ANALISI GRAF DALAM MENENTUKAN GRAFPERFECT
ROIMAN LUMBANRAJA 4103230031
ABSTRAK
Salah satu aplikasi dari bilangancliquedan bilangan khromatik suatu graf adalah pada graf perfect. Graf perfect adalah suatu graf yang memiliki bilangan clique dan bilangan khromatik yang sama. Bilangan clique ω(G) didefinisikan sebagai order maksimum dari subgraf komplit pada graf G. Bilangan Kromatikχ(G) adalah banyaknya warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai titik-titik pada graf G sedemikian sehingga setiap titik-titik yang terhubung langsung mendapatkan warna yang berbeda.
Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis suatu graf yang memuat sirkuit Euler atau sirkuit Hamilton merupakan grafperfect atau bukan. Sirkuit Euler adalah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali dan sirkuit Hamilton adalah sirkuit yang melalui tiap titik di dalam graf tepat satu kali.
Berdasarkan pembahasan dalam skripsi ini diperoleh bahwa graf yang memuat sirkuit Euler adalah graf perfect sedangkan graf yang memuat sirkuit Hamilton bukan merupakan grafperfect.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Pengesahan i
Riwayat Hidup ii
Abstrak iii
Kata Pengantar iv
Daftar Isi vi
Daftar Gambar viii
Daftar Tabel ix
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah 1
1.2. Rumusan Masalah 3
1.3. Batasan masalah 3
1.4. Tujuan Penelitian 3
1.5. Manfaat Penelitian 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Graf 4
2.2. Jenis-jenis Graf 4
2.3. Terminologi Dasar 6
2.3.1. Bertetangga (Adjacent) dan Bersisian (Incident) 6
2.3.2. Derajat 7
2.3.3. Path dan Sirkuit 9
2.3.4. Graf Terhubung (Connected Graph) 10
2.4. Graf Komplit 10
2.5. Subgraf 11
2.6. Cilque 13
2.7. Sirkuit Euler 14
2.8. Sirkuit Hamilton 16
2.9. Pewarnaan Graf 17
2.9.2. Pewarnaan Sisi 18
2.9.3. Pewarnaan Wilayah (Map) 19
2.10. Graf Perfect 20
BAB III METODE PENELITIAN
3.1. Waktu dan Tempat Penelitian 22
3.2. Jenis Penelitian 22
3.3. Prosedur Penelitian 22
BAB IV PEMBAHASAN
4.1. Analisis Sirkuit Euler 24
4.1.1 Sirkuit Euler Sederhana 24
4.1.2 Sirkuit Euler Maksimum dengan Jumlah Titik Ganjil 33
4.1.3 Sirkuit Euler Maksimum dengan Titik Genap 42
4.2. Analisis Sirkuit Hamilton 50
4.2.1 Sirkuit Hamilton Sederhana 50
4.2.2 Sirkuit Hamilton pada Graf Dodecahedron 56
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 60
5.2 Saran 60
ix
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1 Sirkuit Euler sederhana dengan bilanganclique( ( )) 33 dan bilangan kromatik ( ( ))
Tabel 4.2 Sirkuit Euler maksimum dengan jumlah titik ganjil beserta 41 bilanganclique( ( )) dan bilangan kromatik ( ( ))
Tabel 4.3 Sirkuit Euler maksimum dengan jumlah titik genap beserta 48 bilanganclique( ( )) dan bilangan kromatik ( ( ))
Tabel 4.4 Sirkuit Hamilton sederhana dengan bilanganclique( ( )) 57 dan bilangan kromatik ( ( ))
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Titik dan sisi pada graf 4
Gambar 2.2 (a) Graf ganda, (b) Graf semu 5
Gambar 2.3 Graf berarah 6
Gambar 2.4 Titik dan sisi yang adjacentdanincident 7
Gambar 2.5 Derajat suatu graf 7
Gambar 2.6 Path pada graf 9
Gambar 2.7 (a) Graf terhubung, (b) Graf tak-terhubung 10
Gambar 2.8 Graf komplit 11
Gambar 2.9 Graf dengan subgrafnya dan bukan subgrafnya 12
Gambar 2.10 Penghapusan tiik dan sisi pada graf 13
Gambar 2.11 Graf dan subgraf komplitnya 13
Gambar 2.12 Graf yang mempunyai sirkuit Euler 15
Gambar 2.13 (a) graf yang memiliki lintasan Hamilton 16
(b) graf yang memiliki sirkuit Hamilton
(c) graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton
Gambar 2.14 Graf daridodecahedron 16
Gambar 2.15 Pewarnaan titik pada graf 18
Gambar 2.16 Pewarnaan sisi pada graf 19
1
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Semakin berkembangnya zaman, semakin banyak
permasalahan-permasalahan yang dihadapi manusia. Permasalahan-permasalahan tersebut
menyangkut berbagai aspek, dimana dalam penyelesaiannya diperlukan sebuah
pemahaman melalui suatu metode dan ilmu bantu tertentu. Salah satunya adalah
ilmu matematika. Matematika merupakan alat untuk menyederhanakan penyajian
dan pemahaman masalah. Dalam bahasan matematika, suatu masalah dapat
menjadi lebih sederhana untuk disajikan, dipahami, dianalisis, dan dipecahkan.
