2 1 1 2 m m m m a ) ( 2 2 1 2 1 m m g m m T ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 m m g m m T m m g m m m m g m m m g m m m g m m T m m m m g m m m g m m m g m m T g m m m g m m m g m m T m m g m m m g m m g m T g m m m m m g m T a m F
g m m m m a a m m g m m a m m g m g m ma F 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 ) ( ) ( ) (
LATIHAN SOAL OLIMPIADE
FISIKA
( 1 ) Peralatan yang ditunjukkan pada gb dibawah dinamakan mesin adwood digunakan untuk mengukur percepatan gravitasi g dengan mengukur percepatan benda-benda. Dengan mengasumsikan tali tak bermassa dan katrol licin, tunjukkan bahwa besarnya percepatan masing-masing benda dan tegangan tali adalah
dan T m1 m2 Jawab :
( 2 ) Sebuah balok bermassa m1, diikatkan pada tali yang panjangnya L1 yang ujung lainnya terikat. Massa itu bergerak dengan lintasan lingkaran horizontal di atas meja yang licin. Balok kedua bermassa m2 diikatkan pada balok pertama oleh tali yang panjangnya
) ( 0 0 2 1 2 2 2 2 2 2 L L v m T F T T F F cent cent
2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 )) ( ( 4 )) ( ( ) ( ) ( 0 0 T L L m L m T L L m L m T L L m L m T L L L L m L L m T L L v m L v m T F F T T F F F cent cent cent cent
) ( 1 2 2 1 1 L L v L v r v L2 dan juga bergerak melingkat, seperti ditunjukkan pada gb disamping. Jika periode gerakan adalah T. carilah tegangan masing-masing tali.
Jawab : Yang mudah untuk dijawab ialah tegangan tali T2 dulu. Gaya yang bekerja pada benda 2 ialah gaya sentrifugal yang berarah keluar dan tegangan tali T2. untuk benda yang setimbang berlaku :
Pada benda 1 gaya yang bekerja ialah gaya sentrifugal benda 1 gaya sentrifugal benda 2 dan tegangan tali benda 1. untuk benda yang setimbang berlaku
( 3 ) Dua benda bermassa m1 dan m2 diam diatas meja licin yang horizontal, seperti
ditunjukkan pada gb dibawah. Sebuah gaya F diberikan pada benda 1 seperti pada gb. (a) jika m1 = 2 kg, m2 = 4 kg, dan F = 3 N, carilah percepatan benda dan gaya kontak Fc
N F F a m F C C 2 2 1 . 4 2
) ( ) ( 2 1 2 1 m m F a a m m F a m F tot
) 1 ( ) 1 ( ) ( 1 1 12 1 1 n nF F n m F nm F nm m F nm F C C C 1 2 nm m ) ( ) ( 2 1 2 2 1 2 2 2 m m F m F m m F m F a m F C C
2 1 6 3 ) 4 2 ( 3 ) ( 3 1 2
a a a a m m a m F totyang dikerjakan oleh satu benda pada yang lainnya (b) carilah gaya kontak untuk nilai-nilai umum massa benda dan tunjukkan bahwa jika m2 =nm, maka
) 1 ( n nF FC . F Jawab :
a. Pada kasus ini, gaya kontak merupakan gaya yang dialami oleh benda 2 karena dorongan dar benda 1.
gaya yang dialami oleh benda 2 ialah :
b.
untuk
( 4 ) sebuah rumus teoritis untuk energi potensial yang berhubungan dengan gaya nuklir antara dua proton, dua neutron, atau sebuah neutron dan sebuah proton adalah potensial
Yukawa. a x e x a U U
0 , dengan Uo dan a adalah konstanta ( a ) sketsalah grafik U terhadap x dengan menggunakan Uo = 4 pJ dan a = 2,5 fm. (b) Carilah gaya F(x) (c) Bandingkan besarnya gaya pada jarak pisah x = 2a sampai pada x = a (d) Bandingkan besarnya gaya pada jarak pisah x = 5a terhadap gaya pada x = a !
jawab : (a) a x e x a U U 0 Grafik U(pJ) Vs x(fm) m1 m2
x x a e U dx dU a x e x a U dx dU a x e x a U dx dU a x e x a U dx dU a x U dx dU a x a a x dx dU U a dx ax d dx dU U a x x a U U e x a U U e x a U U a x a x a x a x x a a x a x 1 1 1 1 1 ) 1 ( 1 1 1 1 1 ) 1 ( 1 1 ) ( 1 0 1 ln ln ln ln ln ln ln 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 38 , 1 8 3 4 3 2 2 4 2 4 1 1 1 2 1 4 1 1 2 1 4 ) ( ) 2 ( 2 1 2 2 0 2 2 0 e a e a a e a a e a a e a a e a a a e U a a a e U a x Fx a x Fx a a a a 00220 , 0 25 6 2 2 25 5 25 1 1 1 5 1 25 1 1 5 1 25 ) ( ) 5 ( 4 4 1 5 2 0 2 5 0 e a a e a a a a e a a e a a a e U a a a e U a x Fx a x Fx a a a a
Sedangkan gaya diperoleh dari
x x a e U Fx dx dU Fx a x 1 2 0
dt m k x A dx dt m k x A dx dt m k x A dx dt m x A k dx dt m kx kA dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1
dt
m
U
E
dx
m
U
E
dt
dx
m
U
E
v
2
2
)
(
2
t m k A x t m k A x t m k A x dt m k x A dx sin sin arcsin 2 2 (b) Dengan menggunakan rumusdt dx
v , tunjukkanlah bahwa persamaan
m U E
v 2( (x) dapat ditulis sebagai dt m U
E
dx 2
. Untuk gerakan satu dimensi, U
adalah fungsi x, sebagai ruas kiri persamaan ini hanya bergantung pada x (dan tidak bergantung pada t) dan ruas kanan hanya bergantung pada t (b) Gunakan hasil ini pada sebuah partikel bermassa m yang terikat pada sebuah pegas dengan konstanta gaya k yang berosilali dengan amplitudo A agar 2
2 1
kA
U untuk mendapatkan persamaan
dt m k x A dx 2
2 . (c) Integrasikan kedua ruas persamaan ini untuk mendapatkan sebuah pernyataan yang menghubungkan posisi massa x dengan waktu t, dengan mengasumsikan bahwa x = A pada saat t = 0.
