Kondisi Tanah Anisotropis

B. Analisis Hidrometer

5. MetodeSilva

3.5. Rembesan (Seepage)

3.5.7. Kondisi Tanah Anisotropis

Dalam tinjauan tanah anisotropis, walaupun tanah mungkin homogen, tapi mempunyai permeabilitas yang berbeda pada arah vertikal dan horizontalnya. Kebanyakan tanah pada kondisi alamnya dalam keadaan anisotropis, aritnya mempunyai koefisien permeabilitas yang tidak sama ke segala arah, yaitu maksimum searah lapisan (arah horizontal), dan minimum kea rah tegak lurus lapisannya (arah vertikal). Arah- arah ini selanjutnya dinyatakan dalam arah x dan z. Dalam kondisi ini, permeabilitaqs pada arah horizontal dan vertikalnya dapat dinyatakan dalam bentuk:

k_x = k_mak dan k_z = k_min

Untuk hal iini, persamaan Darcy akan berbentuk : 𝑣_𝑥 =−𝑘_𝑥𝑖_𝑥 =−𝑘_𝑥^𝛿_𝛿^𝑕

𝑥 (3.107)

𝑣_𝑧 =−𝑘_𝑧𝑖_𝑧 =−𝑘_𝑧^𝛿_𝛿^𝑕

𝑧 ...(3.150) Dari Persamaan (3.150) dan persamaan kontinuitas, dapat dituliskan dalam bentuk :

𝑘_𝑥^𝛿_𝛿𝑥^2𝑕2+𝑘_𝑧^𝛿_𝛿𝑧^2𝑕2 = 0 ...(3.151) dengan kx = koefisien arah horizontal dan kz = koefisien arah vertikal. Dari persamaan ini, dapat dibentuk :

𝛿²𝑕

(𝑘𝑧 𝑘𝑥)𝛿𝑥²+^𝛿2𝑕

𝛿𝑧² = 0 ...(3.152) Bila :

𝑥_𝑡 =𝑥 𝑘𝑧/𝑘_𝑥, maka :

𝛿²𝑕

(𝑘_𝑧 𝑘_𝑥)𝛿𝑥² = ^𝛿2𝑕

𝛿𝑥_𝑡² ...(3.153) Substitusi Persamaan (3.153) ke persamaan (3.152), diperoleh :

𝛿²𝑕 𝛿𝑥_𝑡²+^𝛿2𝑕

𝛿𝑧² = 0 ...(3.154) Persamaan (3.154) merupakan persamaan kontinuitas untuk kondisi isotropis dalam bidang xz dan z. Persamaan 𝑥1= 𝑥 𝑘𝑧/𝑘_𝑥 mendefinisikan factor skala yang diterapkan dalam arah x, yang dimaksudkan untuk mentransformasikan keadaam anisotropis ke dalam kondisi isotropis, di mana persamaan Laplace masih memenuhi. Sesudah jaring arus digambarkan untuk potongan yang sudah ditransformasi, jaring arus kondisi sesungguhnya dapat diperoleh dengan menggunakan kebalikan dari faktor transformasinya. Bila perlu, transformasi juga dapat dibuat dalam arah z.

Nilai koefisian permeabilitas yang diterapkan pada potongan transformasinya, diberikan sebagai koefisien isotropic ekuivale, dengan

𝑘^′ = 𝑘𝑧𝑘_𝑥 ...(3.155)

Vreenderbutrgh (1936) telah berhasil membuktikan ketepatan dari Persamaan (3.155). Pada Gambar 3..30, aliran air rembesan bekerja dalam arah sumbu x. Jaring arus digambarkan dalam dua kondisi, yaitu kondisi transformasi dan

kondisi asli. Kecepatan arah sumbu-x (v_x) dinyatakan dengan kondisi k‟ pada potongan yang ditransformasi, dan kx pada potongan kondisi aslinya. Cara pembuktian dilakukan sebagai berikut :

𝑣_𝑥 =−𝑘^{′𝛿𝑥𝑡𝛿𝑕} = −𝑘_𝑥^𝛿𝑕_𝛿𝑥 dengan

𝛿𝑕

𝛿𝑥_𝑡 = ^𝛿𝑕

𝑘𝑥𝑘𝑧𝛿𝑥

Jadi :

𝑘^′ =𝑘_{𝑥 𝑘}^𝑘𝑧

𝑥 = (𝑘_𝑥𝑘_𝑧)

(a) Skala transformasi (b) Skala asli Gambar 3.34. Elemen jaring arus (flownet element) Langkah-langkah dalam hitungan jaring arus pada kondisi tanah anisotropis dilakukan dengan cara sebagai berikut :

(a) Untuk penggambaran potongan melintang struktur, gunakan sembarang skala vertikal.

(b) Tentukan nilai berikut : k = ^𝑘𝑧

𝑘𝑥

𝑘_{𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙} 𝑘𝑕𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙

(c) Hitunglah skala horizontal, sedemikian sehingga skala horizontal = 𝑘𝑧𝑘_𝑥 kali skala vertikal.

