Modul Induksi Matematika

INDUKSI MATEMATIKA

INDUKSI MATEMATIKA

NAMA :

NAMA :

………..

………..

KELAS :

KELAS :

………..………

………..………

Induksi Matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian dengan cara ini terdiri dari dua langkah, yaitu:

1. Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1.

2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n, maka pernyataan itu juga berlaku untuk  bilangan n + 1.

Misalkan akan dibuktikan suatu pernyataan bahwa jumlah n bilangan asli pertama, yaitu 1+2+:::+n, adalah sama dengan



+1



2 . Untuk membuktikan bahwa pernyataan itu berlaku untuk setiap bilangan asli, langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Jelas sekali bahwa jumlah 1 bilangan asli pertama adalah1



1+1



2 . Jadi pernyataan tersebut adalah benar untuk n = 1.

2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1. Hal ini bisa dilakukan dengan cara:

- Mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu 1 + 2 + 3 +

⋯

+



 =



 + 1



2 - Menambahkan k + 1 pada kedua ruas, yaitu

1 + 2 + 3 +

⋯

+



 +



 + 1



 =



 + 1



2 +



 + 1



- Dengan menggunakan manipulasi aljabar, akan dibuktikan bahwa

1 + 2 + 3 +

⋯

+



 +



 + 1



 =



 + 1



 + 1



 + 1



2

Dari langkah ke-2 didapat bahwa

1 + 2 + 3 +

⋯

+



 +



 + 1



 =



 + 1



2 +



 + 1



Maka 1 + 2 + 3 +

⋯

+



 +



 + 1



 =



 + 1



2 +



 + 1



 =



 + 1



2 + 2



 + 1



2 =



 + 1



 + 2



2 =



 + 1



 + 1



+ 1



2

Terbukti bahwa pernyataan

1 + 2 + 3 +

⋯

+



 +



 + 1



 =



 + 1



 + 1



 + 1



2

Benar untuk



 =



 + 1.

Secara formal Induksi Matematika ini bisa didenisikan sebagai berikut. Denisi 1.1

Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n) yang bisa benar atau salah. Misalkan 1. P(1) benar.

2. Jika P(n) benar, maka P(n + 1) benar.

Sehingga P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Langkah 1 disebut dengan Langkah Dasar, sedangkan Langkah 2 disebut dengan Langkah Induktif.

Jika pada Langkah Induktif yang diasumsikan adalah pernyataan P(i) benar untuk setiap bilangan

 ≤ 

, maka  perumusan induksi matematika seperti ini disebut Bentuk Kuat Induksi Matematika.

Contoh 1.1

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa



!

≥

 2

−

1 untuk setiap



 = 1,2,

…

1. Akan ditunjukkan bahwa



!

≥

 2

−

1  benar untuk n = 1. Jelas sekali bahwa 1! = 1

≥

 21

−

1 = 20 = 1.

2. Asumsikan bahwa



!

≥

 2

−

1 adalah benar untuk n = k. yang berakibat



!

≥

 2

−

1

Terbukti bahwa



 + 1



!

≥

 2



+1

−

1.

Karena Langkah Dasar dan Langkah Induktif terbukti, maka dapat disimpulkan bahwa



!

≥

 2

−

1

untuk setiap



 = 1,2,

…

. Contoh 1.2

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa 5



−

1 dapat dibagi 4 untuk setiap



 = 1,2,

…

. 1. Akan ditunjukkan bahwa5



−

1 habis dibagi 4 untuk n = 1. Jelas sekali bahwa 51

−

1 = 4 habis dibagi 4. 2. Asumsikan bahwa5



−

1 habis dibagi 4 untuk



=



, yaitu5



−

1 habis

dibagi 4. Akan ditunjukkan bahwa 5n 1 juga habis dibagi 4 untuk



 =



+ 1, yaitu5



+1

−

1 habis dibagi 4.

5



+1

−

1 = 5. 5



−

1 =



1 + 4



. 5



−

 1 = 5



 + 4.5



−

1 =



5



−

 1



+ 4.5



Berdasarkan asumsi, 5



−

1  habis dibagi 4. Sedangkan 4.5



  juga habis dibagi 4. Dengan demikian 5



+1

−

1

habis dibagi 4. Karena Langkah Dasar dan Langkah Induktif terbukti, maka dapat disimpulkan bahwa 5



−

1

dapat dibagi untuk setiap



 = 1,2,

…

.

Beberapa rumus penting dalam Bab ini :









   









































































n i n i n i n i n n n n n n i n n n i n n n n i n n n i 1 2 3 4 4 4 4 4 2 1 3 3 3 3 3 1 2 2 2 2 2 1

30

)

1

9

6

)(

1

(

...

3

2

1

2

)

1

(

...

3

2

1

6

)

1

2

)(

1

(

...

3

2

1

2

)

1

(

...