Jawab :
( 5 ) Sebuah silinder yang beratnya W dan jari-jarinya R akan diangkat untuk menaiki anak tangga setinggi h, seperti pada gb dibawah. Seutas tali diikatkan disekitar silinder dan ditarik secara horizontal. Anggap slinder tidak slip dalam penarikan tersebut. Tentukan besar gaya minimum Fmin yang diperlukan untuk menaikkan silinder tersebut.
R-h R
Jawab : pada saat silinder tepat akan meninggalkan lantai dititik Q maka gaya reaksi lantai pada silinder sama dengan nol. Oleh karena itu hanya ada tiga buah gaya yang bekerja pada silinder, yaitu gaya berat silinder dengan titik tangkap di Q, gaya tarik tali F dengan titik tangkap C dan gaya normal N dititik P.
Karena N tidak diketahui dan tidak ditanyakan dalam soal, maka untuk memudahkan penggunaan syarat kedua keseimbangan, kita pilihtitik P sebagai poros.
) 2 ( ) 2 ( 0 ) 2 ( 0 0 1 1 h R Wd F Wd h R F h R F Wd FCP P WP P
Jari-jari silinder R dan tinggi anak tangga h dianggap diketahui, karena itu d harus kita nyatakan dalam R dan h. dengan mengunakan rumus Pythagoral pada segitiga siku-siku d dapat kita nyatakan dalam R dan h
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 ( ) ( ) ( h Rh d h Rh d h Rh R R d h Rh R R d h R R d h R d R
Dengan memasukkan nilai d ke dalam persamaan diatas maka diperoleh gaya minimum Fmin yaitu : h R h W F h R h W F h R h R h W F h R h R h W F h R h Rh W F Min Min Min Min Min 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 2
( 6 ) Sebuah roda bermassa M dan jari-jarinya R berada diatas permukaan horizontal dan bersandar pada anak tangga yang tingginya h (h<R). roda harus dinaikkan ke atas anak tangga oleh gaya horizontal F yang dikerjakan pada sumbu roda. Carilah gaya F yang diperlukan untuk menaikkan roda keatas anak tangga?
h
Jawab : C R F O R-h P1 d P Q WPada saat silinder tepat akan meninggalkan lantai dititik O maka gaya reaksi lantai pada silinder sama dengan nol, oleh karena itu hanya ada tiga buah gaya yang bekerja pada silinder, yaitu gaya berat silinder dengan titik tangkap di Q, gaya tarik F dengan titik tangkap di O dan gaya normal N dititik P
Karena N tidak diketahui dan tidak ditanyakan dalam soal, maka untuk memudahkan penggunaan syarat kedua keseimbangan, kita pilih P sebagai poros .
) ( ) 2 (( ) ( ) ( 0 ) ( 0 0 1 1 h R h R d Mg F d R Mgd F Mgd h R F h R F Mgd FOP P WP P
) 2 ( ) 2 ( 2 2 ) 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 h R h d h R h d h Rh d h Rh R R d h Rh R R d h R R d h R d R ( 7 ) Sebuah balok kecil bermassa m bergerak tanpa gesekan sepanjang lintasan bersimpal seperti yang ditunjukkan pada gb dibawah. Balok mulai dari titik P berjarak h diatas dasar loop (a) Berapakah energi kinetic balok ketika mencapai puncak simpal (b) Berapakah percepatannya dipuncak dengan menganggap bahwa balok tetap berada dilintasannya (c)Berapakah nilai h paling kecil agar simpal dapat mencapai puncak loop tanpa meninggalkan lintasan?
