Analisis Kuantitatif
MAGISTER PERENCANAAN EKONOMI DAN KEBIJAKAN PEMBANGUNAN
Modul Kelas Pembekalan T.A. Gasal 2023/2024
STATISTIKA
Modul Kelas Pembekalan T.A. Gasal 2023/2024
Analisis Kuantitatif
MPKP UI
Gd. MPKP Kampus UI Salemba Phone 3912007, 3925313 • Fax 3925339
Daftar Isi
B A B 1
Pendahuluan 1
Populasi dan Sampel 2
Skala Pengukuran 3
B A B 2
Ukuran Pemusatan dan Dispersi
Ukuran Pemusatan 5
Ukuran Dispersi 10
Pertanyaan Diskusi 12
B A B 3 Probabilitas
Definisi 13
Mencacah Titik Sampel 15
Probabilitas Bersyarat 16
Hukum Bayes 18
Distribusi Variabel Random 19
Pertanyaan Diskusi 24
B A B 4
Distribusi Probabilitas dan Sampling
Distribusi Binomial 30
Distribusi Poisson 33
Distribusi Hipergeometrik 35 Distribusi Eksponensial 37
Distribusi Normal 38
Distribusi Sampling 42
B A B 5
Pengujian Hipotesis
Jenis Kesalahan 46
Pengujian Hipotesis Proporsi 53 Pengujian Hipotesis Rata-Rata 57
Pendahuluan
Pada bab ini Anda akan diperkenalkan apa yang dimaksud metode statistika, jenis data, populasi, dan sampel
Metode statistika adalah prosedur-prosedur yang digunakan dalam pengumpulan, penyajian, analisis dan penafsiran data. Metode statistika digunakan untuk mendapatkan suatu fenomena umum atau fenomena khusus yang diperoleh dari data pada waktu dan tempat tertentu. Secara umum metode stastitika dibagi dua yaitu:
1. Stastitika Deskriptif
Statistika Deskriptif memberikan ulasan mengenai gugus data melalui cara deskripsi data untuk mengungkapkan gejala khusus Umumnya melalui penyajian grafik atau tabel. Metode-metode yang berkaitan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna.
- Memberikan informasi hanya mengenai data yang dipunyai.
- Tidak menarik inferensia/kesimpulan apapun tentang gugus data induknya (populasi) yang lebih besar.
- Penyusunan tabel, diagram, grafik dan besar-besaran lain.
2. Statistika Inferensia
1
Stastitika Inferensia memberikan ulasan mengenai gugus data untuk tujuan mendapatkan fenomena umum. Sehubungan untuk tujuan pendugaan suatu fenomena umum, statistika ini memberikan tingkat signifikansi dari angka yang dihasilkan. Metode ini melakukan peramalan atau penarikan kesimpulan mengenai keseluruhan gugus data induknya (populasi). Generalisasi yang berhubungan dengan statistika inferensia selalu mempunyai sifat teori probabilitas tak pasti.
Contoh:
1. Data curah hujan selama 30 tahun terakhir.
- Curah hujan rata-ratanya pada bulan Juli selama 30 tahun terakhir = 3.3 Cm. Nilai ini menunjukkan hanya menunjukkan nilai rata-rata dari sekumpulan data tanpa mengandung makna keberartian dari suatu nilai.
Contoh ini adalah statistika deskriptif.
- Curah hujan pada bulan Juli tahun depan antara 3.2 dan 3.4. Nilai ini menunjukkan suatu rentang kepercayaan dimana pada rentang tersebut didapatkan kepastian yang besar. Contoh ini adalah statistika inferensia 2. Kelulusan selama 5 tahun terakhir di suatu PT
- 72% diantara mahasiswa baru masuk ke PT berhasil menyelesaikan studinya s. deskriptif.
- Anda berkesimpulan sifat tak pasti > 70%, Anda lulus sarjana s.
inferensia.
Populasi dan Sampel
Populasi adalah keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian kita, baik terhingga maupun tak terhingga. Sedangkan sampel adalah suatu himpunan bagian dari populasi.
Populasi Sampel Parameter Statistik
Parameter adalah sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi dihitung dari data populasi
Statistik adalah sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu sampel untuk menduga parameter, dihitung dari data sampel.
Notasi untuk parameter dan statistik:
No. Item Parameter Statistik
1 Banyaknya pengamatan N N
2 Rata-rata x
3 Median Md md
4 Modus M0 m0
5 Variance 2 s2
6 Deviasi Standar s
7 Proporsi
Skala Pengukuran
Dalam pengolahan data untuk keperluan analisis, skala pengukuran data menjadi hal yang sangat penting. Skala pengukuran data sangat terkait dengan alat analisis atau statistik yang akan digunakan. Misalnya: untuk data jenis kelamin, sangatlah tidak tepat jika timbul suatu pertanyaan: berapa rata-rata jenis kelamin mahasiswa yang mengambil mata kuliah statistika I. Hal ini menyatakan bahwa tidak tepat menggunakan statistik rata-rata untuk jenis kelamin.
N n
Ada empat skala pengukuran yaitu:
1. Skala nominal
Skala ini merupakan skala data yang paling rendah karena hanya mampu menyebutkan atau menyatakan suatu keadaan. Skala ini tidak mampu membedakan mana yang baik atau yang lebih besar. Dengan kata lain hanya menunjukkan kelompok atau golongan. Misalnya: jenis kelamin, agama, suku dan lain-lain.
2. Skala ordinal
Skala ini tidak hanya mampu menyebutkan atau menyatakan suatu keadaan, tetapi juga mampu menyusun atau mengurutkan yang mana yang baik atau yang lebih besar. Skala ordinal tidak mampu menyatakan berapa besar perbedaan atau selisih kedua nilai. Misalnya: huruf mutu (A, B, C, D dan E), huruf A tentu saja lebih baik dari B, begitu juga seterusnya B terhadap C sampai pada huruf yang paling kecil.
Dalam hal ini kita tidak tahu secara pasti berapa perbedaan nilai antara A, B, C, D dan E. Pada skala ini memang didisain tidak membicarakan besarnya perbedaan tetapi membicarakan urutan. Skala ordinal juga menggunakan huruf 1, 2, 3 4 dan 5 hanya untuk menunjukkan bahwa 5 lebih besar dari 4 dan seterusnya.
3. Skala interval
Skala data ini selain mampu menyebutkan dan mengurutkan suatu data, juga mampu menghitung perbedaan nilai suatu data. Misalnya: suhu (400C dan 800C), perbedaan suhu tersebut dapat dihitung yaitu: 400C, tetapi kita tidak dapat mengatakan bahwa suhu 800C dua kali lebih panas dari 400C. Hal ini disebabkan karena data suhu 00C bukan merupakan nilai nol mutlak.
4. Skala rasio
Skala data ini merupakan skala data yang paling tinggi dibandingkan tiga skala di atas, karena memiliki kemampuan merasiokan suatu data. Misalnya: berat badan (A=40 kg dan B=80 kg), dalam hal ini kita bisa menyatkan bahwa B lebih berat dari A sebesar 40 kg dan berat B dua kali lipat dari A.
Pemilihan Metode Statistik yang Tepat
Di dalam penelitian, proses analisis berkaitan berkaitan dengan proses pengambilan keputusan alat analisis yang tepat. Oleh karena itu, diperlukan metode statistik yang tepat untuk menghasilkan keputusan yang masuk akal.