3

2

1

Aturan Sederhana notasi Sigma









1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i n n n n n i i i i i i i i i i i c nc a b a b ca c a a b a b         

























 



 

TELADAN

No. Soal Pembahasan

1 Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua



 anggota bilangan asli berlaku:

1 + 2 + 3 +

⋯

+



 = 1

2



 + 1



2 Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua



 anggota bilangan asli berlaku:

12 + 22 + 32+

⋯

+



2 = 1

6



 + 1



2



 + 1



No. Soal Pembahasan

4 Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua n bilangan asli



3

− 

 dapat dibagi 6.

5 Dengan menggunakan induksi matematik, buktikan bahwa

13 + 23 + 33+ … +n3_>



4

4

adalah benar untuk setiap bilangan asli n_.

(Diketahui : (a ₊b₎4 ₌a4 _{+ 4}a3b _{+ 6}a2b2 _{+ 4}ab3 ₊b4₎

6 Deret : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +

⋯

+



merupakan deret ….

A.



 bilangan asli

B. kuadrat



 bilangan asli C. kubik



 bilangan asli D.



 bilangan balok pertama E.



 bilangan segitiga pertama

7  Nilai dari 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +

⋯

+ 100 =

⋯

. A. 5250 B. 5150 C. 5050 D. 4950 E. 4850

No. Soal Pembahasan 8  Nilai dari 2,5 + 5 + 7,5 + 10 +

⋯

+ 250 =

⋯

. A. 10675 B. 12625 C. 15865 D. 17525 E. 20475

9 Hitunglah nilai dari



3



 + 1



100



=41 =

⋯

. A. 12750 B. 15820 C. 16830 D. 18990 E. 20750 10  Nilai dari72 + 82 + 92 +

⋯

+ 92 =

⋯

. A. 1087 B. 1149 C. 1253 D. 1379 E. 1575

11 Hitunglah nilai dari



2 _{+ 4}

 −

₅



10



=1 =

⋯

. A. 555 B. 578 C. 592 D. 614 E. 640 12  Nilai dari53+ 63+ 73 + 83+

⋯

+ 123 =

⋯

. A. 5660 B. 5876 C. 5984 D. 6004 E. 6028 13 Nilai dari



3

−

 ₃



2



12



=7 =

⋯

. A. 3900 B. 3945 C. 3966 D. 4028 E. 4386

LATIHAN 1

NAMA : ……….

KELAS : ……….

No.

Soal

1

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua



 anggota bilangan asli

 berlaku:

1 + 3 + 5 + 7 +

⋯

+



2

 −

1



 =



2

2

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua



 anggota bilangan asli

 berlaku:

1

3

+ 2

3

+ 3

3

+

⋯

+



3

=

1

4



No.

Soal

3

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua



 anggota bilangan asli

 berlaku:

1

4

+ 2

4

+ 3

4

+

⋯

+



4

=

1

30



 + 1



(6



3

_{+ 9}



2

₊

 −

₁₎

4

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua



 anggota bilangan asli

 berlaku:

1

2

+ 3

2

+ 5

2

+ 7

2

+

⋯

+



2

 −

1



2

=

1

No.

Soal

5

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua



 anggota bilangan asli

 berlaku:

1

1

∙

 3

+

1

3

∙

 5

+

1

5

∙

 7

+

1

7

∙

9

 +

⋯

+

1



2

 −

1

 ∙ 

2



 + 1



 =

2





 + 1

6

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua



 anggota bilangan asli



5



+1

−

4

 −

5



 habis dibagi 16.

No.

Soal

7

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua n bilangan asli



3

− 

dapat dibagi 6.

8

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua n bilangan asli



3

+

No.

Soal

9

Diketahui c adalah konstanta real dengan

c

_{≥ 1. Dengan induksi matematik,}

 buktikan bahwa

cn

_≥

c

_{, untuk setiap bilangan asli}

n

_.

10

Misalkan

 x

_{≥ –} 

_{1. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa}

(1+

 x

₎

n

_{≥ 1 +}

nx

_,

LATIHAN 2

NAMA : ……….

KELAS : ……….

No. Soal Pembahasan

1  Nilai dari 51 + 52 + 53 + 54 +

⋯

+ 200 =

⋯

. A. 7992 B. 8728 C. 9784 D. 10050 E. 10678 2  Nilai dari 3 6 + 3 7 + 3 8 + 3 9 +

⋯

+ 90 =

⋯

. A. 3465 B. 3683 C. 4028 D. 4298 E. 4850 3  Nilai dari2 + 4 + 6 + 8 +

⋯

+ 100 =

⋯

. A. 2150 B. 2350 C. 2550 D. 3050 E. 3450

4 Hitunglah nilai dari

 

