PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI MODEL REGRESI
LOGISTIK BINER MENGGUNAKAN METODE
MAXIMUM
LIKELIHOOD
DAN METODE
WEIGHTED LEAST SQUARE
SKRIPSI
SOFIA UTAMI DEWI SAPUTRI
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI MODEL REGRESI
LOGISTIK BINER MENGGUNAKAN METODE
MAXIMUM
LIKELIHOOD
DAN METODE
WEIGHTED LEAST SQUARE
SKRIPSI
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika
Pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga
Oleh :
SOFIA UTAMI DEWI SAPUTRI NIM. 080710447
Tanggal Lulus : September 2012
Disetujui Oleh :
Pembimbing I
Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002
Pembimbing II
LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI
Judul : Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square
Penyusun : Sofia Utami Dewi Saputri
NIM : 080710447
Tanggal Ujian : September 2012
Disetujui oleh :
Pembimbing I
Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002
Pembimbing II
Drs. Suliyanto, M.Si NIP. 19650907 199102 1 001
Mengetahui :
Ketua Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Fakultas Sains Teknologi
Universitas Airlangga
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah. Segala Puji Syukur atas kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan Rahmat dan Hidayah-Nya sehingga penyusunan skripsi dengan judul “Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least
Square” dapat terselesaikan. Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar sarjana pada pogram studi Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.
Penulis menyadari bahwa berkat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, maka skripsi ini dapat tersusun. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada :
1. Kepada Ibunda saya tercinta Anna Laila Ahmad dan Ayahanda saya tercinta Anwar Shodiq (Alm.) atas segala dukungan dan doanya.
2. Kepada ketiga kakak saya, Evy Rosydiana dan mas Indun, Fuad Ahmadi dan mbak Ranty dan Ahmad Fauzi dan mbak Dian serta adik saya Bagus Pranoto Abdillah serta Saudara-saudara saya atas doa serta dukungannya. 3. Toha Saifudin, S.Si, M.Si dan Drs. Suliyanto, M.Si selaku dosen
4. Drs. Sediono, M. Si selaku dosen wali yang telah banyak membantu dalam kegiatan akademis selama Penulis belajar di Fakultas Sains dan Teknologi UNAIR.
5. Dr.Miswanto selaku KAPRODI Matematika sekaligus KADEP Matematika yang telah memberikan arahan dalam penyusunan skripsi. 6. Seluruh mahasiswa UNAIR angkatan 2007, khususnya mahasiswa Jurusan
Matematika angkatan 2007 atas kerjasama, do’a dan dukungannya.
7. Sahabat-sahabat saya Herlina, Trisfiyanti, Uum, Tia, Arista dan Galuh terimakasih atas dukungan serta doa kalian semua.
8. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini.
Semoga segala pengorbanan dan bantuan yang telah diberikan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini mendapat imbalan dan amalan yang diridhoi Allah S.W.T. Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi semua pihak yang berkepentingan.
Surabaya, September 2012 Penyusun
Sofia Utami Dewi Saputri, 2012. Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square. Skripsi ini di bawah bimbingan Toha Saifudin, S.Si, M.Si dan Drs. Suliyanto, M.Si. Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya
ABSTRAK
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk membandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode Maximum likelihood dan metode Weighted least square. Proses estimasinya menggunakan algoritma Newton raphson dan Iteratively reweighted least square. Untuk penerapan pada data dibuat program menggunakan Software S-PLUS 2000
Perbandingan hasil estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode Maximum likelihood dan metode Weighted least square
diterapkan pada data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti. Variabel respon yang digunakan adalah jumlah kematian larva Aedes aegypti (Y), sedangkan variabel prediktor yang digunakan adalah konsentrasi ekstrak ethanol daun Mimba (X1) dan lama waktu pengamatan (X2). Dari hasil analisa data diperoleh bahwa metode yang baik adalah metode Maximum likelihood dengan nilai Mean Square Error
(MSE) dan Apparent Rate Error (APPER) yang terkecil , yaitu sebesar 0,6566313 dan 4,44%.
Sofia Utami Dewi Saputri, 2012. Comparison of Results of Binary Logistic Regression Model Estimation Method Using Maximum Likelihood and Weighted Least Square Method. This thesis under the guidance of Toha Saifudin S. Si, M. Si and Drs. Suliyanto M. Si. Department of Mathematics, Science and Technology Faculty, Airlangga University, Surabaya.
ABSTRACT
The purpose of this paper is to compare the results of binary logistic regression model was estimated using the method Maximum Likelihood and
Weighted Least Square method. Estimation process using the Newton Raphson
algorithm and Iteratively Reweighted Least Squares. For the application on the data use S-PLUS 2000 software.
Comparison of the results of binary logistic regression model was estimated using the method of Maximum Likelihood and weighted least square
method applied to the data of larvaside effectivity test of Neem leaf ethanol extract (Azadirachta indica) on Aedes aegypti larvae. The respon variable that is used is the mortality percentage of Aedes aegypti larvae (Y), while the predictor variables that are used are consentration of ethanol extract of Neem leaf (X1) and time of observation (X2). From the analysis og the data obtained is that a good method Maximum likelihood method with a value of Mean Square Error (MSE) and the Apparent Rate Error (APPER) is the smallest, that is equal to 0,6566313 and 4,44%.
