1
GRUP HINGGA NILPOTENT Patma dan Hery Susanto Universitas Negeri Malang Email: [email protected]
Abstract: Group is one of topics in abstract algebra. Group is a non empty set together with a binary operation which satisfying the conditions of group. If elements in are finite, then is finite group. If right coset of is same with it’s left coset then is normal subgroup of . A group called nilpotent if ( ) = for some ∈ ℤ . Where ( ) = { ∈ |[ , ] ∈
( ) for every ∈ }. And the smallest such is called the nilpotency class of . Nilpotent group discussion of this was written in a book of J.S Milne, in this paper the authors will describe these steps in proving theorems that discuss nilpotent group especially theorem which reads “A finite group is nilpotent if and only if every proper subgroup maximal of is normal”. In proving the theorem requires some theorems and lemmas supporting others. In this discussion, the authors found two lemmas which are not included in article Milne, that is “ Lets and is normal subgroup of finite group , and is direct product of and , then ( ) ( ) ⊆
( ) for every “ and “ Lets is proper subgrup of and ( ) is centre of such ( ) ⊂ , then ⁄ ( )( ⁄ ( )) = ( )⁄ ( )”. Two lemma is very helpful in proving the theorem.
Therefore, it can be conclude that A finite group is nilpotent if and only if every proper subgroup maximal of is normal.
Keyword: finite group, normal, nilpotent
Abstrak :Grup merupakan salah satu pokok bahasan pada aljabar abstrak. Grup adalah suatu himpunan tak kosong yang disertai dengan suatu operasi biner yang memenuhi kondisi-kondisi grup. Jika unsur-unsur di sebanyak hingga maka dikatakan bahwa grup hingga. Jika koset kanan dari sama dengan koset kirinya maka dikatakan bahwa merupakan subgrup normal dari . Suatu grup dikatakan nilpotent jika ( ) = untuk suatu . Dimana ( ) = { ∈ |[ , ] ∈ ( ) untuk setiap ∈ }. Dan bilangan bulat positif terkecil yang demikian disebut kelas nilpotent dari . Pembahasan tentang grup nilpotent ini telah ditulis dalam buku dari J.S Milne, pada tulisan ini peneliti akan menjabarkan langkah-langkah dalam membuktikan teorema-teorema yang membahas tentang grup nilpotent, khusunya teorema yang berbunyi “Suatu grup hingga adalah nilpotent jika dan hanya jika setiap subgrup sejati maksimal dari adalah normal”. Dalam membuktikan teorema tersebut membutuhkan beberapa teorema dan lemma pendukung yang lain. Dalam pembahasan ini, peneliti menemukan dua lemma yang tidak dicantumkan pada tulisan Milne, yaitu “ Misal dan merupakan subgrup normal dari grup hingga , dan merupakan hasil kali langsung (direct product) dari dan , maka ( ) ( ) ⊆ ( ) untuk setiap ” dan “Misalkan proper subgrup dari dan ( ) adalah center dari sehingga ( ) ⊂ , maka ⁄ ( )( ⁄ ( )) = ( )⁄ ( )”. Dua lemma ini sangat membantu dalam membuktikan teorema tersebut. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa suatu grup hingga adalah nilpotent jika dan hanya jika setiap subgrup sejati maksimal dari adalah normal.
Kata Kunci: grup hingga, normal, nilpotent
Grup merupakan salah satu topik kajian aljabar abstrak. Ilmu aljabar abstrak berkembang dengan pesat karena penerapan karakteristik dari bentuk-bentuk struktur aljabar tersebut banyak bermanfaat dalam pengembangan metode penyelesaian masalah yang bersifat abstrak dan sulit direpresentasikan melalui operasi aljabar biasa.
Seperti yang telah disebutkan sebelumya, salah satu yang dipelajari dalam ilmu aljabar abstrak adalah grup. Grup adalah suatu himpunan yang disertai dengan suatu operasi yang berlaku di dalamnya. Menurut Gallian (2010) suatu himpunan tak kosong
2
dapat disebut sebagai grup terhadap operasi yang dikenakan padanya jika berlaku sifat yakni, assosiatif, ada elemen satuan (identitas) untuk setiap elemen yang ada di , serta untuk setiap elemen di mempunyai invers terhadap operasinya.
