Pendugaan Interval (Interval estimation)

4 BAB

2. Pendugaan Interval (Interval estimation)

Penentuan dua nilai, yaitu batas bawah ( ^ˆ_L) dan atas ( ˆ_u) dari nilai parameter . Dengan demikain berada pada kedua nilai tersebut dengan probabilitas 1- . Secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut:

P(_{L u}) 1

Interval ˆ_{L u} disebut interval kepercayaan (1- )100% bagi parameter . (1- ) disebut interval kepercayaan (confidence interval) atau derajat batas kepercayaan (degree of confidence limit), sedangkan dalam konteks pengujian hipotesis disebut tingkat signifikansi (level of significant).

5

Pengujian Hipotesis

Pada bab ini Anda akan diperkenalkan apa yang dimaksud dengan pengujian hipotesis dan jenis kesalahan yang terjadi pada dunia nyata, serta berbagai pengujian hipotesis

Nilai suatu penduga pada umumnya tidaklah harus sama dengan nilai parameter sebenarnya. Jika ada dua rata-rata sampel random tidak sama, maka tidaklah selalu berarti bahwa kedua rata-rata populasi itu juga berbeda. Rata-rata kedua populasi tersebut dapat saja sama besarnya, sedangkan berbedanya kedua rata-rata sampel tersebut hanya disebabkan oleh salah melakukan penarikan sampel. Untuk itu perlu dilakukan pengujian hipotesis bahwa kedua rata-rata populasi itu memang berbeda.

Jenis Kesalahan

Andaikan 0 adalah nilai parameter populasi yang dihipotesiskan, maka bentuk umum hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatif/tandingan (H1) sebagai berikut:

H0 : 0 selalu merupakan hipotesis tunggal (nilai spesifik)

sedangkan H1 ada beberapa kemungkinan yaitu:

H1 : > 0 hipotesis majemuk dan bersifat searah H1 : < 0 hipotesis majemuk dan bersifat searah H1 : 0 hipotesis majemuk dan bersifat dwiarah

Hipotesis majemuk disebabkan karena besarnya parameter tidak ditentukan secara spesifik, nilainya lebih dari satu.

Ada dua jenis kesalahan dalam pengujian hipotesis yaitu:

1. Kesalahan jenis I ( ), menolak H0 padahal H0 benar 2. Kesalahan jenis II ( ), menerima H0 padahal H1 benar

Situasi

Keputusan H0 Benar H1 Benar

Terima H0 Keputusan tepat

(1- )

Kesalahan Jenis II ( )

Tolak H0 Kesalahan Jenis I ( )

Keputusan tepat (1- )

Besar kesalahan jenis II ( ) dapat dihitung, jika H1 bersifat hipotesis tunggal (H1 : = 1). Itulah sebabnya untuk H1 bersifat hipotesis majemuk, kita selalu berusaha menolak H0 dan kita tahu pasti besarnya kesalahan pengujian yaitu .

Keputusan yang dibuat berusaha agar kedua jenis kesalahan sekecil mungkin ( dan minimum). Hal ini sukar dicapai untuk sampel n tertentu (tetap), jika diturunkan, maka meningkat. Begitu juga sebaliknya jika diturunkan maka meningkat.

ILUSTRASI

Obat A merupakan suatu jenis vaksin untuk melindungi seseorang dari virus penyakit influensa, yang efektifitasnya hanya tinggal 25% setelah periode 2 tahun. Pada suatu waktu ditemukan vaksin B oleh produsen dinyatakan memiliki efektifitas yang lebih tinggi dari vaksin A. Apakah konsumen mempercayai apa kata produsen tersebut? Ini harus dibuktikan dengan pengujian hipotesis.

Secara statistik persoalan tersebut dapat dinyatakan dengan hipotesis berikut:

H0 : p = ¼ H1 : p > ¼

Vaksin B dikatakan lebih efektif dari vaksin A, jika dari sampel 20 orang yang menggunakan vaksin B, lebih dari 25% diantaranya tetap sehat (misalkan 9 orang atau lebih). Jadi jika 9 orang atau lebih (9 - 20 orang) tetap sehat, maka diputuskan untuk mempercayai perkataan produsen (terima H1 : p = ¼). Pada keadaan sebaliknya jika yang sehat kurang dari 9 orang, maka H0 diterima, artinya vaksin A sama efektifnya dengan vaksin B.

