Suseptibilitas Paramagnetik Kuantum

Dalam mekanika kuantum, momentum sudut atom atau molekul terkuan- tisasi dan direpresentasikan oleh bilangan kuantum j yang merupakan bi- langan bulat: 0, 1, 2, . . . . Untuk setiap bilangan kuantum j  terdapat se-  jumlah bilangan kuantum magnetik yang menyertainya, m _j. Berdasarkan aturan mekanika kuantum, nilai-nilai m _j yang diperbolehkan untuk tiap nilai  j adalah

m _j =

−

 ^j,

−

^( j

−

^1),

−

^( j

−

^2),

−

^1,0,1,( j

−

^2),( j

−

^{1), j   (12.45)}

Jadi, tiap satu nilai j terdapat sebanyak (2 j + 1) buah nilai m _j yang diper- bolehkan.

Jika atom atau molekul ditempatkan dalam medan magnetik B  maka energi potensial magnetik yang dimilikinya adalah

U =

−

^{µ//B   (12.46)}

dengan µ_// adalah komponen momen magnetik yang sejajar dengan medan magnetik yang memenuhi

µ_// = m _jgµ_B   (12.47)

236 Termodinamika Gas

partikel yang baru tersebut (hanya berbeda satu) dari nilai maksimum belum akan menguban nilai suku maksimum tersebut. Jadi kita dapat menulis

Z _AB^N AB N _AB!

Z _A^N A N _A!

Z _B^N B

N _B!

≡

^Z 

N _AB

−

¹

AB

(N _AB

−

^1)!

Z _A^N A+1 (N _A + 1)!

Z _B^N B+1 (N _B + 1)!

yang memberikan

Z AB

N _AB

≡

_(N A^Z  _{+ 1)}^A _(N B^Z  _{+ 1)}^{B   (12.90)}

Karena N _A >> 1 dan N _B >> 1 maka N _A + 1

 ∼

^{= N A dan N B + 1}

 ∼

^{= N B.}

Dengan demikian

Z _AB

N _AB

≡

_N ^Z A_{A N} ^Z B_B ^(12.91)

Masukkan persamaan untuk fungsi partisi sehingga diperoleh V 



^{2πM ABkT/h2}



^{3/2Z AB(int)}

N _AB = V 



^2πM AkT/h2



^3/2Z A(int)

N _A

×

^V 



^2πM BkT/h2



^3/2Z B(int)

N _B



^{2πM ABkT/h2}



^{3/2Z AB(int)}

N _AB/V  =



^2πM AkT/h2



^3/2Z A(int)

N _A/V 

× 

^2πM BkT/h2



^3/2Z B(int)

N B/V 



^{2πM ABkT/h2}



^{3/2Z AB(int)}

[n_AB] =



^2πM AkT/h2



^3/2Z A(int)

[n_A]

× 

^2πM BkT/h2



^3/2Z B(int)

[n_B] atau

[nA][nB]

[n_AB] =



^{2π(M AM B/M AB)kT} 

h²



^{3/2Z A(int)Z B(int)}

Z _AB(int)   (12.92) Kita menganggap bahwa molekul AB diikat oleh energi ∆E . Kita ju- ga menganggap bahwa molekul AB tidak memiliki struktur internal ke- cuali adanya kadaan tunggal dengan energy ikat ∆E . Dengan demikian Z _AB(int) = e

−

^∆E/kT . Kita anggap juga bahwa A dan B tidak memiliki

12.13 Persamaan Saha 237

struktur internal sehingga Z _A(int) = Z _B(int) = 1. Akibatnya, persamaan (12.92) dapat ditulis

[nA][nB]

[n_AB] =



^{2π(M AM B/M AB)kT} 

h²



^3/2_{exp[∆E/kT ] (12.93)}

Lebih lanjut, jika pada suhu yang sangat rendah konsentrasi molekul AB adalah n_o dan misalkan x menyatakan derajat disosiasi maka

[n_AB] = (1

−

^{x)no   (12.94)}

[nA] = [nB] = xno   (12.95) Substitusi persamaan (12.94) dan (12.95) ke dalam persamaan (12.93) diper- oleh

x²n_o (1

−

^{x) =}



^{2π(M AM B/M AB)kT} 

h²



^3/2_{exp[∆E/kT ]}

atau

x²

(1

−

^{x) =}



2π(M _AM _B/M _AB)kT  n^2/3o h²



^3/2

exp[∆E/kT ] (12.96)

Rekombinasi elektron dan proton

Sebagai contoh, mari kita lihat rekombinasi elektron dan proton menjadi atom hidrogen. Ketika alam semesta mengembang dan mendingin setelah peristiwa Big Bang, suhu dan kerapatan partikel berkurang ke suatu kondisi entropi yang memungkinkan elekton dan proton berekombinasi membentuk atom hidrogen netral

 p⁺ +e

−  →

^{H    (12.97)}

Peristiwa ini berlangsung sekitar 380.000 yahun setelah Big Bang. Pada saat ini suhu alam semesta sekitar 3.000 K dan kerapatan baryon sekitar 1,2

×

^{102 proton/cm3.}

Berdasarkan persamaan (12.97) kita dapatkan M A = me

M B = m p

M AB = m p + me

 ∼

^= m p

∆E = E _g =

−

^13,56eV

238 Termodinamika Gas Jadi

x²

(1

−

^{x) =}



_2πmekT 

n^2/3o h²



^3/2

exp[E g/kT ] (12.98)

Perbandingan Populasi Atom pada Berbagai Tingkat Ionisasi

Sekarang kita bandingkan populasi atom yang terionisasi i kali dan i+1 kali.

