3. PEWAR_AA_ GRAF 3. PEWAR_AA_ GRAF
Dalam sebuah teori graf, metode pewarnaan graf Dalam sebuah teori graf, metode pewarnaan graf merupakan sebuah kasus khusus untuk pelabelan merupakan sebuah kasus khusus untuk pelabelan sebuah graf. Pewarnaan graf merupakan penambahan sebuah graf. Pewarnaan graf merupakan penambahan warna pada elemen sebuah graf itu sendiri.
warna pada elemen sebuah graf itu sendiri. 3.1. Pengertian
3.1. Pengertian
Pewarnaan graf adalah metode pewarnaan elemen Pewarnaan graf adalah metode pewarnaan elemen sebuah graf yang terdiri dari pewarnaan
sebuah graf yang terdiri dari pewarnaanvertexvertex (simpul), sisi (
(simpul), sisi (edgeedge), dan wilayah (), dan wilayah (regionregion).). 3.2. Pewarnaan Simpul
3.2. Pewarnaan Simpul
Dalam menggunakan spesifikasi yang lain, pewarnaan Dalam menggunakan spesifikasi yang lain, pewarnaan
sebuah graf sering disebut dengan pewarnaan dari simpul graf itu sendiri. Pewarnaan simpul pada graf sebuah graf sering disebut dengan pewarnaan dari simpul graf itu sendiri. Pewarnaan simpul pada graf adalah memberi warna pada simpul-simpul suatu graf
adalah memberi warna pada simpul-simpul suatu graf sedemikian sehingga tidak ada dua simpul bertetangga sedemikian sehingga tidak ada dua simpul bertetangga yang memiliki warna yang sama [1]. Kita dapat yang memiliki warna yang sama [1]. Kita dapat memberikan sembarang warna pada simpul-simpul memberikan sembarang warna pada simpul-simpul asalkan berbeda dengan simpul-simpul tetangganya. asalkan berbeda dengan simpul-simpul tetangganya. Terminologi dalam menggunakan warna untuk label Terminologi dalam menggunakan warna untuk label vertex
vertexkembali kepada pemetaan warna. Label warnakembali kepada pemetaan warna. Label warna seperti merah dan biru hanya dipakai ketika angka dari seperti merah dan biru hanya dipakai ketika angka dari warna-warna itu kecil dan normalnya, diketahui warna-warna itu kecil dan normalnya, diketahui
bahwa label-label tersebut digambar dari integerinterger bahwa label-label tersebut digambar dari integerinterger
{1, 2, 3, …}. {1, 2, 3, …}.
Sebuah pewarnaan yang menggunakan beberapa nbuah Sebuah pewarnaan yang menggunakan beberapa nbuah warna biasanya disebut dengan
warna biasanya disebut dengann-coloring n-coloring .. Ukuran terkecil banyaknya warna yang dapat Ukuran terkecil banyaknya warna yang dapat diberikan kepada sebuah graf G dinamakan dengan diberikan kepada sebuah graf G dinamakan dengan bilangan kromatik, yang dilambangkan dengan χ(G). bilangan kromatik, yang dilambangkan dengan χ(G).
Beberapa graf tertentu dapat langsung diketahui Beberapa graf tertentu dapat langsung diketahui jumlah bilangan kromatiknya. Graf kosong N jumlah bilangan kromatiknya. Graf kosong Nnn
memiliki χ(G) sebanyak 1 karena semua simpul tidak memiliki χ(G) sebanyak 1 karena semua simpul tidak terhubung. Karena jumlah χ(G)-nya adalah 1, maka terhubung. Karena jumlah χ(G)-nya adalah 1, maka untuk mewarnai semua simpulny cukup dengan satu untuk mewarnai semua simpulny cukup dengan satu warna saja. Graf lengkap K
warna saja. Graf lengkap K nnmemiliki χ(G)= n karenamemiliki χ(G)= n karena
semua simpul saling terhubung satu sama lain. Graf semua simpul saling terhubung satu sama lain. Graf lingkaran dengan n ganjil memiliki χ(G)=3, sedangkan lingkaran dengan n ganjil memiliki χ(G)=3, sedangkan jika n genap maka χ(G)= 2. Sembarang pohon T jika n genap maka χ(G)= 2. Sembarang pohon T
memiliki χ(T)=2 memiliki χ(T)=2 3.3. Pewarnaan Sisi 3.3. Pewarnaan Sisi
Pewarnaan sebuah sisi graf, pewarnaan sisi-sisinya Pewarnaan sebuah sisi graf, pewarnaan sisi-sisinya secara tepat berarti cara pemberian warna pada garis secara tepat berarti cara pemberian warna pada garis sedemikian rupa sehingga setiap garis yang
