Variansi dan Deviasi standar

NILAI SENTRAL

6.3 Ukuran Penyebaran Absolut

6.3.4 Variansi dan Deviasi standar

Ukuran variasi (dispersi) yang paling banyak digunakan dalam analisis statistik ialah deviasi standar (simpangan baku). Deviasi standar/simpangan

baku serangkaian/sekelompok data adalah akar kuadrat dari variansinya, atau sebaliknya variansi sekelompok data adalah pangkat dua dari simpan- gan bakunya. Yang dimaksudkan dengan variansi (keragaman) serangkaian atau sekelompok data adalah jumlah dari kuadrat deviasi masing-masing data terhadap rata-rata hitungnya, dibagi banyaknya data atau pengamatan. Den- gan kata lain, variansi adalah rata-rata hitung dari kuadrat deviasi (selisih anta- ra nilai data terhadap rata-rata hitung kelompok data tersebut) setiap data atau pengamatan. Variansi dan deviasi standar dari serangkaian atau sekelompok data didasarkan pada deviasi setiap data atau pengamatan terhadap rata-rata hitungnya

6.3.4-1 Variansi dan deviasi standar sampel data belum dikelompokkan Baik untuk data tidak berkelompok maupun data yang telah berkelompok deviasi standar dihitung berdasarkan ukuran sampelnya, yaitu sampel ber- ukuran kecil (bila n < 30) dan sampel berukuran besar (bila n t 30).

(1) Variansi dan deviasi standar sampel ukuran kecil ( n < 30 )

Bila sampelnya berukuran kecil, variansi dan simpangan baku sekelompok data, dapat dihitung melalui rumus berikut:

=

(6.6)

s = ^s2 = (6.7)

s = simpangan baku (deviasi standar) n = ukuran sampel

s² = variansi (keragaman)

= rata-rata hitung sampel (mean) x_i = nilai data yang ke-i

(2) Variansi dan deviasi standar sampel ukuran besar ( n

t

30)

Bila sampelnya berukuran besar, variansi dan simpangan baku sekelompok data, dapat dihitung melalui rumus:

= (6.8) s = ^s2 =

=

=

s = s² = (6.9)

s = simpangan baku (deviasi standar)

n = ukuran sampel, s² = variansi (keragaman) = rata-rata hitung sampel (mean)

x_i = nilai data yang ke-i

Catatan : Penyebut n-1 pada rumus (6.7) menghasilkan simpangan baku sampel yang dianggap penduga tak bias terhadap simpangan baku po- SXODVLQ\D%LODVDPSHOQ\DEHVDUQ•KDVLOSHUKLWXQJDQVLPSDQDJQ baku per rumus (6.7) berbeda secara tidak berarti dengan hasil rumus (6.9), maka dari itu beberapa penulis hanya mencantumkan rumus sim- pangan baku (6.7) saja, tanpa membedakan ukuran sampel.

Contoh 6- 8

Suku bunga deposito berjangka 3 bulan (% per tahun) untuk enam valuta asing yang ditawarkan oleh sebuah bank, dicatat sebagai berikut:

Valuta Asing

Tingkat suku bunga (% per tahun) AUS $

Pound Yen Sin $

DM HK $

6, 50 6, 50 3, 00 3, 50 5, 50 4, 50

Dengan menganggap data tersebut sampel acak, (a) Hitunglah variansinya

(b) Hitunglah deviasi standar keenam suku bunga valuta asing tersebut. Beri- kan interpretasi terhadap nilainya.

Penyelesaian

(a) Menghitung variansi keenam suku bunga tersebut s = s² =

Tabel 6.3 Cara Menghitung Variansi dan Simpangan Baku Suku Bunga Keenam Valuta Asing

Valuta Asing Suku bunga

(x_i ) x_i - (x_i - )² AUS $

Pound Yen Sin $

DM HK $

6,50 6,50 3,00 3,50 5,50 4,50

1,58 1,58 - 1,92 - 1,42 0,58 - 0,42

2,50 2,50 3,69 2,02 0,34 0,18

Total 29,50 11,23

Dari Tabel 6.3, dapat diketahui bahwa

n = 6 < 30, = 29,5 dan = 11,23 Per rumus (4.1) dihitung dan didapat,

= = = 4,92 Selanjutnya per rumus (6.6) s² didapat,

= = = 2,25

Jadi, variansinya adalah 2,25 % (b) Menghitung Deviasi Standar

Per rumus (6.9) s didapat,

s = =

= 2,25

= 1,50

Jadi, simpangan baku keenam suku bunga tersebut adalah 1,50% per tahun.

