Least Square dan Regresi Korelasi

(1)

Least Square dan Regresi Korelasi (TM12 , contoh soal)

Metode Least Square (Kuadrat Terkecil).

Metode ini paling sering digunakan untuk meramalkan Y, karena perhitungannya lebih teliti.

Persamaan garis trend yang akan dicari ialah Y ‘ = a0 +bx

a = (Y) / n b = (Yx) / x² dengan :

Y ‘ = data berkala (time series) = taksiran nilai trend.

a0 = nilai trend pada tahun dasar.

b = rata-rata pertumbuhan nilai trend tiap tahun.

x = variabel waktu (hari, minggu, bulan atau tahun).

Untuk melakukan penghitungan, maka diperlukan nilai tertentu pada variabel waktu (x) sehingga jumlah nilai variabel waktu adalah nol atau x = 0.

Untuk n ganjil maka n = 2k + 1  X k+1 = 0

 Jarak antara dua waktu diberi nilai satu satuan.

 Di atas 0 diberi tanda negatif

 Dibawahnya diberi tanda positif.

Untuk n genap maka n = 2k  X ½ [k+(k+1)] = 0

 Jarak antara dua waktu diberi nilai dua satuan.

(2)

CONTOH SOAL:

Tentukanlah persamaan trend linier jumlah karet (ton) yang dimuat di Pelabuhan Tanjung Priok tahun 2010 – 2015.

TAHUN Y (barang) X (waktu) YX X^2

2010 10 -5 -50 25

2011 12 -3 -36 9

2012 15 -1 -15 1

2013 9 1 9 1

2014 11 3 33 9

2015 14 5 70 25

71 11 70

Berdasarkan tabel tersebut data tahun sebanyak 6 tahun sehingga diperoleh: n = 6

Untuk n genap maka n = 2k  k = n/2 = 6/2 = 3  X ½ [k+(k+1)]

= X ½ [3+(3+1)]

= X ½ [3+(4)]

= X 7/2 = X 3,5 = 0

(3)

 Jarak antara dua waktu diberi nilai dua satuan.

Artinya Tahun dasar nol terletak antara tahun ke 3 dan ke 4 (tahun 2012 dan tahun 2013). Sehingga tidak terlihat di tabel tersebut untuk X = 0.

Dengan data dari Tabel tersebut diperoleh perhitungan:

a = (Y) / n = 71 / 6 = 11,83 b = (Yx) / x² = 11 / 70 = 0,16

sehingga diperoleh persamaan trend:

Y ‘ = a⁰ +bx  Y ‘ = 11,83 + 0,16 x

Jika ditanyakan Tahun 2009 (artinya X = – 7) maka diperoleh:

Y ‘ = 11,83 + 0,16 x = 11,83 + 0,16 (-7) = 11,83 – 1,12 = 10,71

Jika ditanyakan Tahun 2017 (artinya X = 9) maka diperoleh:

Y ‘ = 11,83 + 0,16 x = 11,83 + 0,16 (9) = 11,83 + 1,44 = 13,27

CONTOH SOAL:

Tentukanlah persamaan trend linier jumlah karet (ton) yang dimuat di Pelabuhan Tanjung Priok tahun 2010 – 2016.

(4)

TAHUN Y (barang) X (waktu) YX X^2

2010 10 -3 -30 9

2011 12 -2 -24 4

2012 15 -1 -15 1

2013 9 0 0 0

2014 11 1 11 1

2015 14 2 28 4

2016 20 3 60 9

91 30 28

Berdasarkan tabel tersebut data tahun sebanyak 7 tahun sehingga diperoleh: n = 7

Untuk n ganjil maka n = 2k + 1  k = (n-1)/2 = (7-1)/2 = 6/2 = 3  X k+1 = 0  X 3 + 1 = X4 = 0

 Jarak antara dua waktu diberi nilai satu satuan.

Artinya Tahun dasar nol terletak di Tahun ke 4 (tahun 2013).

Sehingga terlihat seperti di tabel tersebut untuk X = 0.

