Grup USp(2n ,ℂ)
Kevin Frankly Samuel Pardede1
1Institut Teknologi Bandung
Definisi beserta pembuktian sifat grup USp(2n , ℂ) akan diberikan. Untuk kasus n=1, pembuktian bahwa grup USp(2, ℂ) adalah sebuah grup Lie yang kompak beserta dengan parameterisasi dan generator dari grup bersangkutan akan diberikan. Untuk kasus lebih umum, pendefinisian alternatif yang berhubungan dengan bilinear form yang skew-symmetric dan nondegenerate diberikan, dan akan digunakan untuk membuktikan bahwa USp(2n , ℂ) adalah grup matriks Lie.Kemudian, isomorfisma USp(2n , ℂ)≃Sp (n) akan dibuktikan, dan akan digunakan untuk membuktikan bahwa USp(2n , ℂ) adalah grup matriks Lie yang kompak. Beberapa sifat terkait grup Sp (2n ) akan diberikan. Terakhir, hubungan antara spinor dan USp(2, ℂ) akan ditunjukkan.
1. Definisi dan Parameterisasi Grup USp ( 2, ℂ )
Pada awal bagian ini, kita akan mendefinisikan beberapa grup matriks yang nantinya akan kita gunakan untuk mendefinisikan grup USp(2, ℂ) . Lebih jauh lagi, kita akan memberikan pembuktian formal mengenai sifat grup dari himpunan USp(2, ℂ) (pembaca yang tidak tertarik dapat melewatkan bagian ini). Untuk itu, kita akan menggunakan beberapa teorema berikut :
Teorema 1.1
Sebuah himpunan bagian tidak kosong
Adari sebuah grup
Gadalah sebuah subgrup dari
Gjika untuk setiap
x , y ∈ A,
xy−1∈A.
Teorema 1.2
Jika
A,
Badalah subgrup dari
G, maka
G∩ Hadalah subgrup dari
G.
Secara umum, grup symplectic Sp (2n , F ) adalah grup matriks (dengan operasi berupa perkalian matriks)
An ×ndengan elemen dari medan
F, yang memenuhi :
ATΩA=Ω
, (1)
dengan
Ω= ( − 0 I
nn0 I
nn) . (2)
Dengan mendefinisikan 1
Fdan 0
Fsebagai identitas operasi perkalian dan penjumlahan secara berturut-turut di medan
F, kita dapat mendefinisikan matriks identitas dan matriks 0 penyusun Ω seperti berikut :
I
n=diag ( 1 ⏟
F, 1
F, ... , 1
F)
n
, (3)
dan
(0n)ij=0F
(4) untuk semua pasangan
i , j. Dengan definisi tersebut kita dapat melihat bahwa Ω
2=−I
ndan
det(Ω)=1 .
Sekarang akan dibuktikan bahwa himpunan Sp (2n , F ) , adalah sebuah grup matriks. Dari definisi (1) dapat dilihat bahwa det ( A)=±1 , sehingga Sp (2n , F )⊂GL(n , F ) , dan karena I
n∈Sp(2n , F ) , maka himpunan Sp (2n , F ) tidaklah kosong. Ambil sembarang A , B ∈Sp(2n , F ) , perhatikan bahwa
( AB
−1)
TΩ AB
−1=( B
−1)
TA
TΩ A B
−1=( B
−1)
TΩ B
−1= Ω
,
yang berakibat AB
−1∈S
p( 2n , F ) sehingga dari teorema 1, terbukti bahwa Sp (2n , F ) adalah subgrup dari GL(n , F ) .
Sebagai contoh, perhatikan bahwa Sp (2, ℂ) adalah grup yang beranggotakan matriks 2x2 yang mempunyai determinan 1.
Grup unitary U (n) adalah grup matriks kompleks (dengan operasi berupa perkalian matriks)
An ×n, yang memenuhi :
AA
*= I
n, (5)
dengan A
*adalah matriks yang merupakan hasil kompleks konjugasi sekaligus transposisi dari matriks A . Dari definisi diketahui bahwa U (n)⊂GL(n , ℂ) , dan karena I
n∈U (n) , maka himpunan U (n) bukanlah himpunan kosong . Ambil sembarang A , B ∈U (n) , perhatikan bahwa
( A B
−1)( AB
−1)
*= AB
−1( B
−1)
*A
*A(B
*B)
−1A
*= A A
*= I
n,
mengakibatkan AB
−1∈ U (n) , sehingga dari teorema 1, terbukti bahwa U (n) adalah subgrup dari GL(n ,ℂ) .
