REGRESI DAN KORELASI LINEAR SEDERHANA. Regresi Linear

REGRESI DAN

KORELASI LINEAR

SEDERHANA

Tujuan Pembelajaran



Menjelaskan regresi dan korelasi



Menghitung dari persamaan regresi dan standard error dari

estimasi-estimasi untuk analisis regresi linier sederhana



Menggunakan ukuran-ukuran yang diperoleh dari analisis

regresi dan korelasi untuk membuat dugaan-dugaan interval

dari variabel-variabel terikat bagi keperluan peramalan

(forecasting)



Menghitung dan menjelaskan makna dari koefisien-koefisien

korelasi dan determinasi dalam menggunakan teknik-teknik

analisa korelasi linier sederhana

Pendahuluan



Analisa regresi

digunakan untuk meramalkan atau memperkirakan nilai dari satu variabel dalam hubungannya dengan variabel lain atau mempelajari dan mengukur hubungan statistik yang terjadi antara dua atau lebih varibel.

Dalam regresi sederhana dikaji dua variabel, sedangkan dalam regresi majemuk dikaji lebih dari dua variabel.

 Variabel Terikat (Dependent Variable / Response Variable)

 Variabel yang akan diestimasi nilainya

 Variabel bebas (independent variable atau explanatory variable)

 Variabel yang diasumsikan memberikan pengaruh terhadap variasi variabel terikat dan biasanya diplot pada sumbu datar (sumbu-x).

Dikembangkan pertama kali oleh seorang ahli genetika : Francis Galton

Analisa regresi

Gagasannya adalah meminimalkan penyebaran total nilai y dari garis.

Regresi atau garis kuadrat terkecil

 Adalah garis dengan SSE yang terkecil

SSE besar SSE kecil

SSE = Sum of Squared Errors (Jumlah Kuadrat Kesalahan)

Gambar 2 Garis regresi linier pada diagram pencar y (+) y (+) y (+) y (+) y (-) y (-) y (-) y (-) y (0) y (0) a   ˆy a bx x y

Analisis Regresi Linear

Garis regresi ditempatkan pada data dalam diagram sedemikian rupa sehingga penyimpangan keseluruhan

titik terhadap garis lurus adalah nol

Error / kesalahan

Analisis Regresi Linear

.

Persamaan Matematis:

Ŷ = a + bx

Ŷ = penduga (bagi rata-rata Y untuk X tertentu) variabel terikat (variabel yang diduga)

x = Variabel bebas (variabel yang diketahui)

a,b = Penduga parameter A dan B (koefisien regresi sampel) a = intersep (nilai Y, jika X = 0)

E(Y) = 15.6 + 1.09X

contoh hubungan POT dengan prestasi belajar siswa. Kemiringan ₁ = 1.09 menunjukkan bahwa kenaikan skore POT satu satuan akan menaikkan rataan sebaran peluang bagi Y sebesar 1.09.

b adalah Kemiringan (slope) yang menunjukkan perubahan rataan sebaran peluang bagi Y untuk setiap kenaikan X satu satuan.

Rumus:

2 2 2



































i i i i i i i i i i i i i

X

X

n

Y

X

X

X

Y

X

b

Y

a

dan





























i i i i i i i i i i i

X

X

n

Y

X

Y

X

n

b

₂ 2

Latihan

Dari suatu praktikum fisika dasar diperoleh data yang menghubungkan variabel

bebas x dan variabel terikat y seperti ditunjukkan dalam tabel berikut.

Uji ke-

x

y

1

6

30

2

9

49

3

3

18

4

8

42

5

7

39

6

5

25

7

8

41

8

10

52



56

296

Tabel 1

Tabel perhitungan: Uji ke- x y xy x2 _y2 1 6 30 180 36 900 2 9 49 441 81 2401 3 3 18 54 9 324 4 8 42 336 64 1764 5 7 39 273 49 1521 6 5 25 125 25 625 7 8 41 328 64 1681 8 10 52 520 100 2704  56 296 2257 428 12920 



 56 7 



 296 37 8 8 x y x y n n

Analisis Regresi Linear

Kolom y

2

_{ditambahkan pada tabel meskipun belum digunakan untuk perhitungan}

persamaan garis regresi. Nilai tersebut akan digunakan kemudian. Jadi dengan

menggunakan hasil pada tabel, nilai dari konstanta a dan b dapat ditentukan:



   





 

 _      



 



₂



2 2 8(2257) (56)(296) 1480 5,1389 288 8(428) (56) n xy x y b n x x    37 (5,1389)(7) 1,0277 a y bx

Jadi persamaan garis regresi linier yang menggambarkan hubungan antara

variabel x dan y dari data sampel pada percobaan/praktikum di atas adalah:

 





ˆ

1,0277 5,1389

y a bx

x

Dengan menggunakan persamaan garis regresi yang diperoleh, maka dapat

diperkirakan hasil yang akan diperoleh (nilai y) untuk suatu nilai x tertentu.

