TITIK TETAP DAN TITIK PERALIHAN DARI PANGKAT PERMUTASI PADA GRUP PERMUTASI REPOSITORY OLEH IKA FIKRIAWAN NIM

TITIK TETAP DAN TITIK PERALIHAN DARI PANGKAT PERMUTASI PADA GRUP PERMUTASI

REPOSITORY

OLEH

IKA FIKRIAWAN NIM. 12031121147

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU 2019

TITIK TETAP DAN TITIK PERALIHAN DARI PANGKAT PERMUTASI PADA GRUP PERMUTASI

Ika Fikriawan* dan Musraini M.

Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

∗ikaf ikriawan@gmail.com

ABSTRACT

This paper discusses the fixed points and transient points with power of permutation in group of permutations. The problem that is discussed in this paper is to determine the relation between fixed points with power of permutation and fixed points with another power in the same group of permutation. The same thing is done to transient points.

Keywords: Fixed points, transient points, group of permutations, power of permutation

ABSTRAK

Artikel ini membahas titik tetap dan titik peralihan pada grup permutasi.

Masalah yang diabahas dalam skripsi ini adalah untuk menentukan hubungan dari titik tetap dari pangkat permutasi dengan titik tetap dari pangkat lainnya pada grup permutasi yang sama. Hal yang sama juga ditunjukkan untuk titik peralihan.

Kata kunci: Titik tetap, titik peralihan, grup permutasi, pangkat permutasi

1. PENDAHULUAN

Struktur aljabar adalah himpunan atau beberapa himpunan yang dilengkapi dengan suatu operasi atau beberapa operasi yang memenuhi aksioma-aksioma (sifat-sifat) tertentu. Di dalam struktur aljabar harus memuat beberapa syarat yaitu himpunan atau beberapa himpunan, operasi atau beberapa operasi, dan aksioma-aksioma yang memenuhi. Struktur alajbar kemudian dibedakan menjadi beberapa tipe, salah satunya adalah grup.

Grup adalah salah satu struktur aljabar dengan satu himpunan; dan satu operasi, dengan syarat memiliki operasi biner, bersifat asosiatif, memuat elemen identitas, dan harus memiliki invers [5, h. 40]. Pada buku Hungerford [6, h. 23]

dikatakan bahwa grup merupakan salah satu dasar terpenting dalam pembelajaran aljabar. Pada grup, ada yang dikenal dengan grup permutasi. Grup permutasi adalah himpunan permutasi yang membentuk sebuah grup dengan operasi komposisi fungsi.

Misalkan S himpunan tak kosong, permutasi α pada S adalah pemetaan yang satu-satu sekaligus pada. Himpunan semua permutasi pada S dinotasikan dengan Sym(S) [2, h. 29]. Di dalam buku Durbin [1, h. 35] diterangkan bahwa Sym(S) dengan komposisi fungsi akan membentuk sebuah grup, yang disebut dengan grup permutasi pada S. Di dalam buku Gallian [3, h. 97] juga dijelaskan Sym(S) nonabellian ketika |S| ≥ 3.

Di dalam buku Gallian [3, h. 98] dijelaskan bahwa definisi cycle hanya untuk permutasi pada himpunan hingga, dan bukan untuk grup permutasi secara umum. Pada 2011, konsep tentang kekomutatifan pada permutasi disjoint diperkenalkan [8]. Kemudian konsep tentang kekomutatifan dalam permutasi semidisjoint diperkenalkan pada 2013 [9]. Pada kedua karya tersebut, titik tetap dan titik peralihan memilki peranan yang penting.

Pada artikel ini penulis membahas tentang himpunan titik tetap dari pangkat permutasi dengan pangkat lainnya untuk permutasi yang sama dalam grup permutasi dan hal yang sama untuk titik peralihan. Penelitian ini merupakan kajian ulang seluruhnya dari artikel Winton [10].

2. GRUP PERMUTASI

Pada bagian ini diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan grup permutasi yaitu permutasi, sikel, dan definisi grup permutasi.

Definisi 1 [8] Jika S adalah himpunan tak kosong, maka permutasi (simetri) α pada S adalah pemetaan satu-satu dan pada, α : S −→ S. Himpunan semua permutasi pada S dinotasikan dengan Sym(S). Jika S berhingga dengan orde n, maka Sym(S) ditulis dengan S_n, dan Sym(S) disebut sebagai himpunan dari permutasi-permutasi pada n buah elemen. Dalam hal ini S dapat ditulis S = {k}ⁿ_k=1. Jika n adalah bilangan bulat positif, maka permutasi α ∈ Sym(S) adalah cycle dengan panjang n jika dan hanya jika ada subhimpunan hingga {ai}ⁿ_i=1dari S sedemikian sehingga α (ai) = ai+1untuk 1≤ i ≤ n − 1, α (an) = a1, dan α(x) = x untuk setiap x∈ S − {ai}ⁿ_i=1. Dalam hal ini α dapat ditulis α = (a₁, a₂, . . . , a_n).

Selanjutnya, jika α ∈ Sym(S), m merupakan sebuah bilangan bulat positif, dan n adalah sebuah bilangan bulat, maka α^m adalah hasil kali dari α dengan dirinya sendiri sebanyak m kali, dan αⁿ = (α⁻¹)ⁿ = (αⁿ)⁻¹. Selanjutnya, α⁰ merupakan pemetaan identitas terhadap S. Pemetaan identitas pada S dinotasikan dengan 1_S Definisi 2 (Grup Permutasi) [1, h. 35] Himpunan semua permutasi tak kosong S atau Sym(S) adalah grup jika dioperasikan dengan komposisi fungsi, maka akan terbentuk grup yang disebut grup permutasi pada S, dan dinotasikan dengan Sym(S).

3. TITIK TETAP DAN TITIK PERALIHAN

Pada bagian ini diberikan konsep titik tetap dan titik peralihan pada grup permutasi. Juga diberikan beberapa teorema dan akibat yang berhubungan dengan konsep titik tetap dan titik peralihan.

Definisi 3 [10] Misalkan S adalah himpunan tak kosong, p, q ∈ S dan α ∈ Sym(S).

Misalkan p adalah titik tetap dari α jika dan hanya jika α(p) = p, sebaliknya q adalah titik peralihan dari α jika dan hanya jika α(q) ̸= q. Himpunan titik tetap dari α adalah F_α ={x ∈ S|α(x) = x}, dan himpunan titik peralihan dari α adalah T_α ={x ∈ S|α(x) ̸= x}.

Untuk pemahaman lebih lanjut tentang titik tetap dan titik peralihan, perhatikan ilustrasi berikut.

Misalkan diberikan

α =

( 1 2 3 4 1 3 2 4

) .

Titik tetap (F_α) dari permutasi α adalah α(x) = x. Dari permutasi yang diberikan, himpunan titik tetapnya adalah F_α = {1, 4} , dan titik peralihannya adalah α(x) ̸= x, sehingga Tα ={2, 3}.

Untuk setiap α ∈ Sym(S), S − Fα = T_α dan S − Tα = F_α. Akibatnya, jika F_α dan T_α tidak kosong, maka {Fα, T_α} adalah partisi S. Hal ini akan diperjelas pada Teorema berikut.

Teorema 4 [8] Misalkan α ∈ Sym(S).

(a) F_α dan T_α himpunan yang saling berkomplemen yang relatif terhadap S.

(b) Jika Fα dan Tα tak kosong, maka{Fα, Tα} adalah partisi dari S.

Bukti. Teorema ini telah dibuktikan pada artikel Winton tentang kekomutatifan

dalam grup permutasi [8]. 2

Selanjutnya diberikan Teorema 5 yang merupakan pengembangan dari Definisi 3.

Teorema 5 [8] Misalkan α ∈ Sym(S) dan x ∈ S.

(a) Jika x∈ Fα maka αⁿ(x)∈ Fα untuk setiap bilangan bulat n.

(b) Sebaliknya, jika αⁿ(x)∈ Fα untuk suatu bilangan bulat n, maka x∈ Fα. (c) Jika αⁿ(x)∈ Fα untuk suatu bilangan bulat n, maka αⁿ(x)∈ Fα untuk setiap

bilangan bulat n.

Bukti. Bukti teorema ini dapat dilihat pada artikel Winton [8]. 2

Akibat 6 [8] Misalkan α ∈ Sym(S) dan x ∈ S.

(a) Jika x∈ Tα, maka αⁿ (x) ∈ Tα untuk setiap bilangan bulat n.

(b) Sebaliknya, jika αⁿ (x) ∈ Tα untuk setiap bilangan bulat n, maka x∈ Tα. (c) jika αⁿ (x) ∈ Tα untuk beberapa bilangan bulat n, maka αⁿ (x) ∈ Tα untuk

setiap bilangan bulat n.

Bukti. Bukti teorema ini dapat dilihat pada artikel Winton [8]. 2 Selanjutnya bagian (a) dan (b) dari Teorema 5 dan Akibat 6 masing-masing dipadatkan untuk kasus n = 1. Dengan demikian ada akibat selanjutnya.

Akibat 7 [8] Misalkan α ∈ Sym(S) dan x ∈ S.

(a) Lalu x∈ Fα jika dan hanya jika α(x)∈ Fα.

(b) Selanjutnya, x∈ Tα jika dan hanya jika α(x)∈ Tα.

Bukti. Silahkan lihat artikel Winton [8]. 2

Contoh 1 Misalkan α ∈ Sym(S) dan x ∈ S. Diberikan S = {1, 2, 3, 4} dan α =

( 1 2 3 4 2 1 3 4

) .

Kemudian diperoleh F_α ={3, 4} dan Tα = {1, 2}. Dapat dilihat x ∈ Fα jika dan hanya jika α(x) ∈ Fα. Selanjutnya, x∈ Tα jika dan hanya jika α(x)∈ Tα.

4. TITIK TETAP DAN TITIK PERALIHAN DARI PANGKAT PERMUTASI PADA GRUP PERMUTASI

Selanjutnya diberikan teorema, lema dan akibat yang berhubungan dengan titik tetap dan titik peralihan dari pangkat permutasi pada grup permutasi.

Langkah pertama adalah menentukan himpunan titik tetap dan titik peralihan untuk permutasi pada Sym(S). Sebagai catatan, pemetaan identitas (1_s) pada sebuah himpunan tak kosong S memiliki peran penting sebagai elemen identitas pada Sym(S).

Teorema 8 [10] Jika S adalah sebuah himpunan tak kosong dan 1_sadalah pemetaan identitas pada S, maka F_1s = S dan T_1s =∅.

Bukti. Bukti untuk teorema ini dapat dilihat pada artikel Winton tentang titik tetap dan titik peralihan pada grup permutasi [10]. 2

Contoh 2 Misalkan S ={1, 2, 3, 4} dan pemetaan identitasnya 1s =

( 1 2 3 4 1 2 3 4

) .

Selanjutnya diperoleh F1s ={1, 2, 3, 4} = S, sehingga T1s = S−F1s = S−S = ∅.

Selanjutnya ditunjukkan untuk setiap permutasi pada S memiliki himpunan titik tetap yang sama dengan inversnya.

Lema 9 [10] Jika α ∈ Sym(S), maka Fα = F_α−1.

Bukti. Bukti Lema 9 dapat dilihat pada artikel Winton [10]. 2 Contoh 3 Misalkan

α =

( 1 2 3 2 3 1

)

, I_s =

( 1 2 3 1 2 3

) .

Karena α (α⁻¹) = I_s, maka

α⁻¹ =

( 1 2 3 3 1 2

) .

Kemudian diperoleh F_α ={} dan Fα⁻¹ ={}. Jadi, Fα = F_α−1.

Hal yang sama pada Lema 9 kemudian diterapkan pada titik peralihan.

Akibat 10 [10] Jika α ∈ Sym(S), maka Tα = T_α−1.

Bukti. Bukti dapat dilihat pada artikel Winton [10]. 2 Contoh 4 Misalkan

α =

( 1 2 3 2 1 3

)

, I_s =

( 1 2 3 1 2 3

) .

Karena α (α⁻¹) = Is, maka

α⁻¹ =

( 1 2 3 2 1 3

) .

Kemudian diperoleh T_α ={1, 2} dan Tα⁻¹ ={1, 2}. Jadi, Tα = T_α−1.

Lema 9 kemudian dijadikan dalam bentuk umum. Jika α adalah sebuah permutasi pada S, dan n adalah sebuah bilangan bulat, maka berdasarkan pada Definisi 2.10, α⁻ⁿ adalah invers dari αⁿ.

Teorema 11 [10] Jika α ∈ Sym(S), maka Fαⁿ = F_α−n untuk setiap bilangan bulat n.

Bukti. Karena α ∈ Sym(S), maka αⁿ ∈ Sym(S). Berdasarkan Definisi 2.10, (αⁿ)⁻¹ = α⁻ⁿ sehingga

F_αⁿ = F_(αⁿ₎−1

= F_α−n

F_αⁿ = F_α−n.

Jadi, F_αⁿ = F_α−n untuk semua bilangan bulat n. 2 Berdasarkan Lema 9 dan Akibat 10, hal yang sama pada Teorema 11 kemudian diterapkan pada titik peralihan.

Akibat 12 [10] Jika α ∈ Sym(S), maka Tαⁿ = T_α−n untuk setiap bilangan bulat n.

Bukti. Karena n adalah sebuah bilangan bulat, maka berdasarkan Teorema 4 Tαⁿ = S− Fαⁿ

= S− Fα⁻ⁿ (Teorema 11) T_αⁿ = T_α−n (Teorema 4).

Jadi, T_αⁿ = T_α−n untuk setiap bilangan bulat n. 2 Selanjutnya dibahas tentang hubungan antara himpunana titik tetap dari permutasi α pada himpunan tak kosong S dengan himpunan titik tetap dari permutasi α berpangkat bilangan bulat n.

Teorema 13 [10] Jika α ∈ Sym(S), maka Fα ⊆ Fαⁿ, untuk setiap bilangan bulat n.

Bukti. Bukti dari teorema ini juga dapat dilihat pada artikel Winton [10]. 2 Contoh 5 Diberikan S = {1, 2, 3}, dengan n = 2. Misalkan

α =

( 1 2 3 1 3 2

)

diperoleh F_α ={1}. Selanjutnya α² =

( 1 2 3 1 2 3

) ,

sehingga diperoleh F_α² ={1, 2, 3}. Jadi, Fα ⊆ Fα².

Hal yang sama pada Teorema 13 kemudian diterapkan untuk menentukan hubungan yang terdapat pada titik peralihan.

Akibat 14 [10] Jika α ∈ Sym(S), maka Tαⁿ ⊆ Tα, untuk setiap bilangan bulat n.

Bukti. Bukti dapat dilihat pada artikel Winton [10]. 2 Contoh 6 Diberikan S = {1, 2, 3}, dengan n = 2. Misalkan

α =

( 1 2 3 1 3 2

)

diperoleh T_α ={2, 3} . Selanjutnya α² =

( 1 2 3 1 2 3

) ,

sehingga diperoleh T_α² ={}. Jadi, Tα² ⊆ Tα.

Selanjutnya ditunjukkan jika α adalah permutasi pada himpunan tak kosong S, dengan x ∈ S, m bilangan bulat tak nol, α^m(x) = x, n adalah sebuah bilangan bulat, dan r adalah sisa terkecil dari n modulo |m|, maka αⁿ(x) = α^r(x).

Lema 15 [10] Misalkan α ∈ Sym(S), m bilangan bulat tak nol, n sebuah bilangan bulat, dan x∈ Fα^m, maka αⁿ(x) = α^{n(mod |m|)} (x).

Bukti. Bukti dari Lema 15 dapat dilihat pada artikel Winton [10]. 2

Contoh 7 Misalkan n = 4 dan m = 2, Selanjutnya ditunjukkan α⁴(x) = α^{4(mod |2|)}(x).

α^n(mod|m|) = α^{4(mod |2|)}(x)

= α^{4(mod 2)}(x) α^n(mod|m|) = α²(x).

Misalkan

α =

( 1 2 3 1 3 2

) ,

sehingga

α² =

( 1 2 3 1 2 3

)

, α⁴ =

( 1 2 3 1 2 3

) .

Dapat dilihat α² = α⁴ Jadi, α⁴(x) = α^{4(mod |2|)}(x) = α²(x).

Selanjutnya dijelaskan bentuk umum dari Teorema 13. Teorema 13 merupakan bentuk khusus untuk kasus m = 1 dari teorema selanjutnya.

Teorema 16 [10] Misalkan S adalah sebuah himpunan tak kosong, α ∈ Sym(S), dan m, n adalah bilangan bulat. Jika m|n maka Fα^m ⊆ Fαⁿ.

Bukti. Pembuktian dari teorema ini dapat dilihat pada artikel Winton [10]. 2 Contoh 8 Diketahui m = 2dan n = 4, sehingga 2|4. Misalkan

α =

( 1 2 3 1 3 2

) ,

sehingga

α² =

( 1 2 3 1 2 3

)

, α⁴ =

( 1 2 3 1 2 3

) .

Kemudian diperoleh F_α² ={1, 2, 3} = Fα⁴. Jadi, jika 2|4, maka Fα² ⊆ Fα⁴.

Perlu diketahui bahwa kebalikan dari kasus pada Teorema 16 tidak berlaku.

Perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 9 Diketahui m = 3 dan n = 4, misalkan α =

( 1 2 3 1 3 2

) ,

sehingga

α³ =

( 1 2 3 1 3 2

)

, α⁴ =

( 1 2 3 1 2 3

) .

Kemudian diperoleh F_α³ ={1} dan Fα⁴ ={1, 2, 3}. Dengan demikian Fα³ ⊆ Fα⁴, tetapi 3- 4. Jadi kebalikan dari Teorema 16 tidak berlaku.

Selanjutnya hal yang sama pada Teorema 16 diterapkan untuk menunjukkan hubungan pada titik peralihan.

Akibat 17 [10] Misalkan S adalah sebuah himpunan tak kosong, α ∈ Sym(S), dan m, n adalah bilangan bulat. Jika m|n maka Tαⁿ ⊆ Tα^m.

Bukti. Silahkan lihat artikel Winton Winton [10]. 2 Contoh 10 Diketahui m = 1 dan n = 3, sehingga 1|3. Misalkan

α =

( 1 2 3 1 3 2

) ,

sehingga

α³ =

( 1 2 3 1 3 2

) .

Kemudian diperoleh T_α^m = T_α ={2, 3} = Tαⁿ = T_α³. Jadi, jika 1|3 maka Tα³ ⊆ Tα

Sama halnya dengan Teorema 16, kebalikan dari kasus pada Akibat 17 juga tidak berlaku.

Contoh 11 Diketahui m = 3 dan n = 4, misalkan α =

( 1 2 3 1 3 2

) ,

sehingga

α³ =

( 1 2 3 1 3 2

)

, α⁴ =

( 1 2 3 1 2 3

) .

Kemudian diperoleh T_α³ = {2, 3} dan Tα⁴ = {}. Sehingga Tα⁴ ⊆ Tα³ tetapi 3 - 4.

Jadi, kebalikan dari Akibat 17 tidak berlaku.

Berdasarkan Teorema 16, jika α ∈ Sym(S) dan n adalah bilangan bulat, maka 1|n. Karena Fα = F_α¹ ⊆ Fαⁿ, maka dapat disimpulkan bahwa Teorema 13 merupakan kasus spesial untuk m = 1 pada Teorema 16. Selanjutnya, karena 1|n, maka berdasarkan Akibat 17, T_αⁿ ⊆ Tα¹ = T_α. Dengan demikian, Akibat 14 juga merupaka kasus spesial untuk m = 1 pada Akibat 17. Selain itu, berdasarkan Teorema 4, jika kebalikan dari kasus pada titik tetap tidak berlaku, maka hal yang sama juga terjadi pada titik peralihan. Hal ini dapat dilihat pada kasus Teorema 16 dan Teorema 16.

5. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil pembahasan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa titik tetap dan titik peralihan memiliki nilai yang sama dengan inversnya. Selanjutnya pada pangkat yang berbeda, titik tetap dengan pangkat tertentu merupakan himpunan bagian dari pangkat lainnya jika memenuhi syarat-syarat tertentu. Sedangkan pada titik peralihan, hubungannya merupakan kebalikan dari titik tetap.

Selain itu, jika kebalikan dari kasus pada titik tetap tidak berlaku, maka kebalikan untuk titik peralihan juga tidak berlaku pada kasus yang sama.

DAFTAR PUSTAKA

[1] J. R. Durbin, Modern Algebra: An Introduction, Sixth Edition, John Wiley dan Sons, New York, 2009.

[2] D. S. Dummit dan R. M. Foote, Abstract Algebra, Third Edition, John Wiley dan Sons, New York, 2004.

[3] J. A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, Seventh Edition, Brook/Cole, Boston, 2010.

[4] J. Gilbert dan L. Gilbert, Elements of Modern Algebra, Seventh Edition, Brook/Cole, Boston, 2009.

[5] I. N. Herstein, Abstract Algebra, Third Edition, Prentice-Hall, London, 1996.

[6] T. W. Hungerford, Algebra, Springer-Verlag, New York, 1974.

[7] T. Koshi, Elements Number Theory with Application, Second Edition, Elsevier, Boston, 2007.

[8] R. Winton, Commutativity in permutation groups, Journal of Mathematical Sciences and Mathematics Education, 6 (2011), 1-7.

[9] R. Winton, Semidisjoint permutations, Journal of Mathematical Sciences and Mathematics Education, 8 (2013), 1-11.

[10] R. Winton, Fixed points and transient points in permutation groups, Journal of Mathematical Sciences and Mathematics Education, 9 (2014), 1-8.