DINAMIKA SISTEM EKONOMI DENGAN MODEL OVERLAPPING-GENERATION FEBRIANTI RAMAHAYU

(1)

DINAMIKA SISTEM EKONOMI

DENGAN MODEL OVERLAPPING-GENERATION

FEBRIANTI RAMAHAYU

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2010

(2)

ABSTRACT

FEBRIANTI RAMAHAYU. Dynamics of Economic System with

Overlapping-Generation Model. Supervised by Endar Hasafah Nugrahani and Retno

Budiarti.

This manuscript describes a modern macroeconomic model in discrete

time so-called Overlapping-Generation Model. In general, modeling framework of

Overlapping-Generation is assumed that each person lives for only two periods,

i.e. he/she works in the first period and retires in the second. By maximizing

lifetime utility, which depends on consumption in the two periods of life, there

will exist a steady state condition. Steady state happens when capital per capita at

the first and the second periods are equal. In the end, economics converges to a

steady state. Some numerical simulations show the effects of some parameters to

the steady state condition.

(3)

ABSTRAK

FEBRIANTI RAMAHAYU. Dinamika Sistem Ekonomi dengan Model

Overlapping-Generation. Dibimbing oleh Endar Hasafah Nugrahani dan Retno

Budiarti.

Pada karya ilmiah ini dibahas model makroekonomi modern pada waktu

diskret yang disebut Model Overlapping-Generation (OLG). Secara umum, dalam

kerangka kerja pemodelan OLG diasumsikan bahwa setiap orang hanya hidup

selama dua periode. Orang bekerja pada periode pertama dan pensiun pada

periode kedua.

Jika memaksimalkan utilitas waktu hidup dengan kendala pada

konsumsi dalam dua periode kehidupan tersebut, maka akan terdapat kondisi

tunak. Kondisi tunak terjadi saat pendapatan per kapita pada periode pertama

sama dengan pendapatan per kapita pada periode kedua. Beberapa simulasi

numerik menunjukkan pengaruh parameter-parameter pada model terhadap

kondisi tunak.

(4)

DINAMIKA SISTEM EKONOMI

DENGAN MODEL OVERLAPPING-GENERATION

FEBRIANTI RAMAHAYU

G54052807

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

Judul : Dinamika Sistem Ekonomi dengan Model Overlapping-Generation

Nama : Febrianti Ramahayu

NRP :

G54052807

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr.Ir. Endar Hasafah Nugrahani, M.S.

Ir. Retno Budiarti, M.S.

NIP. 19631228 198903 2 001

NIP. 19610729 198903 2 001

Mengetahui:

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS

NIP. 19650505 198903 2 004

(6)

RIWAYAT HIDUP

Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara, pasangan Bapak

Hiras Lumbantoruan dan Ibu Roma Silaen. Penulis dilahirkan di Jakarta, pada

tanggal 12 Februari 1987. Pendidikan penulis diawali dengan lulus tahun 1993 di

Taman Kanak-kanak Mardi Yuana, Depok, Jawa Barat, lalu lulus di SD Mardi

Yuana, Depok, tahun 1999. Pada tahun 2002 penulis lulus dari Sekolah Lanjutan

Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 3 Depok dan melanjutkan ke Sekolah Menengah

Umum (SMU) Negeri 2 Depok yang lulus pada tahun 2005.

Penulis resmi diterima menjadi mahasiswa di Institut Pertanian Bogor

(IPB) melalui jalur USMI pada tahun 2005, lalu mengikuti kegiatan perkuliahan

pada tingkat TPB yang kemudian mengantarkan penulis masuk ke Departemen

Matematika, Fakultas Matematika dan Pengetahuan Alam.

Selama menjadi mahasiswa Institut Pertanian Bogor (IPB), penulis juga

aktif dalam organisasi kemahasiswaan. Pada tahun 2005, penulis bergabung

sebagai anggota UKM Agria Swara serta dalam organisasi rohani Persatuan

Mahasiswa Kristen (PMK) IPB. Penulis dipercaya menjabat sebagai Koordinator

Pelantikan Anggota Baru (UKM Agria Swara) yang diselenggarakan di

Auditorium Toyib Hadiwidjaya, IPB, serta menjadi Koordinator Divisi Paduan

Suara (PMK Komisi Kesenian).

Kemudian pada regenerasi kepengurusan UKM Agria Swara pada bulan

September tahun 2006, penulis terpilih sebagai Presidium Agria Swara masa

jabatan 2006/2007. Kegiatan UKM Agria Swara selain mengadakan Konser

Tahunan yaitu diantaranya turut berpartisipasi pada Musicademia bersama

“Twilite Orchestra” pimpinan Adi MS, berpartisipasi dalam Acara Kepresidenan

di Jakarta, serta mengikuti festival paduan suara dalam maupun luar negeri. Pada

bulan April 2007, penulis bersama 36 orang lainnya yang tergabung dalam tim

festival “Agria Swara Goes To Hungary” diberangkatkan oleh Prof. Dr. Ir.

Ahmad Ansori Mattjik, Rektor Institut Pertanian Bogor untuk mengikuti festival

“International Mission of Art and Culture II” Hungary, March 30

th

- April 12

th

2007. Dalam kesempatan tersebut kami berhasil memperoleh Golden Diplome

untuk kategori folklore dan mix choir.

Bogor, April 2010

(7)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat tak berkesudahan yang diberikan kepada penulis sehingga karya ilmiah dengan judul Dinamika Sistem Ekonomi dengan Model Overlapping-Generation ini dapat penulis selesaikan.

Penulis sadar bahwa di belakang pengerjaan karya ilmiah ini banyak dukungan dan bantuan banyak pihak yang luar biasa, oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Ibu Endar Hasafah Nugrahani dan Ibu Retno Budiarti selaku pembimbing I dan pembimbing II atas segala kesabaran, ilmu dan nasehat selama bimbingan menjadi semangat bagi penulis, serta Bapak Toni Bakhtiar selaku penguji terima kasih atas saran dan masukannya.

2. Semua dosen Departemen Matematika yang telah memberi ilmu kepada penulis. 3. Orangtuaku tersayang mama dan papa yang telah memberi kasih sayang, doa,

pendidikan, dukungan, kesabaran, dan kerja kerasnya untuk menyekolahkan putrimu ini. Tak lupa adik-adikku Herman Agustinus dan Hendrico Septiadi terima kasih atas doa dan dukungannya.

4. Keluarga besarku: oppung doli-oppung boru, inanguda-bapauda, tulang-inangtulang, adik-adik sepupuku terima kasih atas doa dan dukungannya.

