JARAK TITIK KE GARIS 1. Konsep Jarak Titik Ke Garis
Definisi (Pengertian) Jarak titik ke garis adalah jika suatu titik ditarik garis yang tegak lurus terhadap garis dihadapan titik tersebut.
Jarak titik ke garis adalah jarak terdekat sebuah titik ke garis, jarak terdekat diperoleh dengan menarik garis yang tegak lurus dengan garis yang dimaksud.
Jarak titik B dengan garis g adalah panjang garis
Jadi, Jarak titik ke garis adalah panjang ruas garis yang terpendek (tegak lurus) dari titik ke garis tersebut.
2. Menentukan Jarak Titik Ke Garis
Ada beberapa cara dalam menyelesaikan konsep jarak titik ke garis, diantaranya menggunakan :
a. Perbandingan luas segitiga.
Cara ini digunakan jika segitiga yang terbentuk siku-siku atau panjang semua segitiganya adalah bilangan bulat.
b. Teorema phytagoras.
Cara ini bisa digunakan untuk semua tipe soal jarak titik ke garis.
c. Aturan cosinus.
27
Cara ini digunakan sebagai alternatif lain dari dua carasebelumnya. Kita akan mencari nilai cos dari sudut A, B atau C, kemudian kita cari lagi nilai sin sudut A, B atau C dengan segitiga baru.
Contoh :
1. Kubus ABCD.EFGH memiliki Panjang rusuk 8 cm, titik P
merupakan perpotongan diagonal bidang atas, hitunglah jarak titik P dengan garis AD
Jawab:
Jarak antara titik P dan garis AD adalah garis PQ, sehingga
A B
Penyelesaian dengan teorema Phytagoras PQ =
PR2 QR2PQ =
42 82 PQ = 1664PQ = 80
PQ = 4 5
Jadi, Jarak titik P ke garis AD adalah 4 5cm
2. Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan Panjang rusuk 6 cm.
tentukan jarak titik A ke garis CE Jawab:
1. Penyelesaian dengan luas segitiga Pada segitiga CAE berlaku
L CAE = x C E 2
1 A xA = x E P 2
1 C x A
6 2 6 2 x
1 x = x 6 3 P 2
1 xA
AP =
3 2 6 1
6 2 6 2 x 1
x x
AP = 3
2 6 AP = 2 6
28
2. Penyelesaian dengan aturan cosinus Jarak titik A pada garis CE adalah garis AP AE2 = (AC)2 + (CE)2 – 2. AC. CE cos C 62 = (6 2)2 + (
6 3
)2– 2. 6 2 .6 3
cos C 2. 6 2 .6 3
cos C = (6 2)2 + (6 3
)2- 62Cos C =
6 2 6 32
6 3 6 2
6 2 2 2
Cos C = 722 .
10836 636Cos C =
6 72
144
Cos C =
6 2
Maka sin C = 6 2
sin C = 6 2
6 2 =
AC AP
6 2 =
2 6
AP
AP = 6
2 6 2x AP =
6 12
AP = 2 6
Jadi, Jarak titik A ke garis CE adalah 2 6 cm
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm.
Hitunglah jarak antara Titik A ke garis CE
29 Jawab:
Jarak A ke CE = AK
AE = panjang rusuk
AC = EG = panjang diagonal bidang CE = panjang diagonal ruang
Pada segitiga siku-siku CAE L CAE = x C E
2
1 A xA = x E K 2
1 C xA
10 2 0 1 2 x
1 x = x 10 3 K
2
1 x A
AK =
3 2 10 1
0 1 2 0 1 2 x 1
x x
AK = 3
2 10
AK = 6 3 10
C. Rangkuman
1. Jarak titik ke garis adalah jarak terdekat sebuah titik ke garis, jarak terdekat diperoleh dengan menarik garis yang tegak lurus dengan garis yang dimaksud.
2. Ada beberapa cara dalam menyelesaikan konsep jarak titik ke garis, diantaranya menggunakan :
a. Perbandingan luas segitiga.
b. Teorema phytagoras.
c. Aturan cosinus.
30
D. Latihan Soal
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak antara titik B dan EG adalah …
A.
3 6
cm B.4 6
cm C.5 6
cm D.6 6
cm E.7 6
cm2. Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. jarak titik A ke diagonal FH adalah ….
A.
2 2
cm B.2 6
cm C.3 6
cm D.2 7
cm E.3 7
cm3. Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 8 cm. M titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah ….
A.
4 6
cm B.4 5
cm C.4 3
cm D.4 2
cm E. 4 cm4. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan AB = 6 2cm dan AT = 10 cm. Apabila P titik tengah CT, maka jarak titik P ke diagonal sisi BD adalah … cm
A. 5 B. 6 C. 7 D.
3 2
E.
2 3
5. Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Jika titik P terletak pada pertengahan rusuk HG, Q pada pertengahan rusuk HE, dan R pada pertengahan rusuk BC, jarak dari tiitk P ke garis QR adalah ….
