BAB 6
Untuk melukis bangun ruang pada bidang datar kita harus mengerti tentang proyeksi dan jenis-jenisnya
Proyeksi merupakan cara untuk meluakis suatu bangun datar atau bangun ruang pada bidang datar dengan cara menjatuhkan setiap titik pada bangun atau bentuk ke bidang proyeksi.
1. Proyeksi Ortogonal (proyeksi tegak lurus) a. Proyeksi Ortogonal garis pada garis
i) Jika garis AB (miring) diproyeksikan pada garis/
A merupakan proyeksi titik A pada / B. merupakan proyeksi titik B pada /
Jadi garis AB merupakan proyeksi garis AB pada /
ii) Jika garis CD diproyeksikan pada garis /
C' merupakan proyeksi titik C pada / D' merupakan proyeksi titik D pada /
Jadi garis C'D merupakan proyeksi garis CD pada / iii) Proyeksi garis EF terhadap garis I
E' merupakan proyeksi titik E pada / F' merupakan proyeksi titik F pada /
Jadi EF merupakan proyeksi garis EF pada / dan E'F' merupakan titik, karena E berimpit dengan F'
b. Proyeksi ortogonal bidang pada bidang
Misalkan segitiga ABC diproyeksikan pada idang datar a maka proyeksikan masing-masing titik sudut segitiga ABC pada bidang α
A' hasil proyeksi A pada bidang α B' hasil proyeksi B pada bidang α C'hasil proyeksi C pada bidang α
Jadi A' B' C' merupakan proyeksi ABC pada bidang α
2. Proyeksi sentral proyeksi dengan titik pusat T Proyeksi garis pada garis
Garis AB diproyeksikan pada garis / dengan titik pusat T
A' merupakan proyeksi titik A pada / B' merupakan proyeksi titik B pada /
Jadi garis A' B' merupakan proyeksi garis AB pada / dengan pusat titik T Proyeksi sentral bidang pada bidang
A' hasil proyeksi A pada bidang α B' hasil proyeksi B pada bidang α C'hasil proyeksi C pada bidang α
Jadi A' B' C' merupakan proyeksi ABC pada bidang α dengan titik pusat T.
3. Proyeksi miring
Gambar Proyeksi miring garis pada garis
A' merupakan proyeksi titik A pada / B' merupakan proyeksi titik B pada /
Jadi garis A' B' merupakan proyeksi garis AB pada /
Gambar Proyeksi miring bidang pada bidang
A' hasil proyeksi A pada bidang α B' hasil proyeksi B pada bidang α C'hasil proyeksi C pada bidang α
Jadi A' B' C' merupakan proyeksi ABC pada bidang α
Gambar Perspektif
Dalam penglihatan kita sehari-hari, benda-benda yang letaknya lebih dekat dengan mata terlihat lebih besar dan benda-benda yang terletak lebih jauh dengan mata terlihat lebih kecil. Semakin jauh letak benda dari mata kita, benda itu akan terlihat semakin kecil hingga akhimya hanya tampak sebagai titik saja. Demikian
Contoh benda berupa kubus yang diproyeksikan dengan cara Eropa.
juga dua benda atau lebih yang letaknya sejajar dan membujur menjauhi kita, semakin jauh dari mata, keduanya akan terlihat semakin berdekatan hingga akhirnya saling berimpit dan akan menjadi satu titik.
Konstruksi gambar perspektif
Contoh sebuah titik yang diproyeksikan dengan gambar perspekif
Semua benda memiliki volume kecuali titik, garis dan bangun datar. Titik merupakan benda dimensi nol (0) karena tidak memiliki panjang, lebar dan tinggi.
Yang dimaksaD proyeksi adalah bayangan benda pada suatu bidang, jika benda yang dimaksut dikenai sinar yang tegak lurus pada bidang yang diketahui. Bidang tempat bayangan disebut bidang proyeksi.