5. Staf tata usaha dan perpustakaan Departemen Matematika, ibu Susi, ibu Ade, bapak Yono, mas Bono, mas Deni, mas Heri terima kasih atas masukan, motivasi, dan bantuannya dalam memperlancar administrasi bagi penulis.

6. Diah, Margi, dan Andrew atas kesediaannya sebagai pembahas pada saat seminar. 7. Agnes, Ricken, Nyoman, Ocoy, dan Lisda terima kasih atas persahabatan, doa,

masukan, dukungan kalian selama ini;

8. Johanes Wiharto, Josiah Axl, bang Ico, bang Wastin, ka Oci, Kezia, ka Roma, Rohani, terima kasih atas kebersamaan kita selama ini yang selalu memberikan semangat hidup dalam suka maupun duka.

9. Teman-teman Agria Swara,khususnya kepada Bhaskoro, Melvin, Stefanus, Afwan, Hafiz, Windri, Pipiet43, Memes, Max, Merry, Pipiet44, Mei, Adit, serta semua anak-anak alto terima kasih atas persahabatan, doa, dan dukungan kalian selama ini. 10. Teman- teman matematika 42: Eyyi, Erlin, Ayip, Zil, Danu, Yusep, Mega, Titi, Nola,

Hesti, Dendi, Sapto, Dian, Tia, Vita, Riu, Luri, Octa, Hikmah, Hapsari, Jane, Eko, Jawa, Mira, Rima, Siti, Ardi, Ilyas, Vera, Nofita H, Achi, Niken, Oby, Suwarno, Yudi, Lina, Dewi, Pipit, Lela, Ety, Yuni, Nofi, Awi, Putranto, Gita, Rita, Bima, Fachri. Begitu juga kepada kakak kelas dan adik kelas, Mate41 dan Mate43 serta

Mate44 yang telah memotivasi.

Tentu begitu banyak nama yang terus menerus memberikan dukungan, pengaruh dan pelajaran yang amat berharga. Namun, tentunya tidak dapat penulis sebutkan pada kesempatan kali ini tanpa mengurangi hormat penulis kepada mereka.

Bogor, April 2010

(8)

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ... ix DAFTAR LAMPIRAN ... ix I PENDAHULUAN 1.1 Latar Balakang ... 1 1.2 Tujuan ... 1 II LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Beda ... 2 2.2 Sistem Dinamik ... 3 2.3 Sistem Ekonomi ... 3 III PEMBAHASAN 3.1 Siklus Kehidupan Individu dan Demografinya ... 6

3.2 Titik Tetap ... 7

3.3 Dinamika Kondisi Tunak ... 9

IV KESIMPULAN ... 12

DAFTAR PUSTAKA ... 13

(9)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Kurva Indifference ... 4

2 Kurva Indifference untuk menentukan kepuasan maksimum ... 4

3 Kurva Indifference untuk efek substitusi dan efek pendapatan. ... 5

4 Kurva Indifference untuk barang inferior ... 5

5 Kurva Indifference untuk barang giffen ... 5

6 Titik tetap pendapatan per kapita fungsi produksi dan fungsi utilitas Cobb-Douglas ... 8

7 Titik tetap pendapatan per kapita fungsi produksi Cobb-Douglas dan fungsi utilitas overlapping-generation ... 9

8 Kondisi tunak saat ݇௧ൌ ݇௧ାଵ ... 10

9 Pertumbuhan modal per kapita dengan model overlapping-generation ... 10

10 Pengaruh elastisitas produksi pada modal per kapita terhadap ݇כ_{... 11}

11 Pengaruh tingkat pertumbuhan populasi terhadap ݇כ_{... 11}

12 Pengaruh perkembangan teknologi terhadap ݇כ ... 11 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Mendapatakan persamaan (3.1.6) ... 14 2 Mendapatakan persamaan (3.1.7) ... 15 3 Mendapatakan persamaan (3.2.4) ... 16

4 Mendapatkan kondisi marjinal dalam intensitas modal menggunakan fungsi produksi Cobb-Douglas dengan pengaruh teknologi ... 16

5 Mendapatakan persamaan (3.2.2) ... 17

6 Mendapatakan solusi positif dari persamaan (3.2.2) ... 19

7 Solusi persamaan (3.2.3) ... 19

10 Mendapatakan solusi positif dari persamaan (3.2.7) ... 20

11 Simulasi Gambar 7 dengan menggunakan software Maple 12 ... 22

12 Simulasi Gambar 9 dengan menggunakan software Mathematica 7 ... 23

(10)

1

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Perkembangan kegiatan dalam perekonomian dapat ditunjukkan dengan bertambahnya barang dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat. Setiap negara di dunia berpacu memajukan ekonomi bangsanya. Pertumbuhan ekonomi suatu negara merupakan parameter bagi instrumen negara dalam memanfaatkan semua potensi dan kekayaan negara demi membangun ekonomi makro. Hal ini menjadi penting karena kondisi ekonomi menjadi faktor utama dalam menjaga stabilitas suatu negara.

Pertumbuhan ekonomi pada akhir tahun tujuh puluhan telah banyak diteliti oleh para ekonom, tetapi belum ada kesepakatan tentang penyebab terjadinya pertumbuhan tersebut. Beberapa ekonom yang mengikuti aliran neoklasik menekankan pada penyediaan tenaga kerja, stok modal, dan perubahan teknologi dalam proses pertumbuhan ekonomi. Ekonom lainnya mengikuti aliran keynesian yang menekankan pada faktor permintaan. Pendekatan keynesian menitikberatkan ekspor regional sebagai penggerak pertumbuhan ekonomi.

Saat ini banyak ekonom yang tertarik kembali untuk melakukan studi di bidang pertumbuhan ekonomi. Hal ini disebabkan oleh adanya teori baru yang memprediksi pentingnya memasukkan faktor eksternalitas berupa inovasi teknologi dan sumber daya manusia (SDM) sebagai faktor penggerak pertumbuhan ekonomi. Berdasarkan teori ini dapat memperlihatkan bahwa karakteristik awal setiap sistem perekonomian dapat menyebabkan perbedaan pertumbuhan pendapatan per kapita.

Salah satu tokoh ekonomi terkenal yang menganut aliran neoklasik adalah Robert Solow. Analisis teori pertumbuhan ekonomi yang dilakukannya menghasilkan model pertumbuhan yang disebut dengan Solow

growth model. Model pertumbuhan Solow

menunjukkan interaksi tabungan, pertumbuhan populasi, dan kemajuan teknologi dalam mempengaruhi tingkat output perekonomian dan pertumbuhannya sepanjang waktu.