(d) Dengan skala yang ada pada butir (a) dan (c), gambarkan potongan melintang dari struktur.

(e) Gambarkan jaring arus untuk potongan yang ditransformasi, dengan cara yang sama seperti keadaan isotropis.

(f) Hitung debit rembesan menurut persamaan : 𝑞 =𝑕 (𝑘_𝑥𝑘_𝑧)^𝑁𝑓

𝑁_𝑑 ...(3.156) 3.5.8. Kondisi Tanah Berlapis

1. Debit Rembesan Tanah Berlapis dengan Cara Jaring Arus :

Cara penggambaran jaring arus yang telah dipelajari sebelumnya adalah untuk kondisi tanah yang homogen. Dalam prakteknya, banyak dijumpai keadaan tanah yang tidak homogen, seperti yang ditunjukkan gambar berikut:

Gambar 3.35. Jaring arus pada pertemuan lapisan dengan k berbeda

Bila jaring arus akan digambarkan untuk kondisi 2 lapisan yang berbeda, maka pada batas digambarkan untuk kondisi 2 lapisan yang berbeda, maka pada batas lapisannya gambar jaring arus akan patah. Kondisi demikian disebut kondisi transfer. Gambar 3.35 memperlihatkan kondisi umum, dimana lajur-lajur jaring arus memotong batas dari 2 lapisan tanah. Lapisan tanah 1 dan 2, mempunyai koefisien permeabilitas yang tidak sama. Garis patah-patah yang memotong lajur aliran pada gambar, adlaah gariis-garis ekipotensial. Pada Gambar 3.35,, ∆h adalah tinggi energi hilang di amntara dua garis ekipotsensial yang berdekatan.

Ditinjau dari suatu panjang satuan yang tegak lurus bidang gambar, debit rembesan yang melalui satu jalur aliran adalah :

∆𝑞= 𝑘1∆𝑕

𝑙1 𝑏1 = 𝑘2∆𝑕

𝑙2 𝑏2

atau

𝑘1

𝑘2 =^{𝑏2 𝑙2}

𝑏1 𝑙1 ...(3.157)

Dengan l1 dan b1 berturut-turut adlah panjang dan lebar dari elemen aliran lapisan tanah 1, sedang l2 dan b2 adalah panjang dan lebar pada lapisan tanah 2. Daridi atas, terlihat bahwa:

𝑙1 =𝐴𝐵sin𝜃1 =𝐴𝐵cos𝛼1

...(3.158a)

𝑙2 = 𝐴𝐵sin𝜃2 =𝐴𝐵cos𝛼2

...(3.158b)

𝑏1 = 𝐴𝐶cos𝜃1 =𝐴𝐶sin𝛼1

...(3.158c)

𝑏2 =𝐴𝐶cos𝜃2 = 𝐴𝐶sin𝛼2

...(3.158d)

Dari Persamaan (3.116a) dan (3.116c),

𝑏1 𝑙1 = cos𝜃1/ sin𝜃1 = sin𝛼1/cos𝛼1

atau

𝑏1 𝑙1 = 1/𝑡𝑔𝜃1 =𝑡𝑔𝛼1 ...(3.159) Dengan cara yang sama,

𝑏2 𝑙2 = 1/𝑡𝑔𝜃2 =𝑡𝑔𝛼2 ...(3.160)

Gabungan dari Persamaan (3.157), (3.159), dan (3.160),

𝑘1

𝑘2 =^{𝑡𝑔𝜃1}

𝑡𝑔𝜃2 =^{𝑡𝑔𝛼2}

𝑡𝑔𝛼1 ...(3.161) Jaring arus untuk tanah yang tidak homogen, dapat digambarkan dengan menggunakan Persamaan (3.161). Untuk selanjutnya, pertimbangan berikut ini mungkiin sangat pentung untuk digunakan dalam penggambaran jaring arus pada kondisi tanah berlapis.

Gambar 3.36. Variasi jaring arus pada batas lapisan dengan k berbeda

(a) Jika k1> k2, maka dapat digambarkan elemen jaring arus bujur sangkar pada lapisan 1. Ini berarti bahwa l1 = b1, maka k1/k2 = b2/l2.Jadi jaring arus dalam lapisan 2 akan berupa segiempat dengan nilai banding lebar dan panjangnya = l1/k2 (Gambar 3.32a).

(b) Jika k1< k2, maka dapat diigambarkan jaring arus bujur sangkar pada lapisan 1, yaitu l1 = b1. Dari Persamaan

(3.119), k₁/k₂ = b2/l2. Maka elemen jaring arus dalam lapisan2 akan segiempat (Gambar 3.32b).

Contoh penggambaran jaring arus untuk struktur bendungan yang terletak pada 2 kondisi lapisan tanah berbeda, diperlihatklan dalam gambar berikut :

Gambar 3.37. jaring aruspada bendungan dengan k berbeda Nilai k1 = 4x 10^-2 mm/det sedang k2 = 2 x 10^-2 mm/det, maka:

𝑘1

𝑘2 =^4.10−2

4.10⁻² = 2

Maka pada penggambarannya ^{𝑡𝑔𝛼2}

𝑡𝑔𝛼1 =^𝑡𝑔_𝑡𝑔^𝜃_𝜃¹

2 = 2

Di dalam lapisan 1, elemen aliran digambar bujur sangar dank arena k1/k2 = 2, panjang dibagi lebar elemen aliran dari lapisan 2, akan sama dengan 2.