Interpretasi nilai s. Nilai s = 1,50% artinya bahwa rata-rata penyimpangan kelima suku bunga tersebut dari rata-ratanya sebesar 1,50%

Contoh 6- 9

Jumlah penjualan pupuk (ratus ton) sebuah distributor yang berkedudukan di Jakarta selama 6 bulan (bulan Mei hingga Oktober) tahun lalu dicatat sebagai berikut: 2 4 5 6 6 7

Tentukanlah simpangan baku jumlah penjualan pupuk selama 6 bulan dari distributor tersebut. Berikanlah interpretasi terhadap nilai simpangan bakunya Penyelesaian

Tabel 6.4 Cara Menghitung Simpangan Baku Penjualan Pupuk Distributor yang Dimaksud

B u l a n Nilai data

(x_i ) x_i - (x_i - ) ² Mei

Juni Juli Agustus September

Oktober

2 4 5 6 6 7

-3 -1 0 1 1 2

9 1 0 1 1 4

Total 30 0 16

Dari Tabel 6.4, diketahui bahwa n = 6 < 30, = 30 dan = 16 Per rumus (4.1) dihitung terlebih dahulu , didapat

=

= = 5

Selanjutnya per rumus (6.6) s² dihitung dan didapat =

=

Terakhir per rumus (6.7) s didapat s = ^s2= = 1,79

Jadi, simpangan baku dari penjualan pupuk tersebut 1,79 ton

Interpretasi. Nilai s =1,79 ton, memiliki arti bahwa rata- rata penyimpang- an keenam jumlah penjualan pupuk tersebut sebesar 1,79 ton dari rata-rata penjualannya.

6.3.4-2 Variansi dan deviasi standar sampel data telah dikelompokkan Bila data sampel telah dikelompokkan atau telah disusun dalam tabel frekuensi, variansi dan deviasi standar/simpangan bakunya dapat dihitung dengan dua cara yaitu (1) cara panjang dan (2) cara pendek.

(1) Menghitung variansi dan deviasi standar dengan cara panjang

Variansi /Keragamam

= (6.10) Deviasi Standar/Simpangan baku

s = (6.11)

(n • 30) Variansi/Keragaman

= (6.12) Deviasi Standar/Simpangan baku

s = (6.13) s = simpangan baku

m_i = nilai tengah kelas ke-i f_i = frekuensi kelas ke-i

= rata-rata n = ukuran sampel

(2) Menghitung variansi dan simpangan baku dengan cara pendek

Variansi/Keragaman

= (6.14) =

s =

=

s =

=

Deviasi standar/Simpangan baku

s = c (6.15)

• 30) Variansi/Keragaman

= (6.16)

Deviasi Standar/Simpanagn baku

s =c (6.17)

s = simpangan baku/deviasi standar c = interval kelas,

n = ukuran sampel f_i = frekuensi kelas ke-i, d_i= deviasi kelas ke- i Contoh 6 - 10

Hitunglah simpangan baku dari data dalam Tabel 5.1 (Contoh 5-2) dengan dua cara yaitu (a) cara panjang, dan (b) cara pendek

Penyelesaian

(a) Menghitung deviasi standar dengan cara panjang

Tabel 6 .5 Cara Menghitung Simpangan Baku Nilai Omzet Penjualan 70 Toko Sebuah Komplek Pertokoan Pada Bulan Lalu.