Lihat persaman berikut ini

Ai

←→ −

^{I i Ai+1 + e   (12.99)}

Dengan I _i  adalah energi yang diserap untuk melepas elektron dari A_i ke A_i+1. Kita selanjutnya menggunakan persamaan (12.92)

[n_e][n_i+1]

[n_i] =



^{2π(meM i+1/M i)kT} 

h²



^{3/2Z e(int)Z i+1(int)}

Z _i(int)   (12.100) Mengingat M _i

 ≈

^M i+1 maka

[n_e][n_i+1]

[ni] =



^2πmekT 

h²



^{3/2Z e(int)Z i+1(int)}

Z i(int)   (12.101) Kita asumsikan lagi bahwa ion tidak memiliki struktur. Perbandingan Z i+1(int)/Z i(int) hanya muncul dari perbedaan energi keduanya, yaitu sama dengan energi ionisasi elektron yang dimiliki ion A_i. Jika energi ionisasi tersebut dilambangkan dengan I i  maka Z i+1(int)/Z _i(int) = exp[

−

^I i/kT ].

Elektron memiliki dua arah spin sehingga memiliki dua fungsi partisi inter- nal, Z e = 2. Akhirnya kita dapatkan

[n_e][n_i+1]

[n_i] = 2



^2πmekT 

h²



^3/2_exp[

−

^{I i/kT ] (12.102)}

Untuk proses yang memenuhi persamaan reaksi (12.99) maka persamaan (12.92) dapat ditulis dalam bentuk

Z _i

N i

≡

_N ^Z e_{e N} ^Z i+1_i+1 ^(12.103)

Persamaan (12.102) dan (12.103) merupakan persamaan dasar yang digu- nakan untuk menjelaskan spektrum bintang-bintang.

12.13 Persamaan Saha 239

Soal Latihan

1. Perlihatkan bahwa ketika bilangan kuantum J 

 → ∞

maka fungsi Bril- louin B_J (y) mendekati fungsi Langevin L(y) = cothy

−

^1/y

2. Suatu assembli mengandung sistem-sistem klasik yang hanya mungkin memiliki dua tingkat energi, E 1  = 0 dan E 2 = ∆E . Jumlah sistem dalam assembli adalah N  dan volume assembli adalah V .

a. Tentukan fungsi partisi satu sistem

b. Tentukan fungsi partisi total (semua sistem) jika dianggap sistem- sistem tidan memiliki struktur internal

c. Tentukan energi rata-rata sistem d. Tentukan energi total assembli

e. Cari kapasitas panas pada volume tetap dan plot kurva kapasitas panas sebagai fungsi suhu. Nyatakan satuan suhu dalam ∆/k.

3. Assembli N  partikel berada dalam kubus dengan sisi L. Potensial di dalam kubus nol sedangkan potensial di dinding kubus dianggap tak berhingga.

a. Tentukan tingkat-tingkat energi yang dimiliki partikel dengan memec- ahkan persamaan Schrodinger

−

^ 

2

2m

∇

^{2ψ(x,y,z) +} V ψ(x,y,z) = Eψ(x,y,z)

b. Gunakan metode pemisahan variable dengan memisalkanψ(x,y,z) = X (x)Y (y)Z (z) dan gunakan syarat batas bahwa pada dinding fungsi gelombang nol. Anda akan dapatkan bahwa energi meru- pakan fungsi tiga buah bilangan bulat, E (n_x, n_y, n_z)

c. Carilah fungsi partisi satu partikel Z =



nx



ny



nz

exp[

−

^{E (nx, ny, nz)/kT ]}

d. Carilah bentuk eksplisit fungsi partisi tersebut dengan mentrans- formasi sumasi menjadi integral sebagai berikut

n² = n²_x + n²_y + n²_z

240 Termodinamika Gas



nx



ny



nz

(...) = π 2

 

N  0

(...)n²dn

e. Jika partikel terbedakan, tentukan fungsi partisi total N  partikel f. Jika partikel tidak dapat dibedakan tentukan fungsi partisi total

N  partikel

4. Assembli klasik memiliki tiga tingkat energi, E ₁ = 0, E ₂ = ε, dan E ₃ = 2ε.

a. Tentukan fungsi partisi satu partikel dan fungsi partisi total N  partikel.

b. Tentukan energi total dan kapasitas panas assembli.

5. Misalkan tiap ion magnetik dalam suatu bahan paramagnetik memiliki momentum sudut total ^  dan factor g  Lande 2. Di bawah pengaruh medan magnetik 0,8 T, hitung fraksi atom yang memiliki komponen momentum sudut J _z = ^ , J _z = 0, dan J _z =

 −

^ .

Bab 13

Statistik Semikonduktor

Isi Bab ini.   Bab ini berisi aplikasi sederhana fisika statistik untuk men-  jelaskan distribusi elektron dan hole dalam semikonduktor. Elektron dan hole adalah fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac. Namun pada suhu yang relatif tinggi, kita dapat menggunakan statistik Maxwell- Boltzmann untuk menjelaskan distribusi dua jenis muatan tersebut.

Tujuan Bab ini. Tujuan bab ini adalah mahasiswa memahami penggu- naan statistik untuk menjelaskan distribusi muatan dalam semikonduktor.

Pemahaman distribusi muatan tersebut menjadi penting ketika akan mem- pelajari mekanisme transport dalam semikonduktor.

Apa yang Perlu Dikuasai Lebih Dahulu.  Untuk memahami lebih baik tentang bab ini, mahasiswa diharapkan memahami terlebih dahulu Bab 6, Bab 7, dan Bab 11. Pemahaman sedikit tentang band gap dalam semikon- duktor juga sangat membantu.