m
P C
h R
R h gR gh gR gR gh gR R h g gR v mg R v m W F W F F C C Cent Cent 2 5 5 2 4 2 ) 2 ( 2 0 0 2 2
R R h g a R v a C C C ) 2 ( 2 2
8 3 4 3 2 1 4 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 o o o o o t mv v m v v m v v m Ek W rg v r mg r mg W r mg W r f W S F W o k mv k k k ges o 16 3 2 2 2 2 . . 2 8 3 2 2 2 2 8 1 ) 2 1 ( 4 1 ) 4 1 0 ( 2 1 ) 0 ( o o o mv mv v m v W 3 1 ) ( ) 0 ( 2 8 3 2 8 1 2 1 o o mv mv vo v W v W n Jawab : gh v mv mgh EK EP B B B P 2 2 1 2 2 ) 2 ( 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 R h mg EK mgR mgh EK mgh EK mgR gh m EK mgR mv EK R mg EK EK EP C C C C B C B C C ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 2 R h g v R h mg mv R h mg EK C C C Percepatan di CSyarat benda tetap dilintasan
( 8 ) Sebuah partikel bermassa m bergerak pada lintasan lingkaran horizontal berjari-jari r diatas meja yang kasar. Partikel terikat pada sebuah tali tetap pada pusat lingkaran. Kelajuan partikel mulamula adalah vB. Setelah menyelesaikan satu lingkaran penuh,
kelajuan partikel adalah ½ vo. (a) Carilah usaha yang dilakukan oleh gesekan selama satu
putaran tersebut dalam m, vo dan r (b) Berapakah koefisien gesekan kinetic (c) Berapa
putaran lagi yang akan dijalani partikel sebelum berhenti?. Jawab : vo = vo vt = ½ vo r
jumlah putaran yang bisa ditempuh lagi oleh partikel, dapat dicari dengan
membagi nilai usaha pada saat vt = 0 dan pada saat v = ½ vo
R d R d d R R R d R R R d R WR WR d R W R f WR d R F R f WR d R F S ges ges A 3 1 3 2 2 2 3 4 2 3 4 2 2 3 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 0 ) ( 0
) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 3 2 1 1 3 32 31 M M d M R R M M d M R M R M d M R M R M d M R d M R M R d M R M R M M G R M M G F F ( 9 ) Sebuah silinder yang beratnya W tampak seperti pada gambar. Koefisien gesekan statis untuk semua permukaan = 1/3. bila F = 2W, maka besar d agar silinder itu seimbang adalah? Jawab : fges F A d R fges W
( 10 ) Dua partikel tetap bermassa M1 dan M2 terpisah sejauh d. suatu partikel ketiga tidak
mengalami gaya grafitasi jika diletakkan pada garis hubung antara M1 dan M2 dan
jaraknya dari M1 sejauh….
Jawab : M1 M3 M2 F32 M3 F31
R1 R2
D
Syarat benda 3 tidak mengalami gaya grafitasi
Misalkan titik A dijadikan acuan/pusat untuk syarat kesetimbangan.
sin sin L R L R sin sin 2 2 2 R mv T R v m T R v m Fx
cos cos 0 0 sin cos mg T mg T mg T F T T T T y y x y
cos sin cos sin cos sin sin cos sin sin cos 2 2 2 2 2 gL v gL v gL v gR v R mv mg sin cos T T T T Y X ~ 2 1 max min T W T sin 2 sin 2 0 2 0 W T W T W T F y
( 11 ) Suatu bandul conish (ayunan kerucut) panjang talinya L, sudut bukaan tali terhadap sumbu putar adalah dan percepatan gravitasi = g. maka besarnya kecepatan linier bandul ialah! Ty L T Tx V mg Jawab :
( 12 ) Sebuah lukisan bermassa m kg digantungkan pada dua kawat yang sama panjangnya. Tiap kawat membentuk sudut dengan horizontal, seperti pada gb. (a) Hitung tegangan T untuk nilai umum dan berat W (b) Untuk sudut berapa T paling kecil?paling besar.
Ty T Tx m mg jawab :T min Jika sin = 1 T max Jika sin = 0 s
) 1 )....( ( A A A A A A A A A A A A A A a g m T T a m g m a m T g m a m T W a m F
) 2 )...( 2 1 ( 6 1 2 ) 2 1 ( 3 1 2 ) ( ) ( 2 2 2 2 g a m T g a m T g a m T g a m T g m a m T a m g m T a m W T a m F A A A A B B B B B B B B B B B B B B B B
g a g a a g a a g g g a a g g a a g g a m a g m A A A A A A A A A A A A A 13 10 13 . 6 12 . 5 12 13 6 5 12 1 6 1 ) 6 1 12 1 ( ) ( ) 2 1 ( 6 1 ) ( ) 2 1 ( 6 1 ) ( )... 2 ( ) 1 ( ... g a g a a a B B A B 13 5 13 10 . 2 1 2 1 ( 13 ) Diketahui system gambar dibawah ini massa katrol I dan II serta tali diabaikan (katrol licin). Massa benda B ialah mB = 1/3 mA. Carilah percepatan benda A dan B!
T T T mA mB WA WB Jawab :
Misalkan B = diam, maka 2T = WB →2T = mBg
2T = 1/3 mAg
T = 1/6 mAg
Karena WA = mAg → WA > T jadi A = turun sedangkan B = naik
Misalkan percepatan benda A=aA dan percepatan benda B = aB maka aA= 2aB karena
dipengaruhi oleh banyaknya tali, semakin sedikit tali yan mempengaruhi benda, maka makin cepat gerakannya
Untuk A
Untuk B
) 4 1 ( 4 ) 4 ( ) 4 ( 4 4 3 2 3 10 3 2 ) 3 5 ( 2 3 2 ) 3 2 ( 2 ) ( 2 ) ( _ _ _ _ _ _ B B B B B B B B B B B B B B B L k A k A k A k A A A A k A A A A A A k A A A A k A k A A A A k A k A A A A k A A k A A A B k B A k A A A B k B A k A A A B thd A ges lantai thd A ges A A g a g g a g a g g a m g m g m a m g m a m g m g m a m g m g m g m a m g m g m g m a m g m g m m g m a m g m g m m g m a m g m g m m g m a m f f F a m F
( 14 ) Pada system gambar disamping mB = 2/3 mA. Koefisien gesekan kinetic benda A
terhadap lantai dan terhadap benda B memiliki hubungan
kL
2
kB (dimanaL
k
ialah koefisien gesekan benda A terhadap lantai danB
k
ialah koefisiengesekan benda A terhadap benda B. jika benda A ditarik dengan gaya mendatar sebesar F = mAg hingga tali menjadi tegang. Carilah percepatan benda A!
B
F = mAg
A
Jawab :
( 15 ) Sebuah peluru bermassa m1 ditembakkan dengan kelajuan v, ke dalam bandul
balistik bermassa m2. carilah ketinggian maksimum yang dicapai bandul jika peluru
menembus bandul dan muncul dengan kelajuan ½ v!