sedemikian rupa sehingga setiap garis yang
bertumpuan pada titik yang sama diberi warna yang bertumpuan pada titik yang sama diberi warna yang berbeda. Pewarnaan sisi dengan warna-warna (sebut berbeda. Pewarnaan sisi dengan warna-warna (sebut saja dengan variabel k) dinamakan sebagai pewarnaan saja dengan variabel k) dinamakan sebagai pewarnaan sisi k. Dan ekuivalen dengan persoalan membagi sisi sisi k. Dan ekuivalen dengan persoalan membagi sisi dengan warna-warna tertentu pada himpunan sisi dengan warna-warna tertentu pada himpunan sisi dengan warna tertentu. Angka terkecil dari warnawarna dengan warna tertentu. Angka terkecil dari warnawarna yang dibutuhkan untuk pewarnaan sisi graf G
yang dibutuhkan untuk pewarnaan sisi graf G
disebut sebagai indeks kromatik atau angka kromatik disebut sebagai indeks kromatik atau angka kromatik sisi, χ’(G). Pewarnaan
sisi, χ’(G). Pewarnaantait tait adalah sebuah pewarnaanadalah sebuah pewarnaan tiga sisi dari sebuah graf kubus. Teori empat warna tiga sisi dari sebuah graf kubus. Teori empat warna (teori yang berawal dari penyataan mengenai: (teori yang berawal dari penyataan mengenai: “Dapatkah sembarang graf planar diwarnai hanya “Dapatkah sembarang graf planar diwarnai hanya dengan empat warna saja?”) ekuivalen dengan bahwa dengan empat warna saja?”) ekuivalen dengan bahwa tiap graf planar kubus tanpa jembatan (sisi)
tiap graf planar kubus tanpa jembatan (sisi) menunjukkan sebuah pewarnaan
menunjukkan sebuah pewarnaantait tait [2].[2]. 3.4. Pewarnaan wilayah
3.4. Pewarnaan wilayah
Pewarnaan wilayah adalah pemberian warna pada Pewarnaan wilayah adalah pemberian warna pada setiap wilayah pada graf sehingga tidak ada wilayah setiap wilayah pada graf sehingga tidak ada wilayah bersebelahan yang memiliki warna yang sama. bersebelahan yang memiliki warna yang sama.
Pewarnaan wilayah ini diterapkan pada pewarnaan Pewarnaan wilayah ini diterapkan pada pewarnaan peta. Pada pewarnaan peta, diberikan warna yang peta. Pada pewarnaan peta, diberikan warna yang
berbeda pada setiap propinsi yang saling berbeda pada setiap propinsi yang saling bersebelahan. Dalam mengerjakan pewarnaan bersebelahan. Dalam mengerjakan pewarnaan
wilayah, kita dapat menggunakap prinsip pewarnaan wilayah, kita dapat menggunakap prinsip pewarnaan
simpul pada graf. Misalnya adalah masalah pewarnaan peta. Tiap simpul pada graf. Misalnya adalah masalah pewarnaan peta. Tiap wilayah pada peta dinyatakan sebagai simpul graf.
wilayah pada peta dinyatakan sebagai simpul graf. Sedangkan sisi menyatakan bahwa terdapat dua Sedangkan sisi menyatakan bahwa terdapat dua wilayah yang berbatasan langsung (disebut juga wilayah yang berbatasan langsung (disebut juga bertetangga). Oleh karena itu, graf yang terbentuk bertetangga). Oleh karena itu, graf yang terbentuk
merupakan graf planar. Graf planar ialah graf y merupakan graf planar. Graf planar ialah graf yangang dapat digambarkan pada bidang datar sedemikian dapat digambarkan pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi-sisinya yang saling
sehingga tidak ada sisi-sisinya yang saling
berpotongan [1]. Bilangan kromatik pada graf planar berpotongan [1]. Bilangan kromatik pada graf planar
tidak lebih dari empat. Sehingga dalam pewarnaan tidak lebih dari empat. Sehingga dalam pewarnaan sebuah peta, cukup hanya menggunkan empat warna sebuah peta, cukup hanya menggunkan empat warna saja. Warna yang digunakan dalam pewarnaan peta saja. Warna yang digunakan dalam pewarnaan peta adalah hijau, kuning, merah, dan biru.
adalah hijau, kuning, merah, dan biru.