Dari gambaran tersebut, keputusan yang diambil didasarkan pada satu variabel random X, yaitu banyaknya orang yang tetap sehat (x = 0,1,2,...,20). Angka 0-20 dibagi ke dalam 2 bagian, yaitu:

1. x > 8 (9,10,11,...,20), jika hasil observasi terletak pada salah satu angka ini, maka H1 diterima. Daerah x > 8 disebut sebagai daerah kritis (critical region).

2. x = 8 (0,1,2,...,8), jika hasil observasi terletak pada salah satu angka ini, maka H0 diterima. Daerah x = 8 disebut sebagai daerah penerimaan (acceptance region).

Angka x = 8 disebut juga nilai kritis (critical point/critical value)

Penentuan pengambilan keputusan seperti ilustrasi di atas, akan menyebabkan terjadinya 2 kesalahan sekaligus, yaitu:

1. Dengan vaksin A, meskipun efektifitasnya hanya 25%, sebenarnya ada kemungkinan jumlah yang tetap sehat lebih dari 8 orang. Dengan kata lain, jika kita memutuskan menerima H1, maka terjadi kesalahan yang besarnya:

= p(x > 8; p = ¼) = 1 - p(x = 8; p = ¼)

1 20 1 0 9591 0 0409

0 8

1

b x 4 x

( ; , ) . .

Interpretasi:

= kesalahan jenis I, menolak H0 yang benar akibat menerima H1. Dalam konteks permasalahan ini, kesalahan ini dapat diterjemahkan sebagai probabilitas menyatakan obat yang jelek sebagai obat yang baik. Jika cukup besar, maka konsumen akan menanggung kerugian, sebaliknya produsen diuntungkan. Karena dengan probabilitas besar berarti produsen mempunyai kesempatan yang besar pula menjual obat berkualitas rendah dengan harga tinggi.

2. Vaksin B, meskipun efektifitasnya di atas 25% ada kemungkinan untuk menemukan orang tetap sehat kurang dari atau sama dengan 8 orang. Dengan kata lain, jika kita memutuskan menerima H0, maka terjadi kesalahan yang besarnya:

= p(x 8; p = ) ; > 25% (misal = 50%)

8

0

2 1 2

1) ( ;20, ) 0.2517

; 8 (

x

x b p

x p

Interpretasi:

= kesalahan jenis II, menolak H1 yang benar akibat menerima H0. Dalam konteks permasalahan ini, kesalahan ini dapat diterjemahkan sebagai probabilitas menyatakan obat yang baik sebagai obat yang jelek. Jika kesalahan ini cukup besar, maka jelas pihak konsumen akan diuntungkan, sebaliknya produsen dirugikan. Karena dengan probabilitas besar berarti konsumen berkesempatan membeli obat yang baik dengan harga murah.

PENGARUH NILAI KRITIS TERHADAP DAN 1. Nilai Kritis Menjadi Lebih Kecil (misalnya : 5)

p x( 5;p ¹₄) 1 p x( 5;p ¹₄)

1 20

1 0 6172 0 3828

1 4 0

5

b x

x

( ; , )

. .

p x p b x p

x

( ; ( ; , ) !

.

5 20

0 0577

1 2

1 2 0

6

, ingat misalnya p =

1 2

Akibatnya: makin besar, sedangkan makin kecil.

2. Nilai Kritis Menjadi Lebih Besar (Misalnya : 10) p x( 10;p ₄¹) 1 p x( 10;p ¹₄)

1 20

1 0 9961 0 0039

1 4 0

10

b x

x

( ; , )

. .

p x p b x p

x

( ; ( ; , ) !

.

10 20

0 5881

1 2

1 2 0

10

, ingat misalnya p =

1 2

Akibatnya: makin kecil, sedangkan makin besar.

Catatan: Tidak mungkin dan makin kecil secara bersama-sama, jika ukuran sampel tetap.