Pemilihan metode statistik yang tepat pada dasarnya dipengaruhi oleh tiga fak- tor utama: (1) tujuan studi, (2) jumlah variabel yang diteliti, dan (3) skala pengukuran yang digunakan.
Berdasarkan tujuan studi atau tujuan pengujian penelitian dapat diklasifikasikan seperti dalam bagan berikut.
Gambar 1.
Bagan Pengklasifikasian Tujuan Pengujian Penelitian
Berdasarkan jumlah variabel penelitian yang akan diteliti, penelitian dapat diklasifikasikan ke dalam tiga kategori berikut.
Tujuan Studi
Eksplorasi
Desktiptif
Uji Hipotesis Uji Perbedaan
Uji Hubungan
Korelasional Sebab akibat
Gambar 2. Bagan Pengklasifikasian Jumlah Variabel Penelitian
Berdasarkan skala pengukuran penelitian dapat diklasifikasi ke dalam skala ukuran, sebagai berikut.
Gambar 3. Bagan Pengklasifikasian Skala Pengukurart Penelitian
Anda belum dapat menentukan metode statistik yang tepat apabila hanya didasarkan pada pertimbangan satu atau dua faktor saja, oleh karena ketiga faktor tersebut saling terkait. Misal, penelitian yang dilakukan oleh dua peneliti yang berbeda meskipun tujuan studinya sama, tetapi apabila jumlah variabel dan skala pengukuran yang digunakan berbeda maka kedua peneliti tersebut tidak berarti dapat menggunakan metode statistik yang sama untuk menganalisis data.
Jumlah Variabel yang diteliti
Satu Variabel
Dua Variabel
Lebih dari Dua Variabel
Analisis Data Univariat
Analisis Data Bivariat
Analisis Data Multvariat
Skala Pengukuran
Skala Nominal
Skala Ordinal
Skala Interval
Metode Statistik Parametrik
Metode Statistik Non Parametrik Skala Ratio
Tabel 4. Contoh Penggunaan Metode Statistik untuk Menguji Hipotesis
SKALA PENGUKUR
AN
BENTUK HIPOTESIS Deskriptif
(Satu Variabel atau Satu
Sampel
Komparattf (Dua Sampel)
Komparatif (lebih dari Dua Sampel)
Asosiatif (Hubungan)
Related Independen Related Independen Nominal Binomial
2 Satu sampel
Mc
Nemar
Fisher Exact Probabilty
2 Dua sampel
Cochran Q 2 k sampel Contingency Coefficient C Ordinal Run Test
Sign test Wilcoxon Matched pairs
Median Test Mann Whitney U Test Kolomogorof Sminov Wald Woldfowitz
Friedman Two- Way Anova
Median Extension
Kruskal Walls One Way Anova
Spearman Rank Correlation
Kendall tau
I Interval Rasio
T-test t-test related
t-test independent
One-Way Anova Two Way Anova
One-Way Anova Two Way Anova
Korelasi Product Moment Korelasi Parsial Korelasi Ganda Regresi Sederehana Regresi Ganda
Penggunaan metode statistik untuk menguji hipotesis penelitian dapat dicontohkan seperti dalam Tabel 4.
S T A T I S T I K A
Ukuran Pemusatan dan Dispersi
Pada bab ini Anda akan diperkenalkan apa yang dimaksud dan sifat-sifat ukuran pemusatan dan dispersi
Ukuran Pemusatan
Ukuran pemusatan menunjukkan nilai atau titik dimana data atau observasi berpusat atau mengumpul. Ada beberapa ukuran pemusatan, yaitu (1) rata-rata hitung (arithmetic mean), (2) median, (3) modus, (4) rata-rata hitung tertimbang (weighted mean), dan (5) rata-rata ukur (geometric mean), kuartil, desil, dan persentil. Dalam modul ini hanya dibahas ukuran pemusatan untuk data yang tidak dikelompokkan.
1. Rata-rata Hitung/Rata-rata
Pada umumnya disebut juga dengan rata-rata.
- Populasi dihitung dengan
x x x
N
x N
N
i i
N
1 2 ... 1
- Sampel dihitung dengan X x x n
x n
i i
n
1 2 ... xn 1
- Sifat-sifat:
2 BAB
a. Setiap gugus data skala interval dan rasio memiliki sebuah rata-rata.
Contoh data skala interval dan rasio: suhu, umur, pendapatan, berat dll.
b. Jumlah deviasi/simpangan setiap nilai observasi terhadap rata-ratanya selalu sama dengan nol (x x 0).
c. Sangat dipengaruhi nilai ekstrim (sangat besar atau kecil).
2. Median
- Ditentukan dengan cara mengurutkan data terlebih dahulu dari nilai terkecil ke nilai terbesar atau sebaliknya.
- Jika banyaknya observasi (n) ganjil maka posisi median berada pada (n+1)/2.
- Jika banyaknya observasi (n) genap maka nilai median merupakan rata-rata nilai pada posisi ke (n/2) dan ke (n+2)/2.
- Sifat-sifat:
a. Median dapat dihitung untuk data skala ordinal, interval dan rasio.
b. Seperti juga rata-rata, median bersifat unik. Hanya ada satu median untuk satu gugus data.
c. Tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrim.
3. Modus
- Nilai yang terjadi paling sering atau yang mempunyai frekuensi paling tinggi.
- Sifat-sifat:
a. Dapat dihitung untuk semua skala data (nominal, ordinal, interval dan rasio).
b. Modus tidak selalu ada, jika semua obervasi memperoleh frekuensi terjadi yang sama.
c. Untuk data tertentu, mungkin terdapat beberapa nilai dengan frekuensi tertinggi. Dengan demikian data memiliki lebih dari satu modus.
4. Rata-rata Hitung Tertimbang/Rata-rata Tertimbang
Jika wi merupakan bobot/timbangan (weight) untuk observasi ke-i, maka rata-rata tertimbang dinyatakan sebagai berikut:
X x w x w w
w w
x w w
n
i i i
n
i i
n
1 1 2 2
1 2
1
1
...
...
x w
n n
5. Rata-rata Ukur
- Digunakan untuk menghitung rata-rata dari rasio dan laju pertumbuhan rata-rata setiap periode waktu tertentu.
- Rata-rata ukur dihitung dari:
Gm x x x xn n xi
i
n n
( . . ... ) /
/
1 2 3
1
1 1
- Tingkat kelipatan rata-rata setiap periode:
x x
x x
x x
x x
x x
x x
n n
n n
n n n 1
0 2 1
3
2 1
1
0 1
0
. . ...
/ /
- Laju pertumbuhan rata-rata setiap periode:
r x
x
n n 0
1
n = panjang periode waktu observasi 6. Kuartil
- Nilai yang membagi kelompok data menjadi 4 bagian sama, yaitu Q1 (kuartil 1), Q2 (kuartil 2) dan Q3 (kuartil 3).
25% Q1 25% Q2 25% Q3 25%
50%
75%
- Ditentukan dengan mengurutkan data terlebih dahulu dari nilai terkecil ke nilai terbesar. Rumus untuk menghitung kuartil adalah:
Qi nilai yang ke i(n + 1)
4 i = 1, 2, 3, - Nilai Q2 sama dengan median
7. Desil dan Persentil
- Desil adalah 9 nilai yang membagi kelompok data menjadi 10 bagian yang sama (D1, D2, ..., D9).
- Persentil adalah 99 nilai yang membagi kelompok data menjadi 100 bagian yang sama (P1, P2, ..., P99).