Q
hmax
vP = v
2 1 ' 1 ' 2 1 1 ' 2 ' 2 1 1 ' 2 1 2 1 ' ' 2 2 1 2 1 2 1 2 1 0 . m v m v v m v m v m v m v m v m v m v m v m v m m v m v m v m v m v m B B B B B B B P P B B P P 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 ' '
8
4
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
0
0
2
1
2 2gm
v
m
h
gh
m
v
m
gh
m
v
m
gh
m
m
v
m
m
gh
m
v
m
mgh
v
m
E
E
E
E
maks maks maks maks maks B B B maks B B P K P KP P Q Q
v
m
m
m
v
v
m
m
v
m
v
m
m
v
m
v
m
m
v
m
v
m
B B B B B P B B P P)
(
)
(
)
(
0
)
(
2 1 1 ' ' ' ' 2 1 1 ' ' 2 1 1 ' '
Jawab :( 16 ) Sebuah peluru bermassa m1 ditembakkan dengan kelajuan v ke dalam bandul balistik bermassa m2. bandul diikatkan pada tongkat panjang L yang sangat ringan yang
dipasang pada sumbu diujung lainnya. Peluru dihentikan dalam bandul, carilah v minimum yang dapat menyebabkan bandul berayun satu lingkaran penuh!
Q
L P
mp = m1 mB = m2
agar dapat berayun satu kali putara, bandul minimal harus sampai pada ketinggian maksimal h = 2L.
gL
m
m
m
v
gL
m
m
m
v
gL
m
m
m
v
L
g
m
m
v
m
gh
m
m
v
m
m
m
m
m
gh
m
v
m
E
E
E
E
to t B to t P K P KP P Q Q 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 '2
4
4
2
.
2
1
)
(
)
(
2
1
0
0
2
1
2
( 17 ) Logam berbentuk kubus dengan massa benda satu m1 = m ditaruh diatas kubus
logam lain yang lebih besar dengan massa m2 = 3m dan sisi-sisinya L meter. Apabila
gaya F dikerjakan pada kubus yang besar sedangkan gesekan maksium antara kedua permukaan kubus fges = 1/ 5 F, maka suatu saat kubus kecil akan jatuh ke lantai. Waktu yang diperlukan sampai kubus kecil jatuh dilantai sejak gaya diberikan adalah!
S1 m1 fges m2 F licin L S2 Jawab : Tinjau benda m2 : fges = 1/5 F m2 = 3m F W
m F a ma F ma F F a m f F a m F ges 15 4 3 5 4 3 5 1 2 2 2 2 2 2 2 2
Tinjauan benda m1 f m F a a m F a m f a m F ges 5 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Jadi : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 15 2 15 4 2 1 0 2 1 10 1 5 1 2 1 0 2 1 t m F t m F t a t v S t m F t m F t a t v S o o Pada saat m1 meninggalkan m2 maka S2-S1 = panjang sisi kubus 2 = L
Artinya, panjang lintasan yang ditempuh oleh m1 adalah sepanjang sisi kubus m2
Jadi
Perhatikan! Arah gaya gesek f = 1/5 F adalah ke kiri, tidak ke kanan! Karena benda m2 bergerak ke kanan
maka gaya gesek yang ada (dengan benda m1) arahnya
harus tetap berlawanan, terhadap arah gerak benda m2.
jangan terkecoh
Perhatikan, arah gaya f diatas! Terhadap benda m1,
arah gaya gesek harus berlawanan dengan arah gerak benda m1. benda m1 dan m2, sampai pada saat benda
m1 meninggalkan m2, keduanya bergerak dengan
o o o maks maks arctg tg g v g v X Y 76 4 4 4 cos sin cos 4 sin cos sin 2 . 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 2 2 2 2 F Lm t F Lm t L t m F L t m F L t m F L t m F t m F L S S 30 30 30 1 30 3 30 4 10 1 15 2 10 1 15 2 2 2 2 2 2 2 1 2
Waktu yang diperlukan m1 (dari saat lepas bidang m2 sampai lantai)
g L t g L t g h t gt h 2 2 2 2 1 2 2 2
(ingat h = L panjang sisi kubus. Jadi waktu yang diperlukan sampai kubus kecil jatuh ke lantai sejak gaya diberikan ialah
g L F Lm ttot 2 30
( 18 ) Carilah sudut lemparan sedemikian sehingga ketinggian maksimum sebuah proyektil sama dengan jangkauan horizontalnya!
Jawab :
Grafik lintasan gerak proyektil Y
Ymaks
X
Xmaks
tg g a a g at gt BB AB tg 2 2 1 2 2 1 ' '
( 19 ) Suatu kelereng dijatuhkan bebas mulai dilepas di A dari tabung AB yang condong
terhadap mendatar. Supaya kelereng dapat jatuh keluar dari lubang bawah B dan tanpa menyentuh pipa, carilah percepatan mendatar tabung yang harus diberikan! A A’ g a
B B’ WB’Misalkan pada saat kelereng dilepas di A tabung berada di AB dan pada saat kelereng mulai keluar dari tabung, tabung di A’B’.
AB’= ½ gt2
BB’= ½ at2
( 20 ) Dua titik zat A dan B masing-masing berjarak L m. titik zat A bergerak menuju ke B dengan kecepatan awal v m/s dan dipercepat a m/s2. setelah 2 sekon kemudian lalu B bergerak menuju A dengan kecepatan awal 3v m/s dan diperlambat beraturan –a m/s2. bilamana dan dimana mereka saling bertemu?
