GRUP PERMUTASI DAN SIFAT SIFATNYA

(1)

GRUP PERMUTASI DAN SIFAT-SIFATNYA

A. Pendahuluan

Pertemuan ketiga ini akan dibahas grup permutasi, yaitu grup dari

fungsi-fungsi bijektif pada himpunan berhingga. Target pertemuan ketiga

adalah:

a. dapat membentuk grup permutasi

b. menjelaskan sifat-sifat grup permutasi

c. menentukan order elemen dalan grup permutasi

d. menentukan dan membuktikan sifat-sifat order suatu elemen

B. Grup Permutasi

Jika diberikan himpunan berhingga A3 = {1, 2, 3}, cobalah dibuat

fungsi bijektif yang mungkin !

(1) (123) (12)

Lengkapilah fungsi bijektif lainnya. Berapa banyak fungsi bijektif dari A3 ke A3?

Definisi : permutasi

Fungsi bijektif dari himpunan n symbol ke himpunan itu sendiri disebut

permutasi.

•1 •2 •3 1•

2•

3•

•1 •2 •3 1•

2•

3• •1

•2 •3 1•

2•

(2)

Jika An = {1, 2, 3, …, n } maka suatu fungsi berikut :

1 → f(1) = j1

2 → f(2) = j2

3 → f(3) = j3

M M

n → f(n) = jn

merupakan permutasi jika f bijektif dan ji ∈ An untuk i = 1, 2, 3, …, n

Permutasi tersebut disajikan dengan notasi dua baris berikut ini :













n

j

n

L

3 2 1

3

2

1

Jika kita himpun fungsi-fungsi bijektif dari A3 ke A3, didapatlah himpunan

permutasi, S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}. Kalian masih ingat operasi

komposisi fungsi?

Catatan :

operasi komposisi (23)°(132) misalnya, ditulis dengan (132).(23) = (12)

(1) (12) (13) (23) (123) (132)

(1) (1) (12) (13) (23) (123) (132)

(12) (12) (1)

(13) (13) (132) (123)

(23) (23) (132)

(123) (123)

(132) (132) (123)

Cobalah lengkapi table

Cayley di samping,

selanjutnya tentukan

elemen identitasnya, dan

tentukan pula invers

semua elemen dalam S

3

.

Ingat : komposisi fungsi mempunyai sifat asosiatif

Jadi, S3 terhadap komposisi fungsi merupakan grup, yang selanjutnya disebut

(3)

Jika A1 = {1} maka banyaknya fungsi bijektif dari A1 ke A1 adalah 1 = 1! ,

yaitu (1) sehingga S1 = { (1) }

Jika A2 = {1, 2} maka banyaknya fungsi bijektif dari A2 ke A2 adalah 2 =

2!, yaitu (1) , (12), sehinga dipunyai S2 = {(1), (12)}

Jika A3 = {1, 2, 3} maka banyaknya fungsi bijektif dari A3 ke A3 adalah 6

= 3!, sehingga diperoleh S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}

Jika A4 = {1, 2, 3, 4} maka berapa banyak fungsi bijektif dari A4 ke A4?

Sebutkan elemen-elemen dalam S4.

Secara umum, jika An = {1, 2, 3, ….., n} maka banyaknya fungsi bijektif

dari An ke An adalah n!, sehingga banyaknya anggota Sn juga n!.

Cobalah kerjakan beberapa latihan soal berikut :

Jika f = (1436), g = (253) maka tentukan :

i. f.g ; ii. g.f; iii. Fungsi bijektif h sehingga f.h = g;

iv. fungsi k sehingga k.f = g; v. f.g.f-1; vi. g.f.g-1

C. Order atau Periode Suatu Elemen dalam Grup

Definisi :

Misalkan G suatu grup dan m suatu bilangan bulat positif maka:

a. am = aoaoaoL oa sebanyak m faktor

b.

m m

a

−

=

(

−1

)

_dengan −1

a _{adalah invers dari}a

c.

a

0

=

e

dengan e elemen identitas

Catatan : am =a+a+a+L +a=majika grup G dengan operasi penjumlahan

Teorema

Misalkan G suatu grup, m dan n sembarang bilangan-bilangan bulat, maka

G a∈

∀ berlaku : (i) m n m n

a a

a o = + dan (ii) m n mn

(4)

Bukti:

(i)karena m dan n merupakan bilangan bulat maka terdapat lima kemungkinan :

Keadaan I : m dan n keduanya bilangan bulat positif

Keadaan II : m dan n keduanya bilangan bulat negatif

Keadaan III : m bilangan bulat positif , n bilangan bulat negatif dan m > n

Keadaan IV : m bilangan bulat positif, n bilangan bulat negatif dan m < n

Keadaan V : m bilangan bulat positif, n bilangan bulat negatif dan m = n

Beberapa kemungkinan di atas dibuktikan sebagai contoh, sedangkan keadaan

yang lain silakan dibuktikan sebagai latihan mahasiswa, demikian juga untuk

teorema poin ii. :

• Keadaan II : m dan n keduanya bilangan bulat negatif, maka m=−p& n = -q

untuk suatu p dan q bilangan-bilangan bulat positif.

n

(5)

n

selanjutnya :

coba tentukan bilangan bulat m sehingga (132)m = (1).

(6)

Bagaimana kalian menentukan (1235)3; [(236)(15)]4

Tentukan bilangan bulat terkecil k, sehingga [(236)(15)]k = (1)

Definisi : order (periode) elemen suatu grup dan order grup

1. Diberikan G adalah grup dan a ∈ G, order atau periode dari a ditulis

p(a), didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil katakan k,

sedemikian sehingga ak = e, dengan e = elemen identitas dalam G.

DKL.: p(a) = k ⇔ k bilangan bulat positif terkecil, sehingga ak = e.

2. Jika G grup dengan m buah elemen maka dikatakan G berorder m,

dinotasikan o(G) = m. dengan kata lain order suatu grup G adalah

banyaknya elemen dalam G.

Catatan :

jika tidak ada bilangan positif terkecil k ∋ ak = e, maka dikatakan p(a) = 0.

Teorema :

Jika p(a) = k maka p(a-1) = k

Bukti : sebagai latihan mahasiswa

Contoh :

Z50 = {1, 2, 3, 4} = himpunan bilangan bulat modulo 5 selain 0, terhadap

pekalian modulo 5 merupakan grup. Tentukan order setiap elemen dalam Z5 0

.

Jawab :

§ Jelas p(1) = 1

§ 22 = 4, 23 = 3, 24 = 1, jadi p(2) = 4

§ Karena 2-1 = 3 maka p(3) = 4

(7)

Tugas Mandiri :

Latihan Soal :

I. Tentukan order setiap elemen dalam grup berikut :

1. Z110 = {1, 2, 3, ….., 10 } = grup dari bilangan bulat modulo 11 selain 0

2. G = {1, -1, i, -i} terhadap operasi perkalian biasa

3. S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}

4. Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = grup dari bilangan bulat modulo 6

II. Jika diketahui α = (1 3 5 2) dan β = (1 5 7 9) maka tentukan :

i. αβα-1; ii. periode α dan β; iii. β-1;