Tingkat pertumbuhan ekonomi dapat dihitung melalui beberapa pendekatan, yaitu

pendekatan pendapatan, pendekatan modal, dan pendekatan pengeluaran. Sampai saat ini banyak para ekonom yang meneliti model ekonomi yang sesuai mendekati rutinitas kegiatan masyarakat sehingga dapat diperoleh model yang sesuai untuk memperlihatkan kestabilan suatu negara. Salah satu model ekonomi yang mendekati rutinitas kehidupan masyarakat adalah model

overlapping-generation (OLG). Model ini mampu menjadi

model kunci secara makroekonomi modern yang mengaplikasikan siklus kehidupan manusia. Perekonomian setiap periode pastinya berbeda dengan perekonomian pada periode sebelum atau pun sesudahnya. Setiap negara berusaha meningkatkan perekonomian sehingga menuju ke suatu kondisi yang stabil. Dengan adanya pergantian populasi ini akan lebih mudah mengatur model waktu diskret. Karya ilmiah ini merumuskan model dinamika sistem ekonomi dengan waktu diskret dan menganalisis sistem ekonomi sesuai dengan teori pertumbuhan Solow.

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah 1. Menganalisis dinamika sistem ekonomi

diskret dengan memaksimalkan utilitas waktu hidup dengan kendala pada konsumsi dalam dua periode kehidupan, yang disebut dengan model

overlapping-generation.

(11)

2

II LANDASAN TEORI

Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan penjelasan istilah-istilah yang digunakan dalam karya ilmiah ini.

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan diferensial biasa merupakan suatu persamaan yang melibatkan turunan pertama atau ordo lebih tinggi dari fungsi sebarang, atau peubah tak bebas terhadap peubah bebasnya. Suatu persamaan diferensial biasa orde satu dapat dinyatakan sebagai berikut

, , , , … 0,

dengan merupakan peubah tak bebas ( ) dan peubah bebas.

(Farlow 1994)

2.1 Persamaan Beda

Konsep persamaan beda (difference

equation) digunakan dalam analisis sistem

dinamik dengan variabel diskret untuk menunjukkan dinamika atau perubahan suatu variabel pada periode tertentu. Untuk fungsi , nilai berubah bila nilai berubah dari integer yang satu ke integer berikutnya, misal 1, 2, 3, dan seterusnya. Pola perubahan digambarkan dengan istilah ‘beda’ (difference).

Misalkan ∆ menunjukkan besar perubahan pada dua periode berurutan, sehingga dapat ditulis ∆ , dengan

adalah nilai pada periode ke- . Sedangkan menunjukkan nilai pada satu periode setelah periode ke- . Bentuk di atas dapat ditulis

∆ , ∆ , ∆ , … … … ….

Misalkan 0 , maka kita dapat menyatakan sebagai fungsi dari

, … , .

Hal yang sama berlaku juga sebaliknya, dalam hal ini jika persamaan berbentuk

∆ .

(Chiang & Wainwright 2005)

Turunan

Turunan digunakan untuk mengukur tingkat perubahan sesaat variabel takbebas jika terjadi perubahan unit yang sangat kecil dalam variabel bebas.

Turunan fungsi pada bilangan dinyatakan dengan ′ adalah

′ _lim _,

jika limit ini ada.

Jika , maka dan

mendekati 0 jika dan hanya jika mendekati .

Sehingga dapat ditulis

′ _lim _.

(Stewart 1998)

Prinsip Maksimum dan Minimum Fungsi

Penerapan dari turunan kedua salah satunya adalah menguji nilai maksimum dan minimum (terkait kecekungan). Dalam kalkulus dikenal dengan sebutan Uji Turunan Kedua. Andaikan " kontinu di sekitar ,

a) Jika ′ 0 dan " 0, maka mempunya nilai minimum lokal pada

.

b) Jika ′ 0 dan " 0, maka mempunya nilai maksimum lokal pada

.

(Stewart 1998)

Kemonotonan Fungsi

Andaikan fungsi terdefinisi pada selang (terbuka, tertutup, atau bukan keduanya). Dikatakan bahwa

i. adalah naik pada jika untuk setiap pasang bilangan dan dalam

. ii. adalah turun pada jika untuk setiap

pasang bilangan dan dalam . iii. monoton murni pada jika ia naik

pada atau turun pada .

(12)

3

2.2 Sistem Dinamik

Definisi 1 Sistem Dinamik

Sistem Dinamik (SD) adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu. Sistem dinamik dengan waktu diskret dinyatakan sebagai berikut :

,

dengan merupakan fungsi dari . (Tu 1994)

Definisi 2 Sistem Persamaan Beda Mandiri

Misalkan diberikan suatu sistem persamaan beda orde pertama sebagai berikut:

, 0 ,

dengan matriks .

(Tu 1994)

Definisi 3 Titik Tetap

Diberikan SPD

.

Titik _{disebut titik tetap jika} 0. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan.

(Tu 1994)

2.3 Sistem Ekonomi

Setiap sistem ekonomi pada intinya merupakan interaksi sekumpulan individu. Analisis dapat dimulai dengan meneliti perilaku individu. Individu mempunyai 2 peran:

1. individu sebagai konsumen,

2. individu penyedia tenaga kerja dalam proses produksi.

Definisi 4 Pertumbuhan Ekonomi

Pertumbuhan ekonomi (economic growth) adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksikan dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi menunjukkan persentase kenaikan pendapatan nasional riil pada suatu tahun tertentu, dibandingkan dengan pendapatan nasional riil pada tahun sebelumnya.

(Sukirno 2004)

Definisi 5 Kondisi Tunak (Steady State)

Ekonomi yang berada pada kondisi tunak (steady state) adalah suatu keadaan yang modal per kapita pada periode sekarang sama

dengan modal per kapita pada periode sebelumnya.

(Zhang 2006)

Definisi 6 Model Pertumbuhan Solow

Model pertumbuhan Solow (Solow growth

model) menunjukkan bahwa dalam jangka

panjang, tingkat tabungan perekonomian menunjukkan ukuran persediaan modal dan produksinya. Semakin tinggi tingkat tabungan, semakin tinggi persediaan modal dan semakin tinggi tingkat output.

(Mankiw 2000)

Definisi 7 Teori Pertumbuhan Neoklasik

Teori pertumbuhan aliran neoklasik menjelaskan tentang penyebab terjadinya pertumbuhan ekonomi. Teori pertumbuhan ini menekankan pada penyediaan tenaga kerja dan stok modal sebagai penyebab utama pertumbuhan ekonomi.

Fungsi produksinya dapat ditulis sebagai berikut:

, ,

dengan adalah pendapatan riil, adalah stok modal pada saat , adalah tenaga kerja, dan adalah waktu.