Lukisan proyeksi menggunakan sistem koordinat yang terdiri dari tiga sumbu saling tegak lurus yaitu sumbu X, Y dan Z. Dengan menggunakan mata angin, kedudukan sumbu dapat dinyatakan bahwa:
a. Sumbu X adalah arah Timur-Barat b. Sumbu Y adalah arah Utara-Selatan c. Sumbu Z adalah arah Atas-Bawah
Sistem koordinat membagi ruang menjadi 8 daerah yang masing-msing disebut oktan.
a. Oktan 1 adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X+, Y+, dan Z+. b. Oktan 2 adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X+, Y-, dan Z+. c. Oktan 3 adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X-, Y-, dan Z+. d. Oktan 4 adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X-, Y+, dan Z+. e. Oktan 5 adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X+, Y+, dan Z-. f. Oktan 6 adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X+, Y-, dan Z-. g. Oktan 7 adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X-, Y-, dan Z-. h. Oktan 8 adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X-, Y+, dan Z-.
Z = Y−
X = Y− Y = X−
Y = Z−
Lukisan proyeksi menggunakan sistem koordinat dengan menggunakan tiga (3) sumbu yaitu sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z. Ketiga sumbu saling tegak lurus. Dengan menggunakan mata angin kedudukan sumbu dapat dinyatakan bahwa sumbu x adalah arah Timur-Barat, sumbu y adalah arah Utara-Selatan, dan sumbu z arah atas-bawah. Sistem koordinat membagi ruang menjadi 8 daerah yang masing-masing disebut oktan. Oktan 1 dibatasi adalah daerah (x+, y+, z+).
Oktan 2 dibatasi adalah daerah (x+, y-, z+). Oktan 3 dibatasi adalah daerah (x-, y-, z+). Oktan 4 dibatasi adalah daerah (x-, y+, z+). Oktan 5 dibatasi adalah daerah (x+, y+, z-). Oktan 6 dibatasi adalah daerah (x+, y-, z-). Oktan 7 dibatasi adalah daerah (x-, y-, z-). Oktan 8 dibatasi adalah daerah (x-, y+, z-). Terbentuknya 8 oktan karena perpotongan 3 bidang batas yang kemudian disebut sebagai bidang proyeksi.
Bidang proyeksi I merupakan bidang tempat bayangan dari sinar vertikal (pandangan atas) atau bidang yang melalui sumbu x dan sumbu y. Dengan demikian koordinat bayangan titik di bidang proyeksi I ialah ( x, y, 0). Bidang proyeksi II merupakan bidang tempat bayangan dari sinar horisontal dari depan (pandangan depan) atau bidang yang melalui sumbu x dan sumbu z. Dengan demikian koordinat bayangan titik di bidang proyeksi II ialah ( x, 0, z).Bidang proyeksi III merupakan bidang tempat bayangan dari sinar horisontal dari kanan (pandangan kanan) atau bidang yang melalui sumbu y dan sumbu z. Dengan demikian koordinat bayangan titik di bidang proyeksi III ialah ( 0, y, z)..
Gambar 8 oktan
Oktan II Oktan I
Oktan III
Oktan IV
Oktan VII
Oktan VIII Oktan V
Oktan VI
Kedudukan bidang proyeksi.
Kedudukan bidang proyeksi mengalami perubahan dari gambar ruang menjadi gambar datar dari tiga sumbu koordinat menjadi 2 koordinat koordinat.
Pengubahan dilakukan dengan memutar bidang proyeksi III berporos pada sumbu z, sehingga bidang proyeksi II dan III berimpit. Kemudian bidang proyeksi II dan III yang berimpit direbahkan berporos pada sumbu x.
Dengan demikian beberapa sumbu saling berimpit, yaitu sumbu x– berimpit dengan sumbu y+, dan sumbu x+ berimpit dengan sumbu y–, sumbu y– berimpit dengan sumbu z+ , dan sumbu y+ berimpit dengan sumbu z–.
Proyeksi Sebuah Titik
Untuk membuat gambar proyeksi dari sebuah titik, atau juga objek lainnya, sebaiknya dilakukan dua tahapan kerja, yang pertama membuat gambar stereometrinya dan kedua membuat gambar proyeksinya. Berikut ini perhatikan gambar proyeksi titik A yang terletak 2 cm di atas bidang P1, 1 cm di depan bidang P2 dan 3 cm di samping bidang P3
Perhatikan bentuk gambar berikut
P1
X P2 Z
O
Y P3
P1 X P2 Z
Y O P3
Y A A2
A3 A3 A2
A1 A1
Gambar Proyeksi
Penjelasan gambar
1) Titik A1 adalah proyeksi titik A pada bidang P1 dengan koordinat (x,y) dengan nilai (3,1). Tarik garis proyeksi dari nilai x tegak lurus sumbu o-x dengan jarak nilai y dan sebaliknya.
