Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 1
Induksi
Matematika
Kalian mungkin pernah melihat sederetan kartu domino atau remi yang diletakkan tegak berdiri. Jika kartu itu disentuh oleh jari atau benda, maka kartu itu akan jatuh secara berurutan dan bersamaan menimpa kartu yang di depannya. Hal ini berarti, kejadian selanjutnya bergantung pada kejadian sebelumnya. Kejadian ini mengingatkan pada topik induksi matematika yang akan dipelajari. Dengan mempelajari materi ini, diharapkan siswa mempunyai karakter teratur, teliti, disiplin, taat aturan, dan kreatif memainkan manipulasi aljabar ketika melakukan pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan dan keterbagian.
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 2 \1. Siswa dapat menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan,
ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika.
2. Siswa dapat Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian.
KI 1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
KI 2 Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (toleransi, gotong royong), santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya.
KI 3 Memahami, menerapkan dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
KI 4 Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.
3.1 Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika.
3.1.1 Merancang rumus untuk suatu pola barisan bilangan.
3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika. 3.1.3 Membuktikan rumus suatu barisan bilangan
dengan prinsip induksi matematika. 3.1.4 Membuktikan rumus ketidaksamaan
bilangan dengan prinsip induksi matematika.
3.1.5 Membuktikan rumus bentuk keterbagian bilangan dengan prinsip induksi matematika.
4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian.
4.1.1 Mencontohkan prinsip induksi matematika. 4.1.2 Menyajikan dan menyelesaikan masalah
yang berkaitan dengan induksi matematika dalam pembuktian rumus untuk suatu pola barisan bilangan.
\1. Siswa dapat menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika.
2. Siswa dapat Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian.
3.1 Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika.
3.1.1 Merancang rumus untuk suatu pola barisan bilangan.
3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika. 3.1.3 Membuktikan rumus suatu barisan bilangan
dengan prinsip induksi matematika. 3.1.4 Membuktikan rumus ketidaksamaan
bilangan dengan prinsip induksi matematika.
3.1.5 Membuktikan rumus bentuk keterbagian bilangan dengan prinsip induksi matematika.
4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian.
4.1.1 Mencontohkan prinsip induksi matematika. 4.1.2 Menyajikan dan menyelesaikan masalah
yang berkaitan dengan induksi matematika dalam pembuktian rumus untuk suatu pola barisan bilangan.
3.1 Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika.
3.1.1 Merancang rumus untuk suatu pola barisan bilangan.
3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika. 3.1.3 Membuktikan rumus suatu barisan bilangan
dengan prinsip induksi matematika. 3.1.4 Membuktikan rumus ketidaksamaan
bilangan dengan prinsip induksi matematika.
3.1.5 Membuktikan rumus bentuk keterbagian bilangan dengan prinsip induksi matematika.
4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian.
4.1.1 Mencontohkan prinsip induksi matematika. 4.1.2 Menyajikan dan menyelesaikan masalah
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 3
Pembuktian
Induksi
Matematika
Prinsip Induksi
Matematika
Penggunaan
Induksi
Matematika
Pembuktian
Barisan
Pembuktian
Ketidaksamaan
Pembuktian
Keterbagian
Induksi Matematika
Langkah-langkah Pembuktian Induksi
Matematika
Pembuktian berupa Barisan
Pembuktian berupa Ketidaksamaan
Pembuktian berupa Keterbagian
KATA
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 4 Perhatikan ilustrasi berikut.
Dari ilustrasi gambar di atas, papan manakah yang jatuh jika papan S1 dijatuhkan ke arah S2?
Jika terdapat 100 susunan papan mengikuti pola seperti pada ilustrasi di atas, apakah papan ke S100 juga akan jatuh?
Dari ilustrasi di atas dapat dibayangkan bahwa menjatuhkan papan S1 ke arah
S2 pasti papan yang paling ujung (sebut saja papan Sn, untuk setiap n bilangan asli) juga jatuh. Dengan kata lain dapat dinyatakan bahwa jika papan S1jatuh maka papan S15 juga jatuh bahkan papan Sn juga jatuh. Sehingga mekanisme inilah yang dikenal sebagai tahapan induksi matematika.
Pembuktian Induksi Matematika digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, dan keterbagian dari bilangan bulat positif. Pernyataan tersebut merupakan sebuah pernyataan dalam variabel yang mewakili bilangan n, di mana n harus bersandarkan pada bilangan bulat positif. Berikut ini beberapa contoh pernyataan matematis yang akan dibuktikan dengan induksi matematika.
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 5 Contoh :
i. 𝑛𝑖=1 2𝑖 −1 = 𝑛2
ii. 2𝑛 >𝑛
iii. 72𝑛−1+ 32𝑛 habis dibagi 8
Prinsip Induksi Matematika
Anggap untuk setiap bilangan asli n, kita mempunyai pernyataan Pn yang memenuhi dua kondisi berikut.
1. P1adalah benar (dibuktikan).
2. Jika Pk dianggap benar untuk setiap bilangan asli k, maka Pk+1harus dibuktikan juga benar.
Kesimpulan (1) dan (2) menunjukkan Pn benar untuk setiap bilangan asli n.
1. Untuk n = 1
2. Andaikan benar untuk
n = k
3. Akan dibuktikan benar
untuk n = k + 1 Kata Kunci
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 6 Penentuan rumus jumlah dari n suku pertama bilangan 1 + 3 + 5 +⋯+ (2𝑛 − 1) dapat dimulai dengan menghitung suku demi suku seperti terlihat pada tabel di bawah ini.
n 𝟏+𝟑+𝟓+⋯+ (𝟐𝒏 − 𝟏)
1 𝟏 = 𝟏 =𝟏𝟐 2 𝟏+𝟑 =𝟒 =𝟐𝟐
3 𝟏+𝟑+𝟓 =𝟗 = 𝟑𝟐 4 𝟏+𝟑+𝟓+𝟕 =𝟏𝟔 = 𝟒𝟐
...
n 𝟏+𝟑+𝟓+⋯+ 𝟐𝒏 − 𝟏 =𝒏𝟐
Berdasarkan tabel tersebut, dapat dibuat kesimpulan umum, yaitu : 𝟏+𝟑+𝟓+⋯+ 𝟐𝒏 − 𝟏 = 𝒏𝟐, untuk setiap bilangan asli n.
Pernyataan matematis yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika yakni berupa barisan atau deret, ketidaksamaan dan keterbagian.
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 7 Rumus sebuah deret bilangan bulat positif secara tidak langsung dapat dilakukan dengan pembuktian induksi matematika asalkan bentuk suku ke-n nya diketahui.
1. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa
1 + 3 + 5 +⋯+ 2𝑛 −1 =𝑛2 , untuk setiap bilangan asli n. Pembahasan :
i. Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1
2𝑛 −1 = 𝑛2 2 1 − 1 = 12 2−1 = 1
1 = 1 (benar)
ii. Langkah Kedua
Andaikan benar untuk 𝑛 =𝑘
1 + 3 + 5 +⋯+ 2𝑛 −1 =𝑛2 1 + 3 + 5 +⋯+ 2𝑘 −1 =𝑘2
iii. Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛= 𝑘+ 1
1 + 3 + 5 +⋯+ 2𝑛 −1 =𝑛2
Pembuktian Pernyataan Matematis
berupa Barisan atau Deret dengan
Induksi Matematika
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 8 1 + 3 + 5 +⋯+ 2𝑘 −1 + 2 𝑘+ 1 −1 = (𝑘+ 1)2
1 + 3 + 5 +⋯+ 2𝑘 −1 + 2 𝑘+ 1 −1 = (𝑘+ 1)2 𝑘2 + 2𝑘+ 2−1 = 𝑘2+ 2𝑘+ 1
𝑘2+ 2𝑘+ 1 =𝑘2+ 2𝑘+ 1
Jadi terbukti bahwa 1 + 3 + 5 +⋯+ 2𝑛 −1 = 𝑛2.
2. Buktikan bahwa : 𝑃𝑛 ≡
1 1 × 2+
1
2 × 3+⋯+ 1
𝑛(𝑛+ 1)=
𝑛 𝑛+ 1 Pembahasan :
i. Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1
1 𝑛(𝑛+1)=
𝑛 𝑛+1 1 1(1+1)= 1 1+1 1 1(2) = 1 2 1 2= 1
2 (benar)
ii. Langkah Kedua
Andaikan benar untuk 𝑛 =𝑘 1
1×2+ 1
2×3+⋯+ 1
𝑛(𝑛+1)=
𝑛
𝑛+1
1
1×2+ 1
2×3+⋯+ 1
𝑘(𝑘+1)=
𝑘 𝑘+1
iii. Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛= 𝑘+ 1
1
1×2+ 1
2×3+⋯+ 1
𝑛 𝑛+1 =
𝑛 𝑛+1
1
1×2+ 1
2×3+⋯+ 1
𝑘(𝑘+1)+
1
𝑘+1 𝑘+1 +1 =
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 9
1 1×2+
1
2×3+⋯+ 1
𝑘 𝑘+1 +
1
𝑘+1 𝑘+1 +1 =
𝑘+1
𝑘+1 +1
𝑘𝑘
+1 + 1
𝑘+1 𝑘+2 =
𝑘+1
𝒌+𝟐
𝑘 𝑘+2 𝑘+1 +
1
𝑘+1 𝑘+2 =
𝑘+1
𝑘+2
𝑘𝑘 𝑘+2 +1
+1 𝑘+2 =
𝑘+1
𝑘+2
𝑘𝑘2+2𝑘+1
+1 𝑘+2 =
𝑘+1
𝑘+2
𝑘+1 𝑘+1 𝑘+1 𝑘+2 =
𝑘+1
𝑘+2
𝑘𝑘+1
+2=
𝑘+1
𝑘+2
Jadi terbukti bahwa 1
1×2+ 1
2×3+⋯+ 1
𝑛(𝑛+1)=
𝑛 𝑛+1.
3. Buktikan bahwa
1 + 2 +⋯+𝑛+ 𝑛 −1 + 𝑛 −2 +⋯+ 2 + 1 =𝑛2 Pembahasan :
i. Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1
1 + 2 +⋯+𝑛+ 𝑛 −1 + 𝑛 −2 +⋯+ 2 + 1 =𝑛2
1 + 2 +⋯+ 𝑛 −1 +𝑛+ 𝑛 −1 +⋯+ 2 + 1 = 𝑛2
𝑛 =𝑛2 1 = 12
1 = 1 (benar)
ii. Langkah Kedua
Andaikan benar untuk 𝑛 =𝑘
1 + 2 +⋯+𝑛+ 𝑛 −1 + 𝑛 −2 +⋯+ 2 + 1 =𝑛2 1 + 2 +⋯+ 𝑘 −1 +𝑘+ 𝑘 −1 +⋯+ 2 + 1 = 𝑘2
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 10 iii. Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛= 𝑘+ 1
1 + 2 +⋯+𝑛+ 𝑛 −1 + 𝑛 −2 +⋯+ 2 + 1 =𝑛2
1 +⋯+ 𝑘+ 1 −1 + 𝑘+ 1 + 𝑘+ 1 −1 +⋯+ 1 = 𝑘+ 1 2 1 +⋯+𝑛+ 𝑛 −1 + 𝑛 −2 +⋯+ 1 + 𝑘+ 1 +𝑘 = (𝑘+ 1)2 𝑘2 + 2𝑘+ 1 = (𝑘+ 1)2
𝑘2+ 2𝑘+ 1 = (𝑘+ 1)2 (𝑘+ 1)2 = (𝑘+ 1)2
Jadi terbukti bahwa 1 + 2 +⋯+𝑛+ 𝑛 −1 + 𝑛 −2 +⋯+ 2 + 1 =
𝑛2.
Pergunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan setiap pernyataan berikut.
1. 2 + 4 + 6 +⋯+ 2𝑛 = 𝑛 𝑛+ 1
2. 22 + 42+ 62+⋯+ 2𝑛 2 =2𝑛 𝑛+1 2𝑛+1
3
3. 13 + 33+ 53+⋯+ 2𝑛 −1 3 = 2𝑛4− 𝑛2
4. 𝑃𝑛 ≡ 1
1×3+ 1
3×5+⋯+
1
2𝑛−1 (2𝑛+1)=
𝑛
2𝑛+1
5. 𝑃𝑛 ≡ 2×41 +4×61 +⋯+ 2𝑛 (21𝑛+2)=4(𝑛𝑛+1)
6. 𝑃𝑛 ≡ 1
1×3+ 1 2×4+
1
3×5+⋯+ 1
𝑛(𝑛+2)=
𝑛(3𝑛+5) 4 𝑛+1(𝑛+2)
7. 1 + 3 + 5 +⋯+ 2𝑛 −1 + 2𝑛 −3 +⋯+ 3 + 1 = 2𝑛2−2𝑛+ 1
8. 2 + 4 + 6 +⋯+ 2𝑛+ 2𝑛 −2 +⋯+ 4 + 2 = 2𝑛2
9. 𝑃𝑛 ≡ 𝑟 −𝑛𝑟=2 1 𝑟 = 1 3𝑛 𝑛
2−1 untuk 𝑛 > 2
10. Tunjukkan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n selalu berlaku :
1 + 2𝑥+ 3𝑥2+⋯+𝑛𝑥𝑛−1 = 1− 𝑥 𝑛
1− 𝑥 2−
𝑛𝑥𝑛 1− 𝑥
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 11 Ekspresi ketidaksamaan eksponen untuk pangkat positif dapat dibuktikan dengan cara tidak langsung menggunakan prinsip induksi matematika. Dalam matematika tanda ketidaksamaan berupa tanda <,≤, > dan ≥.
1. Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 2𝑛 >𝑛 ! Pembahasan :
i. Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1
2𝑛 > 𝑛
21 > 1
2 > 1 (benar)
ii. Langkah Kedua
Andaikan benar untuk 𝑛 =𝑘
2𝑛 >𝑛 2𝑘 > 𝑘
iii. Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛= 𝑘+ 1
2𝑘+1 >𝑘+ 1 2𝑘 × 2 > 𝑘+ 1 𝑘× 2 > 𝑘+ 1
Pembuktian Pernyataan Matematis
berupa Ketidaksamaan dengan
Induksi Matematika
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 12 𝑘+𝑘> 𝑘+ 1 karena 𝑘 > 1, maka terbukti benar Jadi terbukti bahwa 2𝑛 > 𝑛.
2. Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 𝑛3+ 20 >𝑛2+ 15𝑛, kecuali untuk 𝑛= 2 atau 𝑛= 3.
Pembahasan :
i. Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1
𝑛3+ 20 >𝑛2+ 15𝑛
13+ 20 > 12+ 15(1)
21 > 16 (benar)
ii. Langkah Kedua
Andaikan benar untuk 𝑛 =𝑘
𝑛3+ 20 >𝑛2 + 15𝑛
𝑘3+ 20 >𝑘2+ 15𝑘
iii. Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛 = 𝑘+ 1
𝑛3+ 20 >𝑛2+ 15𝑛
𝑘+ 1 3+ 20 > 𝑘+ 1 2+ 15 𝑘+ 1 𝑘3 + 3𝑘2+ 3𝑘+ 1 + 20 > 𝑘+ 1 2+ 15 𝑘+ 1 𝒌𝟑+𝟐𝟎 + 3𝑘2+ 3𝑘+ 1 > 𝑘+ 1 2 + 15 𝑘+ 1
𝒌𝟐+𝟏𝟓𝒌 + 3𝑘2+ 3𝑘+ 1 > 𝑘+ 1 2+ 15 𝑘+ 1
4𝑘2+ 18𝑘+ 1 > 𝑘+ 1 2+ 15 𝑘+ 1
𝑘2+ 2𝑘+ 1 + 15 𝑘+ 1 + 3𝑘2+𝑘 −15 > 𝑘+ 1 2+ 15 𝑘+ 1
𝑘+ 1 2+ 15 𝑘+ 1 + 3𝑘2+𝑘 −15 > 𝑘+ 1 2+ 15 𝑘+ 1
Jadi terbukti bahwa 𝑛3+ 20 >𝑛2+ 15𝑛, kecuali untuk 𝑛= 2 atau
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 13 3. Untuk bilangan asli n manakah 3𝑛 > 𝑛4 merupakan pernyataan yang benar?
Pembahasan :
i. Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1
3𝑛 > 𝑛4
31 > 14
3 > 1 (benar) Akan tetapi untuk 𝑛 = 2
3𝑛 > 𝑛4
32 > 24
9 > 16 (salah) dan untuk 𝑛= 3
3𝑛 > 𝑛4
33 > 34
27 > 81 (salah)
ii. Langkah Kedua
Anggap benar untuk 3𝑛 > 𝑛4
iii. Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 3𝑛+1 > 𝑛+ 1 4
3𝑛 × 3 > 𝑛+ 1 4
Hal ini berarti bahwa
𝑛
>
13
1 4−1
≈
3,16
, sehingga mengakibatkan 𝑛 ≥4.Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 14
Pergunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan setiap pernyataan berikut.
1. 2𝑛 ≥2𝑛
2. 𝑛 ≤2𝑛−1
3. 5𝑛 + 5 < 5𝑛+1
4. 𝑃𝑛 ≡ 2𝑛+ 1 ≤3𝑛
5. 𝑃𝑛 ≡ 𝑛 ≤2𝑛−1, untuk 𝑛 ≥1 6. 𝑃𝑛 ≡ 𝑛+ 1 2 < 2𝑛, untuk 𝑛 ≥6
7. 𝑃𝑛 ≡ 1 +12+13+⋯+1𝑛 > 𝑛2+1𝑛 , untuk 𝑛> 1 8. 𝑃𝑛 ≡ 112+
1 22+
1
32+⋯+
1
𝑛2 ≤2−
1
𝑛
9. Barisan bilangan ditentukan oleh 𝑎𝑛+1 = 2 +𝑎𝑛 dan 𝑎1 = 3. Buktikan bahwa
𝑎𝑛 > 2 untuk semua bilangan bulat positif.
10. Diberikan pernyataan bahwa 𝑓 𝑛 = 𝑛 −4 2+ 2, buktikan bahwa 𝑓(𝑛) >
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 15 Prinsip induksi matematika dapat juga digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan matematis berupa keterbagian.
1. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, nilai 52𝑛 −1 habis dibagi 3. Pembahasan :
i. Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1
52𝑛 −1
52(1)−1
52−1 25−1
24 habis dibagi 3(benar)
ii. Langkah Kedua
Dianggap benar untuk 𝑛 =𝑘
52𝒏−1 habis dibagi 3 52𝒌−1 habis dibagi 3
iii. Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛= 𝑘+ 1
52𝑛 −1 = 52(𝑘+1)−1 = 52𝒌+𝟐−1 = 52𝑘 × 52−1
Pembuktian Pernyataan
Matematis berupa Keterbagian
dengan Induksi Matematika
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 16 = 52𝑘 × 25 −1
= 52𝑘 × 25 − 25−24
= 52𝑘 × 25 −25 + 24
= 25 52𝑘 −1 + 24
Oleh karena 52𝑘 −1 dan 24 habis dibagi 3, maka 52𝑛 −1 habis dibagi 3.
Jadi terbukti bahwa 52𝑛 −1 habis dibagi 3.
2. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, maka nilai 32𝑛 −1 habis dibagi
8.
Pembahasan :
i. Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1
32𝑛 −1
32(1)−1
32 −1 9−1
8 habis dibagi 8(benar)
ii. Langkah Kedua
Dianggap benar untuk 𝑛 =𝑘
32𝑛 −1 habis dibagi 8 32𝒌−1 habis dibagi 8
iii. Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛= 𝑘+ 1
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 17 = 32𝑘+2−1
= 32𝑘 × 32−1 = 32𝑘 × 9 −1 = 32𝑘 × 9 − 9−8
= 32𝑘 × 9 −9 + 8
= 9 32𝑘 −1 + 8
Oleh karena 32𝑘 −1 dan 8 habis dibagi 8, maka 32𝑛 −1 habis dibagi 8.