PENGARUH JUMLAH SAMPEL TERHADAP DAN

Andaikan jumlah sampel dinaikkan dari 20 menjadi 100 dan nilai kritis menjadi 40. Karena n cukup besar (n > 30) maka dan bisa dihitung dengan pendekatan distribusi normal berikut:

Untuk : np

npg

P X p P Z

100 25

100 4 3301

40 40 25

4 3301

1 4

1 4

3 4 1 4

( )

( )( ) .

( ; ) (

. )

P Z P Z

( . )

( . )

. .

3 46

1 3 46

1 0 9997 0 0003

Untuk (ingat misalnya p = ½!):

np npg

P X p P Z

100 50

100 5

40 40 0 5 50

5

1 2

1 2

1 2 1 2

( )

( )( )

( ; ) ( .

) P Z( . )

.

19 0 0287

Akibatnya: dan makin kecil dengan meningkatnya ukuran sampel.

CATATAN YANG HARUS DIINGAT

Dari perhitungan dan , jelas terlihat setiap hipotesis harus spesifik, bukan hipotesis majemuk. Untuk menghitung dan , H0 dan H1 harus menggunakan tanda sama dengan (=). Berapa kondisi hipotesis, yaitu:

1. Hanya yang bisa dihitung:

H0 : = 0 H1 : > 0

< 0 0

2. dan bisa dihitung:

H0 : = 0 H1 : = 1

Pengujian Hipotesis Proporsi

Proporsi merupakan persentase atau rasio antara banyaknya individu yang memiliki ciri atau sifat tertentu dalam sampel terhadap total banyaknya sampel. Jika x menyatakan banyaknya individu yang memiliki ciri tertentu dan n menyatakan ukuran sampel, maka proporsi didefinisikan sebagai:

p x n

Dalam kehidupan sehari-hari sering ditemukan pengujian pendapat mengenai proporsi. Misalnya: Apakah proporsi orang tidak setuju KB sama dengan suatu nilai tertentu, apakah proporsi barang yang rusak sama dengan suatu nilai tertentu dll. Semua kejadian seperti ini tentunya berbicara mengenai sukses dan gagal, artinya kita berhadapan dengan distribusi binomial.

PENGUJIAN SEBUAH PROPORSI

 Ukuran Sampel Kecil

Langkah-langkah pengujian hipotesis:

1. H0 : p = p0

2. H1 : p < p0 atau H1 : p > p0 atau H1 : p p0 3. Tentukan taraf nyata ( ) pengujian

4. Tentukan p-value:

* Untuk H1 : p < p0 dan banyaknya individu yang memiliki ciri yang diamati adalah x = c, maka:

p value P X c p p b x n p

x c

( ; ₀) ( ; , ₀)

0

* Untuk H1 : p > p0 dan banyaknya individu yang memiliki ciri yang diamati adalah x = c, maka:

p value P X( c p, p ) P X( c ;p p ) )

0 1 1 0

= 1 - b(x; n, p₀

x=0 c-1

* Untuk H1 : p p0 dan banyaknya individu yang memiliki ciri yang diamati adalah x = c, maka:

p value P X c p p c np

P X c p p c np

2 2

0 0

0 0

( ; ),

( ; )

jika , jika

5. Keputusan tolak H0, jika p-value <

 Ukuran Sampel Besar

Jika n relatif besar dan p0 mendekati ½, maka pengujian proporsi dapat dilakukan dengan pendekatan distribusi normal. Langkah-langkah pengujian hipotesisnya adalah:

1. H0 : p = p0

2. H1 : p < p0 atau H1 : p > p0 atau H1 : p p0 3. Tentukan taraf nyata ( ) pengujian!

4. Tentukan nilai kritis Z atau Z /2 dari tabel normal baku!

5. Hitung statistik uji.

Z x np

np p

0 0(1 0) 6. Keputusan:

* Untuk H1 : p < p0 tolak H0 jika Z < - Z

* Untuk H1 : p > p0 tolak H0 jika Z > Z

* Untuk H1 : p p0 tolak H0 jika Z < - Z /2 atau Z > Z /2

Contoh, Suatu populasi memiliki distribusi normal dengan standar deviasi 5. Suatu sampel random sebanyak 36 memiliki rata-rata 30. Buatlah interval keyakinan rata-rata populasi dengan tingkat keyakinan 90%.