(Mankiw 2000) Bentuk spesifik dari hubungan teori pertumbuhan neoklasik dikenal sebagai fungsi produksi Cobb-Douglas yang menambahkan faktor perubahan teknologi sebagai penyebab pertumbuhan ekonomi.

Definisi 8 Model Pertumbuhan Tanpa Perkembangan Teknologi

Dalam model ini, fungsi produksi secara umum ditulis sebagai berikut:

.

Nilai dan masing-masing adalah elastisitas pendapatan terhadap modal dan tenaga kerja.

(Mankiw 2000)

Definisi 9 Model Pertumbuhan dengan Perkembangan Teknologi

Dalam model ini, fungsi produksi secara umum ditulis sebagai berikut:

.

Nilai dan masing-masing adalah elastisitas pendapatan terhadap modal dan tenaga kerja dan adalah perkembangan teknologi.

(13)

4

Definisi 10 Fungsi Utilitas

Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang menunjukkan kepuasan seseorang dari mengonsumsi barang dan jasa, yang dinotasikan sebagai berikut:

, , … ,

dengan adalah kegunaan/utilitas total, dan , , … , merupakan banyaknya produk yang dikonsumsi.

Kegunaan total barang yang dikonsumsi seorang individu biasanya semakin meningkat pada saat dia mengonsumsi suatu produk. Sehingga pada tingkat tertentu, kegunaan marginalnya menjadi lebih kecil dibandingkan dengan sebelumnya. Hal ini terjadi sejalan dengan kejenuhan individu bersangkutan akan produk itu.

(Pass et al. 1994)

Definisi 11 Tingkat Bunga Nominal

Tingkat bunga nominal adalah tingkat bunga pasti yang ditentukan bank terhadap nominal uang (dengan tidak memperhitungkan inflasi). Tingkat bunga nominal berkaitan dengan pertumbuhan uang berdasarkan suku bunga. Misalkan, tepat setahun lalu Anda mendepositokan Rp 1.000.000,- ke dalam deposito satu tahun yang menjamin suku bunga 10%. Anda akan segera memperoleh Rp 1.100.000,- sekarang.

(Bodie et al 2005)

Definisi 12 Tingkat Bunga Riil

Tingkat bunga riil adalah tingkat bunga nominal pasti yang dikoreksi dengan cara mengurangi laju inflasi, untuk menyesuaikan perubahan dalam daya beli uang. Jadi, suku bunga riil berkaitan dengan pertumbuhan daya beli. Dalam contoh di atas, apakah imbal hasil sebesar Rp 100.000,- itu riil? Bergantung pada apa yang dapat dibeli uang sekarang, yang sangat dipengaruhi oleh tingkat inflasi dalam setahun terakhir.

(Kunarjo 2003)

Definisi 13 Teori Utilitas Ordinal

Teori utilitas ordinal merupakan salah satu pendekatan teori perilaku konsumen yang mengukur kepuasan dalam konsumsi dengan berdasarkan urutan kepuasan. Penilaiannya menggunakan kurva indifference.

(Nicholson 1991)

Definisi 14 Kurva Indifference

Kurva indifference disebut juga kurva kepuasan sama diantara semua produksi yang dikonsumsi. Preferensi kepuasan konsumen meningkat secara konsisten yang ditandai dengan semakin banyaknya barang yang dikonsumsi.

(Nicholson 1991)

Ciri-ciri kurva indifference

a. Garis turun dari kiri atas ke kanan bawah yang menunjukkan kombinasi antara barang dan .

b. Mempunyai kemiringan negatif dan cembung ke arah origin.

c. Garis tidak saling berpotongan.

Gambar 1 Kurva Indifference ( )

dengan sumbu dan masing-masing adalah jumlah barang dan .

(Nicholson 1991)

Definisi 15 Kepuasan Maksimum Konsumen

Syarat kepuasan maksimum dapat tercapai bila utilitas marjinal barang dibanding dengan harganya sama dengan marginal utilitas barang dibandingkan dengan harganya.

Gambar 2 Kurva Indifference ( ) untuk menentukan kepuasan maksimum

dengan sumbu dan masing-masing adalah jumlah barang dan , kita dapat lihat pada Gambar 3 bahwa:

• dengan titik A dan B menunjukkan kepuasan konsumen belum optimum.

• dengan titik C menunjukkan konsumen mencapai titik optimum.

(14)

5

• dengan titik D menunjukkan bahwa anggaran konsumen tidak mencukupi untuk memenuhi kebutuhan barang dan

.

(Nicholson 1991)

Definisi 16 Efek Substitusi dan Efek Pendapatan

Efek substitusi terjadi jika kenaikan harga barang akan menyebabkan naiknya permintaan barang . Sedangkan, efek pendapatan terjadi jika naiknya harga barang

mengakibatkan penurunan pendapatan konsumen. Kita dapat lihat pada gambar di bawah ini,

Gambar 3 Kurva Indifference ( ) untuk efek substitusi dan efek pendapatan

merupakan total efek, adalah efek substitusi, dan adalah efek pendapatan.

(Nicholson 1991)

Definisi 17 Barang Inferior

Suatu barang dapat disebut barang inferior jika kenaikan pendapatan konsumen dapat akan menurunkan jumlah barang yang diminta.

Gambar 4 Kurva Indifference ( ) untuk barang inferior

(Nicholson 1991)

Definisi 18 Barang Giffen

Suatu barang dapat disebut barang giffen karena sifatnya yang menyerupai barang inferior, sifat khususnya adalah jika barang inferior turun maka jumlah permintaan juga akan turun.

Gambar 5 Kurva Indifference ( ) untuk barang giffen

(15)

6

III PEMBAHASAN

3.1 Siklus Kehidupan Individu dan Demografinya

Secara umum, dalam kerangka kerja pemodelan overlapping-generation (OLG) diasumsikan bahwa setiap orang hanya hidup selama dua periode. Orang bekerja pada periode pertama dan pensiun pada periode kedua. Pada kenyataannya, satu periode mungkin akan bertahan selama 30 tahun. Setiap orang mengonsumsi pada dua periode tersebut, mereka membayar untuk pengeluaran dalam periode dua dengan menabung pada periode pertama. Kelompok yang lahir pada waktu disebut sebagai generasi . Anggota dari generasi ini, disebut muda pada periode dan tua pada periode 1. Pada setiap titik waktu, hanya anggota dari dua generasi yang hidup. Setiap orang memaksimalkan utilitas waktu hidupnya, dengan bergantung pada pemakaian dalam dua periode kehidupan. Utilitas waktu hidup mereka dinyatakan sebagai

, (3.1.1) dengan 0 sebagai tingkat preferensi waktu, jadi sebagai diskonto waktu. Utilitas total dinyatakan oleh sedangkan

dan masing-masing menyatakan utilitas pada periode pertama dan periode kedua. Konsumsi periode pertama dinyatakan oleh dan konsumsi periode kedua adalah .