Jawab :
L
A C B voA= v SA SB voB = 3v
aA = a aB = -a
misalkan titik zat A dan B setelah masing-masing selama tA dan tB sekon serta menempuh
jarak SA dan SB saling bertemu di C
v a
a v L t a v L a v t a v L at vt L a at v vt L a at at v vt at vt L t t a v vt at vt L t a t v at vt L t a t v t a t v AB S S A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B B B o A A A o B A B A 2 4 2 6 2 6 2 4 2 6 2 4 2 2 6 4 ) 2 2 2 1 6 3 2 1 ) 4 4 ( 2 1 6 3 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2
a v a v L a v a v a v L a v a v a v a v L a v a v L t tB A 2 4 2 2 2 4 4 8 2 6 2 4 ) 2 4 ( 2 ) 2 4 ( 2 6 2 ) 2 4 ( 2 6 2
2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 32 32 4 4 32 76 24 16 8 8 32 32 4 24 36 4 12 8 40 24 4 8 8 32 32 ) 4 24 36 4 12 ( 8 40 24 4 8 ) 4 16 16 ( 2 ) 4 12 2 12 36 6 2 6 ( ) 4 20 24 2 4 ( 2 ) 2 4 )( 2 4 ( 2 2 6 ) 2 6 ( ) 4 8 12 24 2 4 ( 2 ) 2 4 ( 2 ) 2 6 ( ) 2 4 )( 2 6 ( 2 2 4 2 6 2 1 2 4 2 6 2 1 a av v a L a aL v a av v avL Lv a av v a v a av L a avL aL v a av v avL Lv a av v a av v aL Lv L a v a av v avL Lv a av v a av aL av v Lv aL Lv L a a va v aL Lv v a v a v a v L a v L a a va va v aL Lv v a v a v L a a v a v L v a v a v L a a v a v L v t a t v SA o A A A A
2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 32 32 4 4 32 76 48 16 24 8 32 32 4 8 4 4 4 24 72 48 12 24 8 32 32 ) 4 8 4 4 4 ( ) 4 12 8 2 4 ( 6 ) 4 16 16 ( 2 ) 4 4 2 4 4 2 2 2 ( ) 4 8 4 8 2 4 ( 6 2 4 2 ) 2 2 )( 2 2 ( 2 4 2 ) 2 4 )( 2 2 ( 3 . 2 2 4 2 2 2 1 2 4 2 2 3 2 1 a av v a L a aL v a av v avL Lv a av v a v a av L a avL aL v a av v avL Lv a av v a av v aL Lv L a a av v aL Lv v a av v a av aL av v Lv aL Lv L a a av av v aL Lv v a v a v L a v L a a v a v a v L v a v a v L a a v a v L v t a t v SB oB B B B
) 1 ...( 2 2 1 2 1 2 2 2 g h h t gt h h gt h B A A B A A vtB voB gt( 21 ) Bola A dijatuhkan dari puncak sebuah bangunan pada saat yang sama bola B dilemparkan secara vertical keatas dari tanah ketika bola bertumbukan, keduanya sedang bergerak dalam arah berlawanan dan kelajuan A dua kali kelajuan B. pada berapa bagian dari bangunan tumbukan itu terjadi?
hA
R h
hB
jawab : misalkan kedua bola bertumbukan di R, karena kedua bola dilepaskan dan ditembakan pada saat yang sama, maka untuk syarat terjadinya tumbukan ialah tA = tB,
dimana tA ialah waktu yang dibutuhkan bola A sampai di R dan tB ialah waktu yang
dibutuhkan bola B sampai di R.
untuk bola A Untuk bola B
Namun ketika terjadi tumbukan vtB
menjadi nol ) 2 ...( _ , 0 2 g v h t gt v h t t h v g v t v gt gt v B B B B B B o B o B B o o o o
h h h h h h h g h g h h B B B B B B 3 2 3 2 2 2 ) ( 2
a v v a v v a a v v a at d 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 Dari persamaan 1 dan 2 kita dapatkan
( 22 ) Ketika sebuah mobil bergerak dengan kelajuan v1 membelok dari sebuah pojok,
pengemudi melihat mobil lain bergerak dengan kelajuan lebih rendah v2 pada jarak d
didepan. Jika percepatan maksimum yang dapat ditimbulkan rem pengemudi adalah a, tunjukkan bahwa jarak d harus lebih besar dari
a v v 2 ) ( 1 2 2
jika tmbukan harus dihindari! v2
v1 > v2
d
v1
jawab :
mobil 1 bergerak dan membelok menyusul mobil 2, kecepatan mobil 1 lebih besar dari pada mobil 2, maka agar tumbukan tidak terjadi pada jarak d ialah 2
2 1
at
d dimana a
ialah percepatan moebil satu dan t ialah waktu yang dibutuhkan mobil 1 dan 2 sampai di suatu ketika kedua mobil akan saling bertumbukan
a v v t t v v t V a 1 2 1 2
( 23 ) Sebuah mobil mempunyai percepatan maksimum a, yang tetap konstan sampai kelajuan tinggi dan mobil mempunyai perlambatan maksimum 2a. mobil harus menempuh jarak yang pendek L dimulai dan berakhir dalam keadaan diam, dalam waktu minimum T (jaraknya adalah sedemikian pendek hingga mobil takpernah dapat mencapa
a v t a v t a v t t v a 1 1 1 1 1 1 0 a v a v a at t v S o 2 2 1 0 2 1 2 2 2 1 1 a v t a v t a v t t v a 2 2 0 2 2 2 2 2 2