Jawab:

% 10

% 90

; 30

; 36

;

5 n x C

Yang harus dilakukan adalah mencari standar deviasi rata-rata _xdan menentukan Z _/2.

645 , 1 ) 05 , 0 (

8333 , 0 36 5

2

/ ZP

Z

x n

Jadi, interval keyakinan dengan tingkat keyakinan 90% adalah:

37 , 31 63

, 28

) 8333 , 0 ( 645 , 1 30 )

8333 , 0 ( 645 , 1 30

Contoh, Diketahui proporsi sampel adalah 0,07. Berapakah interval keyakinan proporsi sampel tersebut untuk C=90%?

Jawab:

% 10

% 90

; 07 ,

0 C

p

Yang harus dilakukan adalah mencari standar deviasi proporsi pdan menentukan Zp.

645 , 1 05 , 0 5 , 0

0144 , 499 0

) 93 , 0 ( 07 , 0

p p

Z S

Jadi, interval keyakinan dengan tingkat keyakinan 90% adalah:

089 , 0 051

, 0

) 0114 , 0 ( 645 , 1 07 , 0 )

0114 , 0 ( 645 , 1 07 , 0

P

P

PENGUJIAN SELISIH DUA PROPORSI

Jika n1 dan n2 menyatakan banyaknya sampel dari populasi 1 dan 2, serta x1 dan x2 menyatakan banyaknya individu yang memiliki ciri yang diamati dari populasi 1 dan 2, maka langkah-langkah pengujian selisih proporsi kedua populasi sebagai berikut:

1. H0 : p1 - p2 = d0

2. H1 : p1 - p2 < d0 atau H1 : p1 - p2 > d0 atau H1 : p1 - p2 d0 3. Tentukan taraf nyata ( ) pengujian!

4. Tentukan nilai kritis Z atau Z > Z /2 dari tabel normal baku!

5. Hitung statistik uji:

Z p p d

p p _{n n}

(  )

( )[ ]

1 2 0

1 1

1 1 2 , jika d0 = 0

Z p p d

p q n

P q n

 

   

1 2 0

1 1 1

2 2

2 , jika d0 0 dimana:

 /

 /



p x n

p x n

p x x

n n

1 1 1

2 2 2

1 2

1 2

6. Keputusan:

* Untuk H1 : p1 - p2 < d0 tolak H0 jika Z < - Z

* Untuk H1 : p1 - p2 > d0 tolak H0 jika Z > Z

* Untuk H1 : p1 - p2 d0 tolak H0 jika Z < - Z /2 atau Z > Z /2

Pertanyaan Diskusi

Diskusikan beberapa pertanyaan di bawah ini !

2. Seorang pemborong menyatakan bahwa 70% rumah-rumah yang

dibangun di kota Bogor dipasang PAM. Apakah pernyataan ini benar, jika diantara 15 rumah baru yang diambil secara random terdapat 8 rumah menggunakan PAM? Gunakan taraf nyata pengujian 0.10!

2. Suatu obat penenang ketegangan syaraf diduga hanya 60% efektif. Hasil percobaan dengan obat baru terhadap 100 orang dewasa penderita ketegangan syarat yang diambil secara random, menunjukkan obat tersebut 70% efektif. Apakah benar obat baru lebih baik dari yang beredar sekarang? Gunakan pada taraf nyata 5%!

3. Ada dua penduduk kota, yaitu A dan B yang berkepentingan dengan pembangunan pusat tenaga listrik nuklir. Untuk itu dilakukan pemungutan suara, apakah penduduk kedua kota menyetujui pembangunan tersebut. Ada 120 orang diantara 200 penduduk kota A dan 240 orang diantara 500 penduduk kota B menyetujui pembangunan tersebut. Apakah benar proporsi penduduk kota A yang menyetujui lebih banyak dari kota B? Gunakan taraf nyata 2.5%!

4. Pada masa lalu 40% orang dewasa setuju dengan hukuman mati. Apakah beralasan untuk mempercayai bahwa pada saat ini proporsi orang yang menyetujui hukuman mati telah meningkat, jika diantara 15 orang dewasa yang diambil secara random, 8 orang menyetujui hukuman mati?

Gunakan taraf nyata 5%!