Gilbert dan Gilbert (2009) juga mengatakan bahwa jika unsur-unsur di sebanyak hingga maka dikatakan bahwa grup hingga. Dalam struktur aljabar juga dikenal istilah koset. Menurut Gilbert dan Gilbert (2009), misalkan adalah subgrup dari grup . Dan untuk sebarang ∈ , himpunan = { ∈ | = ℎ, untuk suatu ℎ ∈ } disebut koset kiri dari di . Hal yang sama, disebut koset kanan dari di . Beliau juga menyebutkan jika koset kanan dari sama dengan koset kirinya maka dikatakan bahwa merupakan subgrup normal dari .
Misalkan ( ) merupakan center dari , dimana unsur-unsur di ( ) komutatif dengan semua unsur di , yaitu ( )= { ∈ | = , ∀ ∈ }. Jelas bahwa ( ) ⊆ , sekarang misalkan ( ) ⊂ merupakan subgrup dari sedemikian sehingga ∈ ( ) jika dan hanya jika [ , ] ∈ ( ), untuk semua ∈ atau ( ) = { ∈ | [ , ] ∈ ( ), untuk semua ∈ } dan ( ) = { ∈ | = , ∀ ∈ ( )}. Dapat dilihat bahwa himpunan ( ) tidak sama dengan himpunan
( ) . Lebih lanjut, diperoleh suatu barisan naik dari subgrup center (ascending central series), yaitu
{1} ⊂ ( ) ⊂ ( ) ⊂ ⋯
dimana ∈ ( ) jika dan hanya jika [ , ] ∈ ( ), untuk semua ∈ , dengan [ , ] = ( )( ) . Menurut Milne (2011) suatu grup dikatakan nilpotent jika ( ) = untuk suatu . Dan bilangan bulat positif terkecil yang demikian disebut kelas nilpotent dari . Pembahasan lebih jauh tentang grup nilpotent ditulis oleh J.S Milne pada bukunya yang berjudul Group Theory. Setelah membaca dan mencoba untuk memahami materi tentang grup nilpotent membuat penulis tertarik untuk melengkapi langkah-langkah pembuktian dari teorema-teorema yang berkaitan dengan grup nilpotent.
Salah satunya yaitu teorema yang berbunyi “Suatu grup hingga adalah nilpotent jika dan hanya jika setiap proper subgrup maksimal adalah normal.”
PEMBAHASAN Lemma 1
Misal dan merupakan subgrup normal dari grup hingga , dan merupakan hasil kali langsung (direct product) dari dan , maka
( ) ( ) ⊆ ( ) , ∀ ∈ ℤ Bukti :
Dengan menggunakan induksi, perhatikan bahwa - Untuk = 1, maka
( ) ( ) ⊆ ( ) Ambil sebarang ∈ ( ) ( )
Misal = ℎ dimana ℎ ∈ ( ) dan ∈ ( )
ℎ ∈ ( ) ⟹ ℎ = ℎ, ∀ ∈
∈ ( ) ⟹ = , ∀ ∈
Akan ditunjukkan ∈ ( )
Ambil sebarang ∈ , dengan = , ∈ dan ∈ Perhatikan,
= (ℎ )( ) = ℎ = ℎ = ( )(ℎ ) = Karena = untuk setiap ∈ maka ∈ ( )
Jadi, ( ) ( ) ⊆ ( ) ( Benar untuk = 1)
- Asumsikan benar untuk = , yaitu berlaku
( ) ( ) ⊆ ( )
3
- Akan ditunjukkan benar untuk = + 1, yaitu berlaku
( ) ( ) ⊆ ( )
Ambil sebarang ∈ ( ) ( ) Akan ditunjukkan ∈ ( )
Misal = ℎ dimana ℎ ∈ ( ) dan ∈ ( )
ℎ ∈ ( ) ⟺ [ℎ, ] ∈ ( ), ∀ ∈