a v a v a v a v a v a v a a v v t a t v S o 4 4 4 2 4 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a v a v a v a v a v S S L 4 3 4 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 L S v v a a L S a v a v L S 3 2 3 2 4 4 3 2 1 2 2 1 2 2 1 a v a v a v a v a v t t T 2 3 2 2 2 2 2 1 T t v v a a T t a v a v T t 3 2 3 2 2 3 1 1 1 kelajuan teratas). Setelah berapa bagian dari L, pengendara harus memindahkan kakinya dari pedal gas ke rem, dan berapa bagian dari waktu untuk perjalanan itu telah berlalu dititik ini! a vo = 0 -2a vt = v vt=0 S1 S2 A B C L T Jawab :
Waktu yang dibutuhkan A-B waktu yang dibutuhkan B-C Gerak AB Gerak BC
( 24 ) Sebuah peluru A ditembakkan dengan sudut elevasi 1 , setelah waktu T, peluru B ditembakkan dengan sudut elevasi 2 , kecepatan awal kedua peluru sama yaitu v . o
hitung T agar kedua peluru bertumbukan di udara! Jawab:
1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos T T T T T T T T T T T T v T v t v t v X X A A A A A A A o A o B o A o B A B A
1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos cos 2 cos cos 2 cos cos cos cos 2 cos cos cos cos 2 cos cos cos cos 2 cos 2 cos cos cos cos 2 cos 2 cos cos 2 cos cos cos cos cos 2 cos cos cos 2 1 cos cos cos 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 o o o o o o o o o A o A o A A o A A A o A o A A o A A o A A o B B o A A o B A v T v g T v g T v g g T v g g g T v g g T v g g T v gT gT T g gT v gT gT v gTT gT T v gT gTT gt T v gt T TT T g T v T v gt T v T T g T T v gt T v gt t v gt t v Y Y B A YA = YB XA = XB2 3 3 3 3 3 3 3 1 12 24 2 8 8 3 2 2 3 3 2 2 ML L ML L ML L L L M L L L M x L M I L L
( 25 ) Sebuah batang homogen memiliki massa M dan panjang L. tentukan momen inersia batang terhadap poros melalui:
(a) titik tengah batang (b) titik ujung batang jawab : YP Yo X = -L/2 x dx x = +L/2 O X P x = 0 x = L x
bayangkan batang homogen terdiri atas berbagai elemen dx yang memiliki koordinat x terhadap poros. Untuk poros melalui titik tengah batang (titik O), koordinat x mulai dari –L/2 sampai dengan +L/2 (kasus a). untuk poros melalui titik ujung batang (titik P), koordinat x mulai dari 0 sampai dengan L(kasusb)
bayangkan batang homogen terdiri atas berbagai elemen dx yang memiliki koordinat x terhadap poros. Momen inersia batang dapat dihitungg dengan persamaan
r dm
I 2
Dengan r = x dan dm = M/L dx maka persamaan menjadi
3 3 2 2 x L M I dx x L M dx L M x I(a) untuk poros melalui titik tengah batang (kasus a) pada gb diatas, sumbu tegak yaitu melalui O adalah Yo dan tampak bahwa koordinat x mulai dari x = -L/2 sampai dengan x = +L/2. karena itu momen inersia batang tehadap poros melalui titik tengah batang yang diperoleh dari persamaan diatas adalah :
2 3 0 3 3 1 0 3 3 ML I L L M x L M I L gh v v gh mv mgh EK EP EKEPPuncak Puncak Dasar dasar
2 2 1 2 1 0 0 2 2 2 2 2 1 2 1 0 0 mv I mgh EK EP EK
EPPuncak Puncak Dasar Dasar
3 4 3 4 4 3 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 gh v gh v v gh v v gh R v mR mv mgh
(b) untuk poros melalui titik ujung batang (kasus b) sumbu tegak yang melalui P adalah Yp dan yang tampak bahwa joordinat x mulai dari x = 0 sampai dengan x = L. karena itu momen inersia batang terhadap poros melalui titik ujung batang yang diperoleh dari persamaan diatas adalah
( 26 ) Sebuah silinder homogen dengan jari-jari R dan massa m berada dipuncak suatu bidang miring. Manakah yang kelajuannya lebih besar saat tiba didasar bidang miring, silinder yang meluncur tanpa gesekan atau silinder yang menggelinding?
Jawab : untuk silinder yang meluncur tanpa gesekan, hokum kekekalan energi memberikan :
Untuk silinder yang menggelinding, energi kinetic di dasar bidang adalah gabungan energi kinetic translasi dan rotasi sehingga hokum kekekalan energi memberikan :
Untuk silinder pejal, 2 2 1 mR I , dan vRatau R v
) 1 ...( ma T mg ma F
) 2 ...( _ _ 2 R Ia T R a I TR R a dengan I 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 I g a mR I a g mR I mR ma mg mR mI R m a mg R I m a mg R Ia ma mg ma R Ia mg( 27 ) Timba yang diikat pada seutas tali yang terhubung pada kerekan silinder. Sebuah kerekan silinder dengan jari-jari R dan momen inersia I bebas berputar tanpa gesekan terhadap suatu poros. Seutas tali dengan massa dapat diabaikan dililitkan pada silinder dan diikatkan ke sebuah timba bermassa m. ketika timba dibebaskan, timba dipecepat ke bawah akibat gaya gravitasi. Tentikan percepatan timba.