25



=1 =

⋯

. A. 295 B. 305 C. 315 D. 325 E. 335

5 Hitunglah nilai dari



5 10



=1 =

⋯

. A. 5 B. 10

No. Soal Pembahasan

6 Hitunglah nilai dari



5

 −

7



80



=21 =

⋯

. A. 12890 B. 14730 C. 18650 D. 20160 E. 23950 7 Deret : 12 + 22 + 32 + 42 + 52 +

⋯

+



2 merupakan deret …. A.



 bilangan asli

B. kuadrat



 bilangan asli C. kubik



 bilangan asli D.



 bilangan balok pertama E.



 bilangan segitiga pertama

8  Nilai dari12_{+ 2}2_{+ 3}2 _{+ 4}2₊

⋯

_{+ 10}2 ₌

⋯

_. A. 395 B. 385 C. 375 D. 365 E. 355 9  Nilai dari152_{+ 16}2 _{+ 17}2₊

⋯

_{+ 20}2 ₌

⋯

_. A. 1695 B. 1765 C. 1855 D. 1905 E. 2175

10 Hitunglah nilai dari

 

2 14



=8 =

⋯

. A. 950 B. 875 C. 850 D. 755 E. 660

No. Soal Pembahasan 11 Hitunglah nilai dari



2 _{+ 4}

 −

₅



10



=1 =

⋯

. A. 555 B. 578 C. 592 D. 614 E. 640 12  Nilai dari13 + 23 + 33 + 43 +

⋯

+ 83 =

⋯

. A. 1274 B. 1278 C. 1284 D. 1286 E. 1296 13  Nilai dari 3

∙

 13+ 3

∙

 23+ 3

∙

 33 + 3

∙

 43 + 3

∙

53 =

⋯

. A. 525 B. 575 C. 625 D. 675 E. 725

14 Hitunglah nilai dari

 

3 6



=1 =

⋯

. A. 433 B. 435 C. 437 D. 439 E. 441

15 Hitunglah nilai dari



2



3 10



=4 =

⋯

. A. 6050 B. 5978 C. 5750 D. 5700

No. Soal Pembahasan 16 Nilai dari



2



2 + 5



12



=5 =

⋯

. A. 12.308 B. 12.276 C. 12.214 D. 12.198 E. 12.046 17 Nilai dari



3 ₊



2 ₊



 _{+ 3}



5



=1 =

⋯

. A. 350 B. 345 C. 325 D. 310 E. 300 18 Nilai dari



3_{+ 4}

 −

₁₂



12



=7 =

⋯

. A. 5550 B. 5604 C. 5799 D. 5870 E. 5980 19 Nilai dari



2



3

−

4



2+ 2



 + 4



7



=1 =

⋯

. A. 1092 B. 1348 C. 1490 D. 1538 E. 1608

No. Soal Pembahasan 20  Nilai dari



3₊



2 ₊



10



=1 =

⋯

. A. 3465 B. 3455 C. 3445 D. 3435 E. 3425

Daftar Pustaka

• Ahmad Syauqi,Bank Soal Matematika Materi Barisan dan Deret

• Ahmad Syauqi,Bank Soal Matematika Materi Induksi Matematika

• A.J. Sadler, 1998, Introductory Calculus, Second Edition, National Library of Australia.

• Bahrudin dkk , 1989, Persiapan Mengahadapi Ebtanas SMA 1989/1990, Bandung : Epsilon Grup.

• Bob Foster & Herlin,  2005, 1001 Plus Soal dan Pembahasan Matematika SPMB, Edisi 2005, Jakarta : Penerbit Erlangga.

• Edwin J.Purcell & Dale Varberg,1998, Kalkulus dan Geometri Analitis (Terjemahan), Edisi Kelima, Jilid 1 & 2, Jakarta : Erlangga.

• Farida Hanum & Toni Bakhtiar, 2009, Kalkulus (Himpunan Soal Ujian 1994 - 2008), Buku I (Disusun Menurut Ujian), Departemen Matemtika IPB.

• James Stewart,1998, Kalkulus (Terjemahan) Jilid 1 & 2, Edisi Keempat, Jakarta : Penerbit Erlangga.

• Louis Leithold,1985, Kalkulus dan Ilmu Ukur analitik (Terjemahan), Jilid 1 - 3, Bina Aksara Jakarta.

• Pesta E. S., dan Cecep Anwar H.F.S, 2008, Matematika Aplikasi Untuk SMA dan MA kelas XII Program IPA, Pusat Perbukuan DEPDIKNAS.

• ST. Negoro & B. Harahap, 2003, Ensiklopedia Matematika, PT. Ghalia Indonesia.

• Wilson Simangunsong, 2005, Matematika Dasar, Jakarta : Penerbit Erlangga.

• Wilson Simangunsong, dan Frederik M. Poyk, 2010, Matematika SMA / MA Kelas XII Program IPS, Gematama

• Wilson Simangunsong, dan Frederik M. Poyk,2015, Matematika Wajib Kelas XII SMA / MA Kelas XII, Gematama