Jadi terbukti bahwa 32𝑛 −1 habis dibagi 8.
3. Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n, selalu berlaku 72𝑛−1+ 32𝑛
habis dibagi 8. Pembahasan :
i. Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1
72𝑛−1+ 32𝑛
72(1)−1+ 32(1)
72−1+ 32 71+ 32
7 + 9
16 habis dibagi 8(benar)
ii. Langkah Kedua
Dianggap benar untuk 𝑛 =𝑘
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 18 iii. Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛= 𝑘+ 1
72𝑛−1+ 32𝑛 = 72(𝑘+1)−1+ 32(𝑘+1)
= 72𝑘+2−1+ 32𝑘+2
= 72𝑘−1+2+ 32𝑘+2 = 72𝑘−1× 72+ 32𝑛 × 32
= 72𝑘−1+ 32𝑘 + 48 × 72𝑘−1+ 8 × 32𝑘
= 72𝑘−1+ 32𝑘 + 8 6 × 72𝑘−1+ 32𝑘
Oleh karena 72𝑘−1+ 32𝑘 dan 8 habis dibagi 8, maka 72𝑛−1+ 32𝑛 habis dibagi 8.
Jadi terbukti bahwa 72𝑛−1+ 32𝑛 habis dibagi 8.
Pergunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan setiap pernyataan berikut.
1. 𝑛(𝑛2+ 2) habis dibagi 3 2. 22𝑛+1+ 32𝑛+1 habis dibagi 5 3. 𝑛3+ 3𝑛2+ 2𝑛 habis dibagi 6
4. 𝑛 𝑛+ 1 (𝑛+ 2) habis dibagi 6 5. 52𝑛 −1 dibagi 3 bersisa nol 6. 13𝑛 + 6𝑛−1 habis dibagi 7
7. 52𝑛+2−24𝑛 −25 habis dibagi 576
8. Buktikan bahwa 5 merupakan faktor dari 𝑛 𝑛4−1 untuk semua bilangan asli
𝑛 ≥2.
9. Buktikan bahwa 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 habis dibagi 𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦 ≠0.
10.Diberikan sebuah barisan ditentukan oleh 𝑈𝑛 = 5𝑛 + 12𝑛 −1 dan 𝑈𝑛+1 = 5𝑈𝑛.
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 19
PROGRAM
LINEAR
Dalam kehidupan sehari-hari (masalah kontekstual) sering dijumpai masalah program linear, seperti pembangunan perumahan, apartemen, ruko, pembuatan obat dan masalah pemakaian obat untuk penyembuhan pasien, pemakaian tanah untuk lahan parkir, masalah transportasi dan lainnya.
Pada aplikasi program linear sering dijumpai istilah “terbesar” ataupun “terkecil” dari sejumlah batasan yang berupa pertidaksamaan linear. Penyelesaian sistem pertidaksamaan linear secara grafik dapat berupa daerah tertutup yang merupakan syarat memaksimumkan fungsi objektif dan daerah terbuka yang merupakan syarat meminimumkan fungsi objektif.
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 20 Selama perang dunia II para ilmuwan serta militer Inggris dan Amerika bahu-membahu mengupayakan optimum dari alokasi bahan-bahan logistic yang jumlahnya terbatas untuk perang sehingga dapat memenuhi kebutuhan pasukan sekutu di daratan Eropa. Mereka yang terdiri dari ahli berbagai ilmu (teknik, matematika, sosiologi, psikologi, dan ahli perilaku (behavioral scientist)) merupakan pioneer yang memprakarsai penggunaan Riset Operasi (RO) sebagai alat bantu dalam proses pengambilan keputusan yang berkaitan dengan perang dunia II. Prinsipnya, dengan RO bagaimana mengalokasikan sumber daya yang terbatas (limited logistic resource) untuk disalurkan ke tempat kedudukan pasukan sekutu yang sedang bertempur dengan pasukan Jerman, agar hasilnya optimum, yakni kemenangan dalam peperangan. Keputusan mengalokasikan sumber daya logistic yang terbatas tersebut ditentukan melalui proses perhitungan yang disepakati oleh para ahli yang bertugas.
Memang tidak semua RO dicetuskan pada saat perang dunia II, beberapa hal dicetuskan setelah setelah itu misalnya Program Evaluation and Review Technique (PERT) dan Critical Path
Methode (CPM) dicetuskan pada tahun 1954, pada saat Angkatan Laut Amerika Serikat
merencanakan membuat peluru kendali antar benua atau Intercontinental Balistic Missile (ICBM) untuk pertahanan blok barat, selama perang dingin. Setelah periode 1960-an, RO digunakan tidak hanya untuk kepentingan operasi militer, tetapi juga digunakan di berbagai bidang non-militer termasuk dunia bisnis.
Program Linear (PL) adalah alat analisis masalah yang mempunyai variabel-variabel bersifat deterministic (terukur) dan masing-masing mempunyai hubungan linear satu sama lain. PL ditemukan oleh GEORGE DANTZIG. Teknik analisis ini berkembang secara menakjubkan dan mampu memecahkan berbagai masalah yang terdapat dalam kehidupan nyata. George Dantzig adalah orang pertama yang memformulasikan
General Linear Programming
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 21 KI 1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
KI 2 Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (toleransi, gotong royong), santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya.
KI 3 Memahami, menerapkan dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
KI 4 Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.
1. Siswa dapat menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual.
2. Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear. 3.2 Menjelaskan Program Linear dua variabel dan metode
penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual.
3.2.1 Menjelaskan konsep pertidaksamaan linear dua variabel.
3.2.2 Menjelaskan konsep sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
3.2.3 Membedakan pertidaksamaan linear dua variabel dengan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. 3.2.4 Mengidentifikasi variabel dari permasalahan
berkaitan dengan pertidaksamaan linear dua variabel dari permasalahan.
3.2.5 Mengidentifikasi fungsi kendala dari masalah program linear.
3.2.6 Mengidentifikasi fungsi tujuan dari masalah program linear.
3.2.7 Menjelaskan strategi/tahapan membuat model matematika program linear dua variabel menggunakan masalah kontekstual.
3.2.8 Menjelaskan strategi/tahapan penentuan nilai optimum dari masalah program linear dengan metode uji titik pojok.
3.2.9 Menjelaskan strategi/tahapan penentuan nilai optimum dari masalah program linear dengan garis selidik.
4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel.
4.2.1 Membuat model matematika program linear dua variabel dari masalah kontekstual.
4.2.2 Membuat sketsa grafik daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel.
4.2.3 Menentukan nilai optimum sistem pertidaksamaan linear dua variabel denganmenggunakan uji titik pojok.
4.2.4 Menentukan nilai optimum dari permasalahan kontekstual program linier dua variabel dengan menggunakan garis selidik.