4. ALGORITMA-ALGORITMA PEWAR_AA_ 4. ALGORITMA-ALGORITMA PEWAR_AA_ GRAF
GRAF
Dalam metode pewarnaan graf, terdapat beberapa Dalam metode pewarnaan graf, terdapat beberapa
algortma-algoritma yang telah diterapkan. Algoritmaalgoritma algortma-algoritma yang telah diterapkan. Algoritmaalgoritma ini telah banyak digunakan dalam
ini telah banyak digunakan dalam pengembangan berbagai macam
pengembangan berbagai macam software software penyusunan penyusunan jadwal. Karena banyaknya persoalan penyusunan jadwal. Karena banyaknya persoalan penyusunan jadwal yang kompleks, tidak memungkinkan untuk jadwal yang kompleks, tidak memungkinkan untuk melakukan pewarnaan graf secara manual. Semakin melakukan pewarnaan graf secara manual. Semakin banyak jumlah komponen-komponen yang harus banyak jumlah komponen-komponen yang harus diperhitungkan dalam penyusunan sebuah jadwal, diperhitungkan dalam penyusunan sebuah jadwal, maka semakin sulit penyusunan sebuah jadwal maka semakin sulit penyusunan sebuah jadwal tesebut. Berikut ini merupakan beberapa algoritma tesebut. Berikut ini merupakan beberapa algoritma yang dapat digunakan dalam metode pewarnaan graf. yang dapat digunakan dalam metode pewarnaan graf. 4.1. Algoritma Welch-Powell
4.1. Algoritma Welch-Powell
Algoritma Welch-Powell dapat digunakan untuk Algoritma Welch-Powell dapat digunakan untuk mewarnai sebuah graf G secara efisien. Algoritma mewarnai sebuah graf G secara efisien. Algoritma iniini tidak selalu memberikan jumlah warna minimum yang tidak selalu memberikan jumlah warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai G, namun algoritma ini diperlukan untuk mewarnai G, namun algoritma ini cukup praktis untuk digunakan dalam pewarnaan cukup praktis untuk digunakan dalam pewarnaan simpul sebuah graf. Algoritma Welch-Powell hanya simpul sebuah graf. Algoritma Welch-Powell hanya cocok digunakan untuk graf dengan orde yang kecil. cocok digunakan untuk graf dengan orde yang kecil. Oleh karena itu algoritma Welch-Powell hanya dapat Oleh karena itu algoritma Welch-Powell hanya dapat menentukan batas atas warna. Langkah-langkahnya menentukan batas atas warna. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
adalah sebagai berikut.
1. Urutkan semua simpul berdasarkan derajatnya, dari 1. Urutkan semua simpul berdasarkan derajatnya, dari derajar besar ke derajat kecil.
derajar besar ke derajat kecil.
2. Ambil warna pertama (misalnya merah), warnai 2. Ambil warna pertama (misalnya merah), warnai simpul pertama yang sudah diurutkan berdasarkan simpul pertama yang sudah diurutkan berdasarkan derajatnya tadi. Kemudian warnai simpul berikutnya derajatnya tadi. Kemudian warnai simpul berikutnya yang tidak berdampingan dengan simpul pertama tadi yang tidak berdampingan dengan simpul pertama tadi dengan warna yang masih sama (merah).
dengan warna yang masih sama (merah).
3. Kemudian dilanjutkan dengan warna kedua, dan 3. Kemudian dilanjutkan dengan warna kedua, dan seterusnya, sampai semua simpul telah diberi warna. seterusnya, sampai semua simpul telah diberi warna. 4.2. Algoritma Recursive Largest First
4.2. Algoritma Recursive Largest First Algoritma
Algoritma Recursive Largest First Recursive Largest First hampir miriphampir mirip prinsipnya dengan algoritma Welch-Powell. Langkah prinsipnya dengan algoritma Welch-Powell. Langkah
kerja dari algoritma
kerja dari algoritma Recursive Largest First Recursive Largest First adalahadalah sebagai berikut.
sebagai berikut.
1. Buat daftar semua simpul yang belum diwarnai 1. Buat daftar semua simpul yang belum diwarnai dengan derajat tetangga (jumlah simpul tetannga dengan derajat tetangga (jumlah simpul tetannga yang belum diwarnai) terurut secara
yang belum diwarnai) terurut secaradescending descending .. 2. Ambil simpul yang memiliki derajat tetangga 2. Ambil simpul yang memiliki derajat tetangga tertinggi dan warnai dengan sebuah warna. tertinggi dan warnai dengan sebuah warna. 3. Buang simpul yang telah diwarnai pada
3. Buang simpul yang telah diwarnai pada langkahlangkah sebelumnya dan semua simpul yang bertetangga sebelumnya dan semua simpul yang bertetangga tersebut dari daftar simpul.
4. Warnai semua simpul yang tersisa dengan warna 4. Warnai semua simpul yang tersisa dengan warna yang sama pada simpul tadi. Lalu ulangi langkahlangkah yang sama pada simpul tadi. Lalu ulangi langkahlangkah diatas hingga semua simpul pada graf
diatas hingga semua simpul pada graf telah terwarnai semua.
telah terwarnai semua.