2) Titik A2 adalah proyeksi titik A pada bidang P2 dengan koordinat (x,z) dengan nilai (3,2). Tarik garis proyeksi dari nilai x tegak lurus sumbu 0-X dengan jarak nilai z dan sebaliknya.
3) Titik A3 adalah proyeksi ttitik A pada bidang P3 dengan koordinat (y.z) dengan nilai (1,2). Tank garis proyeksi dari nilai y tegak lurus sumbu o-y dengan jarak nilai z dan sebaliknya.
4) Titik A pada gambar stereometri adalah benda yang sebenarnya dengan koordinat (x,y,z) dengan nilai (3,1,2). Titik A didapat dengan menarik garis proyeksi dari titik A1, A2, dan A3 tegak lurus dengan bidang-bidang proyeksinya
Proyeksi Sebuah Garis
Menggambar proyeksi sebuah garis dapat diartikan menggambar proyeksi dua buah titik. Namun dalam membuat gambar proyeksinya harus kita pandang sebagai sebuah garis yang utuh, hal itu menyebabkan terdapatnya beberapa kemungkinan hasill gambar proyeksi sebyah garis, antara lain:
1) Proyeksi dari sebuah garis lurus akan berupa garis lurus juga, tetapi bila garis tersebut tegak lurus dengan bidang proyeksinya maka hasill proyeksinya berupa sebuah titik.
2) Proyeksi dari sebuah garis yang sejajar dengan bidang priyeksinya maka hasill proyeksinya akan sama panjang dengan garis tersebut, dan bila sebuah garis yang tidak sejajar dan tidak tegak lurus dengan bidang proyeksinya maka hasill proyeksinya lebih pendek dari garis tersebut.
Perhatikan dan pelajari gambar-gambar berikut.
Gambar Proyeksi
P1
X P2 Z
O
Y P3
P1 X P2 Z
Y O P3
Y
C C2 C3
D3
C1
D1
D2
C2
D2
D1 C1
D3
C3
D
Gambar Proyeksi
P1
X P2 Z
O
Y P3
P1 X P2 Z
Y O P3
Y
A B
A1 B1
B2 A2
A3B3
A3B3 A2 B2
A1 B1
Proyeksi Sebuah Bidang
Sebuah bidang dibentuk oleh tiga buah garis atau lebih. Oleh karena itu, untuk membuat gambar proyeksi sebuah bidang sama dengan memproyeksi beberapa buah garis. Kemungkinan-kemungkinan yang terjadi pada proyeksi garis dapat berlaku juga pada proyeksi bidang.
Perhatikan dan pelajari gambar berikut
Penjelasan Gambar
1) Bidang ABCD gambar proyeksinya pada bidang P1 berupa sebuah garis yang sama panjang dengan sisi AB, sejajar sumbu o-x atau tegak lurus sumbu o-y.
2) Proyeksi bidang ABCD pada bidang P2 berupa bidang yang sama besar dengan bidang asalnya, bidang tersebut sejajar dengan bidang P2 dan tegak lurus dengan bidang P1 dan P3.
D A
C
Gambar Proyeksi
P1
X P2 Z
O
Y P3
P1 X P2 Z
Y O P3
Y
A
A1D1 B1C1
B
A2 B2
C2 D2
C3D3
A3B3
A3B3 C3D3
A1D1 B1C1
A2 B2
C2 D2
E
3) Proyeksi bidang ABCD pada bidang P3 berupa sebuah garis yang sama panjang dengan sisi BC, sejajar sumbu o-z dan tegak lurus sumbu o-y,
Penjelasan gambar
1) Gambar Proyeksi pada bidang P1, P2 dan P3 berupa bidang segitiga.
2) Ketiga segitiga pada masing-masing bidang proyeksi tidak ada yang ukuranya dengan segitiga asalnya yaitu segitiga EFG, ini disebabkan karena letak dari segitiga EFG tidak sejajar dan tidak tegak lurus dengan bidang- bidang proyeksinya.
Proyeksi Sebuah Benda Tiga Dimensi
Memproyeksikan sebuah benda tiga dimensi seperti kubus, balok, limas dan sebagainya sama artinya memproyeksikan beberapa buah bidang. Kemungkinan gambar proyeksinya pada bidang P1,P2 dan P3 berupa sebuah bidang.