Omzet Penjualan

(Juta Rp ) f_i m_i f_i m_i (m_i - ) (m_i - )² f_i (m_i - )² 20 - 29

30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89

1 4 7 13 25 15 5

24,5 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5

24,5 138 ,0 311,5 708,5 1.612,5 1.117,5 422,5

- 37,43 - 27,43 - 17,43 - 7,43 2,57 12,57 22,57

1401,00 752,41 303,80 55,20 6,60 158,00 509,40

1.401,00 3.009,62 2.126,63 717,66 165,12 2.370,07 2.547,02

Total 70 4.335,0 12.337,12

Sumber : Tabel 5.1

s = c

=

s =c

Per rumus (4.3) dihitung terlebih dahulu , sebagai berikut:

= =

= 61,93

Dari Tabel 6.5, diketahui bahwa = 12.337,12 Selanjutnya per rumus (6.13) s dihitung dan didapat,

s = = = 13,27

Jadi, simpangan baku omzet penjualan 70 toko di sebuah komplek per- tokoan yang dimaksud adalah Rp 13,27 juta.

(b) Menghitung deviasi standar dengan cara pendek.

d_i = 0 diletakan pada kelas dengan frekuensi terbesar. Kelas-kelas yang nilai tengahnya lebih kecil dari nilai tengah kelas d_i = 0, diberi tanda negatif dan kelas-kelas yang memiliki nilai tengah lebih besar dari nilai tengah kelas d_i = 0, diberi tanda positif.

Tabel 6.6 Cara Menghitung Simpangan Baku Nilai Omzet Penjualan 70 Toko.

Omzet Penjualan

(Juta Rp ) f_i m_i d_i f_id_i d_i ² f_i d_i ² 20 - 29

30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89

1 4 7 13 25 15 5

24,5 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5

- 4 - 3 -2 -1 0 + 1 + 2

- 4 - 12 - 14 -13 0 + 15 + 10

16 9 4 1 0 1 4

16 36 28 13 0 15 20

Total 70 -18 128

Sumber : Tabel 5.1

Dari Tabel 6.6 dapat diketahui bahwa n = 70, c = 10, = 128, dan = -18

Per rumus (6.17) s dihitung dan didapat,

s = c

= 10

2

70 18 70

128

= 10

1 , 8285 0 , 0661

= 10(1,327) = 13,27

Ternyata simpangan baku hasil perhitungan kedua cara tersebut baik de ngan cara panjang maupun dengan cara pendek adalah sama, yaitu s = 13,27.

6.3.4-3 Variansi dan Deviasi Standar Populasi

Variansi dan deviasi standar populasi berukuran kecil dan besar dirumuskan sebagai berikut:

(1) Variansi dan Deviasi Standar Data Belum Dikelompokkan

= (6.18)

= ²= (6.19)

x_i = nilai masing-masing data N = ukuran populasi

V = deviasi standar/simpangan baku populasi P = rata-rata populasi

(2) Variansi dan deviasi standar data yang telah dikelompokkan Variansi dan deviasi standar dihitung dengan metode pendek

= (6.20)

=

=

= ²=

= ²= c (6.21)

f_i = frekuensi masing-masing kelas/kelas yang ke-i d_i =deviasi kelas yang ke-i,dalam satuan inteval kelas c = interval kelas

N = ukuran populasi

V = deviasi standar/simpangan baku populasi Contoh 6-11

Umur semua pasien yang ditempatkan dalam kamar isolasi di sebuah rumah sakit umum adalah 34, 40, 30, 45, 31, dan 36 tahun. Berapa variansi dan deviasi standar populasi umur pasien?

Penyelesaian

Tabel 6.7 Cara menghitung Variansi dan Simpangan Baku Umur (x_i) x_i - P (x_i - P

34 40 30 45 31 36

-2 4 -6 9 -5 0

4 16 36 81 25 0

216 0 162

Dari Tabel 6.7 dapat diketahui bahwa:

N (ukuran populasi) = 6, = 216, dan = 162 Per rumus (4.2) dihitung terlebih dahulu P didapat,

P = = = 36

Selanjutnya per rumus (6.18) dihitiung variannya V, didapat

= = = 27

Terakhir per rumus (6.19) dapat dihitung simpangan bakunya Vdidapat, = =

= 5,20

Jadi, variansinya adalah 27 (tahun)², dan deviasi standarnya adalah 5,20 tahun.