4.3. Algoritma Backtracking 4.3. Algoritma Backtracking Algoritma
Algoritma Backtracking Backtracking merupakan bentuk algoritmamerupakan bentuk algoritma yang banyak dan sering digunakan dalam
yang banyak dan sering digunakan dalam
memecahkan permasalahan yang bersifat kombinasi. memecahkan permasalahan yang bersifat kombinasi. Algoritma ini dikenal juga dengan nama algoritma Algoritma ini dikenal juga dengan nama algoritma runut-balik. Cara kerja dari algortima
runut-balik. Cara kerja dari algortimabacktracking backtracking adalah mencoba satu demi satu kemungkinan cara adalah mencoba satu demi satu kemungkinan cara yang bisa dilakukan untuk memperoleh hasil yang yang bisa dilakukan untuk memperoleh hasil yang terbaik. memiliki keunggulan dalam kemampuannya terbaik. memiliki keunggulan dalam kemampuannya untuk memperoleh hasil kombinasi yang terbaik untuk memperoleh hasil kombinasi yang terbaik karena mencoba semua kemungkinan yang ada. Di sisi karena mencoba semua kemungkinan yang ada. Di sisi lain algoritma ini tidak efisien sebab proses
lain algoritma ini tidak efisien sebab proses pencarianpencarian membutuhkan waktu yang lama karena pengujian membutuhkan waktu yang lama karena pengujian dilakukan satu demi satu untuk semua kemungkinan. dilakukan satu demi satu untuk semua kemungkinan. Dalam langkah pewarnaan menggunaan algoritma ini, Dalam langkah pewarnaan menggunaan algoritma ini, graf yang ada diumpamakan sebagai graf dengan graf yang ada diumpamakan sebagai graf dengan bentuk pohon (pohon merupakan salah satu bentuk bentuk pohon (pohon merupakan salah satu bentuk
graf). Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut [3]. graf). Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut [3]. 1. Solusi dicari dengan membentuk lintasan dari 1. Solusi dicari dengan membentuk lintasan dari akar ke daun. Aturan pembentukan yang dipakai akar ke daun. Aturan pembentukan yang dipakai adalah mengikuti aturan pencarian mendalam adalah mengikuti aturan pencarian mendalam (DFS). Simpul-simpul yang sudah dilahirkan (DFS). Simpul-simpul yang sudah dilahirkan dinamakan
dinamakansimpul hidupsimpul hidup((live nodelive node). Simpul). Simpul hidup yang
hidup yang sedang sedang diperluas dinamakandiperluas dinamakansimpul- simpul-E
E(( Expand-node Expand-node).).
2. Tiap kali simpul-E diperluas, lintasan yang 2. Tiap kali simpul-E diperluas, lintasan yang dibangun olehnya bertambah panjang. Jika dibangun olehnya bertambah panjang. Jika lintasan yang sedang dibentuk tidak mengarah ke lintasan yang sedang dibentuk tidak mengarah ke solusi, maka simpul-E tersebut “dibunuh”
solusi, maka simpul-E tersebut “dibunuh” sehingga menjadi
sehingga menjadisimpul matisimpul mati((dead nodedead node).). Fungsi yang digunakan untuk membunuh Fungsi yang digunakan untuk membunuh simpul-E adalah dengan menerapkan
E adalah dengan menerapkanfungsi pembatasfungsi pembatas ((bounding functionbounding function). Simpul yang sudah mati). Simpul yang sudah mati tidak akan pernah diperluas lagi.
tidak akan pernah diperluas lagi.
3. Jika pembentukan lintasan berakhir dengan 3. Jika pembentukan lintasan berakhir dengan simpul mati, maka proses pencarian diteruskan simpul mati, maka proses pencarian diteruskan dengan membangkitkan simpul anak yang dengan membangkitkan simpul anak yang lainnya. Bila tidak ada lagi simpul
lainnya. Bila tidak ada lagi simpul anak yanganak yang dapat dibangkitkan, maka pencarian solusi dapat dibangkitkan, maka pencarian solusi
dilanjutkan dengan melakukan runut-balik ke simpul hidup terdekat
dilanjutkan dengan melakukan runut-balik ke simpul hidup terdekat (simpul orangtua).(simpul orangtua). Selanjutnya simpul ini menjadi simpul-E yang
Selanjutnya simpul ini menjadi simpul-E yang baru.
baru.
4. Pencarian dihentikan bila kita telah menemukan 4. Pencarian dihentikan bila kita telah menemukan solusi atau tidak ada lagi simpul hidup untuk solusi atau tidak ada lagi simpul hidup untuk runut-balik.
runut-balik.
