Kelompok 2
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
Disusun Oleh :
Teka-teki populer kubus Rubik yang ditemukan pada tahun 1974 oleh Ernő Rubik telah digunakan sebagai ilustrasi grup
permutasi. Setiap rotasi lapisan kubus menghasilkan permutasi warna permukaan dan merupakan anggota grup.
PERMUTASI GRUP
GRUP PERMUTASI
Penulis : Nabila Faradika
Putri Anggraini Faisal Fadli Lubis Editor : Kelompok 2
Desain Cover : Kelompok 2
Desain Isi : Kelompok 2
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan karunia-Nyalah kami dapat menyelesaikan tugas Book Chapter ini untuk memenuhi salah satu tugas KKNI mata kuliah Struktur Aljabar tanpa halangan dan selesai tepat pada waktunya.
Dalam penyusunan Book Chapter ini, kami tidak lupa mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penyusunan dan penulisan Book Chapter ini dengan baik. Dan tidak lupa pula kami mengucapkan terima kasih kepada Dosen Pengampu yaitu Ibu Dr. Izwita Dewi, M.Pd. yang telah memberikan tugas ini, sehingga dapat menambah pengetahuan dan pemahaman bagi penyusun. Oleh karena itu, kami berharap sekiranya makalah ini dapat diterima dan berkenan di hati pembaca.
Kami sadar tugas Book Chapter ini masih jauh dari kata sempurna, untuk itu kami mengharapkan kritik dan saran untuk kesempurnaan tugas ini. Dan kami berharap semoga makalah ini bermanfaat untuk kita semua.
Medan, Nopember 2023
Kelompok 2
DAFTAR ISI
Kata Pengantar...
Daftar Isi...
Pendahuluan...
Pembahasan
Bab I : Grup Permutasi...
Definisi A-1...
Definisi A-2...
Video Pembelajaran
Bab II : Orbit dan Cycle...
Definisi B-1...
Definisi B-2...
Definisi B-3...
Video Pembelajaran...
Latihan...
Penutup...
Referensi...
PENDAHULUAN
Dalam matematika, khususnya aljabar, suatu grup permutasi adalah suatu grup dengan unsur-unsurnya adalah permutasi dari suatu himpunan dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym.
Pada materi - materi sebelumnya telah dibahas mengenai grup mulai dari definisi grup, cara menentukan suatu himpunan merupakan grup atau bukan, menentukan finite dan infinite grup, definisi subgrup, syarat-syarat subgrup pada suatu grup, menetukan order dari grup dan order dari angguta grup, hingga penjelasan tentang grup siklis. Maka pada makalah ini akan dijelaskan materi tentang Grup Permutasi.
Untuk mempelajari grup permutasi dibutuhkan penalaran dan pemahaman yang mendalam terkait materi-materi sebelumnya.
Dalam memahami materi-materi tersebut, dibutuhkan referensi-
referensi yang beragam. Maka kami tertarik untuk membuat suatu
book chapter dengan berisikan intisari pada materi grup permutasi
dari beberapa buku dan jurnal. Kami berharap, book chapter ini
bermanfaat bagi pembaca serta dapat menambahkan pengetahuan
terkait grup permutasi, orbit dan cycle.
BAB I GRUP
PERMUTASI
Misalkan S adalah himpunan finit yang beranggotakan n elemen, yaitu :
Kemudian bangun himpunan pemetaan yang bijektif dari S ke S yaitu :
Sebagai contoh kita ambil S = maka akan kita peroleh banayaknya pemetaan bijektif dari S ke S adalah sebagai berikut:
Penulisan seperti itu dimaksudkan untuk mempermudah, contoh untuk artinya memetakan :
a ke b, b ke c, dan c ke a. Sedangkan dimaksudkan pergandaan permutasi dengan terlebih dahulu mengerjakan
dilanjutkan .
Dapat ditunjukkan bahwa β (S) terhadap pergandaan permutasi merupakan grup. Grup ini dikatakan grup permutasi, dinotasikan dengan Jika S beranggotakan n elemen maka grup permutasinya ditulis
Secara umum masalah diatas diutarakan dalam teorema berikut ini Suatu permutasi dari himpunan S adalah suatu fungsi dari himpunan S ke himpunan S yang bijektif.
Pengandaan permutasi didefinisikan sebagai berikut : (βo γ)(a)= β (γ(a)), ∀ a ∈ S
DEFINISI A-1
TOREMA A-1 :
Misalkan A suatu himpunan tidak kosong,
terhadap operasi penggandaan permutasi merupakan grup
BUKTI :
Definisi A-2:
Jika A={1,2,...,n} maka grup yang memuat semua permutasi dari A
dinamakan grup simetri pada n unsur dan disimbokan dengan Sn.
Grup simetri Sn memuat elemen sebanyak n!=n(n-1)(n-2)...
Terdapat hubungan yang menarik antara Sn dengan transformasi rotasi dan releksi (pencerminan) pada segi-n beraturan.
Perhatikan gambar berikut:
Kedua jenis permutasi tersebut (jenis
rotasi dan jenis refleksi) membentuk grup dihedral ketiga yang disimbolkan dengan
D3. Rotasi dan refleksi pada segi-n
beraturan membentuk grup dihedral ke-n
dan disimbolkan dengan Dn.
Grup Permutasi dari A = {1,2,3} dan
Contoh 1
BAB II ORBIT
&
CYCLE
Suatu permutasi Sn dinamakan cycle apabila paling banyak mempunyai satu orbit yang memuat elemen lebih dari satu.
Panjang cycle didefinisikan sebagai banyaknya elemen dalam orbit terbesar.
DEFINISI B-1
DEFINISI B-2
Berdasarkan Definisi B-2, suatu permutasi Sn dinamakan cycle apabila:
(i). tidak mempunyai orbit yang memuat lebih dari satu elemen, atau
(ii). hanya mempunyai satu orbit yang memuat lebih dari satu
elemen.
Cycle dalam suatu permutasi terbentuk dari orbit yang dihasilkan dari permutasi tersebut. Karena di dalam cycle, urutan diperhatikan sedangkan pada orbit urutan tidak diperhatikan, maka pada contoh (ii) orbit {1,3,4}={1,4,3}={4,1,3} dan seterusnya, tetapi cycle yang terbentuk dari permutasi tersebut adalah (1,3,4). Cycle (1,3,4) mempunyai arti yang sama dengan (4,1,3) dan (3,4,1) tetapi tidak dapat disimbolkan dengan (3,1,4). Dua buah cycle dinamakan saling asing apabila berasal dari dua orbit yang saling asing.
Setiap permutasi dari himpunan berhingga dapat dinyatakan sebagai hasil kali cycle yang
saling asing.
TEOREMA B-2
DEFINISI B-3
Suatu cycle dengan panjang 2 dinamakan transposisi.
TEOREMA B-3
Berdasarkan Teorema B-3 dapat ditunjukkan bahwa setiap permutasi hanya dapat dinyatakan sebagai hasil kali sejumlah ganjil saja atau sejumlah genap saja transposisi. Selengkapnya mengenai hal tersebut dituangkan dalam teorema berikut:
TEOREMA B-4
Tidak ada permutasi di Sn yang dapat diekspresikan sebagai hasil
kali sejumlah ganjil sekaligus sejumlah genap transposisi.
Berdasarkan Teorema B-3, banyaknya orbit dari τ dengan banyaknya orbit dari τ berbeda satu, sehingga τ mempunyai orbit sejumlah genap sekaligus sejumlah ganjil. Kontradiksi dengan banyaknya orbit dari τ adalah n yang sudah dapat ditentukan ganjil atau genap.
TEOREMA B-5
Jika n≥2 maka banyaknya permutasi genap dan
permutasi ganjil di Sn sama.
Contoh
LATIHAN
PENUTUP
Grup permutasi merupakan salah contoh grup tidak komutatif dan merupakan kajian yang menarik dalam pengkajian teori grup berhingga. Suatu permutasi dari himpunan A didefinisikan sebagai pemetaan bijektif dari A ke A.
Suatu permutasi Sn dinamakan cycle apabila paling banyak mempunyai satu orbit yang memuat elemen lebih dari satu. Panjang cycle didefinisikan sebagai banyaknya elemen dalam orbit terbesar.
Suatu permutasi dari himpunan berhingga dikatakan:
(i). Permutasi genap apabila dapat diekspresikan sebagai hasil kali sejumlah genap transposisi
(ii). Permutasi ganjil apabila dapat diekspresikan sebagai hasil kali sejumlah ganjil trasposisi.
Kesimpulan
Rekomendasi
Chapter book ini dapat direkomendasikan untuk mahasiswa
yang mengampu matakuliah struktur aljabar, selain tampilannya
menarik dan terdapat beberapa definisi serta teorema juga
diperjelas dengan penjelasan dari youtube yang dilampirkan.
REFERENSI
Saragih, Sahat. 2023. Struktur Aljabar 1. Larispa Indonesia. Medan.
Muniri. 2016. Struktur Aljabar. Kalimedia. Depok Sleman Yogyakarta.
Suryanti, Sri. 2017. Teori Grup (Struktur Aljabar 1). UMG Press.
Gresik.
Isnarto. 2008. Pengantar Struktur Aljabar 1. Semarang.
Iis Holisin, Himmatul Mursyidah. 2017. Struktur Aljabar 1.
Mavendra Pers. Surabaya.
Setiawan, Adi. 2014. Dasar-dasar Aljabar Modern: Teori Grup dan Teori Ring. Tisara GRAFIKA. Jawa Tengah.
Ardi Saputro, Bagus. “Grup Permutasi Diklis Dalam Permainan Suit”. Infinity. Vol 1. No 2. (2012). 153-158.
Priyo Darminto, Bambang. “Grup Permutasi”. 43-51.
Abdurahim, et, al. “ANALISIS PENYELESAIAN RUBIK 2X2 MENGGUNAKAN GRUP PERMUTASI”. Beta. Vol 4. No 2.
(2011). 151-161.
Newton. “KEKOMUTATIFAN PADA GRUP PERMUTASI”.
Jurnal Matematika UNAND. Vol 2. No 3. 73-76.
Febyola, et, al. “Order Unsur dari Grup S4”. Jurnal Matematika UNAND. Vol 6. No 1. 142-147.
Besar Prayitno, Iman. “Prosedur Permutasi Untuk Analisis PLS Multi-Grup”.Prosiding Seminar Nasional Matematik a, Universitas Jember. 19 November 2014. 116-120.
Miftah, et, al. “Teori Grup Pada Algoritma DES Dan Transformasi Wavelet Diskrit Dalam Program Aplikasi Keamanan Citra Digital”.
Jurnal Teknik Informasi dan Keamanan. Vol. 4 No. 1.
Garnadi, et, al. Survei Pola Grup Kristalografi Bidang Ragam Grafik Tradisional. JMA. Vol 11. No 2. 1-10.
Istiyani. “REPRESENTASI GRUP PERMUTASI PADA SISTEM KUANTUM BANYAK PARTIKEL”. 2009.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