Perhatikan gambar berikut dan pelajarilah.
Gambar Proyeksi
P1
X P2 Z
O
Y P3
P1 X P2 Z
Y O P3
Y
E1 G1
F1 E2 F2 G2 G3 G
E3 F3
E1 G1
F1 E2 F2
G3 G2
E3 F3
E
F
Ketentuan gambar proyeksi balok di atas adalah sebagal benkut.
Ditentukan proyeksi balok dengan kordinat tutik A (1,1,1), Garis AB panjangnya 5 cm sejajar dengan sumbu o-x dan tegak lurus sumbu o-y. Garis BC panjangnya 4 cm sejajar sumbu o-y dan tegak lurus sumbu 0-K Alas balok adalah bidang ABCD sejajar dengan bidang P1. Tinggi balok 2,5 cm.
Lukisan Proyeksi Titik.
1. Lukis proyeksi titik A ( 2, 3, 4) di oktan I
a. Proyeksi 1 menggunakan sumbu x+ dan y+
b. Proyeksi 2 menggunakan sumbu x+
dan z+
c. Proyeksi 3 menggunakan sumbu y+ yang diputar dan sumbu z+
A3 A2
A1
y-
x- x+
y+ 4
0 2
3
3 P1
X
P2
Z
Y
P3
P1 X P2 Z
Y O P3
Y
E3F3
A
A1E1
C1G1
B1F1 1
C
B E
F G3H3
A3B3
E2H2 F2G2
C3D3
A2D2
H G
D1H1
B2C2 O D
E2H2 F2G2
A2D2 B2C2
A1E1
C1G1
B1F1 1 D1H1
E3F3 G3H3
A3B3 C3D3
Gambar Proyeksi
2. Lukis proyeksi B ( 3, –4, 6) di oktan II
a. Proyeksi 1 menggunakan sumbu x+ dan sumbu y–, yang tidak diputar atau = z+
b. Proyeksi 2 menggunakan sumbu x+ dan sumbu z+
c. Proyeksi 3 menggunakan sumbu sumbu y– yang diputar atau = x+
3. Lukis proyeksi C (–3, –4, 6)
.
1 satuan z
z = y-
x = y- y
y
B2 B3
B1
6
- 4
3 - 4
x y
y
4. Lukis proyeksi D (–3, 4, 6)
5. Lukis proyeksi E ( 3, 4, –6)
1 satuan
z
y x
1 satuan
x z
y
y
6. Lukis proyeksi F (3, –4, –6)
.
7. Lukis proyeksi G (–3, –4, –6)
.
1 satuan
y z
y x
z
y x
1 satuan z
8. Lukis proyeksi H (–3, 4, –6)
.
1 satuan
y
x z
y
Proyeksi Garis.
Proyeksi garis dapat ditentukan dengan memproyeksikan 2 titik yang terletak pada garis yang diketahui.
Contoh lukisan garis
Lukis garis g yang melalui A( 5, 3, 6) dan B (-4, 2, 3)
z
Proyeksi Bidang.
Proyeksi bidang pada bidang proyeksi didefinisikan sebagai perpotongan bidang yang diketahui dengan bidang proyesinya. Kedudukan bidang terhadap sumbu koordinat:
a. Bidang memotong 3 sumbu koordinat b. Bidang memotong 2 sumbu koordinat c. Bidang memotong 1 sumbu koordinat d. Bidang melalui salah satu sumbu koordinat.
a. Bidang memotong 3 sumbu koordinat.berarti pula memotong 3 bidang proyeksi
Contoh: Diketahui bidang α ≡ 3x + 4y + 6z = 24.
Tentukan proyeksi α.
1 satuan
A3 A2
A1
B1
B2
B3
g3 g3
g1
5 3
3 2
6
x
y y
3
Diketahui: α ≡ 3x + 4y + 6z = 24.
