12 | P a g e
INDUKSI MATEMATIS
A. Prinsip Induksi Matematis
Pembuktian dengan Prinsip Induksi Matematis, jika ada sebuah pernyataan akan dibuktikan benar untuk setiap bilangan bulat positif. Maka pembuktian tersebut memuat tiga tahap sebagai berikut:
1. Pernyataan dibuktikan benar untuk
2. Pernyataan diasumsikan benar untuk ,
3. Dengan asumsi yang telah dibuat, pernyataan tersebut dibuktikan benar untuk
Contoh 1:
Buktikan bahwa
( ) berlaku benar untuk setiap bilangan asli Bukti:
Misalkan ( ) } Klaim
1) Akan dibuktikan , benar
Sehingga benar
2) Asumsikan benar, sehingga ( ) benar 3) Akan dibuktikan benar, dengan menambahkan ( ) ke
kedua ruas pada langkah 2, sehingga diperoleh
( ) ( ) ( )
Materi Perkuliahan III
Pada akhir perkuliahan, mahasiswa diharapkan dapat:
1. Memahami konsep prinsip induksi matematis, dan induksi matematis kuat.
2. Membuktikan sebuah pernyataan bernilai benar, dengan menggunakan prinsip induksi matematis.
3. Membuktikan sebuah pernyataan bernilai benar, dengan menggunakan prinsip induksi matematis kuat
13 | P a g e
( ) Sehingga terbukti benar.
Jadi, terbukti bahwa ( ) berlaku benar untuk setiap bilangan asli.
Perhatikan persamaan terakhir ( ) , kemudian bandingkan dengan ruas kanan pada soal yaitu . Hal ini sama dengan mengganti . Sehingga mengikuti prinsip induksi matematis bahwa benar untuk setiap bilangan asli.
Contoh 2:
Buktikan bahwa habis dibagi 6 untuk setiap bilangan asli Bukti:
Misalkan } Klaim
1) Akan dibuktikan , benar
( ) habis dibagi Sehingga benar
2) Asumsikan benar, sehingga habis dibagi 6 benar 3) Akan dibuktikan benar.
( ) ( ) ( )
Sehingga terbukti benar.
Jadi, terbukti bahwa ( ) berlaku benar untuk setiap bilangan asli.
14 | P a g e B. Prinsip Induksi Matematis Kuat
Misalkan ( ) adalah suatu pernyataan dimana keberadaannya ditentukan oleh nilai . Jika ( ) memenuhi dua syarat berikut:
1) ( ) benar untuk
2) Untuk setiap bilangan asli . Jika ( )bernilai benar, maka ( ) juga bernilai benar.
Maka ( ) bernilai benar untuk semua bilangan asli yang lebih dari atau sama dengan
Contoh 3:
Buktikan bahwa pertidaksamaan untuk bilangan asli.
Penyelesaian:
Misalkan ( )
1) ( ) sehingga jadi ( ) benar 2) Asumsikan ( ) benar, untuk
karena
karena
( ) Sehingga ( )
C. Latihan Soal
Gunakan prinsip induksi matematis untuk membuktikan pernyataan berikut!
1. ( ) untuk setiap bilangan asli 2. ( ), untuk setiap bilangan asli 3. ( )( )
, untuk setiap bilangan asli 4. ( ) , untuk setiap bilangan asli
5. ( ) ( ), untuk setiap bilangan asli
15 | P a g e 6. ( ) ( )( )
, untuk setiap bilangan asli 7.
( ) , untuk setiap bilangan asli 8.
( )( )
( )
( )( ), untuk setiap bilangan asli 9. Tunjukkan bahwa membagi ( )( ) untuk setiap bilangan asli ! 10. Tunjukkan bahwa adalah kelipatan untuk setiap bilangan asli !
Gunakan prinsip induksi matematis kuat untuk membuktikan pernyataan berikut!
11. Buktikan bahwa pertidaksamaan berlaku untuk semua bilangan asli !.
12. Buktikan bahwa pertidaksamaan berlaku untuk semua bilangan asli !
13. Buktikan bahwa pertidaksamaan berlaku untuk semua bilangan asli !
14. Buktikan bahwa pertidaksamaan berlaku untuk semua bilangan asli !
15. Buktikan bahwa pertidaksamaan berlaku untuk semua bilangan asli !