Algoritma Welsh dan Powell Algoritma Welsh dan Powell
Algoritma ini memberikan cara mewarnai sebuah graph dengan memberi label titik-titiknya sesuai dengan Algoritma ini memberikan cara mewarnai sebuah graph dengan memberi label titik-titiknya sesuai dengan derajatnya.
derajatnya.
Langkah 1
Langkah 1 (melabel titik dengan derajatnya). Label titik V(melabel titik dengan derajatnya). Label titik V11, V, V22, ..., V, ..., Vnnsedemikian hingga derajat (Vsedemikian hingga derajat (V11) > derajat) > derajat (V
(V22) > ... > derajat (V) > ... > derajat (Vnn).).
Langkah
Langkah 22 (warnai titik belum berwarna pertama dari titik-titik belum berwarna yang berdekatan dengan titik (warnai titik belum berwarna pertama dari titik-titik belum berwarna yang berdekatan dengan titik
itu). Berikan warna yang belum digunakan pada titik belum berwarna yang pertama pada daftar titik itu. itu). Berikan warna yang belum digunakan pada titik belum berwarna yang pertama pada daftar titik itu. Lakukan hal itu pada semua titik dalam daftar secara terurut, berikan warna baru ini pada setiap titik yang tidak Lakukan hal itu pada semua titik dalam daftar secara terurut, berikan warna baru ini pada setiap titik yang tidak berdekatan dengan setiap titik lain ya
Langkah 3
Langkah 3(graphnya telah diwarnai?). Jika beberapa titiknya belum berwarna, maka kembalilah ke langkah 2.(graphnya telah diwarnai?). Jika beberapa titiknya belum berwarna, maka kembalilah ke langkah 2.
Langkah 4
Langkah 4 (selesai). Pewarnaan graph telah dilakukan.(selesai). Pewarnaan graph telah dilakukan.
1. Pewarnaan Peta 1. Pewarnaan Peta Contoh 1
Contoh 1
Warnai peta pada Gambar 6.14,
Warnai peta pada Gambar 6.14, kemudian tentukan bilangan khromatiknya.kemudian tentukan bilangan khromatiknya.
Jawab Jawab
Peta pada Gambar 6.14, dapat dilukiskan bentuk graphnya seperti pada Gambar 6.15 berikut ini. Peta pada Gambar 6.14, dapat dilukiskan bentuk graphnya seperti pada Gambar 6.15 berikut ini.
1. Pengurutan derajat titik 1. Pengurutan derajat titik Titik
Titik E E F F B B A A C C I I D D G G HH Derajat
Derajat titik titik 6 6 5 5 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 22 2. Pewarnaan titik
2. Pewarnaan titik
Pertama tandailah titik E dengan angka 1. Telusuri daftar titik tadi dan amati gambar graphnya, ternyata titik C Pertama tandailah titik E dengan angka 1. Telusuri daftar titik tadi dan amati gambar graphnya, ternyata titik C adalah titik pertama yang tidak berdekatan dengan E. Kembali ke daftar titik, tandai titik F dengan angka 2, dan adalah titik pertama yang tidak berdekatan dengan E. Kembali ke daftar titik, tandai titik F dengan angka 2, dan
juga titik A dan H, karena tidak berdeka
juga titik A dan H, karena tidak berdekatan dengan F. Penelusuran ketiga kalinya terhadatan dengan F. Penelusuran ketiga kalinya terhadap daftar titik akanp daftar titik akan menandai titik B dengan angka 3, lalu tandai pula titik I, D, dan G dengan angka 3. Dengan demikian bilangan menandai titik B dengan angka 3, lalu tandai pula titik I, D, dan G dengan angka 3. Dengan demikian bilangan khromatik graph tersebut adalah 3.
khromatik graph tersebut adalah 3. Langkah-langkah tersebut dirangkum dalam bentuk tabel berikut.Langkah-langkah tersebut dirangkum dalam bentuk tabel berikut. Setiap graph G memiliki sebuah subgraph dari derajat minimum sedikitnya X(G) ≤ ½ + m√2 + ¼. Setiap graph G memiliki sebuah subgraph dari derajat minimum sedikitnya X(G) ≤ ½ + m√2 + ¼.