5. Sebuah pabrik rokok memproduksi dua merk rokok yang berbeda. Ternyata 56 orang diantara 200 perokok menyukai merk A dan 29 diantara 150 perokok menyukai merk B. Pada taraf nyata 6%, dapatkah dikatakan:

a. Rokok merk A terjual lebih banyak daripada merk B!

b. Selisih penjualan rokok merk A terhadap merk B kurang dari 10%?

Pengujian Hipotesis Rata-Rata



PENGUJIAN SEBUAH RATA-RATA

 Diketahui Dan Atau ukuran sampel (n) Relatif Besar (n 30).

Langkah-langkah pengujian hipotesis:

1. H0 : = 0

2. H1 : < 0 atau H1 : > 0 atau H1 : 0 3. Tentukan taraf nyata ( ) pengujian!

4. Tentukan nilai tritis Z atau Z /2 dari tabel normal baku!

5. Hitung statistik uji:

Z x n

0

/ 6. Keputusan:

* Untuk H1 : < 0 tolak H0, jika Z < - Z

* Untuk H1 : > 0 tolak H0, jika Z > Z

* Untuk H1 : 0 tolak H0, jika Z < - Z /2 atau Z > Z /2

 Tidak Diketahui Dan Atau ukuran sampel (n) Relatif Kecil (n < 30).

Langkah-langkah pengujian hipotesis:

1. H0 : = 0

2. H1 : < 0 atau H1 : > 0 atau H1 : 0 3. Tentukan taraf nyata ( ) pengujian!

4. Tentukan nilai tritis t atau t /2 dari tabel distribusi -t!

5. Hitung statistik uji:

t x s n

0

/ , dengan derajat bebas v = n - 1 6. Keputusan:

* Untuk H1 : < 0 tolak H0, jika t < - t

* Untuk H1 : > 0 tolak H0, jika t > t

* Untuk H1 : 0 tolak H0, jika t < - t /2 atau t > t /2

PENGUJIAN SELISIH DUA RATA-RATA

 1 Dan 2 Diketahui

Langkah-langkah pengujian hipotesis:

1. H0 : 1 - 2 = d0

2. H1 : 1 - 2 < d0 atau H1 : 1 - 2 > d0 atau H1 1 - 2 d0 3. Tentukan taraf nyata ( ) pengujian!

4. Tentukan nilai kritis z atau z /2 dari tabel normal baku!

5. Hitung statistik uji:

Z x x d

n n

( )

( / ) ( / )

1 2 0

1 2

1 2

2 2

6. Keputusan:

* Untuk H1 : 1 - 2 < d0 tolak H0, jika Z < - Z

* Untuk H1 : 1 - 2 > d0 tolak H0, jika Z > Z

* Untuk H1 : 1 - 2 d0 tolak H0, jika Z < - Z /2 atau Z > Z /2

 1 = 2 , Tetapi Nilainya Tidak Diketahui Langkah-langkah pengujian hipotesis:

1. 1 s.d. 3 sama seperti sebelumnya!

4. Tentukan nilai kritis t atau t /2 dari tabel distribusi t!

5. Hitung statistik uji:

t x x d

s_p n n

( )

( / ) ( / )

1 2 0

1 2

1 1 , dengan derajat bebas v = n1 + n2 - 2 dengan derajat bebas v = n1 + n2 - 2

dimana:

s n s n s

n n

p

2 1 1

2

2 2

2

1 2

1 1

2

( ) ( )

6. Keputusan:

* Untuk H1 : 1 - 2 < d0 , jika t < - t

* Untuk H1 : 1 - 2 > d0 , jika t > t

* Untuk H1 : 1 - 2 d0 , jika t < - t /2 atau t > t /2

 1 2 Dan Tidak Diketahui Langkah-langkah pengujian hipotesis:

1. 1 s.d. 4 sama seperti sebelumnya!

5. Hitung statistik uji:

t x x d

s n s n

( )

( / ) ( / )

1 2 0

1 2

1 2

2 2

dengan derajat bebas

v s n s n

s n n

s n n

( / / )

( / ) ( / )

1 2

1 2

2 2

2

1 2

1 2

1

2 2

2 2

1 2 1

6. Keputusan:

* Untuk H1 : 1 - 2 < d0 , jika t < -t

* Untuk H1 : 1 - 2 > d0 , jika t > t

* Untuk H1 : 1 - 2 d0 , jika t < - t /2 atau t > t /2

 Observasi Berpasangan

Langkah-langkah pengujian hipotesis:

1. 1 s.d. 4 sama seperti sebelumnya!

