamaan gerak dan hukum kelestarian secara alamiah dapat dipahami ataupun diturunkan dari forma simplektik dengan cara yang lengkap dan elegan. Penelitian yang dilakukan selan- jutnya adalah usaha memperluas peranan geometri simplektik untuk menggambark- an teori-teori lain diluar mekanika klasik. Perumusan simplektik yang telah berhasil dilakukan misalnya adalah pada persamaan medan Einstein [Ashtekar dan Horowi- tz , 1982], mekanika fluida dan fisika plasma [Holm dkk. , 1985], teori elastisitas [Marsden dan Hughes , 1994], persamaan Maxwell-Vlasov [Morrison , 1980], dan geometrisasi mekanika kuantum [Kibble , 1979], [Ashtekar dan Schilling , 1995].

Pada perkembangan selanjutnya dilakukan perumuman fondasi matematik me- kanika geometrik, yakni dengan merumuskannya pada keragaman Poisson dan Jacobi yang merupakan perumuman bagi keragaman simplektik. Kirilov berhasil menun- jukkan bahwa setiap keragaman Poisson serta keragaman Jacobi sejatinya merupakan gabungan dari beberapa keragaman simplektik yang 'direkatkan' secara diferensiabel.

Hal tersebut menjadikan keduanya dapat dipakai sebagai kerangka geometrik sistem mekanik dengan ruang fase yang berubah seiring perubahan suatu parameter, misal- nya pada masalah tiga benda dengan parameter berupa massa benda ketiga m

₃

dan sistem kuantum dengan parameter tetapan Planck ~ [Puta , 1993].

Keuntungan yang diperoleh ketika suatu teori dapat dirumuskan dalam geome-

tri simplektik adalah dimungkinkannya proses pengkuantuman geometrik untuk dite-

rapkan padanya [Woodhouse , 1977]

²

. Pengkuantuman geometrik merupakan salah satu metode pengkuantuman yang konsisten dan lahir sebagai upaya penyempurnaan bagi pengkuantuman kanonik yang biasa digunakan dalam pembahasan mekanika ku- antum. Pengkuantuman kanonik yang diperkenalkan oleh Dirac secara matematis ter- bukti tidak konsisten, Groenewold [1946] berhasil menemukan suatu 'no-go theorem' yang menyatakan bahwa pengkuantuman kanonik Dirac tidak mungkin berlaku secara umum. Hasil Groenewold ini mendorong van Hove dan Segal pada awal 1960an un- tuk melakukan revisi terhadap pengkuantuman kanonik dengan menghapuskan syarat regularitas wakilan. Usaha untuk membangun pengkuantuman yang konsisten dipari- purna oleh Kostant [1970] dan Souriou [1970]. Hasil terpisah Kostant-Souriou inilah yang sekarang dikenal dengan pengkuantuman geometrik.

Metode pengkuantuman geometrik yang diajukan Kostant-Souriou ini terbukti konsisten secara matematik karena menyajikan prosedur pengkuantuman yang bebas koordinat dan invarian terhadap alih ragam kanonik. Metode ini juga mudah dapat diterapkan untuk sistem-sistem terkendala dan berderajat kebebasan internal. Da- lam mekanika kuantum terdapat beberapa metode pengkuantuman (misalnya wakilan Schoedinger, wakilan Bergmann-Fock dan lain-lain), pengkuantuman geometrik me- nyediakan kerangka penyatuan bagi metode-metode itu [Echeverria-Enriquez dkk. , 1999].

Disamping segala kelebihan terkait isu konsistensi di atas, pengkuantuman geometrik tak terlepas dari beberapa kekurangan yang memungkinkan dilakukan- nya pengembangan lebih lanjut. Sejauh ini pengkuantuman geometrik baru berha- sil dikembangkan secara lengkap untuk meninjau sistem-sistem berdimensi berhing- ga. Keberhasilannya pada sistem-sistem berdimensi tak berhingga masih berkutat pada kasus-kasus sistem linier terutama teori medan yang terlinierkan, misalkan yang dikerjakan oleh Woodhouse [1977] dalam meninjau pengkuantuman medan Klein- Gordon di sekitar lubang hitam, Axelrod dkk. [1991] dalam upaya pengkuantuman teori Chern-Simmons dan Clader dkk. [2013] dalam pengkuantuman teori Seiberg- Witten. Kesulitan pengkuantuman untuk kasus non-linier kemungkinan dipicu oleh kerumitan-kerumitan yang ada pada keragaman berdimensi tak berhingga dan belum tuntasnya peninjauan mekanika geometrik padanya [Abraham dan Marsden , 1978], [Chernoff dan Marsden , 1974].