Setiap individu merupakan satu unit tenaga kerja inelastis dan menerima upah/gaji

. adalah tabungan pada periode . Anggaran yang dibatasi pada periode dan

1 adalah

,

1 1 , (3.1.2) dengan adalah tingkat suku bunga dari periode sampai 1. Batasan anggaran di periode pertama dinyatakan sebagai konsumsi periode pertama pada waktu , , sedangkan di periode kedua konsumsi pada waktu 1 dinyatakan oleh 1 . Untuk setiap individu, dan adalah faktor eksogen.

Utilitas pada kasus CIES (Constant

Intertemporal Elasticity of Substitution) ini,

diketahui sebagai berikut: ; 1

ln ; 1 , (3.1.3) dengan adalah elastisitas substitusi antar masa,

.

(3.1.4) Berdasarkan kendala-kendala yang disebutkan sebelumnya, maka dapat dijelaskan bahwa tabungan setiap individu bergantung pada tingkat suku bunga dan tingkat upah/gaji.

Hal tersebut menunjukkan bahwa peningkatan tabungan berbanding lurus dengan tingkat upah/gaji. Walaupun demikian, ternyata tingkat suku bunga dapat menimbulkan dampak yang positif dan dampak negatif. Jika terjadi peningkatan pada tingkat suku bunga, maka berdasarkan pensubstitusian biaya konsumsi periode dua ke periode pertama akan menyebabkan biaya konsumsi di periode dua menurun. Sedangkan hal tersebut mampu meningkatkan pendapatan karena jumlah pendapatan yang ditabung guna konsumsi pada periode ke dua dikurangi.

Berdasarkan pada persamaan (3.1.3), fungsi utilitas dapat ditulis kembali sebagai berikut

,

(3.1.5)

Asumsikan fungsi utilitas kontinu sehingga untuk memaksimumkan utilitas, kondisi turunan pertama terhadap adalah sebagai berikut:

0

1 . (3.1.6)

Uraian persamaan (3.1.6) dapat dilihat pada Lampiran 1.

Penyelesaian dari persamaan (3.1.6) , (3.1.7) dengan

(16)

7

1 / _/ 1.

Persamaan (3.1.7) tersebut diperoleh dari efek substitusi dan efek pendapatan yang dipengaruhi tingkat suku bunga pada tabungan yang bergantung pada nilai . Peningkatan tabungan berbanding lurus dengan tingkat suku bunga jika nilai kurang dari 1 ( 1), sehingga efek substitusi mendominasi efek pendapatan. Diketahui bahwa 1 jika dan hanya jika 1, sehingga kita dapat mengatakan bahwa ketika elastisitas substitusi antar masa adalah besar, kemudian efek substitusi cenderung mendominasi efek pendapatan dan efek dari dan cenderung positif.

Demografi struktur ekonominya adalah sebagai berikut. Jumlah tenaga kerja pada waktu disebut . Total populasi pada waktu

adalah . Oleh karena setiap individu menawarkan satu unit tenaga kerja, maka jumlah angkatan kerja sama dengan jumlah dari generasi muda,

.

Pertumbuhan populasi pada tingkat dinyatakan sebagai berikut

1 .

3.2 Titik Equilibrium/Titik Tetap

Perilaku produsen mempunyai fungsi produksi neoklasik

, , dengan

, ,

dengan adalah jumlah tenaga kerja, adalah total output, dan adalah total modal. Sedangkan adalah jumlah output per kapita, dan adalah modal per kapita. Perilaku optimal produsen diperoleh dari produk marjinal yang menentukan harga faktor-faktor produksi. Fungsi produk marjinal terhadap modal menentukan nilai tingkat suku bunga, sedangkan fungsi produk marjinal terhadap tenaga kerja menentukan tingkat upah/gaji. Perilaku individu diperoleh dari fungsi tabungan. Dengan menganggap fungsi adalah

kontinu, penambahan suatu kondisi tetap diperlukan pada pengembalian modal, yaitu

,

, (3.2.1) dengan adalah tingkat depresiasi dari modal. Uraian persamaan (3.2.1) dapat dilihat pada Lampiran 3.

Sekarang akan memodelkan perilaku konsumen. Fungsi produksi yang digunakan adalah fungsi Cobb-Douglas dengan pengaruh teknologi sebagai berikut:

, ,

1, , , 0.

Nilai dan masing-masing adalah elastisitas pendapatan terhadap modal dan tenaga kerja, sedangkan adalah perkembangan teknologi. Asumsikan bahwa depresiasi adalah seimbang untuk semua terhadap modal. Total dari depresiasi adalah sama dengan . Tingkat suku bunga real dan upah tenaga kerja diberikan oleh

,

, ,

.

Diasumsikan dimiliki oleh semua individu pada periode awal. Kita tulis kondisi marginal dalam intensitas modal

, .

Lampiran 4 menguraikan kondisi marjinal dalam intensitas modal menggunakan fungsi produksi Cobb-Douglas dengan pengaruh teknologi.

Kasus I

Asumsikan tingkat utilitas, , yang konsumen raih bergantung pada tingkat konsumsi komoditas, , dan saving , pada periode . Sebelum dianalisis menggunakan fungsi utilitas overlapping-generation, akan dianalisis terlebih dahulu fungsi utilitas Cobb-Douglas untuk mendeskripsikan perilaku konsumen.

,

1, , 0,

dengan dan adalah respon atas kecenderungan konsumen untuk mengonsumsi barang dan menimbun kekayaan. Rumah tangga memaksimumkan

(17)

8

utilitas subjek untuk membatasi anggaran. Anggap fungsi utilitas dan fungsi produksi Cobb-Douglas adalah kontinu sehingga penyelesaikan kepuasan optimal konsumen sebagai berikut

, ,

dapat dilihat pada Lampiran 5.

Pendapatan konsumen pada periode berasal dari pembayaran bunga, , dan upah, sebagai berikut:

.

disebut sebagai pendapatan saat ini (current

income). Total nilai kekayaan konsumen dapat

dijual untuk membeli barang dan untuk disimpan yang sama dengan . Pendapatan yang sudah siap dibelanjakan (gross

disposable income) sama dengan

. Pendapatan yang sudah siap untuk dibelanjakan tersebut digunakan untuk tabungan dan konsumsi. Pada periode , konsumen akan mendistribusikan total ketersediaan anggaran untuk tabungan, dan mengkonsumsi barang, . Batasan anggaran diberikan oleh . Total modal pada periode pensiun sama dengan tabungan pada periode bekerja, .