Misalnya untuk x = 4 maka dapat diperkirakan bahwa y akan bernilai:

   

ˆ 1,0277 5,1389

y a bx x

=1,0277 + 5,1389(4) = 21,583

y = 5.1389x + 1.0278 0 10 20 30 40 50 60 0 2 4 6 8 10 12 x y

Gambar. Garis regresi untuk contoh soal 1

Latihan 2

X (%) Y (%)

1

2

2

4

4

5

5

7

7

8

9

10

10

12

Misalnya X adalah persentase kenaikan biaya periklanan dan Y adalah persentase kenaikan hasil penjualan. Berapakah besarnya ramalan persen kenaikan penjualan jika biaya iklan dinaikkan menjadi 15%?

Standard Error of Estimate

Standard Error Regresi & Koefisien Regresi Sederhana

Standard error merupakan indeks yang digunakan

Untuk mengukur tingkat ketepatan regresi (pendugaan) dan koefisien regresi (penduga) atau mengukur variasi titik-titik observasi di sekitar garis regresi.

Dengan menggunakan data dan tabel perhitungan pada latihan1, maka standard

error estimasi dari garis regresi yang diperoleh adalah:

 



  





      



2





, 2 (11,920) 1,0277(296) 5,1389(2,257) 1,698 8 2 y x y a y b xy s n

Dengan standard error, batasan seberapa jauh

melesetnya perkiraan kita dalam meramal data dapat

diketahui.

Bila semua titik observasi berada tepat di garis regresi

maka kesalahan baku akan bernilai sama dengan nol.

Berarti perkiraan yang

dibuat sesuai dengan

data sebenarnya.

Koefisien regresi a dan b

(penduga a dan b)

Regresi Linear

Koefisien regresi a (penduga a),

kesalahan bakunya dirumuskan:

Koefisien regresi b`(Penduga b)

 

 

 

     





, 2 2 2 1,698 1,698 0,283 6 56 428 8 y x b s s x x n

Pendugaan Interval Koefisien

Regresi (Parameter A dan B)

Pendugaan Parameter Regresi

Dari nilai atau derajat kepercayaan (1 -  ) yang telah ditentukan, interval pendugaan parameter A dan B dapat ditentukan, yang diberikan masing-masing oleh:

b b B b t s s t b 2 2       dan a t s_a A a t s_a 2 2      

dengan derajat kebebasan (n-2)

Pendugaan interval parameter A Pendugaan interval parameter B

Artinya, dengan interval keyakinan 1 – α dalam jangka panjang, jika sampel diulang-ulang, 1 - α kasus pada interval tersebut akan berisi A

Latihan soal 2



Tentukan interval dari parameter A dan B pada latihan

soal 1 dengan α = 5% atau tingkat keyakinan 95% dan

jelaskan artinya!

Pengujian Hipotesis Koefisien

Regresi (Parameter A da B)

Pengujian hipotesis bagi parameter A dan B menggunakan uji t,

dengan langkah- langkah sbb:

1) Untuk parameter A: H₀ : A = A₀ H1 : A > A₀ A < A₀ A ≠ A₀ 2) Untuk parameter B:

H₀ : B = B_0, mewakili nilai B tertentu, sesuai hipotesisnya H1 : B > B_{0 ,} berarti pengaruh X terhadap Y adalah positif

B < B_0, berarti pengaruh X terhadap Y adalah negatif B ≠ B_0, berarti X mempengaruhi Y

a. Menentukan formulasi hipotesis

b. Menentukan taraf nyata (αlfa) dan nilai t tabel

Taraf nyata dan nilai t tabel ditentukan dengan derajat bebas (db) = n - 2

Pengujian Hipotesis Koefisien

Regresi (Parameter A da B)

c. Menentukan kriteria pegujian

1) H₀ diterima jika t₀ ≤ t_α H₀ ditolak jika t₀ > t_α

2) H₀ diterima jika t₀ ≥ -t_α H₀ ditolak jika t₀ < -t_α

3) H₀ diterima jika –t_α/2 ≤ t₀ ≤ t_α/2

H₀ ditolak jika t₀ < -t_α/2 atau t₀ > t_α/2

d. Menentukan nilai uji statistik

1) Untuk parameter A

2) Untuk parameter B

Peramalan (Prediksi)



Peramalan

Ŷ sebagai penduga memiliki nilai yang mungkin sama atau

tidak sama dengan nilai sebenarnya.

 Untuk membuat Ŷ sebagai penduga yang dapat

dipercaya, maka dibuat pendugaan bagi Y.

Peramalan (Prediksi)



Peramalan Tunggal

Peramalan (Prediksi)

Latihan Soal:

Dengan menggunakan data dari tabel 3,

Buatlah:

a.

Ramalan interval untuk individu Y, jika biaya iklan

dinaikkan menjadi 15% dengan tingkat keyakinan 99%!

b.

Ramalan interval untuk rata-rata E(Y), jika biaya iklan

dinaikkan menjadi 15% dengan tingkat keyakinan 99%!