5. Hitung statistik uji:

t d d s_d n

0

/ , dengan derajat bebas v = n - 1 dimana:

s n d d

d n n

i i

2 2

1

( )

( )

6. Keputusan: sama seperti sebelumya!

Dalam konteks pendugaan, informasi dari sampel digunakan untuk menduga nilai parameter populasi.

Sedangkan dalam konteks pengujian, nilai parameter populasi diasumsikan terlebih dahulu. Selanjutnya, digunakan informasi dari sampel untuk menerima atau menolak nilai yang sudah diasumsikan tersebut.

Prosedur pengujian hipotesis mencakup:

1. Menetapkan null hypothesis (H_O) dan alternative hypothesis (H₁).

2. Menentukan “nilai kritis” atau daerah untuk menolak atau menerima H_O.

3. Menghitung nilai tes statistik (sesuai distribusi yang digunakan).

4. Membuat keputusan secara statistik untuk menolak atau menerima H_O dengan membandingkan nilai tes statistik dengan nilai kritis.

Untuk lebih jelasnya, prosedur pengujian hipotesa (koefisien regresi parsial) dapat dicontohkan sebagai berikut:

a. Menentukan hipotesa awal dan hipotesa alternatif sebagai berikut:

0 : ₂

H0  artinya, koefisien regresi tidak memiliki pengaruh signifikan.

0 : ₂

H1  artinya, koefisien regresi memiliki pengaruh signifikan.

b. Menentukan “nilai kritis” (seperti: t-tabel) dan “nilai statistik” (sesuai distribusi yang dipilih) dan membandingkan keduanya untuk menolak atau menerima H_0.

Untuk sampel yang jumlahnya kurang dari atau sama dengan 30, digunakan distribusi t.

Sebagai contoh:

dimana: ^₁ = nilai koefisien regresi yang diestimasi S^ = standar deviasi koefisien regresi

Dalam konteks inferensi regresi, dibutuhkan nilai standar deviasi populasi. Karena nilai ini tidak diketahui, maka deviasi standar populasi bisa diduga dengan standar deviasi sampel.

Rumusnya adalah

2

2

n S_e e

Dalam hal ini, karena ada dua parameter ( ₁ dan ₂) yang akan diduga, maka derajat bebasnya adalah n - 2. Karena e² Y² ₁ Y ₂ XY, maka standar deviasi dapat ditulis dengan

2

2 1

2

n

XY Y

S_e Y

Standar deviasi digunakan untuk menunjukkan variasi titik-titik sampel di sekitar garis regresi. Sebagaimana dijelaskan di atas, tidak semua set data terletak di garis regresi. Apabila semua set data berada di garis regresi, standar deviasi sama dengan nol (S_e 0). Semakin besar nilai standar deviasi berarti penduga Y semakin kurang tepat.

c. Membuat keputusan secara statistik untuk menolak atau menerima H_O dengan membandingkan nilai tes statistik dengan nilai kritis. Dasar penerimaan dan penolakan H₀ (dengan contoh distribusi t) dapat dirumuskan sebagai berikut:

2 2

,_n

statistik t

t  berarti null hypothesis (H₀) diterima

2 2

,_n

statistik t

t  berarti null hypothesis (H₀) ditolak



 t_statistik S¹

Selanjutnya, dapat dilakukan pengujian model secara keseluruhan. Prosedur pengujian model ini tidak jauh berbeda dengan prosedur pengujian koefisien regresi parsial. Tahapannya dapat dilakukan sebagai berikut:

1. Menentukan null hypothesis dan alternatif hypothesis dari suatu model yang dinyatakan sebagai berikut:

H₀: Model tidak signifikan menjelaskan variabel bebas (x).