Selanjutnya akan dituliskan kembali dinamika dalam per kapita. dan

, dengan 1 ,

maka akumulasi modal, diperoleh

dari .

Bagi persamaan di atas dengan , menghasilkan

. Substitusi

1 .

ke dalam persamaan di atas, sehingga diperoleh

1 . (3.2.2)

Berikut adalah persamaan beda nonlinier dalam yang dapat dituliskan kembali dengan

1 . Agar persamaan beda ini berada dalam

kondisi tunak maka .

Substitusi kondisi tunak tersebut ke persamaan (3.2.2) sehingga menghasilkan

1 .

Persamaan tersebut memiliki solusi positif yang unik

/ .

Uraian solusi positif dari persamaan (3.2.2) dapat dilihat pada Lampiran 6.

Dengan menganggap fungsi adalah kontinu sehingga langsung menunjukkan

1. Gambar 6 menampilkan hubungan antara

dan , yang kita tuliskan sebagai berikut .

Kemiringan Ψ takhingga pada 0 dan berkurang secara konstan

1 .

Garis 45 menggambarkan kondisi perekonomian saat pendapatan per kapita periode pertama sama dengan pendapatan per kapita periode kedua. Fungsi Ψ memotong garis 45 pada nilai kondisi mapan, . Kurva modal konvergen secara monoton titik tetapnya yang unik dari waktu ke waktu.

Gambar 6 Titik Tetap pendapatan per kapita

dengan fungsi produksi dan fungsi utilitas Cobb-Douglas

Kasus II

Sekarang akan dibandingkan titik tetap unik pada fungsi produksi dan utilitas Cobb-Douglas jika fungsi utilitasnya diganti menggunakan fungsi utilitas

overlapping-generation. Dalam perekonomian tertutup,

aset-aset keluarga sama dengan modal. Penanaman modal bersih keseluruhan sama

(18)

9

dengan total pendapatan dikurangi total konsumsi

1 .

(3.2.3)

Substitusi persamaan (3.2.1) ke dalam persamaan (3.2.3), kita peroleh

, , (3.2.4) dengan

1 .

Dari persamaan (3.2.3) dan (3.1.2) kita memperoleh

1 .

Uraian solusi dari persamaan (3.2.3) dapat dilihat pada Lampiran 7.

Asumsikan bahwa perekonomian dimulai dengan kondisi

| 1 0 1 1 1 ,

yang ekuivalen terhadap 2 1 1 dengan persamaan (3.2.3) dan (3.1.2). persamaan di atas menjadi

,

yang artinya bahwa tabungan orang semasa muda sama dengan modal untuk periode berikutnya. Dapat dituliskan kembali dalam persamaan per kapita berikut

.

Substitusikan pada persamaan (3.1.7) ke dalam persamaan di atas, menghasilkan

1 ,

(3.2.5) yang digunakan dari definisi . Pada kasus fungsi utilitas 1 dan menyertakan kondisi tetap pada pengembalian modal, dapat ditunjukkan bahwa persamaan (3.2.4) menjadi

,

(3.2.6)

yang menyatakan modal per kapita pada periode pensiun. Uraian persamaan (3.2.6) dapat dilihat pada Lampiran 6. Substitusikan fungsi produksi Cobb-Douglas teknologi,

, 1, ke dalam persamaan (3.2.6) sehingga diperoleh modal per kapita periode pensiun yang lebih spesifik yaitu

. (3.2.7) Uraian persamaan (3.2.7) dapat dilihat pada Lampiran 9.

Agar persamaan beda ini berada dalam

kondisi tunak maka .

Substitusi kondisi di atas ke persamaan (3.2.7) sehingga menghasilkan

1 2 1 .

Persamaan tersebut memiliki solusi positif yang unik

/

.

Uraian solusi positif persamaan (3.2.7) dapat dilihat pada Lampiran 10.

Dengan menganggap fungsi adalah kontinu sehingga langsung menunjukkan

1.

Gambar 7 menampilkan hubungan antara dan , yang kita tuliskan sebagai berikut

.

Uraian penggunaan software Maple 12 untuk Gambar 7 dapat dilihat pada Lampiran 11. Kemiringan Ω takhingga pada 0 dan berkurang secara konstan

1.

Gambar 7 Titik Tetap pendapatan per kapita

dengan fungsi produksi Cobb-Douglas dan fungsi utilitas overlapping-generation

Garis 45 menggambarkan kondisi perekonomian saat pendapatan per kapita periode pertama sama dengan pendapatan per kapita periode kedua. Fungsi Ω memotong garis 45 pada nilai kondisi mapan, . Modal konvergen secara monoton titik tetapnya yang unik dari waktu ke waktu.

3.3 Dinamika Kondisi Tunak

Pada dasarnya, hubungan antara modal per tenaga kerja dalam waktu dua periode seperti ini akan cukup kompleks. Persamaan

(19)

10

adalah fungsi nonlinear dan komponen di dalamnya, dan juga nonlinear.

Saat menganalisis titik keseimbangan secara grafis, gambarkan nilai pada garis horizontal (sumbu ) dan nilai pada garis vertikal (sumbu ). Kemudian tarik garis 45°, yang secara definisi mewakili titik-titik nilai yang konstan dari waktu ke waktu. Setelah itu, petakan keseimbangan antara dan . Ketika kurva pemetaan titik antara dan

memotong garis 45° maka , modal per tenaga kerja konstan dari waktu ke waktu. Dengan kata lain, perekonomian berada pada kondisi tunak. Di luar nilai-nilai kondisi tunak, dapat menggunakan gambar yang sama untuk menjelaskan evolusi nilai dari waktu ke waktu. Gunakan garis 45° untuk memproyeksikan nilai-nilai keesokan harinya terhadap nilai-nilai hari ini di sumbu .

Terdapat kasus ketika pada kondisi tunak dan titik keseimbangan mempunyai kemiringan negatif. Untuk fungsi utilitas secara umum, sebagai contoh untuk 1, kita memiliki banyak kemungkinan titik-titik keseimbangan dan pastinya tidak stabil. Selain itu, tergantung interaksi antara efek pendapatan dan efek substitusi yang mengakibatkan terdapat hal-hal yang tidak pasti.

