BAB II KAJIAN TEORI
B. Segitiga Spheris
3. Segitiga Siku-Siku Spheris
Sebuah segitiga spheris yang salah satu sudutnya terdapat sudut siku-siku disebut dengan segitiga siku-siku spheris (Ayres, 1954: 147).
Titik Persekutuan
Gambar 10 . Segitiga Siku-Siku Spheris Perhatikan Gambar 11. di bawah ini
Gambar 11. Proyeksi Segitiga Siku-Siku Spheris
Misalkan O pusat sebuah bola, dan ABC merupakan segitiga siku- siku spheris dengan sisi-sisi a dan b kurang dari . Hubungkan O dengan titik sudut dari segitiga untuk membentuk sudut trihedral O-ABC. Melalui B dibuat bidang tegak lurus terhadap OC dan OA, sehingga memotong OC di D dan OA di E. karena OE tegak lurus terhadap bidang BDE, maka OE tegak lurus terhadap garis EB dan ED. Jadi segitiga BEO dan DEO adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di E. Juga sudut BED merupakan sudut dihedral B-OA-C yang diukur menurut sudut A pada segitiga spheris.
17
Karena bidang BDE tegak lurus terhadap OE, maka bidang BDE tegak lurus terhadap bidang OAC melalui DE. BD merupakan irisan dari dua bidang OBC dan BDE yang keduanya tegak lurus terhadap bidang OAC. Dengan demikian BD tegak lurus terhadap bidang OAC. Jadi, segitiga BDO dan BDE merupakan segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku di D.
Pada segitiga siku-siku BDO, BDE dan BEO, berlaku:
Pada segitiga siku-siku BDO, BOE dan DEO, berlaku :
Pada segitiga siku-siku BEO, DEO, dan BDO, berlaku :
Pada segitiga siku-siku DEO,BDE, dan BEO, berlaku :
Dengan melewatkan sebuah bidang melalui A tegak lurus terhadap OB dengan cara yang sama akan didapatkan rumus-rumus yang dapat diturunkan dari keempat rumus diatas dengan mengubah a dengan b, A dengan B. Seperti dengan mengganti a dengan b dan A dengan B dari formula (1) diperoleh :
Dari formula (2) diperoleh
Dan dari (4) pada segitiga siku-siku spheris diperoleh
Maka,
Karena dan
Maka
, dengan membagi dengan maka
didapatkan
Substitusikan
sehingga diperoleh, Atau
Dari dan diperoleh
Dengan cara yang sama dan menggunakan dan diperoleh
19
Dengan demikian, untuk setiap segitiga spheris ABC dengan sudut siku-sikunya di C, maka berlaku 10 formula berikut ini.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
Berikut akan dibahas sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris, beserta metode segitiga siku-siku yang digunakan untuk menyelesaikan kasus-kasus yang dapat terjadi pada Segitiga Spheris. Sebelum membahas mengenai sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris, maka diperlukan hal berikut ini.
Perhatikan Gambar 12. berikut
Gambar 12. Segitiga Polar
Misalkan pusat sebuah bola, dan merupakan Segitiga Spheris, dengan sisi dan serta besar sudut-sudutnya adalah dan . Perpanjang segmen busur dan hingga dan masing- masing sampai . dan bentuk sebuah lingkaran besar melalui dan . Sedemikian sehingga adalah kutub dari lingkaran besar yang melalui . Dengan cara yang sama diperoleh pula, adalah kutub dari lingkaran besar yang melalui . adalah kutub dari lingkaran besar yang melalui .
20
21
Sehingga diperoleh suatu segitiga yang terbentuk dari tiga busur lingkaran besar yang melalui , dan . Misalkan sudut yang terbentuk dari lingkaran besar dan dinyatakan dengan , sudut yang terbentuk dari lingkaran besar dan dinyatakan dengan , dan sudut yang terbentuk dari lingkaran besar dan dinyatakan dengan . Dengan demikian terbentuk segitiga spheris yang untuk selanjutnya dinamakan segitiga polar dari segitiga spheris .
Oleh karena adalah kutub dari lingkaran besar yang melalui , maka panjang dan sebesar . Tetapi juga berada pada lingkaran besar yang melalui dengan sebagai kutub. Maka . Dengan demikian adalah kutup dari lingkaran besar . berada pada lingkaran besar dengan kutub jadi . Dengan cara yang sama, .
Dengan mempertimbangkan adalah kutub dari lingkaran besar
dan merupakan pusat bola. dan adalah sudut yang terbentuk dari bidang dan OAC, maka sama dengan . Karena segmen busur diukur berdasarkan maka panjang busur juga sebesar . Dengan demikian diperoleh
Maka
Dengan cara yang sama diperoleh 1.
2.
Selanjutnya, karena dan dapat diperoleh
Oleh sebab itu, . Karena dan merupakan sudut yang terbentuk dari bidang dan , maka juga sama
dengan . Dengan demikian diperoleh .
Dengan cara yang sama diperoleh 1.
2.