Syarat memotong sumbu x adalah : y = 0 dan z = 0 Jadi : 3x = 24
x = 8
Syarat memotong sumbu y adalah : x = 0 dan z = 0 Jadi : 4y = 24
y = 6
Syarat memotong sumbu z adalah : x = 0 dan y = 0 Jadi : 6z = 24
z = 4
1 satuan
y x
z
y 4
6
8 6
α3 α2
α1
b. Bidang memotong 2 sumbu koordinat
Bidang memotong 2 sumbu koordinat berarti sejajar terhadap 1 sumbu koordinat
Contoh :
Diketahui :
a. Bidang α ≡ 3x + 4y = 12, berarti α // sumbu z atau ! XOY b. Bidang β ≡ 2x + 3z = 12, berarti β // sumbu y atau ! XOZ c. Bidang γ ≡ 3y + 5z = 15, berarti γ // sumbu x atau ! YOZ Lukislah: Proyeksi bidang α, β, dan γ
Persediaan:
a. α memotong sumbu x di A( 4, 0, 0) dan sumbu y di B( 0, 3, 0) b. β memotong sumbu x di C( 6, 0, 0) dan sumbu z di D( 0, 0, 4) c. γ memotong sumbu y di E( 0, 5, 0) dan sumbu z di F( 0, 0, 3) Lukisan:
1 satuan
y
z
x
y
5 6
3 B 3
4 F D
E C
γ β
A α
4
c. Bidang memotong 1 sumbu koordinat berarti sejajar 1 bidang proyeksi Kedudukan di atas berarti pula bahwa bidang yang diketahui sejajar salah satu bidang proyeksi.
Contoh:
Diketahui :
a. bidang α dengan persamaan x = 7, berarti α // bidang YOZ b. bidang β dengan persamaan y = 4, berarti β // bidang XOZ c. bidang γ dengan persamaan z = 5, berarti γ // bidang XOY Lukislah: Proyeksi α, β, dan γ
Lukisan:
z
β
α
x γ
β
y 4 7
4 4
y
d. Bidang melalui sumbu koordinat.
Bidang melalui sumbu koordinat berarti bidang akan tegak lurus pada bidang koordinat
Contoh :
Diketahui : α ≡ 2x = y, berarti α melalui sumbu z, maka α ⊥, bidang XOY β ≡ 2x = 3z, berarti β melalui sumbu y, berarti β ⊥, bidang XOZ γ ≡ 3y = 4z, berarti γ melalui sumbu x, berarti γ ⊥ bidang YOZ Lukislah: Proyeksi α, β, dan γ
Persediaan: α ≡ x = 2y → α melalui O( 0, 0, 0) dan A( 2, 4, 0) β ≡ 5x = 3z → β melalui O( 0, 0, 0) dan B( 3, 0, 5) γ ≡ 3y = 4z → γ melalui O( 0, 0, 0) dan C( 0, 4, 3) Lukisan:
β
C (0, 3, 4)
x B( 3, 0, 5) γ
0 z
y
A( 1, 2, 0) α y
e. Bidang memotong ketiga bidang proyeksi.
Bidang sembarang akan memotong ketiga bidang proyeksi.yang berarti pula memotong ketiga sumbu koordinat,
Contoh :
Diketahui : α ≡ 2x + 3y + 4 z = 12 Lukislah : proyeksi α
Persediaan : perpotongan dengan sumbu x, maka y = 0 dan z = 0. Jadi x = 6 perpotongan dengan sumbu y, maka x = 0 dan z = 0. Jadi y = 4 perpotongan dengan sumbu z, maka x = 0 dan y = 0. Jadi z = 3 Lukisan :
4 y
6 O
z 3
y 4 x
α
2α
1α
3Proyeksi Irisan Bidang dengan Bangun Ruang.
Irisan bidang dengan bangun ruang berbentuk bangun datar (bidang) sesuai dengan permukaan (penampang) bangun yang terpotong. Biasanya bangun r berada di oktan I.
Contoh:
Diketahui: Limas T.ABCD terletak di bidang XOY dipotong α ≡ x = z
Jika A( 1, 3, 0), B( 3, 6, 0), C( 9, 5, 0), D( 5, 1, 0), dan T( 4, 3, 8).
Lukislah : Proyeksi penampang/ irisan limas dengan α Persiapan : α ≡ x + z = 1 melalui P( 1, 0, 1) dan Q( 6, 0, 6) Lukisan :
C2
α2
y
y x
A1
T1
B1
C1
B3 C3 A3 D3 A2 B2
D1
D2 P2
Q2 S2
U2
T3
z
T2
1 satuan
Diketahui : Limas T.ABCD tergantung di bidang XOZ dipotong α ≡ 3x + 5y – 30=0 Jika A( 3, 0, 1), B( 8, 0, 2), C( 5, 0, 6), D(1, 0, 5). Dan T( 4, 7, 3).