∈ ( ) ⟺ [ , ] ∈ ( ), ∀ ∈ Perhatikan,
[ℎ, ][ , ] = (ℎ )( ℎ) ( )( )
= (ℎ )(ℎ )( )( )
= (ℎ )( )(ℎ )( )
= (ℎ )( )(ℎ )( )
= (ℎ )( )( ℎ )( )
= (ℎ )( )(ℎ ) ( )
=
= ( )
= [ , ]
Karena [ℎ, ] ∈ ( ) dan [ , ] ∈ ( ) maka [ℎ, ][ , ] = [ , ] ∈ ( ) ( ) ⊆ ( ) Jadi, ∈ ( )
Lemma 2
Hasil kali langsung (direct product) dari grup nilpotent adalah nilpotent Bukti :
Misal merupakan direct product dari grup nilpotent dan nilpoten ⟺ ( ) = untuk suatu ∈ ℤ
nilpoten ⟺ ( ) = untuk suatu ∈ ℤ Akan ditunjukkan ( ) = untuk suatu ∈ ℤ Jelas bahwa ( ) ⊆ untuk setiap
Sekarang ambil sebarang ∈
Misal = ℎ dimana ℎ ∈ dan ∈ Akan ditunjukkan ∈ ( )
Karena hasil kali langsung (direct product) dari dan maka
= = ( ) ( )
Pilih = { , } maka ( ) = dan ( ) =
Sehingga,
= = ( ) ( )
Berdasarkan Lemma 1 diperoleh bahwa ( ) ( ) ⊆ ( ) Padahal = , akibatnya
= ( ) ( ) ⊆ ( ) Sehingga, ∈ ( )
Jadi, ( ) = untuk suatu , yang berarti nilpotent Lemma 3 (Milne,2011:93)
Misalkan merupakan -subgrup sylow dari grup hingga . Untuk sebarang subgrup dari yang memuat ( ), berlaku ( ) =
Bukti :
4 grup hingga dan adalah -subgrup sylow dari
⊂ dengan ( ) ⊂ Akan ditunjukkan ( ) =
Karena ( ) subgrup normal terbesar yang memuat maka ⊂ ( ) Sekarang ambil sebarang ∈ ( ) maka
= .
Misal ′ adalah -subgrup sylow dari sehingga
= ⊂
Maka berdasarkan teorema sylow II diperoleh ℎ ℎ = untuk suatu ℎ ∈
Akibatnya,
ℎ ℎ =
Maka diperoleh ℎ ∈ ( ) ⊂ yang berarti ∈ Jadi, ( ) =
Lemma 4
Misalkan subgrup sejati dari dan ( ) adalah center dari sehingga ( ) ⊂ , maka
⁄ ( )( ⁄ ( )) = ( )⁄ ( ) Bukti :
Untuk membuktikan dua himpunan sama, akan ditunjukkan bahwa keduanya saling subset.
1. ( )⁄ ( )⊆ ⁄ ( )( ⁄ ( ))
Ambil sebarang ∈ ( )⁄ ( ), misal = ( ) dimana ∈ ( ) Akan ditunjukkan ∈ ⁄ ( )( ⁄ ( ))
Karena ∈ ( ), maka ∈ dan = . Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa ∈ ⁄ ( )( ⁄ ( )) harus ditunjukkan ∈ / ( ) dan
( ) = ⁄ ( )
⁄
Karena = ( ) dan ∈ , maka ∈ ⁄ ( ) Selanjutnya akan ditunjukkan ⁄ ( ) = ⁄ ( )
(i) ⁄ ( ) ⊆ ⁄ ( )
Ambil sebarang ∈ ⁄ ( ) , misal = dimana ∈ ( )
⁄ , misal = ℎ ( ), ℎ ∈ Akan ditunjukkan ∈ ⁄ ( )
Karena = ( ), ∈ dan = ℎ ( ), ℎ ∈ Perhatikan,
=
= ( ) ℎ ( ) ( ) = ( ℎ ) ( )
= ℎ ( ), untuk suatu ℎ ∈ Jadi, ∈ ⁄ ( )
Terbukti bahwa ⁄ ( ) ⊆ ⁄ ( ) (ii) ⁄ ( ) ⊆ ⁄ ( )
Ambil sebarang ∈ / ( ), misal = ( ), ∈ Akan ditunjukkan ∈ ⁄ ( )
Perhatikan,
= ( )
= ( ) ( ), untuk suatu ∈
5
= ( ) ( ) ( ) = ( )
Jadi, ∈ ⁄ ( )
Terbukti bahwa ⁄ ( ) ⊆ ⁄ ( )
Karena ⁄ ( ) ⊆ ⁄ ( ) dan ⁄ ( ) ⊆ ⁄ ( ) maka
( ) = ⁄ ( )
⁄ dan karena ∈ ⁄ ( ) diperoleh ∈
( )
⁄ ( ⁄ ( ))
Jadi, ( )⁄ ( )⊆ ⁄ ( )( ⁄ ( ))
2. ⁄ ( )( ⁄ ( )) ⊆ ( )⁄ ( )
Ambil sebarang ∈ ⁄ ( )( ⁄ ( )) Akan ditunjukkan ∈ ( )⁄ ( )
Karena ∈ ⁄ ( )( ⁄ ( )) maka ∈ ⁄ ( ) misal = ( ), ∈ dan ( ⁄ ( )) = ⁄ ( ) artinya
( ) ℎ ( ) ( ) = ⁄ ( )
{( ℎ ) ( )|ℎ ∈ } = {ℎ ( )|ℎ ∈ }
Karena = ( ), ∈ maka harus ditunjukkan bahwa ∈ ( ). Sehingga harus ditunjukkan bahwa =
(i) Akan ditunjukkan ⊆
Ambil sebarang ∈ , misal = ℎ , ℎ ∈ . Akibatnya ( ) ∈ ( ⁄ ( )) sehingga ( ) = ℎ ( ), untuk suatu ℎ ∈ . Perhatikan bahwa,
( ) = ( ℎ ) ( ) = ℎ ( )
Artinya, ( ℎ ) ℎ ∈ ( ) karena ( ) ⊂ maka
( ℎ ) ℎ ∈ , akibatnya ℎ = ∈
Jadi, ⊆
(ii) Akan ditunjukkan ⊆
Ambil sebarang ℎ ∈ akibatnya ℎ ( ) ∈ ⁄ ( )
Akan ditunjukkan ℎ ∈ yaitu ℎ = , untuk suatu ∈ . Karena ℎ ( ) = ( ℎ ) ( ), untuk suatu ℎ ∈ yang mengakibatkan ℎ ( ℎ ) ∈ ( ) ⊂
Perhatikan,
ℎ ( ℎ ) = ℎ ( ℎ )
ℎ (ℎ ) = ℎ ℎ
ℎ = ℎ ℎ (ℎ )
ℎ = ℎ ℎ ℎ
ℎ = ℎ ℎ ℎ
ℎ = (ℎ ℎ ℎ )
ℎ = (ℎ ℎ ℎ )
ℎ = (ℎ ℎ ℎ )
Pilih = ℎ ℎ ℎ ∈ sehingga ℎ = ∈
Jadi, ⊆
Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh bahwa = yang berarti ∈ ( ) sehingga ( ) = ∈ ( )/ ( ).
Jadi, ⁄ ( )( ⁄ ( )) ⊆ ( )⁄ ( ).
Dari 1) dan 2) dapat disimpulkan bahwa ⁄ ( )( ⁄ ( )) = ( )⁄ ( ). Lemma 5 (Milne,2011:93)
Jika subgrup sejati dari , misal grup hingga yang nilpotent, maka
6 ( ) ≠ Bukti :
Jika grup komutatif maka ( ) = dan ⊂ , akibatnya ( ) ≠
Sekarang asumsikan tidak komutatif, jelas bahwa ( ) ⊆ ( ) Kita perhatikan 2 kasus berikut :
- ( ) tidak dimuat di , dalam kasus ini ≠ ( )
- ( ) dimuat di , karena proper subgrup dari maka ⁄ ( ) merupakan proper subgrup dari ⁄ ( )
Oleh karena itu,
⁄ ( )≠ ⁄ ( )( ⁄ ( )) Padahal
⁄ ( )( ⁄ ( )) = ( ( )) ( ( ))⁄ Akibatnya,
( )
⁄ ≠ ( ) ( )
Jadi, ≠ ( )
Teorema 6 (Milne,2011:93)
Suatu grup hingga adalah nilpotent jika dan hanya jika sama dengan hasil kali langsung (direct product) dari subgrup Sylownya.
Bukti :
(⟸) Misal grup hingga dan adalah -subgrup Sylow dari , dimana = 1,2,3, … . Sehingga merupakan direct product dari subgrup Sylownya. Karena subgrup sylow adalah -subgrup maksimal dan berdasarkan teorema 2.6.10 diperoleh bahwa nilpotent dan berdasarkan lemma 2 di peroleh bahwa nilpotent.
(⟹) Misal grup hingga dan adalah -subgrup Sylow dari
Andaikan ada ⊂ dengan = ( ). Dan berdasarkan lemma 3 diperoleh bahwa
= ( )
padahal berdasarkan lemma 5 diketahui bahwa
≠ ( ) Kontradiksi, jadi =
Maka = ( ) akibatnya normal di . Karena normal di maka berdasarkan teorema 2.5.8 merupakan satu-satunya -subgrup Sylow, dan berdasarkan teorema 2.5.9 merupakan direct product dari -subgrup Sylownya.
Teorema 7 (Argument Frattini) (Milne,2011:93)
Misalkan adalah subgrup normal dari grup hingga dan misalkan adalah - subgrup sylow dari , maka
= ∙ ( ) Bukti :
Misalkan grup hingga dan ⊲ dan adalah -subgrup sylow dari Akan ditunjukkan ∙ ( ) ⊆ dan ⊆ ∙ ( )
- Ambil sebarang ∈ ∙ ( ) misal = ℎ dengan ℎ ∈ dan ∈ ( ).
ℎ ∈ ⊂ dan ∈ ( ) ⊂ Jadi, ℎ = ∈
- Ambil sebarang ∈
Karena -subgrup sylow maka juga -subgrup sylow Karena normal di maka
= Akibatnya
⊂ =
7 Berdasarkan teorema sylow II, ∃ℎ ∈ sehingga
= ℎ ℎ Sehingga
ℎ ℎ =
yang berarti ℎ ∈ ( ) Perhatikan,
ℎ ∙ (ℎ ) = (ℎℎ ) = ∈ ∙ ( ) Jadi, = ∙ ( )
Teorema Utama (Milne,2011:94)
Suatu grup hingga nilpotent jika dan hanya jika setiap proper subgrup maksimal adalah normal.
Bukti :
(⟹) Misalkan grup hingga nilpotent dan ⊂ , dengan maksimal Akan ditunjukkan normal di .
Berdasarkan lemma 5 diperoleh bahwa ⊂ ( ) dan maksimal ⟹ ( ) =
Selanjutnya akan ditunjukkan normal di .
Ambil sebarang ∈ karena ( ) = maka ∈ ( ) sehingga
= Yang berarti normal di
(⟸) Anggap setiap normal di dimana ⊂ dan maksimal Akan ditunjukkan : nilpotent
Misalkan adalah -subgrup sylow dari , maka merupakan -subgrup maksimal dari .
Andaikan tidak normal, maka ada ⊂ dimana maksimal sedemikian sehingga ( ) ⊂
Maka berdasarkan lemma 3, diperoleh bahwa normal. Dan berdasarkan teorema 7,
= ∙ ( ) karena ( ) ⊂ maka = . Hal ini kontradiksi bahwa ⊂ .
Jadi pengandaian salah, dan normal.
Karena normal maka berdasarkan teorema 2.5.8 merupakan satu-satunya -subgrup sylow, dan menurut teorema 2.5.9 direct product dari subgrup sylownya, akibatnya nilpotent.
PENUTUP
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Misal dan merupakan subgrup normal dari grup hingga , dan merupakan direct product dari dan , maka
( ) ( ) ⊆ ( ) untuk setiap = 1,2,3, …
2. Misalkan proper subgrup dari dan ( ) adalah center dari sehingga ( ) ⊂ , maka
⁄ ( )( ⁄ ( )) = ( )⁄ ( )
3. Suatu grup hingga nilpotent jika dan hanya jika sama dengan hasil kali langsung (direct product) dari subgrup Sylownya.
4. Misalkan adalah subgrup normal dari grup hingga dan misalkan adalah - subgrup sylow dari , maka
= ∙ ( )
8
5. Suatu grup hingga nilpotent jika dan hanya jika setiap proper subgrup maksimal adalah normal.
Saran
Berdasarkan kesimpulan yang dirumuskan di atas, serta keterbatasan tulisan ini, maka penulis memberikan saran kepada pembaca untuk meneruskan hasil tulisan ini dengan menelaah lebih lanjut mengenai sifat-sifat dari grup hingga nilpotent.
DAFTAR RUJUKAN
Arifin, Achmad. (2000). Aljabar. Bandung: ITB.
Milne, J.S. (2011). Group Theory (Version 3.11).
Gallian, Joseph. (2010). Contemporary Abstract Algebra. USA: Brooks/Cole Cengage Learning.
Gilbert, L & Jimmy,G. (2009). Elements of Modern Algebra. USA: Brooks/Cole Cengage Learning.
Rotman, Joseph. (2003). A First Coursein Abstract Algebra. New Jersey: Prentice Hall.