8. J
8. Juruurusan san mamatemtematiatika ka di di suasuatu tu PerPergurguruan uan TinTinggi ggi X X akaakan n melmelaksaksanaanakan kan ujiujian an akhakhirir se
sememestster er yayang ng memelilibabatktkan an SeSembmbililan an mamata ta kukuliliahah. . TeTentntu u sasaja ja jijika ka adada a seseororanangg mahasiswa memprogramkan dua dari Sembilan mata kuliah tersebut, maka ujian dua mahasiswa memprogramkan dua dari Sembilan mata kuliah tersebut, maka ujian dua mata kuliah tersebut harus dijadwalkan pada slot waktu yang berbeda. Dalam table di mata kuliah tersebut harus dijadwalkan pada slot waktu yang berbeda. Dalam table di atas “tanda X” menunjukkan pasangan mata kuliah yang memiliki paling sedikit satu atas “tanda X” menunjukkan pasangan mata kuliah yang memiliki paling sedikit satu ma
mahashasiswiswa a yanyang g sasama. Buatlma. Buatlah jadwaah jadwal l ujiujian agar banyaan agar banyaknyknya a soasoal l wawaktu yangktu yang digunakan minimum. digunakan minimum. A B C D E F G H K A B C D E F G H K A - x - x -A - x - x - -- xx xx - -B B xx -- xx xx xx -- -- xx xx C - x -C - x - xx xx xx xx -- --D x x x - x x x - x D x x x - x x x - x E - x x x - x - x -E - x x x - x - x -F -F - -- xx xx xx -- xx xx xx G x - x x - x - x -G x - x x - x - x -H H xx xx -- -- xx xx xx -- --K - x - x - x - - -K - x - x - x - - -Penyelesaian: Penyelesaian: Penye
Penyelesalesaian ian masamasalah lah membuamembuat t jadwajadwal l ujian ini ujian ini sebesebenarnynarnya a ekuivaekuivalen len dengadengan n masamasalah lah mencamencari ri bilanbilangangan khromatik suatu graph. Yang perlu diingat adalah ujian dan bidang studi dapat dijadwalkan pada waktu yang khromatik suatu graph. Yang perlu diingat adalah ujian dan bidang studi dapat dijadwalkan pada waktu yang sama jika tidak ada siswa yang sama yang mengikuti ujian dua bidang studi itu.
sama jika tidak ada siswa yang sama yang mengikuti ujian dua bidang studi itu.
Penjadwalan ujian itu dapat digambarkan sebagai sebuah graph, dan setiap bidang studi ditunjukkan sebagai Penjadwalan ujian itu dapat digambarkan sebagai sebuah graph, dan setiap bidang studi ditunjukkan sebagai titiknya. Dua titik dihubungkan dengan sebuah garis jika ada siswa yang memiliki kedua bidang studi itu. titiknya. Dua titik dihubungkan dengan sebuah garis jika ada siswa yang memiliki kedua bidang studi itu.
Sehingga dapat ditafsirkan bahwa jika dua titik dihubungkan oleh garis maka ujian dua bidang studi itu tidak Sehingga dapat ditafsirkan bahwa jika dua titik dihubungkan oleh garis maka ujian dua bidang studi itu tidak dapat dilakukan bersamaan, karena akan ada siswa yang
dapat dilakukan bersamaan, karena akan ada siswa yang mendapat kesulitan.mendapat kesulitan. Kita gambar masalah graph di atas.
Kita gambar masalah graph di atas.
Gambar 1.1 Gambar 1.1
Untuk graph pada Gambar 1.1, titik D memiliki derajat terbesar, yaitu 7 sehingga D diberi label V
Untuk graph pada Gambar 1.1, titik D memiliki derajat terbesar, yaitu 7 sehingga D diberi label V11. Titik B dan. Titik B dan F berderajat 6 sehingga diberi label V
F berderajat 6 sehingga diberi label V22dan Vdan V33. Titik C, E G dan H . Titik C, E G dan H berderajat 5 sehingga diberi labeberderajat 5 sehingga diberi label l VV44, V, V55, V, V66 dan V
dan V7.7.Titik A bederajat 4 sehingga diberi label VTitik A bederajat 4 sehingga diberi label V88. Demikian pula titik K yang merupakan satu-satunya titik . Demikian pula titik K yang merupakan satu-satunya titik yang tersisa, diberi label V
yang tersisa, diberi label V99. Hal ini diperlihatkan pada Gambar 1.2.. Hal ini diperlihatkan pada Gambar 1.2.