2pada saat ini perumusan pengkuantuman geometrik pada keragaman Poisson dan keragaman Ja- cobi telah ditemukan, masing-masing oleh Vaisman [1991] dan de Leon dkk. [1997]. Tinjauan peng- kuantuman geometrik pada keragaman Poisson beserta penerapannya dibahas oleh Rosyid [2005a]

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan hal-hal yang dipaparkan pada latar belakang, dirumuskan perma- salahan penelitian sebagai berikut:

1. Aspek-aspek apa saja pada mekanika geometrik berdimensi berhingga yang ma- sih berlaku pada mekanika geometrik berdimensi tak berhingga?

2. Bagaimanakah perumusan simplektik dan pengkuantuman kedua dalam kerang- ka pengkuantuman geometrik untuk teori medan?

1.3 Batasan Masalah

Pada penelitian ini, mekanika geometrik dan pengkuantuman geometrik baik pada dimensi berhingga maupun tak berhingga dibangun pada keragaman simplektik.

Dalam literatur terdapat pandangan lain, misalnya mekanika geometrik dan pengku- antuman geometrik yang dibangun pada keragaman Poisson [Vaisman , 1991],[Rosyid , 2005a] dan pada keragaman Jacobi [de Leon dkk. , 1997]. Kasus khusus yang akan ditinjau adalah medan Klein-Gordon yang berinteraksi dengan potensial elektrodina- mika.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Meninjau selengkap mungkin mekanika geometrik berdimensi tak berhingga dengan mencari aspek-aspek yang membedakannya dengan kasus berdimensi berhingga.

2. Mengkonstruksi penggambaran simplektik untuk teori medan relativistik secara umum dan kemungkinan pengkuantuman geometrik padanya.

3. Mengkonstruksi perumusan simplektik dan pengkuantuman geometrik untuk

kasus medan Klein-Gordon yang berinteraksi dengan suatu medan tera.

1.5 Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan bermanfaat untuk menguji konsistensi perumusan mekanika geometrik pada kasus dimensi tak berhingga serta membangun geometrisa- si teori medan relativistik. Manfaat yang lain adalah pengkonstruksian pengkuantum- an kedua pada kerangka pengkuantuman geometrik sehingga dapat digunakan untuk membangun teori medan kuantum pada sembarang ruang-waktu dan akan menjadi jembatan bagi geometrisasi teori medan kuantum.

1.6 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan dalam sebuah kajian teoritis, yakni telaah fisika ma- tematis. Objek-objek dan hasil-hasil dalam aljabar linier, teori grup, geometri di- ferensial dan analisa fungsional merupakan piranti yang digunakan pada kajian ini.

Pemahaman mengenai hal-hal tersebut dilakukan dengan melakukan studi literatur, yakni menelaah buku, artikel, makalah dan lain sebagainya.

1.7 Tinjauan Pustaka

Usaha peninjauan geometri simplektik berdimensi tak berhingga secara kohe- ren salah satunya tertuang dalam buku yang ditulis oleh Chernoff dan Marsden . Pada buku ini dihimpun hasil-hasil yang diperoleh pada keragaman simplektik berdimen- si tak berhingga dengan mengangkat dua isu utama yakni keberadaan konsep forma simplektik lemah dan kuat serta sifat analitik aliran dan forma padanya. Keberada- an konsep simplektik lemah dan kuat merupakan akibat dari refleksifitas keragaman tersebut sedangkan masalah sifat analitik aliran dan forma padanya merupakan kon- sekuensi dari peninjauan keragaman berdimensi tak berhingga. Pada buku ini juga dibahas beberapa contoh sistem dinamik baik pada kasus linier maupun non-linier [Chernoff dan Marsden , 1974].