- Ditentukan dengan cara mengurutkan data terlebih dahulu dari nilai terkecil ke nilai terbesar.
- Rumus Desil adalah:
Di nilai yang ke i(n + 1)
10 , i = 1, 2, ..., 9 - Rumus Persentil adalah:
Pi nilai yang ke i(n + 1)
100 , i = 1, 2, ..., 99
Pertanyaan Diskusi
Diskusikan beberapa pertanyaan di bawah ini !
1. Banyaknya mobil baru yang dijual pada akhir bulan Desember tahun 2006 di perusahaan Mobil Barat adalah: 15, 23, 4, 19, 18, 10, 10, 8, 28, dan 19. Pertanyaan:
a. Berapa rata-rata, median dan modus penjualan mobil baru?
b. Tunjukkan bahwa (x x) 0!
2. Harga kondominium yang ditawarkan perusahaan Cipta Jaya adalah $60000,
$65000, $70000, $80000, dan $275000. Pertanyaan:
a. Berapa rata-rata dan median harga kondominium? Jelaskan mengapa kedua nilai tersebut sangat berbeda jauh, pada hal sama-sama merupakan ukuran pemusatan?
b. Berapa banyaknya observasi yang berada di bawah dan di atas median?
c. Berapa modus harga kondominium tersebut?
3. Calio Pizza menjual Coca Cola dengan ukuran: kecil, sedang dan besar.
Harga ukuran kecil $0.50, ukuran sedang $0.75 dan ukuran besar $1.00.
Jumlah Coca Cola yang terjual adalah 20 ukuran kecil, 50 ukuran sedang dan 30 ukuran besar. Berapa rata-rata tertimbang harga setiap Coca Cola?
4. Harga 5 buah merk komputer naik 37.1, 1140.0, 0.927, 2.7, 842.0 persen sejak tahun 2007. Berapa rata-rata kenaikan harga komputer dan rata-rata ukur kenaikan harga komputer?
5. Penduduk suku Haarlan di Alaska tahun 1985 ada 2 orang dan pada tahun 1995 sebanyak 22 orang. Berapa persen laju pertumbuhan penduduk tahunan selama periode tahun 1985-1995?
6. Berikut ini data upah bulanan dari 13 pegawai perusahaan Arta (000 Rp): 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100. Berapa nilai Q1, Q2, Q3, D1, D2 dan D9?
7. Carilah nilai rata-rata dan median dari set data berikut:
45 53 45 50 48
8. Tunjukkan modus dari set data berikut. Adakah kemungkinan bahwa suatu set data memiliki modus dua atau lebih dari dua?
26, 28, 28, 28, 28, 28, 30, 30, 32, 34, 36, 36, 36, 36, 36
9. Seorang guru mengambil hasil ujian Statistik secara random dari 10 orang anak pada sesi yang berbeda (Sesi 1 dan Sesi 2). Rata-rata hasil ujian Statistik adalah 70. Carilah varian dan standar deviasi dari kedua kelas tersebut
Sesi 1 Sesi 2
50 72
60 68
70 70
80 74
90 66
10. Data berikut menunjukkan tingkat pengembalian (rate of return) dari Aset A dan Aset B pada tahun 2000-2004. Carilah standar deviasi dari tingkat pengembalian untuk masing-masing aset tersebut. Manakah dari kedua aset tersebut yang lebih beresiko?
Tahun Aset A (r =%) Aset B (r =%)
2000 11.3 9.4
2001 12.5 17.1
2002 13 13.3
2003 12 10
2004 12.2 11.2
Ukuran Dispresi
Jika ada kata rata-rata, maka pada umumnya orang akan membayangkan sekelompok nilai di sekitar rata-rata tersebut. Ada yang nilainya sama dengan rata- rata, lebih kecil atau lebih besar dari rata-rata tersebut. Dengan kata lain ada suatu penyebaran terhadap nilai rata-ratanya (rata-rata hitung, median dan modus) dan terhadap nilai-nilai lainnya. Jika semua nilai dalam suatu kelompok, nilainya hampir sama satu dengan lainnya maka kelompok tersebut nilainya homogen (tidak bervariasi/menyebar). Apabila perbedaan nilai satu sama lain sangat besar maka dikatakan nilai tersebut sangat heterogen (sangat bervariasi/menyebar). Ada kemungkinan dua kelompok pengamatan mempunyai rata-rata hitung atau median sama, tetapi sangat berbeda penyebarannya. Ada beberapa ukuran dispersi, yaitu (1) Jarak (range), (2) Varians, (3) Standar Deviasi, dan (4) Koefisien Variasi
1. Jarak
- Ukuran dispersi yang paling sederhana dan paling mudah dihitung.
Jarak = nilai maksimum - nilai minimum
- Bukan merupakan ukuran dispersi yang baik, terutama bila ukuran sampel atau populasinya besar.
- Hanya memperhatikan nilai ekstrim dan tidak memberikan informasi mengenai sebaran nilai-nilai diantara kedua nilai ekstrim.
2. Varians
- Memperhatikan posisi relatif setiap observasi terhadap rata-rata hitung gugus data tersebut.
- Populasi
2
1 1
2 1
2
2 ( ) 1
N x N x
N x
N
i N i
i i N
i i
- Sampel
n x n x
n x x s
n
i n i
i i n
i i
2
1 1
2 1
2 2
1 1 1
) (
- Satuan pengukuran dalam bentuk kuadrat, misalnya data satuannya meter (m) maka varians satuannya meter kuadrat (m2).
3. Standar Deviasi
- Akar kuadrat dari varians
- Populasi
N x N x
N
i N i
i i
2
1 1
1 2
- Sampel
n x n x
s
n
i n i
i i
2
1 1
2
1 1
- Mempunyai satuan yang sama dengan satuan data aslinya.
4. Koefisien Variasi
- Standar deviasi tidak dapat membandingkan penyebaran dua gugus data, jika satuan pengukurannya berbeda.
- Koefisien variasi mampu membandingkan penyebaran dua gugus data, meskipun satuan pengukurannya berbeda. Koefisien variasi tidak mempunyai satuan pengukuran, hasilnya dalam bentuk persentase (%).
- Populasi KV x 100%.
- Sampel KV sx x 100%
Pertanyaan Diskusi
Diskusikan beberapa pertanyaan di bawah ini !
1. Berapa jarak, varians, standar deviasi, dan koefisien variasi dari sampel data berikut: 100, 40, 80, 20, dan 10 ?
2. Sepuluh bungkus makanan kecil mempunyai berat bungkus rata-rata 278 gram dengan standar deviasi 9.64 gram. Jika ke-10 bungkus tersebut dibeli dari 10 toko yang berbeda dengan harga rata-rata $1.29 per bungkus dengan standar deviasi $0.09. Dapatkah dikatakan berat pembungkus relatif lebih homogen dibandingkan dengan harganya?
3. Dua set data x dan y memiliki anggota sebagai berikut.
x x x (x x)2 y y y (y y)2
2 -5 25 5 -5 25
4 -3 9 7 -3 9
6 -1 1 9 -1 1
10 3 9 13 3 9
13 6 36 16 6 36
=35 = 80 = 50 = 80
4 5 16
80 5 7 35
x x
4 5 16
80 5 10 50
y y
Dari data tersebut dapat dicari nilai rata-rata ( x dan y) dan standar deviasi ( x dan y). Apabila dibuat set data baru yang diberi notasi x‟ dan y’ dimana
untuk setiap data anggota x’ dan y’ adalah dua kali lebih besar dari x dan y, berapakah nilai rata-rata dan standar deviasi yang baru?