T R T mg (a) (b) (c) Jawab:
Pertama, kita tinjau diagram gaya pada timba (gambarb). Timba hanya bergerak translasi ke bawah. Karena itu kita menggunakan hokum II Newton untuk gerak translasi
F ma. Karena timba bergerak ke bawah, maka kita tetapkan arah gaya ke bawah bertanda positif.Selanjutnya, kita tinjau diagram gaya pada kerekan. Kerekan silinder hanya bergerak rotasi akibat momen gaya yang dihasilkan oleh tegangan tali T terhadap poros silinder. Hokum II Newton untuk gerak rotasi memberikan :
T T T R T R T R T R T sebab I
1 2 1 2 2 1 0 0 _ _ 0 1 1 1 1 1 1 a m g m T a m F
2 2 2 2 2 2 a m T g m a m F
) 1 ...( 1 1g ma m T Tm2g m2a...(2)( 28 ) Sebuah katrol yang massanya M dan jari-jarinya R dililitkan dengan seutas tali. Pada ujung-ujung tali terikat benda yang massanya m1 dan m2 (m2 > m1). Tentukan percepatan masing-masing benda bila :
(a) katrol dapat dianggap licin sehingga tali meluncur pada katrol (b) katrol ikut berputar dengan tali
(+) T1 T’ (+) R R T2 M R m1 m1g T1 - + T2 m2 m1 m2 m2g (a) (b) (c) (d) jawab :
(a) untuk kasus katrol licin, katrol tidak berputar bersama tali (katrol diam), sehingga
0
. kita tinjau dahulu diagral gaya pada katrol (gambar c). dengan menetapkan arah searah dengan jarum jam adalah positif, maka gaya T1 menghasilkan momen –T1R (berlawanan arah jarum jam) dan gaya T2 menghasilkan momen +T2R(searah jarum jam). Hukum II Newton untuk geak rotasi memberikan :
Tinjau diagram gaya pada benda m1 (gambar b) dan benda m2 (gambar c). karena m2 > m1, maka m1 akan bergerak ke atas dan m2 akan bergerak ke bawah. Oleh karena itu, untuk benda m1 kita tetapkan arah ke atas sebagai positif, dan untuk benda m2 kita tetapkan arah ke bawah sebagai positif. Hokum II Newton untuk gerak translasi m1 dan m2 memberikan :
Dengan T1 = T2 = T dan a1 = a2 = a, kita peroleh
1
) 2 ...( 2 2g m a m T ) 1 ...( 1 1g ma m T
g m m m m a a m m g m m a m a m g m g m 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 ) 3 ...( 1 2 I R T R T I
R a a a a 2 1 ) 4 ...( 2 1 2 1 2 1 ) ( ) 3 ..( ... ) ( ) 2 ..( ... ) 1 ...( ... 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 Ma T T atau Ma T T R a MR R T T R a I R T T a m T g m a m g m T Dengan menjumlahkan persamaan (1) dan (2) kita peroleh
+
(c) Untuk katrol itu berputar bersama tali persamaan (1) dan (2) yang diperoleh dari (a) tetap. Yang berbeda adalah hokum II Newton untuk gerak rotasi pada katrol karena 0.
Diagram gaya pada katrol :
Sekarang perhatikan besaran-besaran yang akan menghubungkan persamaan (1), (2), dan (3)
Untuk katrol dianggap berbentuk silinder pejal, 2 2 1
MR I
Persamaan menjadi :
Dengan menjumlahkan persamaan (1) dan (2) kita peroleh :
1 2
2 1
...(5) 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 g m m a m m T T a m m g m m T T a m T g m a m g m T
M m m m m a a M m m g m m Ma a m m g m m g m m a m m Ma 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1
Ax g ...(1) F g V F W F x X ) 2 ...( dh m h d m h V A ( 29 ) Gambar dibawah menunjukkan benda setinggi h yang pada keadaan seimbang mengapung di atas permukaan air, dengan panjang bagian yang tercelup adalah L. jika benda ditekan vertical ke bawah sedalam x, kemudian dilepaskan, tentukanlah periode getaran harmonic benda yang mengayun di atas permukaan air(massa jenis air = massa jenis benda = d, dan percepatan gravitasi = g)
h L L + x
(a) (b)
Jawab : Tentukan dahulu gaya pemulih pada kasus ini, yaitu berat air sedalam x yang dipindahkan (oleh benda). Dengan menyamakan gaya pemulih ini dengan gaya dari hokum II Newton : F may m2 periode T dapat ditentukan.
Pada gambar diatas benda seimbang (tidak bergerak). Ketika benda ditekan vertical ke bawah sedalam x, terjadilah ketidakseimbangan. Gaya pemulih (F) sama dengan berat air sedalam x yang dipindahkan oleh benda. Karena berat air Wx sama dengan hasil kali volum Vx dan berat jenis air
g , dan volum Vx sama dengan hasil kali luas penampang A dengan kedalaman x, maka kita peroleh :Gaya pemulih,
Kita harus menyatakan luas penampang A dalam besaran-besaran yang diketahui dalam soal. Luas penampang A dapat kita nyatakan sebagai hasil bagi antara volum total benda V dengan tinggi total benda h. volum total benda V dapat kita nyatakan sebagai hasil bagi antara massa total benda m dengan massa jenisbenda d. jadi, kita peroleh :
g dh T dh g T dh g dh g dh g mx x m 2 2 2 2 W N N W F B B y
0 0Jika nilai A dari persamaan 2 kita masukkan ke persamaan 1, kita dapatkan gaya pemulih
dh g mx g x dh m F
Dengan menyamakan gaya pemulih ini dengan gaya dari hokum II Newton 2
m ma
F y (perhatikan, simpangan y = x). periode T dapat kita tentukan.
( 30 ) Tangga homogen AB bersandar pada dinding yang licin dan bertumpu pada lantai kasar. Jika tangga tepat akan tergelincir, buktikan bahwa :
tan 2 1 dengan adalah koefisien gesekan lantai.