Pada kasus khusus dimana medan F =ℂ pada grup symplectic, kita dapat mendefinisikan grup USp(2n ,ℂ) sebagai himpunan matriks yang memenuhi sifat (1) dan (5) , yang berarti :
USp(2n ,ℂ)≡Sp(2n , ℂ)∩U (2n) , (6)
sehingga karena USp(2n ,ℂ) merupakan irisan dari dua buah grup yang tidak menghasilkan
himpunan kosong (karena I
n∈Sp(2n , ℂ)∩U (2n) ), jelaslah dari teorema 2 bahwa USp(2n ,ℂ)
merupakan grup.Pada kasus n=1 , A∈USp(2, ℂ) jika matriks A= ( a b c d ) memenuhi :
ad −bc=1
∣ a∣
2+∣ b∣
2=1
∣ c∣
2+∣d∣
2=1 a c+b d =0
. (7)
Dapat diperiksa bahwa syarat (7) adalah syarat yang sama didapat untuk grup SU (2) , sehingga pastilah USp(2, ℂ) isomorfik dengan SU (2) .Dengan menyelesaikan persamaan (7), kita mendapatkan syarat berikut :
A=
(
−b aa b) . (8)
Sebagaimana SU (2) , USp(2, ℂ) mempunyai generator berupa :
i σ
1=i ( 0 1 1 0 ) , i σ
2= i ( 0 −i i 0 ) , i σ
3=i ( 1 0 −1 0 ) , (9)
dengan σ
1,σ
2,σ
3adalah matriks-matriks Pauli.Didapat berbagai parameterisasi dari grup USp(2, ℂ) adalah sebagai berikut :
A
1(φ)= ( cos φ i sin φ
i sin φ cosφ ) , A
2(ϕ)= ( e 0
i ϕe
−i ϕ0 ) , A
3(θ)= ( cos θ sin θ
sin θ cosθ ) . (10)
Sekarang kita membuktikan bahwa USp(2, ℂ) adalah grup Lie yang kompak. Sebagai ilustrasi , perhatikan parameterisasi
A2(φ).Dari parameterisasi tersebut dapat dilihat bahwa :
A(φ)= ( 0 e
i φ0 e
−i φ) = ( e
i (φ+2 π k)0
0 e
−i (φ+2 π k)) = A(φ+2 π k ) , (11)
yang memberikan kita dugaan bahwa topologi yang mendasari parameterisasi ini adalah topologi S
1(1-sphere).Terlebih juga, kita dapat mendefinisikan operasi grup (perkalian matriks) melalui pemetaan smooth f : S
1×S
1→ S
1yang didefinisikan f (φ
1, φ
2)=φ
1+φ
2, beserta operasi invers melalui pemetaan smooth g (φ)=−φ . Dengan cara serupa, untuk parameterisasi lainnnya kita dapat mendefinisikan operasi grup dan invers melalui pemetaan smooth, dengan topologi yang sama yaitu
S1. Karena bentuk khusus dari M ∈USp(2,ℂ) adalah
M = A1A2A3dapat disimpulkan bahwa USp(2, ℂ) adalah grup Lie yang diparameterisasi oleh S
3(3-sphere).
Selanjutnya untuk membuktikan bahwa
S3adalah topologi yang kompak kita memerlukan teorema-teorema berikut ini :
Teorema 1.3
Daerah hasil pemetaan kontinu dari suatu ruang topologi kompak merupakan topologi kompak.
Teorema 1.4
Produk kartesian dari ruang topologi kompak adalah kompak.
(untuk pembuktian mengenai teorema 1.3 dan khususnya teorema 1.4, bisa dilihat di teorema 26.5
dan 26.7 secara berurutan di [4] )
Sekarang, dari teorema Heine Borel kita tahu bahwa interval tertutup [a , b]∈ℝ adalah kompak.
Dengan memandang
[a , b]sebagai order topology kita bisa mendefinisikan pemetaan kontinu f :[a , b]→ S
1sebagai f (x )=x . Berdasarkan teorema 1.3 disimpulkan S
1adalah topologi kompak, dan karena S
3adalah produk dari S
1maka dari teorema 1.4 disimpulkan bahwa S
3adalah topologi kompak.
Dengan demikian, karena topologi yang mendasari USp(2n ,ℂ) adalah kompak, disimpulkan bahwa USp(2, ℂ) adalah grup Lie yang kompak.
2. Grup USp ( 2n ,ℂ ) dan hubungannya dengan grup Sp(n)
Sebelumnya, dengan memanfaatkan parameterisasi,telah ditunjukkan bahwa USp(2, ℂ) adalah sebuah grup Lie. Untuk kasus yang lebih umum USp(2n ,ℂ) , akan lebih sulit memberikan pembuktian mengenai sifat grup USp(2n ,ℂ) sebagai sebuah grup Lie, karena kita tidak dapat dengan mudah melihat parameterisasi eksplisitnya. Sebelumnya kita memerlukan definisi berikut : Definisi 2.1
Grup matriks Lie G , adalah sebuah subgrup dari GL(n ,ℂ) yang memenuhi persyaratan berikut : Jika A
madalah sembarang barisan matriks di G yang konvergen ke matriks A , maka A∈G atau
A∉GL(n ,ℂ) . [3]
Dari definisi, tidaklah jelas bahwa sebuah grup matriks Lie merupakan sebuah grup Lie (konvers tidak berlaku). Untuk itu, fakta tersebut kita angkat menjadi sebuah teori berikut :
Teorema 2.2
Jika
Gadalah sebuah grup matriks Lie maka
Gadalah sebuah grup Lie.
Untungnya, kita dapat membuktikan bahwa USp(2n ,ℂ) adalah sebuah grup matriks Lie . Untuk itu kita memerlukan pendefinisian berikut. Definisikan sebuah billinear form yang skew- symmetric dan nondegenerate B di ℂ
2nsebagai berikut :
B[ x , y ]= ∑
k=1 n
x
ky
n+k− x
n+ky
k, (12)
dengan x , y adalah sembarang vektor berelemen bilangan kompleks.Akan ditunjukkan bahwa matriks M ∈GL(2n , ℂ) adalah anggota dari Sp (2n ,ℂ) jika dan hanya jika
B[ Mx , My]= B[ x , y ]