Gambar 1.2 Gambar 1.2
Penyajian dalam bentuk daftar berdekatan sangat mudah digunakan dengan algoritma Welsh dan Powell ini. Penyajian dalam bentuk daftar berdekatan sangat mudah digunakan dengan algoritma Welsh dan Powell ini. Untuk graph pada Gambar 1.2,
Untuk graph pada Gambar 1.2, penyajian daftar berdekatannya adalah sebagai berikut.penyajian daftar berdekatannya adalah sebagai berikut. V V11: V: V22, V, V33, V, V44, V, V55, V, V66, V, V88, V, V99 V V22: V: V11, V, V44, V, V55, V, V77, V, V88,V,V99 V V33: V: V11, V, V44, V, V55, V, V66, V, V77,V,V99 V V44: V: V11, V, V22, V, V33, V, V55, V, V66 V V55: V: V11, V, V22, V, V33, V, V44, V, V77
V V66: V: V11, V, V33, V, V44, V, V55, V, V77,V,V88 V V77: V: V22, V, V33, V, V55, V, V66, V, V88 V V88: V: V11, V, V22, V, V66, V, V77 V V99: V: V11, V, V22, V, V33
Pada Algoritma Welsh dan Powell ini, titik belum berwarna pertama dalam daftar adalah V
Pada Algoritma Welsh dan Powell ini, titik belum berwarna pertama dalam daftar adalah V11yang diberi warnayang diberi warna merah. Kemudian dicari titik berikut yang tidak berdekatan dengan V
merah. Kemudian dicari titik berikut yang tidak berdekatan dengan V11 pada daftar, yaitu pada daftar, yaitu titik di titik di bawah Vbawah V11yangyang tidak mengikuti V
tidak mengikuti V11. Diperoleh titik V. Diperoleh titik V77, yang diberi juga warna merah. Dilanjutkan dengan melihat bagian bahwa, yang diberi juga warna merah. Dilanjutkan dengan melihat bagian bahwa daftar untuk mencari titik berikutnya yang tidak berdekatan dengan V
daftar untuk mencari titik berikutnya yang tidak berdekatan dengan V11maupun Vmaupun V77. Karena titik seperti itu tidak . Karena titik seperti itu tidak ada, maka kembali dilihat bagian atas daftar dan ditentukan lagi titik belum berwarna yang pertama, yaitu V ada, maka kembali dilihat bagian atas daftar dan ditentukan lagi titik belum berwarna yang pertama, yaitu V22,, yang diberi warna biru. Kemudian, titik belum berwarna berikutnya ditentukan yang tidak berdekatan dengan yang diberi warna biru. Kemudian, titik belum berwarna berikutnya ditentukan yang tidak berdekatan dengan V
V22. Diperoleh titik V. Diperoleh titik V33dan diberi warna biru. Dilanjutdan diberi warna biru. Dilanjutkan dengan melihat bagian bahwa kan dengan melihat bagian bahwa daftadaftar r untuk mencaruntuk mencarii titik berikutnya yang tidak berdekatan dengan V
titik berikutnya yang tidak berdekatan dengan V22maupun Vmaupun V33. Karena titik seperti itu tidak ada, maka kembali. Karena titik seperti itu tidak ada, maka kembali dilihat bagian atas daftar dilihat kembali dan ditentukan titik belum berwarna berikutnya, yaitu V
dilihat bagian atas daftar dilihat kembali dan ditentukan titik belum berwarna berikutnya, yaitu V44, yang diberi, yang diberi warna hijau. Karena V
warna hijau. Karena V88 belum belum diwarnai diwarnai dan dan tidak tidak berdekatan berdekatan dengan dengan VV44, yang diberi warna hijau. Kemudian, yang diberi warna hijau. Kemudian lanjutkan dengan melihat bagian bahwa daftar untuk mencari titik berikutnya yang tidak berdekatan dengan V lanjutkan dengan melihat bagian bahwa daftar untuk mencari titik berikutnya yang tidak berdekatan dengan V44 maupun V
maupun V88. Diperoleh titik V. Diperoleh titik V99dan diberi warna hijau. Lanjutkan dengan melihat bagian bahwa daftar untuk dan diberi warna hijau. Lanjutkan dengan melihat bagian bahwa daftar untuk mencari titik berikutnya yang tidak berdekatan dengan V
mencari titik berikutnya yang tidak berdekatan dengan V44,V,V88 maupun Vmaupun V99. Karena titik seperti itu tidak ada,. Karena titik seperti itu tidak ada, maka kembali dilihat bagian atas daftar dilihat kembali dan ditentukan titik belum berwarna berikutnya, yaitu maka kembali dilihat bagian atas daftar dilihat kembali dan ditentukan titik belum berwarna berikutnya, yaitu V
V55, yang diberi warna kuning. . Diperoleh titik V, yang diberi warna kuning. . Diperoleh titik V66dan diberi warna kuning. Karena telah diwarnai semua titik dan diberi warna kuning. Karena telah diwarnai semua titik yang ada, dengan demikian maka graph
yang ada, dengan demikian maka graph pada Gambar 1.1 dapat diwarnai maksimal pada Gambar 1.1 dapat diwarnai maksimal dengan empat warna.dengan empat warna.