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 22 PROGRAM LINEAR
Prasyarat
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
(SPtLDV)
Menggambar Grafik SPtLDV
Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Pengertian Program
Linear
Model Matematika
Menentukan nilai optimum
Metode Uji Titik Pojok
Metode Garis Selidik
Program Linear
SPtLDV
Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP)
Model Matematika
Metode Uji Titik Pojok
Metode Garis Selidik
KATA
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 23 Pertidaksamaan linear dua variabel
adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah
>, <, ≥ dan≤.
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah sistem pertidaksamaan yang melibatkan dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel. Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel merupakan daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan yang ada dalam sistem.
Untuk penyelesaian pertidaksamaan linear dapat berupa daerah arsir atau sebaliknya daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel berupa daerah bersih.
Langkah-langkah untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) Pertidaksamaan Linear Dua Variabel sebagai berikut.
1. Gambar garis ax + by = c dengan mengubah tanda ketidaksamaan menjadi tanda sama dengan ( = )
2. Ambil sembarang titik P(x1, y1) yang terletak di luar garis ax + by = c. 3. Arsir daerah yang merupakan DHP Pertidaksamaan Linear Dua Variabel.
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
𝑎𝑥+𝑏𝑦>𝑐
𝑎𝑥+𝑏𝑦<𝑐
𝑎𝑥+𝑏𝑦 ≥ 𝑐
𝑎𝑥+𝑏𝑦 ≤ 𝑐
Bentuk Umum Pertidaksamaan
Linear Dua Variabel (PtLDV)
1. Gambar garis ax + by = c
2. Ambil sembarang titik
P(x1, y1) yang terletak di luar garis ax + by = c
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 24 Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menentukan DHP PtLDV
1. Lihat koefisien y
Jika > 0, maka tanda ( + ) Jika < 0, maka tanda ( - ) 2. Lihat tanda pertidaksamaan
Jika > atau ≥ , maka tanda ( + ) Jika < atau ≤ , maka tanda ( - )
3. Jika pertidaksamaan bertanda < atau >, maka garis di gambar putus-putus dan berarti titik-titik yang terdapat pada garis bukan merupakan penyelesaian.
Jika pertidaksamaan bertanda ≤ atau ≥, maka garis di gambar utuh (tidak putus -putus) dan berarti titik-titik yang terdapat pada garis bukan merupakan penyelesaian.
4. Tanda arsiran
Apabila tanda negatif ( - ), DHP di bawah garis atau di kiri garis Apabila tanda positif ( + ), DHP di atas garis atau di kanan garis
Pertidaksamaan 𝒃> 𝟎 𝒃<𝟎
𝒂𝒙+𝒃𝒚 ≥ 𝒄
Daerah himpunan penyelesaian berada di kanan atau di atas garis
𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
Daerah himpunan penyelesaian berada di kiri atau di bawah garis
𝑎𝑥+𝑏𝑦= 𝑐
𝒂𝒙+𝒃𝒚 ≤ 𝒄
Daerah himpunan penyelesaian berada di kiri
atau di bawah garis 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
Daerah himpunan penyelesaian berada di kanan atau di atas garis
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 25 1. Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel 3𝑥+𝑦 >
9!
Pembahasan :
CARA 1
Menggambar garis dengan menggunakan uji titik (0,0)
x 0 3
y 9 0
(0,9) (3,0)
Menentukan DHP
3𝑥+𝑦> 9→ + . + = + (DHP berada di atas garis atau kanan garis).
Lukisan gambar DHP
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 26 CARA 2
Menggambar garis dengan menggunakan uji titik (0,0)
x 0 3
y 9 0
(0,9) (3,0)
Menentukan DHP dengan mengambil sembarang titik misal mengambil titik (0,0)
3𝑥+𝑦 > 9→3 0 + 0 > 9
0 > 9 (DHP berada di atas garis atau kanan garis, karena 0 bukan merupakan hasil penyelesaian).
Lukisan gambar DHP
2. Lukiskan DHP dari SPtLDV berikut :
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 27 Pembahasan :
CARA 1
Menggambar garis dengan menggunakan uji titik (0,0)
2𝑥+𝑦 ≤4
x 0 2
y 4 0
(0,4) (2,0)
𝑥+ 2𝑦 ≤4
x 0 4
y 2 0
(0,2) (4,0)
Menentukan DHP
2𝑥+𝑦 ≤4 → + . − = − (DHP berada di bawah garis atau kiri garis).
𝑥+ 2𝑦 ≤4 → + . − = − (DHP berada di bawah garis atau kiri garis).
𝑥 ≥0→ + . + = + (DHP berada di kanan sumbu 𝑦)
𝑦 ≥0→ + . + = + (DHP berada di atas sumbu 𝑥)
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 28 CARA 2
Menggambar garis dengan menggunakan uji titik (0,0)
2𝑥+𝑦 ≤4
x 0 2
y 4 0
(0,4) (2,0)
𝑥+ 2𝑦 ≤4
x 0 4
y 2 0
(0,2) (4,0)
Menentukan DHP dengan mengambil sembarang titik misal mengambil titik (0,0)
2𝑥+𝑦 ≤4→2 0 + 0 ≤4
0≤4 (DHP berada di bawah garis atau kiri garis, karena 0 merupakan hasil penyelesaian).
𝑥+ 2𝑦 ≤4→ 0 + 2 0 ≤4
0≤4 (DHP berada di bawah garis atau kiri garis, karena 0 merupakan hasil penyelesaian).
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 29
Pertidaksamaan 𝒂>𝟎 𝒂<𝟎
𝒃>𝟎 𝒃<𝟎 𝒃>𝟎 𝒃<𝟎
𝒂𝒙+𝒃𝒚 ≥ 𝒄
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 30 1. Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan 𝑥 −3𝑦 ≥6 ! 2. Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan 3𝑥+ 4𝑦 ≤12 ! 3. Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan 0 <𝑥< 5 ! 4. Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 𝑥 ≥
0,𝑦 ≥0,𝑥+𝑦 ≤10,𝑥+ 2𝑦 ≤12 !
5. Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 𝑥 ≥
0,𝑦 ≥0, 2𝑥+ 3𝑦 ≥18, 7𝑥+ 5𝑦> 35 !
6. Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 𝑥 ≥
0,𝑦 ≥0, 2𝑥+ 3𝑦< 12,−3𝑥+ 2𝑦 >−6 !
7. Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 3𝑥 − 2𝑦 ≤ −6, 5𝑥+ 7𝑦 ≥35,𝑦 ≤6,𝑥 ≥0 !
8. Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 4𝑥+𝑦 ≥ 8, 3𝑥+ 4𝑦 ≤24, 𝑥+ 6𝑦 −12≥0 !
9. Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 3𝑥+ 4𝑦 ≥12, 6𝑥+ 5𝑦 ≤30, 9𝑥 ≥5𝑦, dan 15 y ≥2𝑥 !
10. Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 𝑥 ≥
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 31 Program Linear adalah metode untuk menyelesaikan permasalahan tentang maksimum atau minimum yang menggunakan sistem persamaan atau pertidaksamaan linear.
Dalam persoalan program linear terdapat tujuan persoalan yang akan dicapai, dinyatakan dalam bentuk fungsi linear 𝑘= 𝑎𝑥+𝑏𝑦. Fungsi linear tersebut disebut fungsi tujuan atau fungsi sasaran.
Suatu permasalahan dikatakan permasalahan program linear, jika memenuhi ketentuan-ketentuan berikut.
1. Tujuan (objektif) permasalahan yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linear 𝑘=𝑎𝑥+𝑏𝑦. Fungsi linear tersebut disebut fungsi tujuan atau fungsi sasaran.
2. Harus memiliki alternatif pemecahan yang membuat nilai fungsi tujuan menjadi optimum, misalnya : keuntungan yang maksimum, pengeluaran biaya yang minimum, dsb.
3. Sumber-sumber yang tersedia dalam jumlah yang terbatas, seperti modal terbatas, bahan mentah terbatas, dsb. Pembatasan-pembatasan dari sumber yang tersedia harus dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear. Fungsi linear ini dikenal dengan fungsi kendala.
Model matematika adalah suatu hasil interpretasi manusia dalam menerjemahkan atau merumuskan persoalan sehari-hari ke dalam bentuk matematika, sehingga persoalan itu dapat diselesaikan secara matematis. Dalam menentukan model matematika terdapat cara yang mudah yakni dengan menggunakan bantuan tabel dalam menuliskan permasalahan tersebut.
Pengertian Program Linear
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 32 1. Suatu tempat parkir luasnya 200 m2. Untuk memarkir sebuah mobil rata-rata
diperlukan tempat seluas 10 m2 dan untuk bus rata-rata 20 m2. Tempat parkir itu tidak langsung dapat menampung lebih dari 12 mobil dan bus. Jika di tempat parkir itu akan diparkir x mobil dan y bus, buatlah model matematikanya!
Pembahasan :
misal : x = mobil , y = bus
Data dari soal dapat dituliskan ke bentuk tabel berikut.
Lahan Mobil (x) Bus (y) Tersedia
Luas 10 20 200
Daya Tampung 1 1 12
Penulisan model matematikanya
10𝑥+ 20𝑦 ≤200→ 𝑥+ 2𝑦 ≤20
𝑥+𝑦 ≤12
𝑥 ≥0,𝑦 ≥0
2. Sebuah pabrik roti memproduksi dua jenis roti isi cokelat dan roti isi keju. Pembuatan roti isi cokelat memerlukan 12 gram terigu dan 4 gram mentega, sedangkan untuk roti isi keju diperlukan 6 gram terigu dan 8 gram mentega. Bahan yang tersedia 1,8 kg terigu dan 1,2 kg mentega dengan bahan yang lain cukup. Keuntungan roti isi cokelat Rp. 150,- per buah dan roti isi keju Rp. 100,-. Buatlah model matematikanya!
Pembahasan :
misal : x = roti isi cokelat , y = roti isi keju
Data dari soal dapat dituliskan ke bentuk tabel berikut.
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 33 Bahan Roti isi Cokelat
(x) Roti isi Keju (y) Persediaan
Terigu 12 6 1800
Mentega 4 8 1200
Keuntungan 150 100
Penulisan model matematikanya
12𝑥+ 6𝑦 ≤1800→2𝑥+𝑦 ≤300
4𝑥+ 8𝑦 ≤1200→ 𝑥+ 2𝑦 ≤300
𝑥 ≥0,𝑦 ≥0
dengan fungsi tujuannya adalah 𝑓 𝑥,𝑦 = 150𝑥+ 100𝑦
3. Pemilik perusahaan swasta mempunyai 3 jenis bahan mentah. Misalnya bahan mentah I, II, dan III masing-masing tersedia 100 satuan, 160 satuan, dan 280 satuan. Dari ketiga bahan mentah itu akan dibuat 2 macam barang produksi, yaitu barang A dan B. Satu satuan barang A memerlukan bahan mentah I, II, dan III masing-masing sebesar 2, 2, dan 6 satuan. Satu satuan barang B memerlukan bahan mentah I, II, III masing-masing sebesar 2, 4 dan 4 satuan. Jika barang A dan B dijual dan masing-masing laku Rp. 8000,- dan Rp. 6000,- per satuan, Buatlah model matematikanya!
Pembahasan :
misal : x = barang A , y = barang B
Data dari soal dapat dituliskan ke bentuk tabel berikut.
Bahan barang A (x) barang B (y) Persediaan
Jenis I 2 2 100
Jenis II 2 4 160
Jenis III 6 4 280
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 34 Penulisan model matematikanya
2𝑥+ 2𝑦 ≤100→ 𝑥+𝑦 ≤50
2𝑥+ 4𝑦 ≤160→ 𝑥+ 2𝑦 ≤80 6𝑥+ 4𝑦 ≤280→3𝑥+ 2𝑦 ≤140
𝑥 ≥0,𝑦 ≥0
dengan fungsi tujuannya adalah 𝑓 𝑥,𝑦 = 8000𝑥+ 6000𝑦
Ubahlah permasalahan kontekstual di bawah ini ke dalam model matematika.
1. Seorang pengusaha mebel akan memproduksi meja dan kursi yang menggunakan bahan dari papan papan kayu dengan ukuran tertentu. Satu meja memerlukan bahan 10 potong papan dan satu kursi memerlukan 5 potong papan. Papan yg tersedia ada 500 potong. Biaya pembuatan satu meja adalah Rp. 100.000,- dan biaya pembuatan satu kursi adalah Rp. 40.000,- sedangkan anggaran yg tersedia Rp. 1.000.000,-. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut!
2. Roti A yang harga belinya Rp. 10.000 dijual dengan harga Rp. 11.000 per bungkus, sedangkan roti B yang harga belinya Rp. 15.000 dijual dengan harga Rp. 17.000 per bungkus. Seorang pedagang roti yang mempunyai modal Rp. 3.000.000 dan kiosnya dapat menampung paling banyak 250 bungkus roti akan mencari keuntungan yang sebesar-besarnya. Tuliskan model matematika dari persoalan itu!
3. Pesawat penumpang sebuah perusahaan penerbangan domestik mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas eksekutif boleh membawa bagasi seberat 60 kg, sedangkan kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya mampu membawa bagasi seberat 1.440 kg. Jika harga tiket kelas eksekutif Rp 600.000 dan kelas ekonomi Rp 400.000, serta semua tiket habis terjual. Tuliskan model matematika agar perusahaan itu memperoleh pendapatan maksimum!