A licin B Jawab : Poros A NA AB = L AB1 = L sin BB1 = L cos P1 P AP = ½ L NB PP1 = ½ L cos W B1 fB B
Pada saat tangga tepat akan tergelincir, tangga masih berada dalam keadaan seimbang. Oleh karena itu soal ini masih dapat diselesaikan dengan rumus-rumus keseimbangan. Kita pisahkan tangga dan kita gambar diagram gaya pada tangga, seperti ditunjukkan pada gambar. Misalkan panjang batang = L maka titik kerja gaya berat tangga w berada di tengah-tengah batang, sehingga AP = BP = ½ L.
t v a t v a t v v a t o 0 g a ma mg ma f ma F ges
g v g v v vt vt vt t t v vt at t v S o 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 g v t g v t a v t t v a
sin cos 0 cos 2 1 0 0 1 1 1
L N L N L W BB N AB f WPP B B B B A tan 2 1 cos sin 2 1 sin 2 cos cos 2 1 sin 0 cos 2 1 sin 0 cos sin cos 2 1 WL WL WL WL WL WL WL WL L WKarena NA tidak diketahui dan tidak ditanyakan dalam soal, maka untuk memudahkan perhitungan kita pilih titik A sebagai poros untuk menggunakan hokum kedua keseimbangan
Masukkan nilai NB = W maka diperoleh
( 31 ) Sebuah truk sedang bergerak pada jalan lurus mendatar dengan kecepatan v. jika koefisien gesekan antara ban dan jalan adalah , maka jarak terpendek di mana truk dapat di hentikan adalah!
Jawab :
Sehingga
g a ma mg ma f ma F ges
gr v r v g r v a r v m ma f F cen 2 2 2 2
gh e v gh v e v v e v v e b b b b B b 2 ' 2 ' ' 0 0 ' ( 32 ) Sebuah mobil menempuh belokan pada jalan datar dengan radius r. jika kelajuan maksimum yang diperbolehkan agar mobil dapat membelok tanpa slip adalah v, maka koefisien gesekan statis antara ban mobil dengan jalan adalah?
Jawab :
( 33 ) Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian h dan kemudian memantul. Koefisien restitusi tiap kali melambung adalah e . Carilah kecepatan setelah tumbukan yang
pertama dan kecepatan ketika n kali tumbukan. Tunjukkan bahwa bola akhirnya akan
diam pada saat
2 1 2 1 1 g h e e t ! Jawab:A C E G h h1 h2 I K h3 h4 h5 dst B D F H J L
2 1 2 1 2 ' ' 2 2 1 0 v v v v e gh v mv mgh E E v B B K P A B A v1 = kecepatan bola = vBv1’= kecepatan bola setelah memantul = vB’
v2 = kecepatan lantai = 0
v2’= kecepatan lantai setelah tumbukan = 0
h e h h e h gh e gh mv mgh E E B K PC B 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 ' 2 1 gh e v gh e v v h ge mv mgh E E D D D D K PC D 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1
gh e v gh e v e v v e v v v v e D D D D 2 ' 2 ' 0 0 ' ' ' 2 2 1 2 1 h e h gh e gh mv mgh E E D K PE D 4 2 4 2 2 2 2 2 1 ' 2 1 gh e v gh e v v h ge mv mgh E E F B C F F F K P 2 2 2 1 2 1 2 4 2 2 4 2 2
gh e v gh e v e v v e v v v v e F F F F 2 ' 2 ' 0 ' ' ' 3 2 2 1 2 1 gh
e
v
n'
n2
0 .... ... 2 2 2 2 3 4 2 3 2 1 n v gh e v gh e v gh e v gh v
e gh v e gh e e gh e e e e gh gh e gh e gh e gh v rata rata 1 2 2 1 2 1 . 2 0 ... 2 0 ... 2 2 2 2 0 3 2 0 3 2
2 2 0 6 4 2 0 6 4 2 3 2 1 1 1 0 .... 0 ... 0 .... e h e e h e e e e h h e h e h e h h h h h Sturun
g h e gh e h e e gh e h e gh e h e gh e h v S t turun rata turun turun 2 ) 1 ( 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ) 1 ( 2 2 1 2 2 _ 2 mencari h1 mencari vD mencari vD’
Mencari h2 Mencari vF Mencari vF’
Dari vB’ , vD’, dan vF’ maka kecepatan n kali setelah tumbukan adalah
Mencari waktu, ketika bola diam Gerak Bola Turun
Untuk kecepatan memiliki pola sbb:
Jumlah V Jarak S turun
0 .. ... ... 2 2 2 3 3 2 2 1 n v gh e v gh e v gh e v
gh e e v e e gh e e e gh e e e gh gh e gh e gh e v naik rata 2 1 2 1 2 0 ... 2 0 .... 2 0 ... 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2
2 2 6 4 2 6 4 2 3 2 1 1 . 0 .... 0 .... ... e e h e e e h h e h e h e h h h h Snaik n
g h e e gh e he e e gh he e e gh e he e e gh e e he v S t naik rata naik naik 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 _ 2
g h e e e g h e g h e e g h e t tttotal turun naik
2 ) 1 ( 1 1 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 1 1
Gerak bola turun Jumlah v adalah
Untuk kecepatan memiliki pola sbb:
Jumlah jarak S naik Mencari t naik
T total adalah :
( 34 ) Dari suatu titik pada ketnggian h diatas tanah. Sebuah peluru A diarahkan dengan kecepatan v dengan sudut elevasi . Peluru lain B diarahkan dari tempat yang sama dengan kecepatan v tetapi arahnya berlawanan dengan A. buktikan bahwa ketika mengenai tanah, jarak antara kedua peluru adalah
g gh v v R 2 cos sin 2 2 2 Jawab : v B A