Ujian mata kuliah A, C, dan K dapat dilaksanakan bersamaan, ujian mata kuliah E dan G dapat dilakukan Ujian mata kuliah A, C, dan K dapat dilaksanakan bersamaan, ujian mata kuliah E dan G dapat dilakukan bersamaan,
bersamaan, ujian ujian mata mata kuliah kuliah D D dan dan H H juga juga dapat dapat dilakukan dilakukan bersamaan bersamaan dan dan ujian ujian mata mata kuliah kuliah B B dan dan F F dapatdapat dilakukan bersamaan, tetapi dilakukan pada waktu yang
dilakukan bersamaan, tetapi dilakukan pada waktu yang berbeda untuk setiap kelompok ujian mata berbeda untuk setiap kelompok ujian mata kuliah.kuliah. 9.
9. BuatlBuatlah beberapa pewarah beberapa pewarnaan-sinaan-sisi-7 pada graph si-7 pada graph biparbipartisi komplit K tisi komplit K 7,77,7 kemudian buatlah beberapa bujur kemudian buatlah beberapa bujur sangkar latin yang bersesuaian dengan pewarnaan yang dibuat.
sangkar latin yang bersesuaian dengan pewarnaan yang dibuat. Penyelesaian:
Penyelesaian:
Pewarnaan-sisi-7 pada graph bipartisi komplit K
Bujur sangkar latin 7 x 7 dari pewarnaan-sisi-7 pada graph bipartisi komplit K
Bujur sangkar latin 7 x 7 dari pewarnaan-sisi-7 pada graph bipartisi komplit K 7,77,7di atas:di atas: B
Biirruu MMeerraahh HHiittaamm PPiinnkk UUnngguu HHiijjaauu KKuunniinngg M
Meerraahh HHiittaamm PPiinnkk UUnngguu HHiijjaauu KKuunniinngg BBiirruu H
Hiittaamm PPiinnkk UUnngguu HHiijjaauu KKuunniinngg BBiirruu MMeerraahh PPiinnkk UUnngguu HHiijjaauu KKuunniinngg BBiirruu MMeerraahh HHiittaamm U
Unngguu HHiijjaauu KKuunniinngg BBiirruu MMeerraahh HHiittaamm PPiinnk k H
Hiijjaauu KKuunniinngg BBiirruu MMeerraahh HHiittaamm PPiinnkk UUnngguu K
Kuunniinngg BBiirruu MMeerraahh HHiittaamm PPiinnkk UUnngguu HHiijjaauu Pewarnaan-sisi-7 pada graph bipartisi komplit K
Pewarnaan-sisi-7 pada graph bipartisi komplit K 7,77,7adalah sebagai berikut:adalah sebagai berikut:
Bujur sangkar latin 7 x 7 dari pewarnaan-sisi-7 pada graph bipartisi komplit K
Bujur sangkar latin 7 x 7 dari pewarnaan-sisi-7 pada graph bipartisi komplit K 7,77,7di atas:di atas:
PPiinnkk MMeerraahh HHiijjaauu HHiittaamm UUnngguu BBiirruu KKuunniinngg M
Meerraahh HHiittaamm PPiinnkk BBiirruu HHiijjaauu KKuunniinngg UUnngguu H
Hiijjaauu PPiinnkk UUnngguu MMeerraahh KKuunniinngg HHiittaamm BBiirruu H
Hiittaamm BBiirruu MMeerraahh KKuunniinngg PPiinnkk UUnngguu HHiijjaauu U
Unngguu HHiijjaauu KKuunniinngg PPiinnkk BBiirruu MMeerraahh HHiittaamm B
Biirruu KKuunniinngg HHiittaamm UUnngguu MMeerraahh HHiijjaauu PPiinnk k K
Bujur sangkar latin 7 x 7 dari pewarnaan-sisi-7 pada graph bipartisi komplit K
Bujur sangkar latin 7 x 7 dari pewarnaan-sisi-7 pada graph bipartisi komplit K 7,77,7di atas:di atas: H
Hiijjaauu BBiirruu MMeerraah h HHiittaam m KKuunniinngg UUnngguu PPiinnk k PPiinnkk HHiittaamm KKuunniinngg HHiijjaauu BBiirruu MMeerraahh UUnngguu U
Unngguu HHiijjaauu BBiirruu MMeerraahh HHiittaamm PPiinnkk KKuunniinngg H
Hiittaamm UUnngguu PPiinnkk BBiirruu MMeerraahh KKuunniinngg HHiijjaauu M
Meerraahh PPiinnkk UUnngguu KKuunniinngg HHiijjaauu BBiirruu HHiittaamm K
Kuunniinngg MMeerraahh HHiijjaauu PPiinnkk UUnngguu HHiittaamm BBiirruu B