4. Pedagang teh mempunyai lemari yang hanya cukup ditempati 40 boks teh. Teh A dibeli dengan harga Rp. 60.000 setiap boks dan Teh B dibeli dengan harga Rp,
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 35 80.000 setiap boks. Jika pedagang itu mempunyai modal Rp. 3.000.000 untuk membeli x boks teh A dan y boks teh B. Tuliskan model matematika dari masalah itu.!
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 36 Dalam penyelesaian masalah program linear ini, nilai optimum dari bentuk 𝑓 𝑥,𝑦 =𝑎𝑥+𝑏𝑦 dapat dilakukan dengan cara menghitung nilai 𝑓 𝑥,𝑦 =𝑎𝑥+𝑏𝑦
untuk tiap titik pojok pada Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP). Nilai-nilai tersebut dibandingkan kemudian ditetapkan :
a. Nilai terbesarnya sebagai nilai maksimum dari 𝑓 𝑥,𝑦 =𝑎𝑥+𝑏𝑦. b. Nilai terkecilnya sebagai nilai minimum dari 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑎𝑥+𝑏𝑦.
Langkah-langkah yang harus ditempuh dalam menyelesaikan masalah program linear sebagai berikut.
1. Menetapkan objek-objek yang dituju dengan pemisalan variabel x dan variabel
y.
2. Menuliskan permasalahan kontekstual menjadi model matematika.
3. Menggambar grafik penyelesaian untuk menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP).
4. Menyelesaikan model matematika dengan metode uji titik pojok pada Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP).
1. Ling ling membeli 240 ton beras untuk dijual lagi. Ia menyewa dua jenis truk untuk mengangkut beras tersebut. Truk jenis A memiliki kapasitas 6 ton dan truk jenis B memiliki kapasitas 4 ton. Sewa tiap truk jenis A adalah Rp 100.000,00 sekali jalan dan truk jenis B adalah Rp 50.000,00 sekali jalan. Maka Ling ling menyewa truk itu sekurang-kurangnya 48 buah. Berapa banyak jenis truk A dan B yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum?
Pembahasan :
Penyelesaian Program Linear dengan Metode Uji Titik Pojok
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 37 1. Langkah Pertama. Menetapkan objek-objek yang dituju dengan
pemisalan variabel x dan variabel y.
misal : x = truk A, y = truk B
2. Langkah Kedua. Menuliskan permasalahan kontekstual menjadi model matematika.
Jenis Truk truk A (x) truk B (y) Persediaan
Banyak Truk 1 1 48
Kapasitas
muatan truk 6 4 240
Biaya Sewa 100.000 50.000
Penulisan model matematikanya 𝑥+𝑦 ≤48
6𝑥+ 4𝑦 ≤240→3𝑥+ 2𝑦 ≤120
𝑥 ≥0,𝑦 ≥0
dengan fungsi 𝑓 𝑥,𝑦 = 100.000𝑥+ 50.000𝑦
3. Langkah Ketiga. Menggambar grafik penyelesaian untuk menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP).
Menentukan titik-titik pojok pada Daerah Himpunan Penyelesaian. Titik potong garis 6𝑥 + 4𝑦 = 240 dengan sumbu-y adalah
titik (0, 60).
Titik potong garis 𝑥 + 𝑦 = 48 dengan sumbu-x adalah titik (48, 0).
Titik potong garis-garis 𝑥 + 𝑦 = 48 dan 6𝑥 + 4𝑦 = 240
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 38 Diperoleh, titik potong garis-garis 𝑥 + 𝑦 = 48 dan 6𝑥 + 4𝑦 = 240
adalah pada titik (24,24).
4. Langkah Keempat. Menyelesaikan model matematika dengan metode uji titik pojok pada Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP).
𝑓 𝑥,𝑦 = 100.000𝑥+ 50.000𝑦
A (0,60) = 100.000 × 0 + 50.000 × 60 = 3.000.000
B (24,24) = 100.000 × 24 + 50.000 × 24 = 3.600.000 C (48,0) = 100.000 × 48 + 50.000 × 0 = 4.800.000
Jadi banyak jenis truk A dan B yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum adalah tidak menyewa truk A dan hanya menyewa truk B sebanyak 60.
2. Akan di buat dua model tas yaitu model A dan model B. model A memerlukan biaya Rp. 30.000,- dengan keuntungan Rp. 5000,- sedangkan model B memerlukan biaya Rp. 40.000,- dengan keuntungan Rp. 8000,-. Modal yang dimiliki adalah Rp. 840.000,- dan akan membuat tas sebanyak 25 buah. Berapa besar keuntungan maksimum?
Pembahasan :
a. Menentukan objek-objek yang dituju dengan pemisalan variabel x dan variabel y.
misal : x = tas model A, y = tas model B b. Model matematika
30.0000𝑥+ 40.000𝑦 ≤840.000→ 3𝑥+ 4𝑦 ≤84
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 39 𝑥 ≥0
𝑦 ≥0
c. Gambar daerah penyelesaian
b.
Eliminasi
Subtitusi 𝑥+𝑦 = 25 16 +𝑦= 25
𝑦= 25−16
𝑦= 9
Jika dilihat dari gambar daerah penyelesaian dan eliminasi, subtitusi maka didapat titik A (25,0), B (16,9), C (0,21)
d. Fungsi objektif
𝑓 𝑥,𝑦 = 5000𝑥+ 8000𝑦
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 40 𝐵 16,9 = 5000 16 + 8000 9 = 152.000
𝐶 0,21 = 5000 0 + 8000 21 = 186.000
Jadi besar keuntungan maksimumnya adalah Rp 186.000
Garis selidik 𝑎𝑥+𝑏𝑦= 𝑘 memiliki sifat-sifat berikut.
a. Jika 𝑘 = 0 maka garis 𝑎𝑥+𝑏𝑦= 𝑘
melalui titik O(0,0)
b. Jika k makin besar, maka garis 𝑎𝑥+
𝑏𝑦= 𝑘 makin menjauhi titik asal O(0,0). Jika garis 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑘 makin menjauhi titik asal O(0,0) maka nilai k semakin besar, akibatnya nilai 𝑎𝑥+𝑏𝑦 juga makin besar.
Berdasarkan sifat-sifat di atas maka garis selidik dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum bentuk objektif 𝑎𝑥+𝑏𝑦= 𝑘.
Langkah-langkah yang harus ditempuh dalam menyelesaikan masalah program linear sebagai berikut.
1. Menetapkan objek-objek yang dituju dengan pemisalan variabel x dan variabel
y.