H₁: Model signifikan menjelaskan variabel bebas (x),

2. Untuk menentukan signifikansi suatu model, digunakan uji F (F-test) yang dapat dirumuskan sebagai berikut:

) 1 (

) 1 ) ( 1

( ²

2

k n R

k R k

n SSE

k F SSR

dimana:

n = jumlah sampel atau observasi k = jumlah variabel bebas

SSR = jumlah kuadrat regresi

SSE = jumlah kuadrat dari kesalahan (error) peramalan SST = SSR + SSE = jumlah kuadrat total

Untuk SSR (Y_i Y)²

; SSE (Y_i Y_i)² dan )2

(Y_i Y_i SST

3. Untuk memutuskan apakah suatu model signifikan atau tidak, dibuat kriteria penerimaan atau penolakan null hypothesis (H₀) berikut:

2 1,

;n n statistik F

F  berarti null hypothesis (H₀) diterima

2 1,

;n n statistik F

F  berarti null hypothesis (H₀) ditolak dengan n₁ k adalah derajat pembilang

2 n k 1

n adalah derajat penyebut

Koefisien Determinasi. Selanjutnya, untuk mengukur kesesuaian model dapat digunakan indikator R². Indikator ini menyatakan seberapa besar variasi dari variabel bebas (X) mampu menjelaskan perubahan variabel terikat (Y). Koefisien determinasi (R²) dapat dirumuskan sebagai berikut:

2 2 2

) (

) (

Y Y

Y Y SST

R SSR

i i



Rumus tersebut dapat disusun kembali dalam bentuk:

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

) (

) (

Y n Y

X n X Y

Y X R X

i i i

i

Contoh, Dari enam kali observasi yang dilakukan, jumlah produksi rumput gajah dapat dirangkum sebagai berikut: 1.4 ton/ha, 1.8 ton/ha, 1.1 ton/ha, 1.9 ton/ha, 2.2 ton/ha, dan 1.2 ton/ha. Dengan taraf signifikansi sebesar 5%, apakah data tersebut mendukung pernyataan bahwa rata-rata produksi rumput gajah adalah 1.5 ton/ha.

Jawab:

Pertama kali, harus dicari nilai rata-rata dan standar deviasi sampel 1) Nilai rata-rata sampel

6 . 6 1

6 . 9 n X X

2) Nilai standar deviasi sampel

4336 . 0 188 . 5 0

94 . 0

1 )

( ²

S

n X

S Xⁱ

Membuat prosedur pengujian hipotesa sebagaimana di atas:

a. : 1.5 5 . 1 :

1 0

H H

b. Taraf signifikansi 0.05.Pengujian dua sisi sampel kecil (n<30). Nilai t_0.025;5 =2.571 c. Kriteria pengujian:

H₀ diterima apabila: 2.571 t 2.571 Ho ditolak apabila: t 2.571 atau t 2.571 d. Perhitungan nilai t:

n S t X

/

0

565 . 177 0 . 0

1 . 0 6 / 4336 . 0

5 . 1 6 . t 1 e. Kesimpulan:

Oleh karena t hitung (0.565) lebih kecil dari t tabel (2.571) maka hipotesa nol diterima, yaitu bahwa rata- rata produksi rumput gajah adalah 1.5 ton/ha.

Dalam suatu survei, dipilih 400 wanita yang sedang berbelanja secara random di Supermarket “Selalu Senang” di kota A. Rata-rata pengeluaran untuk pembelian bahan makanan per minggu adalah RP 20.000 dengan standar deviasi sebesar Rp 6000. Di kota B, juga diambil 400 wanita yang sedang berbelanja di Supermarket “Tetap Lancar” secara random. Rata-rata pengeluaran untuk pembelian bahan makanan per minggu adalah RP 16.000 dengan standar deviasi sebesar Rp 7500. Dengan tingkat kepercayaan 95%, ujilah bahwa rata-rata pengeluaran belanja di kedua kota tersebut adalah sama.

Jawab:

Membuat prosedur pengujian hipotesa perbedaan rata-rata sebagai berikut:

a.