Untuk keperluan tersebut, pertama dicari pokok masalahnya, kemudian dibuat
rumusan atau model matematikanya.
Salah satu cabang ilmu matematika yang bermanfaat dalam kehidupan
sehari-hari dan menarik untuk dipelajari adalah teori graf. Teori graf merupakan
pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai
saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskrit dan
hubungan antara obyek-obyek tersebut. Representasi visual dari graf adalah
dengan menyatakan obyek dinyatakan sebagai noktah, bulatan, atau titik,
sedangkan hubungan antara obyek dinyatakan dengan sisi. Sebagai contoh adalah
sebuah peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota.
Sesungguhnya peta tersebut adalah sebuah graf, yang dalam hal ini kota
dinyatakan sebagai titik sedangkan jalan dinyatakan sebagai sisi.
Seiring dengan perkembangan teori tentang graf, jenis-jenis graf pun
semakin banyak. Dimulai dari graf sederhana, graf ganda dan hingga
ditemukannya graf komplit. Bahkan masih banyak lagi graf yang lain seperti
sirkuit Euler, sirkuit Hamilton, pohon dan lain-lain. Dari sekian banyaknya graf,
penulis tertarik untuk meneliti/menganalisis apakah graf tersebut termasuk graf
perfectatau bukan.
Graf perfect adalah graf yang memiliki bilangan clique dan bilangan
kromatik yang sama. Bilangan clique didefinisikan sebagai order maksimum dari
subgraf komplit pada grafG.Sedangkan bilangan kromatik didefinisikan sebagai
banyaknya warna terkecil yang diberikan pada titik-titik di graf G sedemikian
hingga untuk setiap dua titik yang terhubung langsung mendapatkan warna yang
berbeda.
Clique adalah sebuah subgraf komplit yang diperoleh dari suatu graf.
Setiap titik tersebut saling terhubung satu sama lain dengan titik lainnya.
Beberapa penerapan cliquemeliputi solusi permasalahan struktur molekul DNA,
pemrosesan citra dalam pengaturan jarak jauh, penyocokan titik koordinat dalam
sistem informasi, permasalahan partisi data dalam kepingan memori dan
lain-lainnya.
Pewarnaan graf adalah suatu pemberian warna pada salah satu
elemen-elemennya (titik, sisi dan wilayah), sehingga elemen-elemen yang saling
terhubung langsung mendapatkan warna yang berbeda. Pewarnaan graf telah
banyak diterapkan dalam berbagai bidang antara lain permasalahan traffict light,
masalah penjadwalan, masalah permainan catur dan lain-lain. Ada tiga macam
persoalan pewarnaan graf (graph colouring), yaitu pewarnaan titik (vertex),
pewarnaan sisi (edge), dan pewarnaan wilayah (region). Namun , berkaitan
dengan masalah dalam penelitian ini akan dibahas tentang pewarnaan titik.
Pewarnaan titik pada graf adalah memberi warna pada titik-titik suatu graf
sedemikian sehingga tidak ada dua titik bertetangga yang memiliki warna yang
sama.
Pada artikel Nurul Imamah telah dibahas tentang analis tentang graf
perfect, dimana dalam artikel ini diperoleh bahwa graf kosong, graf komplit, graf
bipartit komplit, graf sikel genap dan graf lintasan adalah graf perfect. Namun,
Nurul Imamah belum mengkaji apakah sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton
merupakan graf perfect atau bukan.