Berdasarkan hal di atas, pada dua segitiga spheris, dimana salah satu segitiga merupakan segitiga polar dari yang lainnya maka setiap sudut dari salah satu segitiga sama dengan pelurus dari sisi yang bersesuaian pada segitiga lainnya, sehingga diperoleh sifat berikut ini.
A. Sifat-Sifat yang Berhubungan dengan Sudut & Sisi Pada Segitiga Spheris 1. Sifat-Sifat yang Berkaitan dengan Sudut dan Sisi Pada Segitiga Spheris
Perhatikan Gambar 13. berikut
Gambar 13. Segitiga Spheris
23
Misalkan segitiga adalah Segitiga Spheris, dengan sisi , dan , serta besar sudut-sudutnya , dan . Jika , dan masing-masing sudut yang berada di depan sisi dan . Dengan memperhatikan pencerminan pada lingkaran besar yang membagi dua , maka apabila pindah ke , pindah ke dan
tetap, diperoleh .
Berdasarkan hal tersebut, diketahui bahwa apabila panjang dua sisi pada sebuah segitiga spheris sama, maka besar sudut di hadapan kedua sisi tersebut juga sama ( Sifat 1).
Selanjutnya perhatikan gambar dua segitiga Spheris berikut, yang berturut-turut segitiga lancip dan segitiga tumpul.
A
B C
D
b a
m c-m
h
A B
C
D b
a
h
c m-c
(a) (b)
Gambar 14. Segitiga Spheris
Hal berikut berlaku untuk dua keadaan, yaitu untuk sudut lancip B dan sudut tumpul B, seperti terlihat pada Gambar 14. Melalui C dibuat sebuah lingkaran besar tegak lurus terhadap AB dan memotong AB di D.
Misalkan . Dengan menggunakan 10 formula pada segitiga siku- siku spheris yang telah dipaparkan pada Bab II, dapat diperoleh hal berikut ini.
Pada segitiga siku-siku ACD
Pada segitiga siku-siku BCD
Dari persamaan (11) dan (12) diperoleh
Atau
C
A B
D
a c
b h
C A
B
D a
c h
b
(a) (b)
Gambar 15. Segitiga Spheris
Dengan cara yang sama, dengan menggambar sebuah lingkaran besar yang melalui B tegak lurus AC di D (Perhatikan Gambar 15) . Misalkan .
Pada segitiga siku-siku BCD
Pada siku-siku ABD
25
Dari persamaan (14) dan (15) diperoleh
Atau
Maka, dari persamaan (13) dan (16) diperoleh
Dengan demikian dapat diketahui bahwa, perbandingan sinus sisi dengan sinus sudut yang menghadap sisi itu adalah adalah sama untuk setiap sisi dan sudut yang terdapat pada sebuah Segitiga Spheris ( Sifat 2).
Sehingga, diperoleh hubungan sebagai berikut, yang disebut dengan aturan sinus pada Segitiga Spheris.
Seperti yang telah diperoleh sebelumnya, hal berikut juga berlaku untuk dua keadaan yaitu untuk sudut lancip B dan sudut tumpul B, seperti terlihat pada Gambar 14. Melalui C dibuat sebuah lingkaran besar tegak lurus terhadap AB dan memotong AB di D dan misalkan .
Perhatikan segitiga ACD
Perhatikan segitiga CBD
Substitusikan persamaan (17) ke persamaan (20), dan pada persamaan (19), maka persamaan (20) menjadi
Atau
Substitusikan persamaan (18) ke persamaan (21) maka diperoleh
Karena , maka
Dengan demikian diperoleh
Untuk rumus-rumus pada sisi yang lainnya dapat diperoleh dengan perputaran pergantian huruf-huruf, sehingga diperoleh rumus sebagai berikut
a.
b.
Dengan demikian diketahui bahwa, jika besar dua sisi pada sebuah Segitiga Spheris diketahui, beserta sudut apit dua sisi tersebut, maka besar sisi yang berada di depan sudut apit tersebut dapat diperoleh menggunakan aturan cosinus untuk sisi sebagai berikut ( Sifat 3).
27
Selanjutnya, berdasarkan sifat-sifat pada segitiga polar dari Segtiga Spheris . Maka aturan cosinus untuk sisi dapat dituliskan sebagai berikut.
Karena dan
Sehingga, aturan cosinus untuk sisi di atas dapat ditulis sebagai berikut
cos(180− )
Dengan menggunakan sudut-sudut berelasi, diperoleh
Atau
Untuk rumus-rumus pada sudut yang lainnya dapat diperoleh dengan perputaran pergantian huruf-huruf, sehingga diperoleh rumus sebagai berikut:
a.
b.
Dengan demikian diperoleh, jika besar dua sudut pada sebuah segitiga spheris diketahui, beserta sisi yang diapit dua sudut tersebut. Maka besar sudut yang berada di depan sisi apit tersebut dapat diperoleh menggunakan aturan cosinus untuk sudut sebagai berikut ( Sifat 4).
2. Sifat-Sifat Yang Berkaitan dengan Sisi Pada Segitiga Spheris