4. Variasi harga saham pada masa lalu merupakan salah satu indikator resiko dalam pembelian saham. Jika harga saham dari dua perusahaan memiliki rata-rata yang hampir sama, maka standar deviasi dapat digunakan sebagai indikator untuk memutuskan saham mana yang memiliki risiko lebih tinggi dibandingkan dengan saham lainnya. Akan tetapi, untuk harga saham dari dua perusahaan yang memiliki rata-rata sangat berbeda, standar deviasi tidak bisa secara langsung digunakan untuk mencerminkan tingkat resiko. Jika diketahui harga saham A memiliki rata-rata $ 250 dan standar deviasi $ 40 dan perusahaan B memiliki rata-rata $ 20 dan standar deviasi $ 5. Manakah dari kedua perusahaan tersebut yang memiliki variabilitas lebih besar dan tingkat risiko yang lebih tinggi?
Probalitas
Pada bab ini Anda akan diperkenalkan apa yang dimaksud probalitas, distribusi variabel random diskret, dan kontinu
Di dalam dunia ini tidak ada sesuatu yang pasti. Kita tidak bisa mengetahui dengan pasti mengenai terjadinya suatu kejadian/peristiwa. Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai kata kemungkinan. Apakah hari ini hujan turun? Apakah saya lulus ujian? Semua pertanyaan ini ada unsur kemungkinan (probabilitas). Probabilitas suatu kejadian mempunyai tingkatan tertentu, dari besar sampai sekecil mungkin.
Probabilitas adalah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang random.
Definisi
1. Ruang Sampel (Sample Space)
Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan, biasanya dilambangkan dengan huruf S. Dalam beberapa percobaan, sangat membantu bila merinci semua anggota ruang sampel secara sistematik melalui diagram pohon.
3
2. Kejadian/Peristiwa (Event) Himpunan bagian dari ruang sampel.
3. Ruang Nol
Himpunan bagian dari ruang sampel yang tidak mengandung satu pun anggota, biasanya dilambangkan dengan .
4. Irisan Dua Kejadian ( )
Irisan kejadian A dan B adalah kejadian yang mengandung unsur kejadian A dan B (kedua-duanya anggota A dan B), dilambangkan dengan A B.
5. Kejadian Saling Terpisah (Mutually Exclusive)
Dua kejadian A dan B dikatakan saling terpisah, jika A dan B tidak memiliki irisan (A B = ).
6. Gabungan ( )
Gabungan dua kejadian A dan B adalah kejadian yang mencakup semua unsur anggota A atau B atau kedua-duanya, dilambangkan dengan A B.
7. Komplemen
Komplemen suatu kejadian A adalah himpunan semua anggota S yang bukan anggota A, dilambangkan dengan A.
Mencacah Titik Sampel
1. Kaidah Penggandaan
Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara dan operasi kedua dilakukan dengan n2 cara, maka kedua operasi dapat dilakukan secara bersama-sama dengan n1n2 cara. Jika ada k buah operasi dan masing-masing operasi dapat dilakukan dengan n1, n2,...,nk cara, maka banyak cara yang dapat dilakukan secara bersama-sama adalah n1 n2 ...nk cara.
2. Permutasi
Suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan benda. Permutasi memperhatikan susunan dari setiap obyek/benda.
* Banyaknya permutasi dari n benda yang berbeda adalah: n!
* Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda yang berbeda adalah:
nPr n
n r
!
( )!
* Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah: (n-1)!
* Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang terdiri dari n1 buah jenis 1, n2 buah jenis 2,..., nk buah jenis k adalah:
n
n nk
!
! !... !
1 n2
* Banyaknya cara menyekat sekumpulan n benda ke dalam r kelompok, n1 unsur ke dalam kelompok pertama, n2 unsur ke dalam kelompok kedua, ...,nr unsur ke dalam kelompok ke-r adalah:
n
n n n
n
n n n
, , ... ,
!
! !... !
3. Kombinasi
Banyaknya cara mengambil r benda dari n benda tanpa memperhatikan susunannya adalah:
n r
n r n r
!
!( )!
Probabilitas Suatu Kejadian
Probabilitas suatu kejadian A (P(A)) adalah jumlah probabilitas semua titik sampel dalam A. Dengan demikian,
0 P(A) 1, P( ) = 0 dan P(S) = 1
Jika suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan yang berbeda dan mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul. Jika ada n hasil percobaan yang menyusun kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah:
P A n ( ) N
Beberapa kaidah probabilitas:
1. Jika A & B adalah dua kejadian sembarang, maka:
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B).
2. Jika A & B saling terpisah (mutually exclusive), maka:
P(A B) = P(A) + P(B).
Dengan cara yang sama, jika A1, A2, ..., An saling terpisah, maka:
P(A1 A2 ... An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) 3. Jika A dan A adalah kejadian yang bersifat komplementer, maka:
P(A) + P(A) = 1.
Probabilitas Bersyarat
Probabilitas terjadinya kejadian B jika diketahui bahwa suatu kejadian lain A telah terjadi disebut probabilitas bersyarat (P(B A)), didefinisikan sebagai berikut:
P B A P A B
( ) (P A )
( ) , jika P(A) > 0
Contoh:
Di suatu kota yang penduduknya lulus sarjana, dinyatakan dengan tabel berikut:
Jenis Kelamin Bekerja Menganggur
Laki-laki 460 40
Perempuan 140 260
Misalkan: L = laki-laki
B = penduduk yang sudah bekerja
Jika seorang penduduk dipilih secara random, ternyata penduduk tersebut sudah bekerja, berapakah probabilitas yang terpilih tersebut adalah laki-laki?
Jawaban:
P L B P L B ( ) (P B )
( )
/ / 460 900 600 900
460 600
23 30
Jika seorang penduduk dipilih secara random, ternyata penduduk tersebut adalah laki-laki, berapakah probabilitas terpilih tersebut adalah yang sudah bekerja?
Jawaban:
P B L P B L ( ) (P L )
( )
/ / 460 900 500 900
460 500
23 25
Beberapa Kaidah:
1. Bila dua kejadian A dan B saling bebas, maka P(B A) = P(B) dan P (A B)
= P(A).
2. Jika dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus, maka P(A B) = P(A) P(B A).
3. Jika kejadian A dan B saling bebas, maka P(A B) = P(A) P(B).
4. Jika dalam suatu percobaan kejadian-kejadian A1, A2, ..., Ak dapat terjadi, maka P(A1 A2 ... Ak) = P(A1) P(A2 A1) P(A3 A1 A2) ...
P(Ak A1 A2 ... Ak-1).
Jika kejadian-kejadian A1, A2, ..., Ak saling bebas, maka P(A1 A2 ...
Ak) = P(A1) P(A2) ...P(Ak).
Hukum Bayes
Jika kejadian-kejadian B1, B2, ...,Bk merupakan sekatan dari ruang sampel S dengan P(Bi) 0 untuk i = 1, 2,...,k maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) 0.
) ( ) ( ...
) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ) (
| (
2 2
1
1 k k
i i
i P B P AB P B P AB P B P AB
B A P B A P
B P
Distribusi Variabel Random
Ruang sampel dari percobaan pelemparan uang logam sebanyak tiga kali dapat dituliskan sebagai berikut:
S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}, G = gambar dan A = angka.
Jika kita hanya tertarik pada berapa kali sisi gambar muncul, misalnya tidak muncul G diberi nilai 0, muncul satu kali G diberi nilai 1, muncul dua kali G diberi nilai 2 dan muncul tiga kali G diberi nilai 3. Jadi nilai-nilai titik sampel tersebut adalah: 0, 1, 2 dan 3, nilai-nilai ini disebut variabel random karena terjadinya bersifat random.
Jadi variabel random adalah suatu fungsi yang memetakan unsur-unsur ruang sampel kedalam bilangan nyata sebagai wilayah fungsi.
Ruang Sampel Bilangan
GGG 3 GGA
GAG 2 AGG
GAA
AGA 1 AAG
AAA 0
Ada dua variabel random yaitu:
a Variabel random diskret, jika kemungkinan-kemungkinan yang mungkin dari suatu percobaan dapat dihitung.
b. Variabel random kontinu, jika kemungkinan-kemungkinan yang mungkin muncul tidak terbatas.
Distribusi Probabilitas Diskret
Himpunan semua pasangan berurutan (x, f (x)) disebut fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas variabel random X, jika setiap kemungkinan x yang mungkin muncul dipenuhi:
1. f(x) 0 2. f x
x
( ) 1 3. P(X=x) = f(x)
Distribusi kumulatif variabel random X yang diskret dengan distribusi probabilitas f(x) adalah:
F x P X x f t
t x
( ) ( ) ( ), untuk
- ~ < x < + ~ Distribusi Probabilitas Kontinu
Fungsi f(x) disebut fungsi kepekatan probabilitas (probability density function) untuk variabel random X yang kontinu, didefinisikan pada x R, jika dipenuhi:
1. f(x) 0, untuk x R 2. ~f x dx( )
~
1
Probabilitas terjadinya kejadian dalam interval a < x < b adalah:
P a( x < ) =b f x dx( )
a b
Distribusi kumulatif variabel random X yang kontinu dengan distribusi probabilitas f(x) adalah:
x
dx x f x X P X F
~
untuk ,
) ( )
( )
( - ~ < x < + ~
Distribusi Probabilitas Bersama
Dalam pembahasan sebelumnya, mengenai variabel random dan distribusi probabilitasnya hanya membahas ruang sampel berdimensi satu (satu buah variabel random). Pada umumnya sering diamati sekaligus distribusi dari dua atau lebih variabel random. Misalnya: X variabel random yang menyatakan biaya iklan dan Y variabel random yang menyatakan nilai penjualan. Distribusi probabilitas bersama variabel random X dan Y dinyatakan sebagai sebuah fungsi f(x,y).
* Fungsi f(x,y) disebut distribusi probabilitas bersama untuk variabel random X dan Y diskret, jika dipenuhi syarat:
1. f(x,y) 0, untuk semua nilai (x,y) 2. x y f x y( , ) 1
Probabilitas terjadinya suatu kejadian X = x dan Y = y adalah P(X=x, Y=y) = f(x,y). Untuk setiap daerah A yang ada dalam bidang xy, probabilitas bersamanya adalah:
P X Y[( , ) A] A f x y( , )
* Fungsi f(x,y) disebut distribusi probabilitas bersama untuk variabel random X dan Y kontinu, jika dipenuhi syarat:
1. f(x,y) 0, untuk semua (x,y) R
2.
f x y dxdy( , )
~
~
~
~
1
Untuk setiap daerah A yang dalam bidang xy, probabilitas bersamanya adalah:
P X Y[( , ) A] A f x y dxdy( , )
Probabilitas Bersyarat
Jika f(x,y) adalah distribusi probabilitas bersama untuk variabel random X dan Y yang bersifat diskret kontinu.
- Probabilitas bersyarat variabel random Y dengan syarat X = x adalah:
f y x f x y g x g x ( ) ( , )
( ) , ( ) 0
- Probabilitas bersyarat variabel random X dengan syarat Y = y adalah:
f xy f x y h y h y ( ) ( , )
( ) , ( ) 0
Distribusi Marjinal
Jika f(x,y) adalah distribusi probabilitas bersama untuk variabel random X dan Y yang bersifat diskret/kontinu. Distribusi probabilitas masing-masing variabel random X dan Y dapat diperoleh dengan menjumlahkan semua f(x,y) pada Y atau X. Distribusi probabilitas X dan Y yang diturunkan dari distribusi probabilitas bersama f(x,y) disebut distribusi marjinal. Distribusi marjinal variabel random X dan Y didefinisikan sebagai:
g x f x y h y f x y
x y
( ) ( , ) dan ( ) ( , ) untuk X dan Y diskret
g x( ) f x y dy( , ) h y( ) f x y dx( , )
~
~
~
~
dan untuk X dan Y kontinu
Variabel Random Yang Bebas
Variabel random X dan Y dikatakan bebas jika dan hanya jika f(x,y) = g(x) h(y)
Untuk semua kemungkinan nilai-nilai X dan Y Nilai Rata-rata (Harapan) Variabel Random
Nilai rata-rata disebut juga nilai harapan (expected value) dari variabel random X, dicatat sebagai = E(x). Jika X suatu variabel random dengan distribusi probabilitas f(x), maka nilai rata-rata atau nilai harapan dari X adalah:
~
~ -
kontinu yang
X untuk , ) (
diskret yang
X untuk , ) ( )
(
dx x xf
x xf x
E x
Nilai harapan dari variabel random g(X) adalah:
g x
x
E g X
g x f x g x f x dx
( )
~
[ ( )] ~
( ) ( ) ( ) ( )
, untuk X yang diskret , untuk X yang kontinu
Varians Suatu Variabel Random
Jika X adalah suatu variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) dan nilai rata-rata , maka varians dari X adalah:
2
2 2
2 2
E x x f x
E x x f x dx
x
[( ) ] ( ) ( )
[( ) ] ( ) ( )
~
~
, untuk X yang diskret , untuk X yang kontinu Rumus pintas: 2 E x[( ) ]2 E x( 2) 2
Jadi rumus varians X dapat dinyatakan sebagai berikut:
~
~
2 2
2 2
2 2
2 2 2
kontinu yang
X untuk , )
( )
(
diskret yang
X untuk , ) ( )
(
dx x f x x
E
x f x x
E
x
Varians dari variabel random g(X) adalah:
g x
g x g x
x
g x g x
E g x g x f x
E g x g x f x dx
( )
( ) ( )
( ) ( )
~
~
[ ( ( ) ) ] ( ( ) ) ( )
[( ( ) ) ] ( ( ) ) ( )
2
2 2
2 2
, untuk X yang diskret , untuk X yang kontinu
Rumus pintas: g x2( ) E g x[( ( ) g x( )) ]2 E g x( ( ) )2 g x2( ) Jadi rumus varians g(X) dapat dinyatakan sebagai berikut:
g x
g x g x
x
g x g x
E g x g x f x
E g x g x f x dx
( )
( ) ( )
( ) ( )
~
~
( ( ) ) ( ) ( )
( ( ) ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2 2 2
, untuk X yang diskret , untuk X yang kontinu
Pertanyaan Diskusi
Diskusikan beberapa pertanyaan di bawah ini !
11. Sebuah percobaan melemparkan dua dadu (hijau dan merah) bersisi enam. Tuliskan ruang sampel percobaan tersebut!
12. Dua orang dipilih dari 4 orang untuk menjadi juri pada suatu pengadilan perkara pembunuhan. Daftarkan anggota ruang sampel juri tersebut!
13. Ada 4 pelamar yaitu dua laki-laki dan dua perempuan untuk jabatan dosen Statistika Ekonomi. Ada dua jabatan yang tersedia yaitu pertama, asisten profesor akan diisi oleh seorang diantara 4 pelamar secara acak. Jabatan kedua, instruktur dengan mengambil secara acak satu diantara ketiga pelamar sisanya. Dengan menggunakan notasi L2P1, misalnya untuk menyatakan kejadian sederhana bahwa jabatan pertama diisi oleh pelamar laki-laki kedua dan jabatan kedua diisi oleh pelamar perempuan pertama.
a. Daftarkan semua unsur ruang sampel S!
b. Daftarkan semua unsur kejadian A bahwa jabatan asisten profesor diisi oleh pelamar laki-laki!
c. Daftarkan semua unsur kejadian B bawah tepat satu jabatan diisi oleh pelamar laki-laki!
d. Daftarkan semua unsur kejadian C tidak satupun diantara kedua jabatan itu diisi oleh pelamar laki-laki!
e. Daftarkan semua unsur kejadian A B!
f. Daftarkan semua unsur kejadian A C!
g. Buat diagram venn untuk mengilustrasikan irisan dan gabungan ketiga kejadian A, B dan C!
4. Berapa macam menu makan siang yang terdiri atas sup, sandwich, desert dan minuman yang dapat dipilih dari 4 macam sup, 3 jenis sandwich, 5 desert dan 4 minuman?
Jawaban:
Banyaknya menu = 4 x 3 x 5 x 4 = 240
5. Berapa banyak bilangan genap, terdiri atas tiga angka yang dibentuk dari angka 1, 2, 5, 6 dan 9, angka-angka tersebut hanya boleh digunakan sekali?
6. Berapa banyak susunan yang berbeda, jika dibuat sebuah rangkaian lampu hias
7. a. Berapa macam susunan antrian yang dapat dibentuk, jika 6 orang mengantri untuk nonton film?
b. Jika tiga orang tertentu berkeras untuk saling berdekatan, berapa banyak susunan antrian yang mungkin?
c. Jika dua orang tertentu tidak mau saling berdekatan, berapa banyak susunan antrian yang mungkin?
8. Sebuah dadu dibuat tidak seimbang sehingga bilangan genap dua kali lebih besar probabilitasnya untuk muncul dari pada bilangan ganjil. Jika E adalah kejadian munculnya bilangan yang lebih kecil dari 4 pada satu kali lemparan dadu tersebut. Berapa P(E)?
9. Dalam permainan poker dengan 5 kartu, berapa probabilitas salah seorang memperoleh 2 Ace dan 3 Jack?
10. Probabilitas suatu penerbangan berangkat tepat waktu adalah P(D) = 0.83, probabilitas penerbangan tersebut mendapat tepat waktu adalah P(A) = 0.92.
Probabilitas penerbangan berangkat dan mendarat tepat waktu adalah P(D A) = 0.78. Berapa probabilitas bahwa suatu pesawat pada penerbangan itu.
a. Mendarat tepat waktu, jika diketahui pesawat berangkat tepat waktu?
b. Berangkat tepat waktu, jika diketahui pesawat mendarat tepat waktu?
11. Tiga kartu diambil berturut-turut tanpa pemulihan. Berapa probabilitas bahwa kartu yang terambil pertama adalah Ace merah, yang kedua sepuluh atau Jack dan yang ketiga lebih besar dari 3 tetapi kurang dari 7.
12. Sebuah uang logam tidak seimbang, munculnya sisi gambar dua kali lebih besar daripada sisi angka. Jika uang itu dilemparkan 3 kali, berapa probabilitas mendapatkan dua sisi angka dan satu sisi gambar?
13. Peti A berisi 3 bola hijau dan 5 bola merah. Peti B berisi 2 bola hijau, 1 bola merah dan 2 bola kuning. Jika kita memilih sebuah peti secara random dan kemudian memilih satu bola didalamnya secara random, berapa probabilitas terpilihnya bola hijau?
14. Tentukan rumus bagi distribusi probabilitas banyaknya sisi gambar, jika sebuah uang logam dilemparkan 4 kali?
15. Sebuah variabel random kontinu X yang mengambil nilai antara x = 2 dan x
= 4 mempunyai fungsi kepekaan probabilitas:
f x x
( ) 1
8 Pertanyaan:
a. Perlihatkan bahwa P(2 < X < 4) = 1!
b. Berapa P(X < 3.5)?
c. Berapa P(2.4 < x < 3.5)?
16. Suatu variabel kontinu X mempunyai fungsi kepekatan
f x x
x ( )
, untuk 0 < x < 1 , untuk 1 x < 2 , untuk x lainnya 2
0 Pertanyaan:
a. Tunjukkan bahwa P(0 < X (2) = 1!
a. Berapa P(X < 1.2)?
17. Dua kelereng dipilih secara random dari sebuah kotak yang berisi 3 kelereng biru, 2 merah dan 3 hijau. Jika X merupakan banyaknya kelereng biru dan Y banyaknya kelereng merah yang dipilih.
Pertanyaan:
a. Tentukan probabilitas bersama f(x,y)?
b. P[(X,Y) A], sedangkan A = {(x,y) x+y 1}
c. Distribusi probabilitas marjinal variabel random X dan Y?
d. Berapa probabilitas P(X=0 Y=1)?
18. Distribusi probabilitas bersama bagi X dan Y adalah:
f x y x y ( , ) ( )
30 , untuk x = 0, 1, 2, 3 ; y = 0, 1, 2 Pertanyaan:
a. P(X 2, Y = 1) b. P(X > 2, Y 1) c. P(X < Y) d. P(X + Y = 4)
19. Dari 7 pesawat televisi yang dikirim ada 2 televisi yang rusak. Sebuah hotel membeli secara random 3 dari 7 televisi tersebut. Bila X menyatakan banyaknya televisi yang rusak terbeli oleh hotel tersebut, berapa rata-rata atau nilai harapan X ?
20. Distribusi probabilitas banyaknya mobil yang dicuci adalah:
x 4 5 6 7 8 9
P(X=x) ½ 1/12 1/4 1/4 1/6 1/6
Jika g(X) = 2X-1 menyatakan uang yang dibayarkan ($). Berapa penerimaan harapan pencuci mobil?
21. Sebuah penitia terdiri atas 3 orang, yang diambil secara random dari 4 laki- laki dan 3 perempuan.
Pertanyaan:
a. Berapa nilai harapan banyaknya laki-laki dalam panitia tersebut?
b. Berapa varians banyaknya laki-laki dalam panitia tersebut?
S T A T I S T I K A
Distribusi Probabilitas dan Sampling
Pada bab ini Anda akan diperkenalkan berbagai macam distribusi diskret dan kontinu, serta distribusi sampling
Distribusi Probabilitas
Sebelum membahas distribusi probabilitas diskrit dan kontinu, perlu dipahami perbedaan mendasar antara kedua jenis probabilitas tersebut. Dalam konteks variabel random, ada dua jenis variabel random, yaitu diskrit dan kontinu. Variabel random diskrit mengacu pada titik-titik tertentu dalam suatu interval. Sedangkan variabel random kontinu mengacu pada keseluruhan titik pada suatu interval, artinya nilai variabel random bisa mengisi titik manapun dalam suatu interval.
Distribusi probabilitas diskrit diantaranya adalah distribusi probabilitas binomial, distribusi probabilitas poissons, distribusi probabilitas hipergeometrik sedangkan distribusi probabilitas kontinu adalah distribusi probabilitas normal.
Distribusi Binomial
4 BAB
Dalam suatu percobaan, sering kali nilai suatu variabel hanya ada dua kemungkinan, misalnya: barhasil-gagal, sisi gambar-angka, rusak-baik, pria-wanita dll. Kejadian yang muncul dari suatu percobaan yang satu tidak dipengaruhi oleh percobaan lainnya, percobaan demikian disebut percobaan Binomial. Percobaan Binomial mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
1. Percobaan terdiri atas n ulangan.
2. Dalam setiap ulangan, hasilnya ada 2 kemungkinan yaitu berhasil atau gagal.
3. Probabilitas berhasil (misalnya dilambangkan dengan p) untuk setiap ulangan adalah sama.
4. Ulangan suatu percobaan bersifat bebas satu dengan lainnya.
DEFINISI
Jika probabilitas berhasil suatu percobaan Binomial adalah p dan probabilitas gagal adalah q = 1-p, maka distribusi probabilitas variabel random binomial X (banyaknya keberhasilan dalam n ulangan yang bebas) adalah:
b x n p( ; , ) ( )xn p qx n x, untuk x = 0, 1, 2,...,n
Nilai rata-rata bagi distribusi Binomial adalah = np, sedangkan variansnya adalah 2 = npq.
Probabilitas terjadinya suatu kejadian kurang dari atau sama dengan c adalah:
P X c b x n p
x c
( ) ( ; , )
0
Probabilitas terjadinya suatu kejadian lebih dari atau sama dengan c adalah:
1 c
0 x
) p , n
; x ( b 1 ) 1 c X ( P 1 ) c X ( P 1 ) c X ( P
Probabilitas terjdinya kejadian dari c1 sampai c2 adalah:
P c( 1 X c2) P X( c2) P X( c1)
2 1
c
0 x
1 c
0 x
1 2
) p , n
; x ( b ) p , n
; x ( b
) 1 c X ( P ) c X ( P
Contoh, Di suatu perusahaan, pada suatu saat terjadi suatu kasus dimana alasan bahwa karyawan tidak masuk kerja dapat dikategorikan menjadi sembilan, salah satunya adalah karena sakit. Jika diambil secara random 4 buah surat ijin tidak masuk kerja. Berapa probabilitas bahwa 3 diantara surat ijin tersebut adalah karena alasan sakit?
Jawab:
9 / 1
p (probabilitas alasan sakit) 9
/ 8 9 / 1 1 1 p q
4
n dan x 3
) 9 / 8 ( ) 9 / 1 )!( 3 4 (
! 3
! ) 4
3
(x 3
p
656 32
9 8 729
1 4x x
Contoh 2 (probabilitas binomial kumulatif)
Berikut ini contoh dimana seorang mahasisiwa bernama Andi tidak belajar sama sekali untuk menghadapi ujian Bahasa Indonesia. Soalnya dalam bentuk pilihan ganda yang terdiri dari 6 pertanyaan Setiap pertanyaan tersedia tiga jawaban (A, B dan C), dan hanya ada satu jawaban yang benar diantara ketiga jawaban tersebut. Dia memutuskan untuk melempar dadu kecil di kantongnya untuk menjawab pertanyaan tersebut. Jika yang muncul adalah sisi 1 atau 2, dia memutuskan untuk menjawab A. Jika yang muncul adalah sisi 3 atau 4, dia memutuskan untuk menjawab B. Jika yang muncul adalah sisi 5 atau 6, dia memutuskan untuk menjawab C. Berapa probabilitas:
a. Tiga jawaban Andi adalah benar b. Tidak ada jawaban yang benar Jawab:
a. n 6; p 1/3 ; dan q 2/3
2195 , 0 ) 3 (
729 / 160 ) 3 (
27 / 8 . 27 / 1 . 20 ) 3 (
) 3 / 2 ( ) 3 / 1 )!( 3 6 (
! 3
! ) 6
3
( 3 3
x p
x p
x p
x p
b.p(x 0)
0878 , 0 ) 0 (
729 / 64 ) 0 (
729 / 64 . 1 . 1 ) 0 (
) 3 / 2 ( 0 ) 3 / 1 )!( 0 6 (
! 0
! ) 6
0
( 3
x p
x p
x p
x p
Beberapa karakteristik bentuk distribusi binomial yaitu:
Jika p makin mendekati 0, distribusi binomial makin condong ke kanan.
Jika p 0,5, distribusi binomial akan simetris.
Jika p makin mendekati 1, distribusi binomial makin condong ke kiri.
Jika p konstan dan n bertambah, distribusi binomial akan mendekati simetris (normal).
Dalam distribusi binomial, x (banyaknya sukses) adalah variabel random, sedangkan p dan n adalah parameter.
Pertanyaan Diskusi
Diskusikan beberapa pertanyaan di bawah ini !
14. Soal ujian terdiri atas 15 pertanyaan pilihan ganda, masing-masing soal ada 4 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang benar. Berapa probabilitas seorang mahasiswa menjawab secara menebak-nebak memperoleh 5 sampai 10 jawaban yang benar?
2. Probabilitas kesembuhan seorang pasien penyakit kanker adalah 0.1. Jika diketahui ada 10 orang terkena penyakit kanker, berapa probabilitas:
Pertanyaan:
a. Hanya 5 orang yang sembuh?
b. Paling sedikit 8 orang sembuh?
c. Paling sedikit 2 orang sembuh?
3. Hasil survei menunjukkan bahwa 20% rumah tangga lebih menyukai pesawat telepon berwarna putih daripada warna lainnya. Berapa probabilitas dari 20 telepon yang dipasang berikutnya lebih dari separuhnya berwarna putih?
Distribusi Poisson
Percobaan Poisson adalah banyaknya hasil percobaan yang tejadi dalam suatu selang waktu tertentu atau dalam suatu daerah tertentu. Percobaan Poisson mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan pada suatu selang waktu atau daerah lain.
2. Probabilitas terjadinya satu hasil percobaan dalam suatu periode waktu yang pendek atau daerah yang kecil proporsional dengan panjang waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut.
3. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam suatu selang waktu yang sangat singkat atau dalam suatu daerah yang sangat kecil dapat diabaikan.
DEFINISI
Distribusi probabilitas variabel random Poisson X, yang menggambarkan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu adalah:
p x e
x
x
( ; )
! , x = 1, 2, ...
dimana:
= rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah.
e = 2.71828...
Nilai rata-rata dan varians distribusi Poisson adalah sama, yaitu .
Distribusi Poisson dan Binomial memiliki histogram yang bentuknya hampir sama jika n besar (n ~) dan p kecil (p 0), dengan kata lain:
b(x;n,p) p(x; )
Bella bekerja sebagai analis di perusahaan jasa Transportasi. Berdasarkan data yang diterima, dari 1000 mobil yang melalui tol Jakarta Outter Ring Road, rata-rata ada 1 mobil yang mengalami kerusakan ban. Jika ada 10.000 mobil yang masuk tol tersebut, berapa probabilitas bahwa ada 8 mobil yang mengalami kerusakan ban?
Jawab:
000 . 10
n dan 10
1126 ,
! 0 8 ) 10 8 (
10 8e x
p
Pertanyaan Diskusi
Diskusikan beberapa pertanyaan di bawah ini !
1. Rata-rata jumlah hari sekolah ditutup karena salju selama musim dingin adalah 4. Berapa probabilitas bahwa sekolah akan ditutup selama 6 hari dalam suatu musim dingin?
2. Rata-rata di suatu simpangan terjadi 3 kecelakaan lalu lintas setiap bulan.
Berapa probabilitas bahwa pada suatu bulan tertentu disimpangan tersebut terjadi:
Pertanyaan:
a. Tepat 5 kecelakaan?
b. Kurang dari 3 kecelakaan?
c. Sekurang-kurangnya 2 kecelakaan?
3. Probabilitas seorang mahasiswa tidak lulus dari mata kuliah statistika ekonomi adalah 0.001. Ada 2000 mahasiswa yang mengambil mata kuliah ini.
Berapa probabilitas:
Pertanyaan:
a. Kurang dari 7 mahasiswa tidak lulus mata kuliah tersebut?
b. 3, 4 atau 5 mahasiswa tidak lulus mata kuliah tersebut?
Distribusi Hipergeometrik
Hampir mirip dengan distribusi binomial, yaitu hanya dua kemungkinan hasil percobaan, misalnya sukses atau gagal. Berikut ini disajikan gambar proses kejadian dari distribusi hipergeometrik:
diambil
N (populasi) n (sampel)
Percobaan hipergeometrik mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
a. Suatu sampel random berukuran n diambil dari populasi berukuran N b. k dari N benda dikategorikan berhasil & N-k benda dikategorikan gagal.
k berhasil
N-k gagal
x berhasil
n-x gagal
DEFINISI
Jika populasi N benda, k benda diantarannya diberi label “berhasil” & N-k benda lainnya diberi label “gagal”, maka distribusi prababilitas variabel random hipergeometrik x, yang mengatakan banyaknya keberhasilan dalam sampel random berukuran n adalah:
( ; , , ) ,
k N k
x n x
N n
P x N n k untuk x = 0,1,2,...,k
Nilai rata-rata:
N nk
Varians :
N k N n k N
n
N . . 1 1
2
Jika n relatif kecil dibandingkan dengan N, maka probabilitas setiap pengambilan akan berubah kecil sekali (p hampir tetap) distribusi binomial).
distribusi hipergeometrik ~ Binom N p k
N 1 k N .k n npq
N np nk
2
Pak Andi ingin memastikan bahwa produksi lampu taman di pabriknya memiliki mutu yang baik, artinya jumlah produk cacat relatif kecil. Sebelum dikirim ke toko- toko retail, Pak Andi memeriksa salah satu kotak siap kirim. Satu kotak berisi 100 lampu, 90 diantaranya baik dan 10 cacat. Kemudian dilakukan sampling dengan mengambil 6 lampu untuk setiap kotaknya. Berapa probabilitas jumlah barang baik sebanyak empat?
Jawab:
6 n
100 / 90 p
0965 , 0 ) 4 (
! 94
! 6
! 100
! 8
! 2
! 10
! 86
! 4
! 90 ) 4 (
) 4
( 100
6 90 100
4 6 90 4
P P
C C P C
Pertanyaan Diskusi
Diskusikan beberapa pertanyaan di bawah ini !
1. Bila 5 kartu diambil secara random dari seperangkat kartu bridge.
Berapa probabilitas diperoleh 3 kartu hati?
2. Perusahaan telepon melaporkan bahwa diantara 5000 pemasang telpon baru, 4000 menggunakan telpon tombol. Jika 10 diantara pemasang baru tersebut diambil secara random, berapa probabilitas tepat ada 3 orang yang menggunakan tipe putar?
3. Sebuah panitia yang terdiri atas 3 orang diambil secara random dari 4 laki- laki dan 2 perempuan. Tuliskan rumus bagi distribusi variabel random x yang menyatakan banyaknya laki-laki yang duduk dalam panitia itu? Berapa p(2 x 3)?
Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial mirip seperti distribusi poisson. Distribusi poisson merupakan variabel diskret yang menunjukkan probabilitas banyaknya suatu kejadian (misalnya: kedatangan) selama t unit waktu. Sedangkan Distribusi eksponensial merupakan variabel kontinu yang menunjukkan probabilitas suatu kejadian berikutnya selama t unit waktu (p(0 sampai t).
DEFINISI
p(0 sampai t) = probabilitas kedatangan berikutnya yang akan terjadi diantara sekarang dan t unit waktu dari sekarang dinyatakan dengan fungsi probabilitas berikut:
p(0 to t) = 1-e- t dimana:
= laju rata-rata kedatangan per unit waktu t = variabel random kontinu : lama waktu
Pertanyaan Diskusi
Diskusikan pertanyaan di bawah ini !
Misalkan kedatangan taksi dari jam 03.00-05.00 merupakan proses Poisson. Jika taksi datang dengan rata-rata 18 kali per jam, berapa probabilitas seseorang menunggu selama 5 menit untuk mendapatkan sebuah taksi?
Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan distribusi probabilitas kontinu yang paling penting dalam bidang statistika.
Beberapa sifat kurva normal, yaitu:
1. Modus = rata-rata = median
2. Kurvanya setangkup terhadap garis tegak yang melalui rata-rata µ.
3. Kurva bersifat asimtotik dalam kedua arah, jika kita semakin menjauhi rata- ratanya.
4. Luas daerah di bawah kurva tetapi di atas sumbu mendatar sama dengan 1.
DEFINISI
Distribusi normal memiliki dua parameter yaitu µ (rata-rata/mean) dan s2 (varians). Jika X suatu variabel random normal dengan rata-rata µ dan varians s2, maka persamaan kurva normalnya adalah:
N x f x e
x
( ; , ) ( ) 1 ( )
2
2
-12
, untuk -~ < x < + ~ Probabilitas nilai X antara X = x1 dan X = x2 adalah:
P x X x P X x P P x f x dx dx
x x
x
x x
( 1 2) ( 2) ( 1) ( ) ( )
1 2
1
2 1 2
2 e -
1 2
Probabilita X tepat sama dengan c atau P(X=c) adalah nol (distribusi probabilitas kontinu tidak mempunyai nilai pada suatu titik nilai tertentu).
Nilai parameter µ menentukan posisi titik tengah kurva normal dalam sumbu datar. Sedangkan, nilai parameter s menentukan bentuk kurva (penyebaran data).
Penentuan probabilitas suatu distribusi normal cukup sulit karena penggunaan integral yang cukup kompleks. Untuk mengatasi ini dapat dilakukan transformasi data dari distribusi normal ke distribusi normal baku (standard normal distribution), yaitu:
N X N Z
X Z x ( ; , ) ~ ( ; , )
~
0 1
X = Variabel random distribusi normal.
Z = Variabel random distribusi normal baku.
PENDEKATAN NORMAL TERHADAP DISTRIBUSI BINOMIAL Jika X merupakan variabel random Binomial dengan rata-rata µ = np dan varians s2 = npq. Untuk n besar (n ~) maka distribusi Binomial dapat didekati dengan distribusi Normal, dimana transformasinya adalah:
Z X X np
npq
Probabilitas Binomial P(a X b) untuk n besar, maka dapat didekati probabilitas normal baku berikut:
z a np npq
b np
1 z2 npq
P a( X b) P z( 1 Z z2) P z Z z
P Z z P Z z
P Z b npqnp P Z a npqnp
( )
( ) ( )
( . ) ( . )
1 2
2 1