Dengan data dari Tabel tersebut diperoleh perhitungan:

a = (Y) / n = 91 / 6 = 15,17

(5)

b = (Yx) / x² = 30 / 28 = 1,07

sehingga diperoleh persamaan trend:

Y ‘ = a0 +bx  Y ‘ = 15,17 + 1,07x

Jika ditanyakan Tahun 2009 (artinya X = – 4) maka diperoleh:

Y ‘ = 15,17 + 1,07x = 15,17 + 1,07 (-4) = 10,89

Jika ditanyakan Tahun 2017 (artinya X = 4) maka diperoleh:

Y ‘ = 15,17 + 1,07x = 15,17 + 1,07 (4) = 19,45

Metode kuadrat terkecil (least square method) adalah metode yang

dimaksudkan agar jumlah kuadrat dari semua deviasi antara variabel X dan Y yang masing-masing punya koordinat sendiri akan berjumlah seminimal mungkin.

Dari persamaan Y = a + bX, dibuat persamaan:

ΣY = na + bΣX ΣXY = aΣX + bΣX2

Contoh soal metode kuadrat terkecil:

1. Dari sebuah industri batik diperoleh data produksi dan penjualan sebagai berikut:

(6)

Pertanyaan:

a. Buatlah trend produksi dengan metode least square method b. Tentukan estimasi produksi pada tahun 2004

Jawaban:

Dari soal diatas (tahun 1999 akan kita jadikan tahun dasar dan kita cari estimasi produksi di tahun 2004), maka:

Lalu kita akan melakukan eliminasi dengan cara:

b = 27,714, disubstitusukan ke persamaan:

2102 = 6a + 3b

2102 = 6a + 3(27,714) 2102 = 6a + 83,142 6a = 2102 – 83,142 a = 2108,858/6

= 336,476

Jadi persamaan trend produksi dengan metode Least Square adalah: Y = 336,476 + 27,714X

Sehingga estimasi produksi untuk tahun 2004 (X=5) adalah:

Y = 336,476 + 27,714X Y = 336,476 + 27,714(5) Y = 336,476 + 138,57

= 475,046

Akhirnya diketahui estimasi produksi untuk tahun 2004 sebanyak 475,046 unit

(7)

2. Berikut adalah perkembangan asset pemerintah Indonesia tahun 2014 – 2020 (sumber: https://kemenkeu.go.id), tentukan trend perkembangan nilai asset dan estimasi nilai aset tahun 2030 dengan menggunakan least square method:

Jawaban:

Buat tabel kolom baru, beri nama X, XY, dan dan X². Lalu hitung nilainya.

Selanjutnya kita cari nilai a dan b:

Maka persamaan trendnya adalah Y = 6909,42 + 1180,03X Sehingga estimasi nilai aset tahun tahun 2030 (X = 13) adalah:

(8)

y =a+bX

=6909,42+1180,03 (13)

=22249.81

Jadi estimasi aset pada tahun 2030 dengan least square method adalah 22249,81 triliun

Contoh soal Regresi Linier Sederhana

Berikut contoh soal yang dapat dipecahkan menggunakan regresi linier sederhana. Data disajikan dalam bentuk tabel dimana X merupakan umur mobil sedangkan Y adalah harga mobil tersebut sebagaimana terlihat dibawah ini:

Usia Mobil (tahun) X

Harga Mobil ($100)

y xy x²

5 85 425 25

4 103 412 16

6 70 420 36

5 82 410 25

5 89 445 25

5 98 490 25

6 66 396 36

6 95 570 36

2 169 338 4

7 70 490 49

7 48 336 49

58 975 4732 326

Tabel contoh soal regresi linier sederhana

(9)

Tabel diatas menyajikan data dengan variabel X adalah umur mobil dan variabel Y adalah harga. Hasil estimasinya adalah sebagai berikut :

sehingga persamaan regresinya menjadi

Yˆ=195.47−20.26X

Dari hasil estimasi yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa setiap umur mobil bertambah satu tahun maka harga mobil tersebut akan turun sebesar $2.026.