5. Grup Siklik

Grup Silkik

Oleh

Mega Achdisty Noordyana,M.Pd

Priode (Order) elemen Suatu Grup

Definisi:

Misalkan G suatu grup dan a  G.

Periode/order a (disimbolkan “p(a)”) adalah

suatu bilangan bulat positif terkecil, misalnya m, sedemikian hingga a

^m

= e.

Apabila bilangan bulat positif m demikian itu

tidak ada, maka dikatakan bahwa periode a

adalah takhingga atau nol

CatatanPenting!!

• p(e) = 1 dan tak ada elemen grup G selain e yang

berperiode 1, sebab jika a  G dan p(a) = 1, maka a = e.

Jadi hanya e yang berperiode 1.

• Jika a  G sedemikian hingga a

^m

= e dengan m suatu bilangan bulat positif, maka p(a)  m.

• Suatu grup disebut grup torsi atau grup periodik apabila setiap elemennya berperiode berhingga.

• Suatu grup disebut grup bebas torsi apabila setiap elemennya, selain elemen identitas, tak ada yang berperiode berhingga.

• Suatu grup disebut grup campuran apabila ada

sekurang-kurannya satu elemen yang berperiode

berhingga, selain elemen identitas.

Soal

1. G = {[1], [2], [4], [5], [7], [8]} adalah dengan

perkalian modulo 9 adalah suatu grup. Tentukan Periode dari elemen-elemen G

2. S

₃

={(1),(1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}, yaitu grup simetri tingkat 3. Tentukan Periodenya

3. D = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]} dengan

penjumlahan modulo 8 adalah suatu grup. Tentukan

Periode dari elemen-elemen grup D

Grup Siklik

Teorema

Grup G disebut grup siklik, apabila ada suatu elemen G, misalnya aG, sedemikian hingga untuk setiap x  G, x = a

^m

untuk suatu bilangan bulat m.

Selanjutnya, a disebut generator (elemen

penghasil) dari G dan ditulis G = (a).

Contoh

(1) Buktikan bahwaG = {[1], [2], [3], [4], [5], [6]} dengan  modulo 7 Adalah merupakan Grup Siklik dan tentukan Generatornya

(2)Buktikan bahwa F = {(1), (1 2), (3 4 5), (3 5 4), (1 2)(3 4 5), (1 2)(3 5 4)} adalah

Merupakan Grup Siklik dan tentukan

generatornya

Teorema 2

Jika grup berhingga G memuat suatu elemen

yang periodenya sama dengan order G, maka G adalah grup siklik dengan generator elemen

tersebut.

Bukti

Misalkan G grup berhingga dan (G) = m.

aG dengan (a) = m, yaitu a^m = e dengan m suatu bilangan bulat positif terkecilnya.

Dibentuk A = {a, a², a³, ...., a^m = e}.

Elemen-elemen dari A tidak ada yang sama, sebab jika ada yang sama, misalnya

a^t = a^r dengan 0< r < t < m, maka a^t-r = e dengan 0 < t - r < m.

Hal ini tidak mungkin, karena (a) = m,

yaitu m suatu bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga a^m = e. Maka (A) = m. Karena A subgrup dari G dan (G) = m, maka G = A.

A adalah suatu grup siklik dengan generator a, maka demikian pula G.

Teorema

Misalkan G suatu grup siklik dengan generator a

dan *(G) = n, maka untuk suatu bilangan bulat

positif m < n, a

^m

adalah generator dari G jika

dan hanya jika (m, n) = 1

Bukti

Untuk membuktikan teorma ini, kita menggunakan suatu teorema dalam Teori Bilangan, yaitu :

(m, n) = 1 jika dan hanya jika ada bilangan-bilangan bulat t dan r sedemikian hingga mt + nr = 1.

Pertama akan ditunjukkan bahwa (m, n) = 1.

Karena a generator dari G dan (G) = n, maka aⁿ = e.

Karena a^m generator dari G dan aG, maka a = (a^m)^t untuk suatu bilangan bulat t

a = (a^m)^t e

a = a^mt(aⁿ)^r, karena aⁿ = e, maka (aⁿ)^r = e a = a^mt a^nr

a = a^{mt + nr}

Dari kesamaan terakhir ini diperoleh mt + nr = 1.

Selanjutnya menurut suatu teorema dalam Teori Bilangan di atas, maka (m, n) = 1.

Lanjutan

Sebaliknya, jika (m , n) = 1, maka ada bilangan-bilangan bulat t dan r sedemikian hingga mt + nr = 1. Sehingga a = a

^{mt + nr}

a = a

^mt

a

^nr

a = (a

^m

)

^t

(a

ⁿ

)

^r

a = (a

^m

)

^t

e, karena a

ⁿ

= e a = (a

^m

)

^t

Kesamaan terakhir ini menyatakan bahwa

a dapat dinyatakan sebagai perpangkatan bulat dari a

^m

dan karena a sebagai generator dari G,

maka setiap elemen G dapat dinyatakan sebagai perpangkatan bulat dari a

^m

.

Ini berarti a

^m

adalah generator dari G

Teorema

Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik.

Bukti:

• Misalkan G grup siklik dengan generator a dan H sembarang subgrup dari G. Apabila H = G atau H

= {e}, maka H jelas siklik.

• Sekarang diambil H sembarang subgrup sejati dari G. Karena G = (a), maka semua elemen G adalah perpangkatan bulat dari a. Demikian pula, karena H subgrup dari G, maka elemen-elemen dari H

merupakan perpangkatan dari a.

Lanjutan

Misalkan m adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga a^mH. Ambil sembarang a^kH, menurut algoritma pembagian, jika k dan m bilangan-bilangan bulat, maka ada bilangan-bilangan bulat r dan s, sedemikian hingga

k = mr + s dengan 0  s < m atau k - mr = s

Maka a^k-mr = a^s a^k a^-mr = a^s.

Karena a^mH dan H subgrup dari G, maka (a^m)^-1 = a^-mH, lalu (a^-m)^r = a^-

mrH dan karena a^kH, maka (a^k a^-mr)H atau a^sH. Karena m suatu bilangan bulat positif terkecil sedemikian a^mH dan mengingat 0  s <

m, maka s = 0.

Sehingga k = mr.

Jadi a^k = a^mr = (a^m)^r.

Ini berarti a^k dapat dinyatakan sebagai perpangkatan bulat dari a^m. Jadi H suatu subgrup siklik dari G