Pada tahun 1972, Marsden membuktikan bahwa teorema Darboux tidak berla-

ku pada keragaman simplektik lemah [Marsden , 1972]. Hasil Marsden ini mengilha-

mi Troba untuk menemukan versi simplektik lemah bagi teorema Darboux, berhasil

ditemukan syarat cukup dan perlu bagi keberadaan koordinat kanonik di setiap titik pa-

da keragaman tersebut [Tromba , 1976]. Adapun hasil lengkap bagi teorema Darboux

pada dimensi tak berhingga baru diketahui pada 1999 oleh Bambusi . Bambusi me-

nunjukkan bahwa teorema Tromba invarian terhadap penyusutan Marsden-Weinstein

serta terwariskan pada subkeragaman yang berdimensi berhingga [Bambusi , 1999].

Dalam bukunya, Woodhouse [1980] mengembangkan geometrisasi sistem medan pada sebarang ruangwaktu dengan memandang ruang solusi sistem sebagai keragaman simplektik lemah yang eksak dan berdimensi tak berhingga. Geometri- sasi ini diperoleh dengan memperumum gambaran geometrik mekanika Lagrange ke dimensi tak berhingga sehingga didapatkan struktur simplektik yang diimbas oleh ke- beradaan rapat Lagrangan sistem. Penentuan potensial simplektik yang membangkit- kan struktur simplektik bergantung pada pemilihan permukaan Cauchy dalam ruang waktu terkait. Lebih jauh, penentuan permukaan Cauchy ini mengimbas keberadaan polarisasi pada ruang solusi.

Adapun usaha penerapan pengkuantuman geometrik pada kasus linier dila- kukan untuk teori medan, misalnya yang dilakukan oleh Woodhouse [1977] dalam usahanya membangun teori medan kuantum pada ruang lengkung dengan meninjau proses kreasi-anihilasi partikel Klein-Gordon di sekitar lubang hitam. Woodhouse menunjukkan bahwa ruang fase sistem ini berupa ruang vektor simplektik berdimensi tak berhingga dan ruang Fock dibentuk dari beberapa ruang Hilbert yang diperoleh melalui polarisasi yang berbeda-beda. Hasil ini merupakan usaha pertama bagi peng- konstruksian pengkuantuman kedua dalam kerangka pengkuantuman geometrik.

Pada 1990 Hitchin merumuskan bentuk simplektik bagi teori Chern-Simmons yang ditinjau pada permukaan Riemann. Hitchin menunjukkan bahwa solusi gerak persamaan Chern-Simmons berupa koneksi datar dengan ruang moduli berupa unting- an vektor di atas ruang Teichmueller (merupakan ruang affine) dan dibuktikan bahwa ruang ini memuat struktur simplektik. Lebih jauh ia juga membahas pengkuantuman geometrik terkait teori ini dengan menggunakan untingan prakuantisasi trivial dan po- larisasi Kaehler [Hitchin , 1990]. Pada waktu yang bersamaan Axelrod, Della Pietra dan Witten membahas hal yang sama namun dengan menggunakan untingan deter- minan Quillen sebagai untingan prakuantum [Axelrod dkk., 1991]. Pengkuantuman geometrik pada teori Gromov-Witten dibangun oleh Clader dkk. , mereka menunjukk- an bahwa ruang fase sistem ini merupakan ruang vektor simplektik tak berhingga dan pengkuantumannya (pengkuantuman kedua) dilakukan dengan mengkaitkan pengku- antuman geometrik dan integral lintasan [Clader dkk. , 2013].

Salah satu metode pengkonstruksian ruang Fock dari data klasik selain yang

diberikan oleh Woodhouse diberikan oleh Schilling [1996]. Dalam disertasinya, Schi-

lling menggembangkan geometrisasi mekanika kuantum Ashtekar hingga menyen-

tuh aspek pengkuantuman geometrik. Berhasil ditunjukkan bahwa mekanika kuan-

tum berderajat kebebasan berhingga bersifat invarian terhadap pengkuantuman, hasil pengkuantuman geometrik mekanika kuantum menghasilkan mekanika kuantum yang ekivalen dengan mekanika kuantum awal. Pada ruang fase kuantum dapat dikonstruk- si beberapa forma simplektik sehingga diperoleh sejumlah ruang Hilbert, ruang Fock diperoleh dengan menjumlahkan perkalian ruang Hilbert tersebut.