Untuk menganalisis dinamikanya, kita sederhanakan pemetaan titik yaitu saat 1 dan Cobb-Douglas teknologi,

ln

, 1

dengan asumsi-asumsi ini, kedua dampak dari pada tabungan tidak berpengaruh dan

. Maka

. (3.3.1)

Persamaan di atas diperoleh dengan melakukan substitusi persamaan Cobb-Douglas teknologi ke dalam persamaan modal per tenaga kerja. Pemetaaan antara dan

merupakan pemetaan yang naik. Kita amati keunikan nilai yang memotong garis 45° sehingga . Perpotongan nilai dengan garis 45° menunjukkan bahwa

perekonomian berada pada kondisi tunak. Perhatikanlah Gambar 8, dimulai dengan nilai yang berada di bawah kondisi tunak, modal per tenaga kerja meningkat dari waktu ke waktu dan mendekati kondisi tetap secara monoton.

Gambar 8 Kondisi tunak saat

Pada Gambar 9, pemetaan titik antara dan dilakukan secara diskret dengan nilai-nilai parameter sebagai berikut: 1;

0,2; 2; 0,5. Uraian penggunaan

software Mathematica 7 untuk Gambar 9

dapat dilihat pada Lampiran 12. Pemetaannya merupakan pemetaan yang naik. Pada akhirnya perekonomian konvergen ke kondisi tunak. Sifat kualitatif pada dinamika titik keseimbangan mirip dengan model Solow.

Gambar 9 Pertumbuhan modal per kapitadengan model Overlapping-Generation

Jika parameter-parameter pada model

overlapping-generation dianalisis

pergerakan-nya terhadap pada kondisi tunak maka akan diperoleh: 0 5 10 15 20 0.240 0.245 0.250 0.255 0.260 0.265 0.270 0.275 t k t

(20)

11

1. Pengaruh terhadap

Gambar 10 Pengaruh elastisitas produksi pada

modal per kapita terhadap

Pengaruh yang merupakan elastisitas produksi pada modal per kapita dengan nilai-nilai parameter lainnya sebagai berikut: 1; 2; 0,1; ditunjukkan pada Gambar 10. Uraian penggunaan software Mathematica

7 untuk Gambar 10 dapat dilihat pada

Lampiran 13. Jika nilai semakin menuju 1 atau elastisitas produksi pada modal semakin elastis maka modal per kapita pada kondisi tunak semakin menurun.

Gambar 11 Pengaruh tingkat pertumbuhan

populasi terhadap

Pengaruh yang merupakan tingkat pertumbuhan populasi dengan nilai-nilai parameter lainnya sebagai berikut: 1;

2; 0,2; ditunjukkan pada Gambar 11. Uraian penggunaan software Mathematica 7 untuk Gambar 11 dapat dilihat pada Lampiran 14. Jika nilai semakin besar atau tingkat pertumbuhan populasi semakin tinggi maka pengaruh modal per kapita pada kondisi tunak semakin kecil.

Gambar 12 Pengaruh perkembangan teknologi

terhadap

Pengaruh yang merupakan

perkembangan teknologi dengan nilai-nilai parameter lainnya sebagai berikut: 1;

0,2; 0,1; ditunjukkan pada Gambar 12. Uraian penggunaan software Mathematica

7 untuk Gambar 12 dapat dilihat pada

Lampiran 15. Jika nilai semakin besar atau perkembangan teknologi semakin tinggi maka modal per kapita pada kondisi tunak semakin meningkat. Sehingga dengan adanya perkembangan teknologi menyebabkan modal per kapita yang digunakan untuk proses produksi semakin besar.

Selain itu pada model

overlapping-generation ini, penting sekali interaksi antara

generasi yang berbeda dalam menghasilkan pertumbuhan. Upah/gaji generasi muda meningkat karena modal yang dimiliki oleh orang tua (tabungan mereka) meningkat, yang mengakibatkan generasi muda lebih banyak menabung. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 a k * 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 n k * 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 A k *

(21)

12

IV KESIMPULAN

Pada karya ilmiah ini diberikan sebuah

model makroekonomi modern pada waktu diskret yang disebut Model

Overlapping-Generation. Secara umum, dalam kerangka

kerja pemodelan OLG diasumsikan bahwa setiap orang hanya hidup selama dua periode. Orang bekerja pada periode pertama dan pensiun pada periode kedua.

Dengan memaksimalkan utilitas waktu hidup dengan kendala pada konsumsi dalam dua periode kehidupan tersebut, maka diperoleh hasil bahwa pemetaaan antara dan merupakan pemetaan yang naik

dengan tingkat kenaikan menurun. Perekonomian pada kondisi tunak yang unik dilambangkan dengan ternyata nilai yang berada di bawah kondisi tunak, modal per tenaga kerja meningkat dari waktu ke waktu dan mendekati kondisi tetap secara monoton. Pada akhirnya perekonomian konvergen ke kondisi tunak. Kita dapat menyimpulkan bahwa sifat kualitatif pada dinamika titik keseimbangan mirip dengan model Solow. Pada kasus ini, penting sekali interaksi antara generasi yang berbeda dalam menghasilkan pertumbuhan.

(22)

13

DAFTAR PUSTAKA

Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2005.

Investments 6th_{ed.McGraw Hill,}

Singapore.

Chiang CA, Wainwright K. 2005.

Fundamental Methods of Mathematical Economics. Edisi Ke-4. McGraw-Hill

Companies inc. New York.

Farlow SJ. 1994. An Introduction to

Differential Equation and Their Application. Mc Graw-Hill, New York.

Kreyszig E. 1993. Matematika Teknik

Lanjutan. Terjemahan Bambang Sumantri.

Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.

Kunarjo. 2003. Ekonomi, Keuangan, dan

Pembangunan. Jakarta: Universitas

Indonesia (UI-Pres).

Mankiw NG. 2003. Teori Makroekonomi.

Edisi Kelima. I Nurmawan, Penerjemah;

CW Kristiaji, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Macroeconomics 5th Edition.

Nicholson W. 1991. Teori Mikroekonomi.

Binarupa Aksara, Jakarta.

Purcell EJ and Varberg D. 1999. Kalkulus

dan Geometri Analisis. Edisi Ke-5.

Terjemahan I Nyoman Susila dan Kawan-kawan. Erlangga, Jakarta.

Stewart J. 1998. Kalkulus Jilid 1. Edisi Ke-4.

IN Susila da H Gunawan, penerjemah; N Mahanani dan W Hardani, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus, Fourth Edition.

Sukirno S. 2004. Makroekonomi Teori

Pengantar. PT Raja Grafindo Persada,

Jakarta.

Tu PNV. 1994. Dynamical System. An

Introduction with Application in Economics and Biology. Second Revised

and Enlarged Edition. Springer Verlag, Berlin.

Zhang WB. 2005. Differential Equations,

Bifurcation, and Chaos in Economics.

World Scientific Publishing, Singapore.