2. Menuliskan permasalahan kontekstual menjadi model matematika.
3. Menggambar grafik penyelesaian untuk menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP).
4. Menyelesaikan model matematika dengan metode garis selidik pada Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP).
Penyelesaian Program Linear dengan Metode Garis Selidik
Jika garis selidik semakin menjauhi titik asal O(0,0) maka yang dicari adalah nilai maksimumnya.
Jika garis selidik semakin mendekati titik asal O(0,0) maka yang dicari adalah nilai minimumnya.
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 41 Suatu Perusahaan mempunyai 2 jenis produk roti jenis A dan jenis B. Roti jenis A memerlukan 200 gram tepung dan 25 gram mentega, sedangkan roti jenis B memerlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Tersedia 3 kg tepung dan 1,2 kg mentega. Bahan-bahan lainnya cukup. Diketahui laba untuk roti jenis A sebesar Rp. 750,- per buah dan laba untuk roti jenis B sebesar Rp 1.000,- per buah. Hitunglah banyaknya roti A dan B agar diperoleh laba maksimum!
Pembahasan :
1. Langkah Pertama. Menetapkan objek-objek yang dituju dengan pemisalan variabel x dan variabel y.
misal : x = roti jenis A, y = roti jenis B 2. Langkah Kedua. Model Matematika
200𝑥+ 100𝑦 ≤3000
25𝑥+ 50𝑦 ≤1200 𝑥 ≥0,𝑦 ≥0
𝑓 𝑥,𝑦 = 750𝑥+ 1000𝑦
3. Langkah Ketiga. Grafik himpunan penyelesaian
4. Langkah Keempat. Mencari nilai optimum dengan bantuan garis selidik. Dengan bantuan garis selidik yang diatur sejajar dengan titik yang merupakan daerah penyelesaian dapat disimpulkan bahwa titik terjauh dari garis selidik adalah titik (4,22).
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 42 Jadi nilai maksimumnya adalah
𝑓 4,22 = 750 × 4 + 1000 × 22 = 3000 + 22.000 = 25.000 Jadi, agar diperoleh laba maksimum roti jenis A yang harus dibuat sebanyak 4 buah dan roti jenis B sebanyak 22 buah. Adapun laba maksimum yang diperoleh adalah Rp. 25.000,-
1. Suatu perusahaan tas dan sepatu mempunyai bahan kulit dan plastik masing-masing 450 cm2. Sebuah sepatu memerlukan bahan kulit 30 cm2 dan bahan plastik 15 cm2, sedangkan sebuah tas memerlukan bahan kulit 15 cm2 dan bahan plastik 30 cm2. Apabila keuntungan sebuah sepatu Rp. 8.500,- dan keuntungan tas Rp. 7.500,- kemudian hitung berapa keuntungan maksimum yang didapat perusahaan tas dan sepatu!
2. Sebuah taman rekreasi memiliki area parkir seluas 176 m2. Luas rata-rata untuk parkir mobil adalah 4 m2 dan bus adalah 20 m2. Daya muat tempat rekreasi hanya 20 kendaraan, dengan biaya parkir mobil Rp. 5.000,- dan untuk bus Rp. 15.000,-. Kemudian hitung berapa jumlah mobil dan bus yang berada pada area parkir dengan pendapatan maksimum tempat parkir!
3. Seorang ibu rumah tangga mempunyai 3 kg tepung terigu dan 6 kg telur. Dengan bahan tersebut dia ingin membuat kue bolu dan tart sekaligus. Berdasarkan resep adonan untuk kue bolu dan kue tart masing-masing memerlukan 0,3 kg dan 0,1 kg terigu. Sedangkan penggunaan telur untuk kue bolu dan kue tart masing-masing 0,4 kg dan 0,3 kg telur. Tentukan produksi maksimum dari kue bolu dan kue tart tersebut!
4. Suatu perusahaan elektronik membuat dua model radio. Kapasitas produksi harian radio jenis I adalah 60 buah, sedangkan kapasitas produksi harian radio jenis II adalah 75 buah. Tiap radio jenis I menggunakan 10 buah komponen
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 43 elektronik, sedangkan radio jenis II membutuhkan 8 buah komponen yang sama. Komponen yang dapat disediakan per hari adalah 800 buah. Keuntungan per unit jenis I adalah Rp. 30.000,- dan jenis II adalah Rp. 20.000,-. Tentukan keuntungan maksimum yang dapat dibuat radio model jenis I dan model jenis II! 5. Permen jenis A yang harganya Rp. 200,- per bungkus dijual dengan laba Rp. 40,-
per bungkus, sedangkan permen jenis B dijual dengan harga Rp. 100,- per bungkus dijual dengan laba Rp. 30,- per bungkus. Seorang pedagang hanya mempunyai modal sebesar Rp. 80.000,- dan kiosnya hanya mampu menampung 500 bungkus permen. Tentukan berapa permen jenis A dan permen jenis B yang harus dibeli pedagang agar memperoleh keuntungan maksimum!
6. Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein, 24 unit karbohidrat, dan 18 unit lemak. Makanan A mengandung 4 unit protein, 12 unit karbohidrat dan 2 unit lemak untuk setiap kg. Makanan B mengandung 2 unit protein, 2 unit karbohidrat dan 6 unit lemak untuk setiap kg. Berapa jumlah masing-masing makanan harus dibeli tiap minggu agar kebutuhan terpenuhi, tetapi dengan biaya semurah-murahnya, jika diketahui 1 kg makanan A seharga Rp. 1.700,- dan 1 kg makanan B seharga Rp. 800,-?
7. Sebuah pesawat terbang mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 48 penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg, sedangkan penumpang kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya boleh membawa bagasi 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp. 800.000,- dan kelas ekonomi Rp. 600.000,-. Tentukan hasil penjualan tiket maksimum yang dapat diperoleh! 8. Sebuah perusahaan mempunyai dua tempat pertambangan. Pertambangan I
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG 44 9. Dengan persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m, seorang penjahit
akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung Rp. 15.000,- dan model II memperoleh untung Rp. 10.000,-. Berapa laba maksimum yang diperoleh?
10. Seorang pedagang beras mempunyai dua jenis beras I dan II. Kedua jenis beras itu akan dicampur dengan perbandingan tertentu untuk mendapatkan dua macam beras yang berbeda. Beras biasa mengandung 50% jenis I dan 50% jenis II. Sedangkan beras super mengandung dua pertiga jenis I dan sepertiga jenis II. Pedagang itu memiliki persediaan beras 300 kg jenis I dan 2000 kg jenis II. Setiap kg beras biasa menghasilkan laba Rp. 200,- sedangkan setiap kg beras super menghasilkan laba Rp. 300,-. Tentukan banyak tiap jenis beras harus dibuat agar keuntungan maksimal!