Pada tahun 1999, Kalinowski dan Piechocki mengembangkan geometrisasi te- ori medan yang digagas Woodhouse. Mereka merumuskan geometrisasi dalam tiga wakilan, yakni dalam wakilan ruang fase kecepatan (identik dengan hasil Woodhou- se), wakilan ruang fase momentum dan wakilan ruang fase nilai awal. Aspek praku- antisasi sistem medan juga dibahas menggunakan perumuman prosedur prakuantisasi 'standar' ke dalam kasus keragaman tak berhingga.

Gambaran simplektik untuk interaksi dua sistem dinamik secara umum da- pat dijelaskan melalui pembentukan keragaman simplektik yang baru (disebut kera- gaman simplektik produk) dengan mengalikan dua keragaman simplektik yang meng- gambarkan masing-masing sistem dengan struktur simplektik yang dikonstruksi da- ri struktur simplektik masing-masing penyusun. Hal ini dapat dijumpai dalam buku yang ditulis oleh Puta [1993] maupun Chernoff dan Marsden [1974]. Tinjauan ge- ometri dinamika suatu partikel pada suatu medan tera telah dibahas oleh Sternberg [1977], keberadaan medan tera mengubah bentuk struktur simplektik yang ada. Le- bih jauh, Rosyid [2007] menganalisa struktur polarisasi dan aljabar observabel yang dapat dikuantumkan pada keragaman simplektik produk ini. Dibuktikan bahwa po- larisasi keragaman simplektik produk merupakan hasil jumlahan langsung polarisasi masing-masing keragaman penyusun. Kasus dinamika partikel non-relativistik di se- kitar medan elektromagnetik dan pengkuantumannya dibahas pada [Sniatycki , 1980]

dengan metode pengkuantuman geometrik melalui kernel BKS.

1.8 Sistematika Penulisan

Tesis ini disusun menjadi lima bab dengan uraian singkat sebagai berikut:

1. Bab I merupakan pendahuluan yang mengulas mengenai latar belakang, rumus- an masalah, tujuan, manfaat, tinjauan pustaka dan sistematika penulisan.

2. Bab II mengulas dua hal. Pertama tentang geometri simplektik berdimensi ber-

hingga dan mekanika geometrik padanya. Mekanika geometrik tersebut ditinjau

baik dari segi gambaran Lagrange maupun gambaran Hamilton. Kedua tentang

metode pengkuantuman geometrik yang berupa prakuantisasi, polarisasi dan koreksi metaplektik. Ditinjau juga pengkuantuman geometrik via kernel BKS.

3. Bab III mengulas keragaman simplektik berdimensi tak hingga dengan meng- etengahkan fakta-fakta yang membedakannya dari yang berdimensi berhing- ga. Selanjutnya dibahas mekanika geometrik padanya dengan terapan berupa geometrisasi teori medan relativistik. Aspek pengkuantuman geometrik pada kasus dimensi tak hingga juga dibahas dengan mengkhususkannya pada kasus teori medan. Pembahasan berikutnya adalah tentang geomerisasi sistem medan berinteraksi serta kendala pengkuantuman geometrik padanya,

4. Bab IV membahas penerapan pada geometrisasi sistem Maxwell-Klein-Gordon.

Sistem medan Maxwell-Klein-Gordon klasik diperoleh melalui pengkuantuman geometrik bagi sistem partikel bermuatan yang bergerak dalam medan gravitasi dan elektrodinamika. Selanjutnya dengan menggunakan pada bab sebelumnya diperoleh geometrisasi bagi sistem ini.

5. Bab V membahas simpulan yang diperoleh dari penelitian tesis ini dan saran

bagi penelitian yang mungkin dilakukan pada masa mendatang.