A. 9 cm B. 6 cm
31
4 cm
C.
3 6
cm D.3 2
cm E.2 6 3
cm
6. Diketahui balok KLMN. PQRS dengan KL = 3 cm, LM = 4 cm, dan KP = 12 cm. Jarak titik R ke garis PM adalah ….
A.
13 35
cm B.
13 40
cm C.
13 45
cm D.
13 50
cm E.
13 60
cm
7. Kubus ABCD. EFGH mempunyai panjang rusuk 12 cm. Titik P terletak pada rusuk EF dengan perbandingan EP: PF = 1: 3. Jarak titik B ke ruas garis PG adalah …
A.
5 17 12
cm B.
5 34 12
cm C.
5 51 12
cm D.
5 17 6
cm E.
5 34 6
cm
8. Diketahui limas segiempat T.ABCD seperti pada gambar. Jarak titik A ke TC adalah …
A. √14 cm B. √28 cm C. 2√14 cm D. 3√14 cm E. 2√28 cm
32
KEGIATAN PEMBELAJARAN 4
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah mengikuti pembelajaran, diharapkan peserta didik dapat menentukan jarak titik ke bidang, serta menyelesaikan dan menyajikan masalah yang berkaitan dengan jarak titik ke bidang.
B. UraianMateri
JARAK TITIK KE BIDANG 1. Konsep Jarak Titik Ke Bidang
Definisi (Pengertian) Jarak titik ke bidang adalah jika suatu titik ditarik garis yang tegak lurus terhadap bidang dihadapan titik tersebut.
Untuk menentukan jarak sebuah titik pada suatu bidang, maka terlebih dahulu ditarik garis lurus yang terdekat dari titik ke bidang, sehingga memotong bidang dan garis tersebut harus tegak lurus dengan bidang. Misalkan titik B terletak di luar bidang α maka jarak titik B ke bidang α dapat ditentukan sebagai berikut :
Jarak titik B ke bidang α adalah panjang garis BB’
Jadi, jarak titik ke bidang adalah panjang ruas garis terpendek (tegak lurus) dari titik ke bidang tersebut.
2. Menentukan Jarak Titik Ke Bidang
Pemilihan jarak selalu diambil yang terdekat. Jarak titik ke bidang, selalu dipilih yang terdekat. Agar jaraknya terdekat maka dipilih yang tegak lurus.
Contoh :
1. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik A, F, G, dan D dihubungkan sehingga terbentuk bidang AFGD seperti gambar di samping. Berapakah jarak titik B ke
33 bidang AFGD?
Jawab:
Untuk menentukan jarak titik B ke bidang AFGD dapat ditentukan dengan mencari panjang ruas garis yang tegak lurus dengan bidang AFGD dan melalui titik B.
BTtegak lurus dengan bidang AFGD, sehingga jarak titik B ke bidang AFGD adalah panjang ruas garis BT. Titik T adalah titik tengah diagonal bidang AF (mengapa?). Panjang AF adalah 4 2cm, sehingga panjang AT adalah 2 2cm.
Karena BT tegak lurus bidang AFGD, maka segitiga ATB adalah segitiga siku-siku. Sehingga: TB = AB2 AT2 = 42
2 2 2 = 2 2Jadi jarak titik B ke bidang AFGD adalah 2 2 cm.
2. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm terdapat titik P ditengah-tengah AE. Tentukanlah jarak titik P ke bidang BDHF
Jawab:
PR = PQ 2 1
PR = EG 2 1
PR =
6 22 1
PR = 3 2
Jadi, jarak titik P ke bidang BDHF
= 3 2 cm
34 3. Perhatikan gambar di bawah ini.
Tentukan jarak titik T ke bidang PUW Jawab:
Kubus PQRS.TUVW memiliki panjang rusuk 24 cm. TV merupakan diagonal sisi kubus, Jarak antara titik T ke bidang PUW pada kubus adalah panjang TM.
TN adalah setengah dari TV.
Dengan rumus Pythagoras, maka diperoleh panjang TV sebagai berikut.
TV = TU2 UV2 TV = 242 242 TV = 242x2 TV = 24 2
TN = TV 2
1 = 24 2
2
1x = 12 2
Menentukan panjang PN PN = PT2 TN2 PN = 242
12 2
2PN =
576 288
PN =
864
PN =
12 6
Perhatikan segitiga PTN siku-siku di P. Dengan menggunakan luas segitiga PTN, diperoleh dua rumus luas sebagai berikut.
35 C. Rangkuman
1. Jarak titik ke bidang adalah jika suatu titik ditarik garis yang tegak lurus terhadap bidang dihadapan titik tersebut.
2. Untuk menentukan jarak sebuah titik pada suatu bidang, maka terlebih dahulu ditarik garis lurus yang terdekat dari titik ke bidang, sehingga memotong bidang dan garis tersebut harus tegak lurus dengan bidang.