Zhang WB. 2006. Discrete Dynamical

Systems, Bifurcation and Chaos in Economics. Elsevier, Amsterdam.

(23)

13

(24)

14

Lampiran 1 Mendapatkan persamaan (3.1.6)

Fungsi Utilitas pada kasus CIES (Constant Intertemporal Elasticity of Substitution) adalah 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .

Turunan persamaan utilitas tersebut terhadap : 1 1 1 1 1 1 1

Turunan terhadap masing-masing (i) dan (ii)

(i)

(ii)

1 1 1 1 1 1 Jadi, 1 1 1 1 .

Agar utilitas maksimum maka 0, sehingga

1 1 0……….. (3.1.6) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(25)

15

Turunan pertama fungsi utilitas terhadap dapat ditulis kembali sebagai berikut:

1 1

Solusi persamaan tersebut adalah 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ₁ 1 1 1 ⁄ 1 1 1 ⁄ 1 1 ⁄ 1 ⁄ 1 ⁄ ₁ 1 ⁄ 1 1 ⁄ ₁ · 1 1 1 ⁄ ₁ ₁ 1 ₁ 1 _⁄ Jadi solusinya,

,

……… (3.1.7) dengan

1

/ _/

1

.

(26)

16

Fungsi produk marjinal diperoleh dari keuntungan optimal: Misal keuntungan = b

Keuntungan adalah nilai penerimaan total perusahaan dikurangi biaya total yang dikeluarkan perusahaan, maka

penerimaan total-biaya produksi

dengan jumlah output yang dihasilkan, unit, dan harga tiap unit yaitu satu satuan harga, 1. Terdapat depresiasi terhadap modal, , dan pengaruh tingkat suku bunga/imbal hasil, . Sehingga,

1

Keuntungan akan maksimum jika 0 sehingga 0

………... (3.2.1) Pada saat Break even point (BEP) yaitu titik dimana jumlah biaya sama dengan pendapatan maka keuntungannya nol, sehingga didapatkan persamaan dari upah riil yaitu :

0

1 0 , substitusikan suku bunga/imbal hasil maka

1 0

………. (3.2.1)

Lampiran 4 Mendapatkan kondisi marjinal dalam intensitas modal menggunakan fungsi produksi Cobb-Douglas dengan pengaruh teknologi

Dari persamaan (3.2.1) persamaan tingkat suku bunga riil dan upah tenaga kerja,yaitu • Tingkat suku bunga riil • Upah tenaga kerja

(27)

17

Pertumbuhan populasi pada tingkat : 1

1 1

Fungsi produksi yang digunakan adalah fungsi Cobb-Douglas teknologi sebagai berikut:

, , 1, , 0.

Fungsi utilitas Cobb-Douglas sebagai berikut:

, 1, , 0.

Sedangkan batasan anggarannya adalah . Menetapkan ekspresi lagrangian :

0….. (1)

0….. (2) 0……. (3) Menentukan solusi dan dalam bentuk persamaan : Persamaan (1) dan (2) :

Bagi persamaan diatas :

1 atau 1

……. (4)

Persamaan (4) disubsitusi ke persamaan (3) : 0

0

Karena 1 maka

(28)

18

Sehingga

.

Kepuasan optimal konsumen:

, .

Diketahui:

Pendapatan konsumen .

Batasan anggaran diberikan oleh . .

Sehingga pendapatan yang sudah siap dibelanjakan (gross disposable income) dirumuskan sebagai berikut:

1

Dinamika dalam bentuk persamaan per kapita dengan dan ,

akumulasi modal , diperoleh .

Bagi persamaan dengan

Substitusi 1

ke dalam persamaan tersebut, sehingga

1 1

(29)

19

Lampiran 6 Mendapatkan solusi positif dari persamaan (3.2.2)

Kondisi mapan adalah .

Maka dari persamaan (3.2.2) menghasilkan

1 .

Solusi dari kondisi mapan tersebut adalah

1

Itu langsung menunjukkan

. 1

Lampiran 7 Solusi persamaan (3.2.3)

Berdasarkan persamaan (3.1.2) ,

1 .

Diketahui :

Penanaman modal bersih keseluruhan = Pendapatan total – Konsumsi total

1 1

(30)

20

Diketahui : Tabungan orang semasa muda sama dengan modal untuk periode berikutnya

Dengan dan , maka

Substitusi pada persamaan (3.1.9) ke dalam persamaan di atas, menjadi

1 , (3.2.5)

Jika 1 dan menyertakan kondisi tetap pada pengembalian modal, persamaan (3.2.5) menjadi

Diketahui : Fungsi produksi Cobb-Douglas teknologi, , 1 Substitusi fungsi produksi tersebut ke dalam persamaan (3.2.6)

Lampiran 10 Mendapatkan solusi positif dari persamaan (3.2.7)

Kondisi mapan adalah .

Maka dari persamaan (3.2.7) menghasilkan

1 2 1

Solusi dari kondisi mapan tersebut adalah

1 2 1

(31)

21

Itu langsung menunjukkan

. 1

(32)

22

Lampiran 11 Simulasi untuk menentukan titik tetap pendapatan per kapita dengan fungsi produksi Cobb-Douglas dan fungsi utilitas overlapping-generation dengan menggunakan software Maple 12 (Gambar 7)

(33)

23

Lampiran 12 Simulasi untuk menampilkan pertumbuhan modal per kapita dengan model overlapping-generation dengan menggunakan software Mathematica 7 (Gambar 9)

RecurrenceTable[{k[t+1]==((1-0.2)2k[t]^0.2)/((2+1)(1+0.5)),k[0]==0.142857},k,{t,1,20}]; ListPlot[%,PlotRange->All,Frame->True,FrameLabel-> {t,k (t)}]

Lampiran 13 Simulasi untuk menampilkan pergerakan elastisitas produksi pada modal per kapita terhadap dengan menggunakan software Mathematica 7 (Gambar 10)

α_ : _. /

Plot , , 0,1 , Frame True, FrameLabel "α", "k "

0 5 10 15 20 0.240 0.245 0.250 0.255 0.260 0.265 0.270 0.275 t k t 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 a k *

(34)

24

Lampiran 14 Simulasi untuk menampilkan pergerakan tingkat pertumbuhan populasi terhadap dengan menggunakan software Mathematica 7 (Gambar 11)

n_ : . / .

Plot , , 0,1 , Frame True, FrameLabel "n", "k "

Lampiran 15 Simulasi untuk menampilkan pergerakan perkembangan teknologi terhadap dengan menggunakan software Mathematica 7 (Gambar 12)

A_ : _. . / .

Plot , , 0,2 , Frame True, FrameLabel "A", "k "

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 n k * 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 A k *