Lukislah : Proyeksi 2 dan proyeksi 3.
Lukisan : Lengkapi / selesaikan contoh lukisan berikut !
z
0
y
y x
T1
T3
C3
D2
D3
B3
A3 A2
T2
C2
α1
Q1
S1
P1
R1
D1 A1 C1 B1
B2
Diketahui : Limas T.ABCD
A ( 2, 2, 0), B ( 4, 4, 0), C ( 5, 5, 0), D ( 8, 1, 0), T ( 5, 3, 6) α ≡ 2x + 3y = 0
Lukis: proyeksi irisan α dan limas.
Lukisan :
y+ /z–
y+ / x– x+ / y–
z+ / y–
Diketahui Prisma ABCD di oktan I dipotong α ≡ 2x + 3z –18 = 0 Jika A( 2, 1, 0), B( 8, 3, 1), C( 5, 7, 2), D(4, 5, 7) dan rusuk.
Lukislah Proyeksi irisan limas dan α.
Persiapan : α ≡ 2x + 3z –18 = 0 . Untuk x = 0, maka 3z = 18 z = 6 Untuk yz = 0, maka 2x = 18
x = 9 Lukisan :
y+ /x– x+ /y–
y+ /z– z+/ y-
Diketahui Limas ABCD di oktan I dipotong α ≡ 2x – 3y + 6 = 0
Jika A( 1, 1, 2), B( 8, 3, 0), C( 5, 7, 3), D(4, 4, 8) dan rusuk.
Lukislah Proyeksi irisan limas dan α.
Lukisan:
Y 0
A1
B1
C1
D1
B1
A2
B2
x C2
D2
z
PROBLEM POSING
Diberikan informasi sebagai berikut.
Terdapat sebuah balok ABCD EFGH dan segiempat PQRS
1. Buatlah satu soal yang berkaitan dengan melukis proyeksi dan kerjakan soal yang kamu buat tersebut!
2. Apabila kamu kesulitan mengerjakan soal tersebut, buatlah beberapa soal yang berkaitan dengan kesulitan ketika mengerjakan soal tersebut dan kerjakan soal-soal yang kamu buat tersebut!
3. Apabila kamu dapat menyelesaikan soal yang kamu buat, buatlah soal lain yang berkaitan dengan melukis proyeksi, kemudian selesaikanlah!
Latihan 6
1. Diketahui: Limas segilima T.ABCDE dengan puncak T(6,5,12). Alas segilima ABCDE merupakan segilima beraturan yang berpusat di N(5,5,0) dengan titik A(1,5,0). Bidang β dengan persamaan: 5x + 6y + 10z = 30 memotong limas berturut-turut di P pada TA, Q pada TB, R pada TC, S pada TD, dan V pada TE.
Tugas :
a. Lukislah alas ABCD
b. Lukislah proyeksi I, II, dan III dari penampang irisan limas dengan β
2. Diketahui: Limas T.ABCD tergantung di bidang XOZ dipotong β dengan persamaan 3x + 5y -30z = 0. Puncak T(4,7,3). Alas segilima ABCD merupakan segiempat dengan A(3,0,1); B(8,0,2); C(5,0,6); D(1,0,5)
Tugas :
a. Lukislah alas ABCD
b. Lukislah proyeksi I, II, dan III dari penampang irisan limas dengan β
3. Diketahui ttitik B yang terletak pada koordinat (4,3,5) Cari dan buat gambar stereometri serta gambar proyeksinya!
4. Diketahui titik C dengan koordinat (4, 6, 0). Cari dan buat gambar stereometri serta gambar proyeksinya!
5. Diketahui garis BC dengan koordinat titik B (123) Ganis BC panjangnya 5 cm dan sejajar dengan sumbu o-y Cari dan buat gambar stereometri serta gambar proyeksinya!
6. Diketahui garis CD dengan koordinat titik C 2,21). Garis CD-6 ㎝ yang semula sejajar dengan sumbu o-z, kemudian diputar kekanan hingga membentuk sudut 45 dengan sumbu o-x Cari dan buat gambar stereometri serta gambar proyeksinyal
7. Diketahui bidang berbentuk 'T' dengan koordinat titik A (3,2,1) Garis AB //
dengan sumbu o-x dan garis BC // dengan sumbu o-z
Cari dan buat gambar stereometri serta gambar proyeksinya!