3. Jarak titik ke bidang adalah panjang ruas garis terpendek (tegak lurus) dari titik ke bidang tersebut.
D. Latihan Soal
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jarak titik H ke bidang ACF adalah….
A.
3 3
2 cm B.
3 3
4 cm
36 C.
3 3
11 cm D.
3 3
8 cm E.
3 3
13 cm
2. Diketahui limas segiempat T.ABCD dengan panjang rusukAB = BC = 8 cm dan TA
= 6 cm . Jika P titik tengah BC, maka jarak titik P ke bidang TAD adalah .…
A.
2 6
cm B.5 5
8 cm C.
5 5
4 cm D.
3 3
8 cm E.
8 3
5 cm
3.
Perhatikan gambar di bawah!
Jika AT, AB, dan AC adalah segmen yang saling tegak lurus di A dengan panjang masing-masing 6 cm, jarak titik A ke bidang TBC adalah ….
A.
2 6
3 cm B.
2 3
cm C.2 6
cm D. 3 2 cm E. 6 2 cm4. Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm.Jarak tititk E ke bidang BGD adalah..
A. 3
1 3cm B. 3
2 3cm C. 3
4 3cm
37 D. 3
8 3cm E. 3
16 3cm
5. Jarak titik A ke bidang BCHE pada balok berikut adalah … A. 40
3 cm B. 15
2 cm C. 20
3 cm D. 16
3 cm E. 24
5 c
8 cm
A B
D C
E F
H G
4 cm 6 cm
38
GLOSARIUM
Aksioma : sebuah pernyataan dimana pernyataan yang kita terima sebagai suatu kebenaran dan bersifat umum, seta tanpa perlu adanya pembuktian dari kita.
Bidang : Mempunyai luas tak terbatas
Garis : Kumpulan dari titik-titik yang mempunyai panjang tak hingga Jarak antar titik : panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan titik-titik
tersebut.
Jarak titik ke garis : misalkan A adalah titik, dan p adalah garis. Jarak titik A ke garis p adalah panjang ruas garis penghubung antara titik A dengan proyeksi titik Ake garis p.
Jarak titik ke bidang :
Kubus : Bangun ruang yang dibatasi oleh 6 buah persegi yang kongruen.
Ruas garis : Kumpulan dari titik-titik yang mempunyai panjang tertentu Teorema : suatu pernyataan matematika yang masih memerlukan
pembuktian dan pernyataanya dapat ditunjukkan nilai kebenarannya atau bernilai benar.
39
DAFTAR PUSTAKA
. 2014. Lembar Aktivitas Siswa – Dimensi Tiga. Downloaded from http://
matematika15.wordpress.com, pada tanggal 31 Juli 2018.
. 2014. Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang.
Downloaded from https://mafia.mafiaol.com/2014/04/jarak-titik-ke-titik-garis- dan-bidang.html, pada tanggal 29 Agustus 2019.
. 2014. Dimensi 3 : Jarak Titik Ke Bidang. Downloaded from http://
supermatematika.com/jarak-titik-ke-bidang, pada tanggal 31 Agustus 2019.
. 2014. Dimensi Tiga Jarak Titik Garis Kubus atau Limas. Downloaded from https://matematikastudycenter.com/kelas-10-sma/125-dimensi-tiga- jarak-titik-garis-kubus-atau-limas, pada tanggal 31 Agustus 2019.
. 2015. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang Dalam
Ruang. Downloaded from https://
threedimensional2015.blogspot.com/2015/05/kedudukan-titik-garis-dan- bidang-dalam.html, pada tanggal 31 Agustus 2019.
. 2017. Menghitung Jarak Titik Ke Titik, Garis Serta Bidang Pada Kubus. Downloaded from https:// rumus-matematika.com/menghitung-jarak- titik-ke-titik-garis-serta-bidang-pada-kubus/, pada tanggal 29 Agustus 2019.
Abdur Rahman As’ari, dkk. 2018. BS Matematika Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XII Edisi Revisi 2018. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.
Karyanto. 2014. Latih UN Tahun 2014 Program IPA Ringkasan Materi Soal dan Kunci Jawaban UN Tahun 2002 - 2013 Matematika SMA . Downloaded from http://www.soalmatematik.com, pada tanggal 17 November 2013.
Karyanto. 2016. Latih UN Tahun 2017 Program IPA Ringkasan Materi Soal dan Kunci Jawaban UN Tahun 2010 - 2016 Matematika SMA . Downloaded from http://www.soalmatematik.com, pada tanggal 31 Oktober 2016.
Khairul Basari. _______. Modul Matematika dasar 2. Downloaded from http://
Khairulfaiq.wordpress.com, pada tanggal 13 Agustus 2019.
Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga.
Sukardi. 2019. Soal dan Pembahasan – Dimensi Tiga (Konsep Jarak: Titik,
Garis, dan
Bidang). Downloaded from https://mathcyber1997.com/soal-dan- pembahasan-dimensi-tiga-konsep-jarak-titik-garis-dan-bidang/, pada tanggal 28 Agustus 2019.