Dari hal di atas peneliti tertarik untuk menerapkanclique dan pewarnaan
graf dalam menentukan graf perfect, yaitu dengan mencari bilangan clique dan
3
Kajian tentang grafperfect saat ini masih belum begitu banyak dikenal
oleh orang. Berdasarkan hal tersebut, maka penulis mengambil judul skripsi,
yaitu:“Analisis Graf dalam Menentukan Graf Perfect”
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas dapat ditarik rumusan
permasalahan yang akan dibahas, yaitu bagaimana menentukan suatu graf yang
memuat sirkuit Euler atau sirkuit Hamilton merupakan grafperfectatau bukan.
1.3 Batasan Masalah
Untuk tetap menjaga kedalaman pembahasan materi, penulisan tugas
akhir ini dibatasi pada obyek kajian sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton. Dalam
teori graf, istilah yang dipakai bermacam-macam. Namun istilah-istilah yang
digunakan penulis adalah:
1. Titik
2. Sisi
1.4 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis suatu graf yang
memuat sirkuit Euler atau sirkuit Hamilton merupakan grafperfectatau bukan.
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian ini, yaitu:
1. Bagi Penulis
- Menambah wawasan dan ilmu pengetahuan tentang teori graf
perfect.
2. Bagi Jurusan Matematika
KESIMPULAN DAN SARAN
1.1 Kesimpulan
Graf perfect adalah suatu graf yang memiliki bilangan clique dan
bilangan khromatik yang sama untuk setiap graf . Bilanganclique dinotasikan
dengan ( )didefinisikan sebagai order dari subgraf komplit maximum dari graf
. Bilangan khromatik suatu graf dinotasikan dengan ( )didefinisikan
sebagai banyaknya warna minimal yang diperlukan untuk mewarnai titik-titik
pada graf , sedemikian sehingga setiap titik-titik yang terhubung langsung
mendapatkan warna yang berbeda.
Berdasarkan pembahasan dalam skripsi ini diperoleh bahwa graf yang memuat
sirkuit Euler adalah grafperfect karena bilangancliquedan bilangan kromatiknya
sama, sedangkan graf yang memuat sirkuit Hamilton bukan merupakan graf
perfectkarena bilanganclique dan bilangan kromatiknya tidak sama.
1.2 Saran
Berdasarkan pembahasan yang dilaksanakan, penulis menyarankan agar
analisis graf perfect dapat dilanjutkan kepada pembuktian berbagai macam graf
yang lain seperti graf berbobot dan graf berarah dan dapat juga dibuat dalam
aplikasi komputer.
61
DAFTAR PUSTAKA
Chartrand, G and Lesniak L. 1986. Graphs and Digraphs Second Edition. California: a Division of Wadsworth, Inc.
Goodaire, E.G and Parmenter M. 2008. Discrete Mathematics with Graph Theory, Third Edition. New Delhi: Prentice-Hall.
Imamah, N. 2011. Analisis Tentang Graf Perfect. Jombang: Gamatika Vol.II
Jhonsonbaugh, R. 2001. Discrete Mathematics, Fifth Edition. United State of Amerika: Prentice-Hall.
Lipschutz, S dan Marc L. 2002. Matematika Diskrit 2. Jakarta: Salemba Teknika.
Liu, C.L dan Mohaprata, D.P. 2008. Elements of Discrete Mathematics. New Dehli: Tata McGraw-Hill Companies, Inc.
Munir, R. 2012. Matematika Diskrit, Edisi Ketiga. Bandung:Informatika
Siang, J.J. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya Pada Ilmu Komputer. Yogyakarta: Penerbit ANDI
Simpson, A. 2002. Discrete Mathematics. Singapore: McGraw-Hill Companies.
West D.B. 2002. Introduction to Graph Theory. New Dehli: Prince-Hall of India
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Harian, pada tanggal 21 Oktober 1990. Ayah bernama Yohannes
Lumbanraja dan Ibu bernama Sedi Situmorang , dan merupakan anak kedua dari lima
bersaudara. Pada tahun 1997, penulis masuk SD Negeri 2 No. 173693 Harian, dan lulus pada
tahun 2003. Pada tahun 2003, penulis melanjutkan sekolah SMP Negeri 1 Nainggolan, dan lulus
tahun 2006. Pada tahun 2006, penulis melanjutkan sekolah SMA SMA Negeri 1 Onanrunggu,
dan lulus pada tahun 2009. Pada tahun 2010, penulis diterima di Program Studi Matematika
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri
