BAB VIII KORELASI DAN REGRESI SEDERHANA

(1)

STATISTIKA SESI 12

BAB VIII

KORELASI DAN REGRESI SEDERHANA

8.1 Sifat-Sifat yang dimiliki r²

1. Nilai r² selalu non-negatif, sebab merupakan rasio dari jumlah kuadrat.

r²

= ∑

^{^}^y²ⁱ

∑

^y²i

,∑ y²i ≥ 0, ∑^y²_i ≥ 0

2. Nilai terkecil 0 dan terbesar 1, yaitu 0 ≤ r² ≤ 1.

r² = 0, berarti tak ada hubungannya antara X dan Y.

Garis regresi Y = a + bX tak tepat/cocok untuk meramalkan Y. Kalau r² = 1, garis regresi tepat/cocok secara sempurna (perfect fit). Jadi sangat cocok untuk meramalkan Y, kalau X sudah diketahui nilainya. Dalam hal ini, variasi (naik turunnya) Y, seluruhnya (100%) disebabkan oleh X. Dalam prakteknya jarang terjadi.

Contoh soal 1 :

X = upah harian karyawan suatu perusahaan (ribuan Rp) Y = konsumsi harian karyawan suatu perusahaan (ribuan Rp)

X 21 19 23 25 20

Y 20.

1

18.5 22.7 23 20.4

a.) Dengan persamaan regresi Y^ = a + bX , berapa ramalan Y, kalau X = 10.

b.) Hitung r & r², apa artinya masing -masing.

c.) Hitung S_e²⁼ 1

n−2^∑e_i²

d.) Hitung Sb = standard eror perkiraan dari b = S_e

√ ∑

^xⁱ²^(S^b perkiraan dari σb) Pemecahan :

(2)

X Y X² Y² XY x y xy x² y²

21 20,1 441 404,01 422,1 -0,6 -0,9 0,54 0,36 0,81

19 18,5 361 342,25 351,5 -2,6 -2,5 6,5 6,76 6,25

23 22,7 529 515,29 522,1 1,4 1,74 2,436 1,96 3,0276

25 23 625 529 575 3,4 2,04 6,936 11,56 4,1616

20 20,4 400 416,16 408 -1,6 -0,6 0,96 2,56 0,36

15 11,3 225 127,69 169,5 3,8 3,21 12,198 14,44 10,3041

22 15 484 225 330 -0,6 -1,4 0,84 0,36 1,96

18 17,8 324 316,84 320,4 -2,7 -2,3 6,21 7,29 5,29

20 20,4 400 416,16 408 3,2 1,15 3,68 10,24 1,3225

25 28 625 784 700 0,4 2,11 0,844 0,16 4,4521

21 25 441 625 525 -3,3 -4,1 13,53 10,89 16,81

17 14,1 289 198,81 239,7 1,7 -3,6 -6,12 2,89 12,96

13 21,4 169 457,96 278,2 2,4 2,24 5,376 5,76 5,0176

25 22 625 484 550 -1,8 -3,9 7,02 3,24 15,21

14 19,2 196 368,64 268,8 1,8 -2,3 -4,14 3,24 5,29

20 15 400 225 300 2,7 2,28 6,156 7,29 5,1984

27 17,7 729 313,29 477,9 -2,2 1,04 -2,288 4,84 1,0816

13 23,6 169 556,96 306,8 2,2 -1,1 -2,42 4,84 1,21

28 18,8 784 353,44 526,4 3,1 3,11 9,641 9,61 9,6721

16 12,9 256 166,41 206,4 -2,3 -3,4 7,82 5,29 11,56

∑ X ∑ Y ∑

X² ∑ Y² ∑ XY ∑ x ∑ y ∑ xy ∑ x² ∑ y² 402 386,

9 847

2

7825,9

1 7885,8 8,4 -7,18 75,719 113,5

8

121,947 6

X´⁼402 20 ^{= 20,1} Y^ = 386,9

20 ⁼ 19,34

X = X – X´

Y = Y^^{– Y}

B = n

∑

^xiy_i−

∑

^xi

∑

^yi

n

∑

^xi

2−¿ ¿ ¿ ¿

= 20(7.885,8)−(402)(386,9) 20(8.472)−(402)² = 157.716−155.533,8

169.440−161.604

=

^2.182,2_7.836

= 0,2784 a=^Y −b ´X

¿ 19,34 – 5,5975 (x) ¿ 13,747

(3)

a) Y^ = a + bX = 5,4095 + 0,7405 X

Jika X = 10, ramalan Y = Y^ = 13,747 + 0,2784 (10)

= 13,747 + 2,784

= 16,531

Jadi kalau upah harian mencapai Rp 10.000,-, maka konsumsi diramalkan akan mencapai Rp 16.531.

b) r = n

∑

^XiY_i−

∑

^XiY_i

√

ⁿ

∑

^Xⁱ²^{−¿ ¿ ¿ ¿ ¿}

=

√

ⁿ

∑

^X²⁻^{¿ ¿¿ ¿}⁼

√

²⁰⁽⁸⁴⁷²⁾⁻⁽⁴⁰²⁾²⁼

^√

⁷⁸³⁶^{= 88,5}

=

√

ⁿ

∑

^Yi

2−¿ ¿ ¿ ¿ =

√

²⁰⁽^7825,91⁾⁻⁽^386,9⁾²⁼

^√

^6826,59^{= 82,6}

r = 2.182,2

(88,5)(82,6)^{= 0,30}

r = koefisien korelasi untuk mengukur kuatnya hubungan antara X dan Y, r = 0,30 berarti hubungan sangat tidak kuat.

r² = 0,09 ini berarti bahwa variasi Y, sebanyak 9% disebabkan oleh pengaruh linear X, sedangkan sisanya 91% disebabkan oleh faktor lain.

c) S_e² = 1

n−2^∑e_i² = 1

3^{

∑

^yⁱ²^{– b}²^∑^xⁱ²^}

∑

^yⁱ²⁼

∑

^Yⁱ²^{– ( ∑Y}ⁱ⁾²/n = 2007 – (105)² / 20 = 2007 – 551,25 = 1455,75

∑

^xⁱ²^{= ∑}^Xⁱ²^{– ( ∑X}ⁱ) / n = 2356 – (108)²/ 20 = 2356 – 583,2 = 1772,8

S_e² = 1

3 { 1455,75 – (0,7405)² (1772,8) } = 1

3 ( 1455,75 – 972,10) = 157,88

d) Sb = S_e

√ ∑

^xⁱ²

⁼

√

^157,88

√

^1772,8

⁼

12,57

42,10^{= 0,299}

(4)

Contoh Soal 2 :

X = pendapatan bulanan karyawan swasta (ribuan rp) Y = Konsumsi bulanan (ribuan rp)

X 120 100 110 160 220 150 250 280 230 240

Y 100 90 95 135 150 130 155 170 150 160

a) Hitung a, b dan tulis pinjaman regresi linear Y = a + bx (dengan metode kuadrat terkecil). Apa arti b ?

b) Hitung Var (a), Sa ! Hitung Var (b), Sb ! c) Hitung r² ! Apa arti r² ? Pemecahan :

X Y X² Y² XY

120 100 14.400 10.000 12.000

100 90 10.000 8.100 9.000

110 95 12.100 9.025 10.450

160 135 25.600 18.225 21.600

220 150 48.400 22.500 33.000

150 130 22.500 16.900 19.500

250 155 62.500 24.025 38.750

280 170 78.400 28.900 47.600

230 150 52.900 22.500 37.500

240 165 57.600 27.225 39.600

∑ Xi ∑ Yi ∑ Xi2 ∑ Yi2 ∑ XY 1.860 1.340 384.485 187.400 266.000 X´⁼1

n∑ X_i= 1860/10 = 180

Y´⁼1

n∑Y_i= 1340/10 = 134

∑X_i² =

∑

⁽^Xi− ´X )²⁼

∑

⁽^Xⁱ^{−2 X}ⁱ^{X + ´X}²⁾

(5)

= ∑X_i²– 2X´^∑X_i + nX´²

= ∑ X_i²−2

∑

^Xi−X_i

n +n

∑

^Xi

∑

^Xi

n n

=

∑

^Xⁱ²^{−¿ ¿}

∑Y_i² =

∑

^Yⁱ²^{– (∑Y}ⁱ⁾²^/n

∑XiYi =

∑ ⁽

^Xⁱ^{− ´}^X

⁾⁽

^Yⁱ^{− ´}^Y

⁾

⁼

∑

^Xⁱ^Yⁱ⁻^{∑ X}ⁱ

∑

^Yi

n

Catatan ! ∑X_i², ∑Y_i²dan

∑

^XiY_i, bisa jugadihitung secara langsung dengan rumus

∑

(

^Xi− ´X

)

²^,^∑

(

^Yi− ´Y

)

²^dan^∑

(

^Xi− ´X

)(

^Yi− ´Y

)

∑

^Xⁱ² = 384400 – 1860²/10 = 384400 – 345960 = 384440

∑ X_iY_i= 266000 – (1860) (1340) /100

= 266000 – 249240

= 16760

b

=

^{∑ x}ⁱ^yⁱ

∑

^Xi

2

=

¹⁶⁷⁶⁰₃₈₄₄₀ = 0,4360042 = 0,436

a = Y – b ´X´ = 134 – 0,4360042 (186)

= 134 – 81,096774 = 52,903226

a)

Ŷ = a + bX = 52,903226 + 0,436 X

b = 0,436 artinya kalau pendapatan bulanan naik Rp 1.000, maka konsumsi bulanan akan naik Rp 436.

b)

Var (a) = S_e²

∑

^Xⁱ²

n

∑

^Xi

2, S_e²=

∑

^eⁱ²

n−2=

∑

^yⁱ²^−b²

∑

^xⁱ²

8

∑

^yⁱ²= 187400 – (1340)² /10

b²

∑

^xⁱ² = (0,4360042)² 38440 = 7307,431

(6)

S_e²

=

7840−7307,431

8 = 66,571125

Var (a) = 66,571125 384400 10(38440) = 66,571125

Sa =

√

^{Var (a)} = 8,159113 Var (b) = S_e² /

∑

^xⁱ²

= 66,571125 / 38400 = 0,0017318 Sb =

√

^{Var (b)} = 0,0416149

c)

R² =

∑

^XiY_i²

∑

^xⁱ²

∑

^yⁱ²

⁼

(16760)²

(38440)(7840)

=

^280897600_301369600 = 0,9320701

Artinya, besarnya sumbangan pendapatan (X) terhadap variasi (naik turunnya) konsumsi (Y) sebesar 93% sedangkan sisanya sebesar 7% disebabkan oleh faktor lainnya.

Gambar : Garis Regresi Sampel

a = 0,436 52,903226

x

170

BAB IX

ANALISIS REGRESI

Analisis regresi merupakan teknik analisis yang khas untuk penelitian korelasi. Analisis korelasi adalah analisis yang berusaha untuk melihat apakah antara dua variabel atau lebih ada hubungan atau tidak, mengukur kekuatan hubungannya, membuat ramalan yang didasarkan kepada kuat lemahnya hubungan tersebut. Teknik anlisis ini berguna untuk mempelajari variabel-variabel yang mempunyai hubungan berdasarkan teori yang dibangun sebelumnya sehingga arah pertalian diharapkan dapat ditemukan.

Y

X´ III

(y)

Y^_i=52,903226+0,436 X_i

(7)

9.1 Analisis Regresi sederhana

Jika skala pengukuran data dari dua variabel yang akan dianalisis merupakan interval atau rasio maka untuk menjelaskan hubungan antara kedua variabel tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan regresi sederhana. Misalkan kedua variabel tersebut adalah X dan Y, maka hubungan antara Y dan X atau biasa disebut dengan regresi Y atas X. Variabel X disebut variabel bebas (predictor) dan Y disebut variabel tak bebas (criterion). Hubungan tersebut dinyatakan dalam suatu persamaan matematika sebagai berikut : Model : Y = α +βX + ∈(populasi)

Fungsi Taksiran : Y = a + bX (sampel)

Dimana a = konstanta b = koefisien regresi, yang dapat diperoleh dari data sampel. Untuk keperluan itu dibutuhkan pasangan data (X,Y) sebanyak n, misalkan sebagai berikut:

NO SUBYE

K

X Y

1 X1 Y1

2 X2 Y2

3 X3 Y3

4 X4 Y4

, , ,

n Xn Yn

Dengan persyaratan sampel yang terpilih adalah sampel random dari populasinya normal, dan homogen.

Dari perhitungan melalui pasangan data (X,Y) dapat ditentukan : (1) Persamaan atau modal regresi Y atas X

(2) Linearitas dan signifikasi regresi Y atas X (3) Koefisien korelasi dan koefisien determinasi Contoh :

Apabila kita membahas hubugan antara kompetensi (X) dan kinerja pegawai (Y). Untuk itu kita ambil sampel acak sebanyak 12 orang sebagai berikut :

No

Subyek X Y

1 45 6

2 50 19

(8)

No

Subyek X Y

3 30 23

4 50 20

5 55 10

6 50 25

7 63 30

8 48 15

9 35 6

10 26 19

11 45 29

12 60 21

Pertanyaan :

a. Tentukan persamaan regresi Y atas X b. Lakukan pengujian

(i) Linearitas regresi Y atas X

(ii) Signifikasi/keberartian dan koefisien determinasi Y dan X c. Hitung koefisien korelasi dan koefisien determinasi Y dan X Penyelesaian :

Untuk menjawab persoalan regresi sederhana di atas, terlebih dahulu membuat tabel persiapan atau tabel kerja. Tabel ini berguna untuk memudahkan dalam menghitung jumlah kuadrat dan jumlah hasil kali variabel X dan Y (terutama untuk pemula), sebagai berikut:

No

Subyek X X² Y Y² XY

1 45 2025 6 36 270

2 50 2500 19 361 950

3 30 900 23 529 690

4 50 2500 20 400 1000

5 55 3025 10 100 550

6 50 2500 25 625 1250

7 63 3969 30 900 1890

8 48 2304 15 225 720

9 35 1225 6 36 210

10 26 676 19 361 494

11 45 2025 29 841 1305

12 60 3600 21 441 1260

Jumlah 557 27249 223 4855 10589

(9)

9.1.1 Menentukan persamaan regresi Y atas X (Y = a +bX)

Dari tabel di atas, dapat ditentukan persamaan atau model regresi sebagai berikut : Y = a + bX

b =

∑

^xy

∑

^x²

a = Y −b ´X^ dimana,

∑X = 557, ∑X² = 27,249, X´₁= 46,42

∑Y = 223, ∑Y² = 4,855, Y^^{= 18,6}

∑XY = 10.589

∑xy = ∑XY –¿ ¿ = 10.589 – (557)(223)

12 ^{= 238,08}

∑x²= ∑X²– (∑ X)²

n = 27.249 – (557)2

12 = 1.394,92

∑y²= ∑Y²– ¿ ¿ ¿ = 4.855 - (223)2

12

=

710,92 b = 238,08

1.394,92^{= 0,1706}

a = 18,6 – (0,1706)(46,42) = 10,680

Persamaan regresi Y atas X adalah : Y = 10,680 +0,1706 X

9.1.2 Uji Linieritas dan Signifikansi Regresi Y atas X

Pengujian linieritas dan signifikansi regresi Y atas X dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

(i) Menghitung jumlah Kuadrat (JK) Beberapa Sumber Varians JK (T) = ∑y²= 4.855

JK (a) = ¿ ¿ = 4.144,083

JK (b/a)= b∑xy = (0,1706)(238,08) = 40,616

JK(S) = JK(T) – JK(a) – JK (b/a) = 4.855 - 4.144,083 - 40,616 = 670,301 JK (G) =

∑

i=1 i=12

{

∑

^Yi²^–^{¿ ¿}^}

(10)

Untuk itu data terlebih dahulu diurut menurut variabel X

X 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6

Y 1 2 6 6 2 1 2 2 1 1 2 3

JK (G) = (6² + 29² – (35)2

2 ^{) + (25}²⁺²⁰²⁺¹⁹²

–

⁽⁶⁴⁾²

3 ) = 243,833 JK (Tc) = JK (S) – JK(G) = 670,301 – 243,833 = 426,468

(ii) Menentukan Derajat Bebas (db) Beberapa Sumber Varians db (T) = n = 12

db (a) = 1 db (b/a) = 1

db (S) = n-2 = 12 – 2 = 10

db (G) = n - k = 12 - 10 = 2 (k = 10) db (Tc) = k - 2 = 12 – 2 = 10

(iii) Menghitung Rata – rata Jumlah Kuadrat (RJK) RJK (a) = JK (a)

db (a)⁼

4144,083

1

=

4144,083 RJK (b/a) = JK (b/a)

db (b /a)

=

^40,616

1 ^{= 40,616} RJK (S) = JK (S)

db (S)

=

^670,301

10

= 67,030 RJK (G) = JK (G)

db (G)

=

^243,833

2 ^{= 121,92} RJK (Tc) = JK (Tc)

db (Tc)

=

^426,468

10 ^{= 42,647} (iv) Menentukan Fhitung

Fhitung yang akan ditentukan adalah berkaitan dengan uji lineritas dan uji signifikasi regresi.

Uji Lineritas Regresi Y atas X Ho : Y = α + βX (regresi linear) H1 : Y ≠ α + βX (regresi tak linear) Fhit (Tc) = RJK (Tc)

RJK (G)

=

^42,647

121,92

=

0.350 Ftab (0.05 : 10;3) = 8,78 dan Ftab (0.01:10;3) = 27.23

(11)

Sehingga Fhit (Tc) lebih kecil atau sama dengan Ftab, ini berarti Ho diterima. Demikian regresi Y atas X adalah linear.

9.1.3 Koefisien Korelasi dan Uji Signifikansi Koefisien Korelasi X dan Y

Koefisien korelasi adalah koefisien yang memperlihatkan tingkat keeratan hubungan antara variabel X dan Y.

(i) Koefisien Korelasi antara X dan Y

r

xy =

∑

^xy

√¿ ¿ ¿

=

^238,08

√

(1394,92)(710,92)^{= 0,239} Jadi koefisien korelasi antara X dan Y adalah 0,239 (ii) Uji Signifikansi Koefisien Korelasi X dan Y

Ho : ρ ≤ 0 H1 : ρ > 0

thitung = rxy

√

ⁿ⁻²

√

^{1−r 2 xy}

⁼

0,239

√

¹⁰

√

^1−(0.239)2^{= 0,778}

= 0,778

√

¹²⁻²

√

^(1−0.777)^{= 5,21}

ttab (0.95:10) = 1.81 dan ttab (0.99 : 10) = 2.76

Sehingga thitung > ttab atau Ho ditolak. Ini berarti bahwa korelasi antara X dan Y adalah sangat signifikan. Karena koefisien korelasi adalah positif, maka dapat dikatakan bahwa koefisien korelasi antara X dan Y bersifat positif dan sangat signifikan artinya, makin tinggi kompetensi makin tinggi pula kinerja pegawai yang dapat dicapai.

(iii) Koefisien Determinasi

Koefisien Determinasi adalah sebuah koefisien yang memperlihatkan besarnya variasi yang ditimbulkan oleh variabel bebas (predictor) yang dinyatakan dengan presentase. Koefisien Determinasi didefinisikan sebagai kuadrat dari koefisien korelasi. Sehingga untuk hasil analisis di atas, koefisien determinasi antara X dan Y adalah kuadrat dari rxy = 0,239, yaitu r²xy =0,239.

Koefisien mengandung makna bahwa 23,9% variasi kinerja pegawai dapat dijelaskan oleh kompetensi.

(12)