B B A

H H

: :

1

0 atau

0 :

0 :

1 0

B A

B A

H H

b. Taraf signifikansi 0.05. Nilai Z_0.025=1.96 c. Kriteria pengujian:

H₀ diterima apabila: 1.96 Z 1.96 Ho ditolak apabila: Z 1.96 atau Z 1.96 d.Perhitungan nilai Z:

329 . 23 8 , 480

4000 400

7500 400

6000

) 0 ( ) 000 . 16 000 . 20 (

) (

) (

2 2

2 2

Z

n S n S X Z X

B B A A

B A B

A

e. Kesimpulan:

Oleh karena Z hitung (8.329) lebih besar dari Z tabel (1.96) maka hipotesa nol ditolak, artinya, rata-rata pengeluaran untuk pembelian bahan makanan para wanita per minggu berbeda nyata pada taraf keyakinan 95%.

Pertanyaan Diskusi

Diskusikan beberapa pertanyaan di bawah ini !

3. Sebuah perusahaan alat olah raga mengembangkan jenis batang pancing sintetik, yang rata-rata 8 kg dan standar deviasi 0.5 kg. Ujilah hipotesis bahwa = mempunyai kekuatan

8 lawan alternatifnya 8, jika suatu sampel random 50 batang pancing setelah di tes memberikan kekuatan rata-rata 7.8 kg. Gunakan taraf nyata 0.01!

2. Waktu rata-rata yang diperlukan setiap mahasiswa program Extension FEUI untuk daftar ulang adalah 50 menit dengan standar deviasi 10 menit. Suatu prosedur pendaftaran baru dengan menggunakan alat modern sedang diuji coba. Dari sampel random 12 mahasiswa memerlukan waktu pendaftaran rata-rata 42 menit dengan standar deviasi 11.9 menit dengan menggunakan sistem baru tersebut. Lakukanlah pengujian bahwa rata-rata populasi sekarang kurang dari 50 menit, gunakan taraf nyata 5%!



3. Mata kuliah Statistika Ekonomi diberikan pada 12 mahasiswa dengan metode pengajaran biasa. Kelas lain yang terdiri dari 10 mahasiswa diberi mata kuliah yang sama dengan menggunakan metode yang diprogramkan. Pada akhir semester mahasiswa kedua kelas tersebut diberikan ujian yang sama. Kelas pertama mencapai nilai rata-rata 85 dan standar deviasi 4, sedangkan kelas yang menggunakan metode terprogramkan memperoleh nilai rata-rata 81 dan standar diviasi 5. Lakukan pengujian apakah kedua metode pengajaran itu sama, dengan menggunakan taraf nyata 0.10! Asumsikan kedua populasi mendekati distribusi normal dengan varians sama!

4. Untuk mengetahui apakah keanggotaan dalam organisasi mahasiswa mempunyai akibat baik atau buruk pada nilai seseorang. Nilai indeks prestasi rata-rata berikut ini telah dikumpulkan selama periode 5 tahun:

Tahun

Organisasi 1 2 3 4 5

Anggota 2.0 2.0 2.3 2.1 2.4

Bukan Anggota 2.2 1.9 2.5 2.3 2.4

Dengan asumsi bahwa populasi normal, ujilah pada taraf nyata 2.5%, apakah keanggotaan dalam organisasi mahasiswa berakibat buruk pada nilai yang dicapai seseorang?

5. Ada yang mengatakan bahwa jarak yang ditempuh sebuah mobil secara rata-rata lebih dari 20.000 km per tahun. Untuk menguji pendapat ini, suatu sampel random 100 pemilik mobil diminta mencatat kilometer yang telah ditempuhnya. Apakah Anda sependapat dengan pernyataan di atas, jika sampel tersebut menghasilkan rata-rata 23.500 km dengan standar deviasi 3.900 km? Gunakan taraf nyata 0.02!

6. Sebuah perusahaan menyatakan bahwa kekuatan rentangan rata-rata tali A melebihi kekuatan rentangan tali B sekurang-kurangnya 12 kg. Untuk menguji pernyataan ini, 50 tali dari masing- masing jenis diuji dibawah kondisi yang sama. Hasil uji memperlihatkan tali A mempunyai kekuatan rentangan rata-rata 86.7 kg dengan standar deviasi 6.28 kg, sedangkan tali B mempunyai kekuatan rentangan rata-rata 77.8 kg dengan standar deviasi 5.61 kg. Ujilah pernyataan perusahaan tersebut dengan menggunakan taraf 0.05!