2. Debit Rembesan Tanah Berlapis denganAsumsi Lapis Tunggal

Ditinjau dua lapisan tanah dengan tebal H1 dan H2 yang mempunyau koefisien permeabilitas masing-masing k₁ dan k₂ (Gambar 3.38). Dua lapisan tersebut dianggap sebagai lapisan tunggal dengan tebal H1 + H2.

Pada tinjauan aliran rembesan satu dimensi arah horizontal, garis-garis ekipotensial dalam lapisan 1 dan 2, adalah vertikal. Jika h1 dan h2 adalah tinggi energi total pada masing-masing lapisan, maka untuk sembarang titik pada tiap lapisannya berlaku h1 = h2. Karena itu, sembarang garis vertikal yang lewat pada dua lapisan merupakan ekipotensial untuk kedua lapisan tersebut.. Jadi, gradien hidrolik dalam dua lapisan dan dalam lapisan tunggal equivalennya dalah sama, yaitu gradien hidrolik ix. Aliran horizontal total persatuan waktu (qx) adalah jumlah debit dari masing-masing lapisan.

Gambar 3.38. Kondisi tanah berlapis Jadi persamaan aliran :

𝑞_𝑥 = 𝑞1+𝑞2 =𝐻1𝑘_𝑥1𝑖_𝑥+𝐻2𝑘_𝑥2𝑖_𝑥 Karena, 𝑞𝑥 = (𝐻1+𝐻2)𝑘𝑥𝑖𝑥

Maka, (𝐻1+𝐻2)𝑘𝑥𝑖𝑥 = (𝐻1𝑘𝑥1+𝐻2𝑘𝑥2)𝑖𝑥

Diperoleh koefisien peremeabilitas ekivalen arah x : 𝑘_𝑥 = ^{𝐻1𝑘𝑥1+𝐻2𝑘𝑥2}

𝐻1+𝐻2 ...(3.162) Dengan k_x1 dan k _x2 berturut-turut adalah koefisien permeabilitas arah x dari lapisan 1 dan 2. Untuk aliran rembesan satu dimensi arah veertikal, debit tiap lapisan dan debit dalam anggapan lapisan tunggal ekivalen harus sama.

Jika persyaratan kontinuitas dipenuhi, maka untuk luas aliran satuan A.

𝑞𝑧 = 𝑣𝑧𝐴= 𝑣1𝐴= 𝑣2𝐴 𝑣_𝑧 =𝑘_𝑧𝑖_𝑧 =𝑘_𝑧1𝑖1 = 𝑘_𝑧1𝑖2

Dengan iz = gradien hidrolik rata-rata pada tanah setebal H1 + H2.

v_z= kevepatan pada arah z Jadi,

𝑖1 = ^𝑘𝑧

𝑘_𝑧1𝑖_𝑧;𝑖2 = ^𝑘𝑧

𝑘_𝑧2𝑖_𝑧 ...(3.163) Dalam keadaan yang sekarang, kehilangan tinggi energi pada ketebalan tanah H1 + H2, sama dengan jumlah kehilangan energi total dalam tiap lapisan, yaitu:

∆𝑕𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∆𝑕1+∆𝑕2 ...(3.164) atau

𝑖_𝑧(𝐻1+𝐻2) =𝑖1𝐻1+𝑖2𝐻2

= 𝑘_𝑧𝑖_𝑧 = ^𝐻1

𝑘𝑧1+ ^𝐻2

𝑘𝑧2

Jadi, koefisien permeabilitas ekivalen arah z:

𝑘_𝑧 = _𝐻1^𝐻1+𝐻2

𝑘𝑧1+^𝐻2 𝑘𝑧2

...(3.165)

Bila masing-masing lapisan tanah isotropis, yaitu lapisan tanah 1 mempunyati k = k 1 dan lapisan tanah 2 mempunyai k = k2, maka:

Untuk aliran arah horizontal, koefisien permeabilitas ekivalen:

𝑘_𝑥 = ^𝐻1_𝐻^{𝑘1+𝐻2𝑘2}

1+𝐻2 ...(3.166)

Untuk aliran arah vertikal, koefisien permeabilitas ekivalen:

𝑘_𝑧 = _𝐻1^𝐻1+𝐻2

𝑘𝑧1+^𝐻2 𝑘𝑧2

...(3.167)

Cara yang sama dapat dilakukan guna menghitung koefisien permeabilitas ekivalen untuk k_x dan k_z pada embarang jumlah lapisan tanah.. Dapat dilihat bahwa k_x, harus

selaluy lebih besar k_z, yaitu rembesan yang terjadi cenderung lebih besar dalam satu sejajar lapisan, daripada dalam arah gerak lurus lapisannya