5) Diketahui Bidang segi-empat ABCD dengan koordinat ttitik A (2,2,1). Ganis AB 6 cm I dengan sumbu o-y dan garis BC-7 cm sumbu o-z. Bidang ABCD semula seadengan bidang P3, kemudian diputar ke kanan dengan garis AB sebagai sumbu putar hingga membentuk sudut 45 dengan bidang P1. Cari dan buat gambar stereometri serta gambar proyeksinya
8. Diketahui bentuk bangun di bawah ini, dengan ketentuan sebagai berikut:
Titik A terletak pada koordinat (3,2,1), garis AB sejajar dengan sumbu o-x dan bidang alas bangun (bidang ABCD) sejajar dengan bidang P2. Buatlah gambar proyeksinya!
2 cm
2 cm
2 cm 4 cm
6 cm 3 cm
5 cm
2 cm 5 cm
2 cm 6 cm
9. Diketahui bentuk bangun di bawah ini, dengan ketentuan sebagai berikut:
Titik A terletak pada koordinat (2,2,1), garis AB sejajar dengan sumbu 0-x dan bidang alas bangun (bidang ABCD) sejajar dengan bidang Pl. Buatlah gambar proyeksinya dan diarsir rapi dengan pensil tipis
10. Diketahui bentuk bangun di bawah ini, dengan ketentuan sebagai berikut Titik A terletak pada koordinat (1,2,1), garis AB sejajar dengan sumbu o-x dan bidang alas bangun (bidang ABCD) sejajar dengan bidang P2. Buatah gambar proyeksinya dan diarsir rapi dengan pensil tipis
3 cm 1,5 cm 2,5 cm
4 cm
3.5 cm 4 cm 1 cm
6 cm
0,5 cm
3 cm
5 cm
2 cm 5 cm
2 cm 6 cm
Ketentuan garis:
Garis tepi: 0,8 mm tinta hitam Garis sumbu : 0,6 mm tinta hitam
Garis gambar proyeksi: 0,8 mm tinta hitam Garis konstruksi 0,1 mm tinta merah
1 cm 1 cm 2 cm 2,5 cm 2 cm
1 cm 1 cm 1 cm
1 cm 1,5 cm
5,5 cm
2 cm 1 cm
4 cm 1 cm
DAFTAR PUSTAKA
Battista, M. (2001). Research-based perspective on teaching school geometry. In J. Brophy (Ed.), Subject-specifi c instructional methods and activities (pp.
73– 101). New York: JAI Press and Elsevier Science.
Battista, M. (2002). Learning geometry in a dynamic computer environment.
Teaching Children Mathematics 8(6), 333– 338.
Church, A. E. 2012. Elements of Descriptive Geometry, Part I, Orthographic Projections. Published by HardPress Publishing
Clements, D., & Battista, M. (1992). Geometry and spatial reasoning. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp.
420– 464). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Coxeter, H. S. M. 1962. Introduction to Geometry. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Coxeter, F. R. S. H. S. M. 1969. Introduction to Geometry, Second Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Gerome H. Bautista, Dominga C. Valtoribio. (2016). An Assessment of Grade 8 Geometry Teaching Guide of the K to 12 Basic Education Program Based on Van Hiele Model of Geometric Thinking and Department of Education’s Standards. American Journal of Educational Research, 2016, Vol. 4, No. 18, 1281-1284
Grand, H. E. 1952. Practical Descriptive Geometry. McGraw-Hill Book.
Hambali, Y. 1986. Geometri Analitik Ruang, Modul 1-6: Jakarta: Universitas Terbuka
Hawk, M. C. 1962. Theory and Problem of Descriptive Geometry. McGraw Hill.
Higbee, F. G. 1938. Drawing Board Geometry. New York,NY: John Wiley & Sons, Inc.
Iswadji, D. 1993. Geometri Ruang. Jakarta: Universitas Terbuka
Johnson, Lewis O. 1953. Elements of Descriptive Geometry. Published by Prentice Hall
Johnson, D. W., & Johnson, R. T. 2002. Meaningful Assessment: A Manageable and Cooperative Process. Boston: Allyn and Bacon.