DAFTAR ISI
Halaman
LEMBAR JUDUL ... i
LEMBAR PERNYATAAN ... ii
LEMBAR PENGESAHAN ... iii
LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ... iv
KATA PENGANTAR ... v
2.7 Matriks Pembobot Keluarga Generalized Linier Model ... 11
2.8 Prosedur Klasifikasi ... 12
3.1. Estimasi model Regresi Logistik Biner ... 21
3.1.1. Metode Maximum Likelihood ... 21
3.1.2. Metode Weighted Least Square ... 23
3.1.3. Metode Iteratively Reweighted Least Square ... 24
3.2. Membandingkan Metode MLE dengan Metode WLS ... 25
3.3. Penerapan Model pada Data ... 26
BAB V PENUTUP ... 44
5.1. Kesimpulan ... 44
5.2. Saran ... 45
DAFTAR TABEL
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Judul
1. Data Kematian Larva Aedes aegypti
2. Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode ML berdasarkan kriteria MSE dan APPER
3. Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode WLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER
4. Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode IRWLS berdasarkan kriteria MSE danAPPER
5. Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode ML berdasarkan kriteria MSE dan APPER
6. Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode WLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER
BAB I
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Dalam bidang ilmu statistika, untuk mengetahui hubungan antara variabel respon dengan beberapa variabel prediktor dapat menggunakan analisis regresi linier. Dalam analisis regresi linier, variabel respon harus bersifat kuantitatif dengan skala pengukuran minimal interval. Variabel respon juga diasumsikan berdistribusi normal dan mempunyai ragam yang homogen (Rokhman, 2008).
Pada realita di lapangan menunjukkan bahwa banyak penelitian yang menghasilkan respon dengan nilai “sukses” atau “gagal”. Bila variabel respon merupakan data kategorik termasuk data biner maka model regresi linier biasa tidak dapat digunakan untuk analisis. Salah satu analisis regresi untuk menganalisis variabel respon berskala biner adalah analisis regresi logistik (Rokhman, 2008).
untuk membahas perbandingan hasil estimasi model regresi logistik biner menggunakan metode Maximum Likelihood dan WLS dalam skripsi ini. Sebagai kriteria perbandingan, penulis menggunakan nilai Apparent Error Rate (APPER) dan Mean Square Error (MSE). APPER merupakan proporsi misklasifikasi (ketidaktepatan klasifikasi) estimasi terhadap kenyataan yang sebenarnya dari variabel respon. Nilai APPER berkisar dari hingga . Jika nilai APPER semakin mendekati maka estimasi yang dilakukan semakin baik. Adapun MSE merupakan ukuran rata-rata kuadrat kesalahan prediksi. Nilai MSE berupa bilangan riil non negatif. Jika nilai MSE semakin mendekati 0 maka estimasi yang dilakukan semakin baik.
Sebagai contoh penerapan, dalam skripsi ini penulis mengambil kasus kematian larva Aedes aegypti akibat pemberian ekstrak daun mimba. Data yang penulis gunakan, diadopsi dari Aradilla (2009). Berdasarkan data tersebut penulis melakukan pemodelan regresi logistik menggunakan metode estimasi Maximum Likelihood dan WLS, selanjutnya membandingkan hasilnya menggunakan kriteria APPER dan MSE.
dengue di desa dan kota. Aedes aegypti umumnya berkembang biak di rumah penduduk, sedangkan Aedes Albopictus lebih suka di cekungan dahan pohon yang menampung air (Judarwanto, 2007). Dalam Daniel (2008) dijelaskan bahwa tindakan pencegahan dengan memberantas sarang nyamuk dan membunuh larva serta nyamuk dewasa, merupakan tindakan yang terbaik.
Dalam Aradilla (2009) disebutkan bahwa tanaman Mimba (Azadirachta indica) merupakan tanaman obat yang memiliki berbagai macam kegunaan. Salah satu kegunaannya adalah sebagai biopestisida (larvasida). Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Ndione, et all pada tahun 2007, dengan menggunakan biji daun mimba terhadap larva Aedes aegypti Linnaeus 1762, yang juga mengandung azadirachtin, salalinin, meliantriol, nimbin dan nimbidin, daun mimba mampu membunuh larva Aedes aegypti. Mimba tidak membunuh hama secara cepat namun memiliki mekanisme kerja menurunkan nafsu makan dan menghambat pertumbuhan dan reproduksi. Daya larvasida daun mimba berasal dari kandungan aktifnya yang disebut azadirachtin dan salanin. Senyawa-senyawa yang dikandung daun mimba itulah yang diduga dapat memberikan efek larvasida dari ekstrak ethanol daun mimba.
1.2Rumusan Masalah
1. Bagaimana hasil estimasi model regresi logistik biner berdasarkan metode
Maximum Likelihood dan WLS?
2. Bagaimana membandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner menggunakan metode Maximum Likelihood dan WLS menggunakan kriteria nilai APPER dan MSE ?
3. Bagaimana menerapkan model regresi logistik biner pada data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica)
terhadap larva Aedes aegypti?
1.3Tujuan
1. Mendapatkan hasil estimator model regresi logistik biner berdasarkan metode Maximum Likelihood dan metode WLS.
2. Membandingkan hasil estimator model regresi logistik biner berdasarkan metode Maximum Likelihood dan WLS menggunakan kriteria nilai APPER dan MSE.
1.4Manfaat
1. Menambah referensi dan wawasan mengenai estimasi parameter model regresi logistik biner dengan menggunakan metode Maximum Likelihood, Weighted Least Square.
2. Secara teoritis akan memberikan tambahan wawasan terhadap ilmu statistika terutama tentang model regresi logistik.
3. Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai salah satu referensi untuk mengetahui metode-metode yang lebih baik diantara
Maximum Likelihood dan WLS dalam mengestimasi parameter model regresi logistik biner.
1.5Batasan Masalah
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Matriks Definisi 2.1
Matriks adalah suatu susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan yang disajikan di dalam kurung besar atau kurung siku. Bilangan-bilangan itu disebut entri atau elemen matriks. Bentuk umum suatu matriks yang terdiri dari n baris dan k kolom adalah :
Matriks tersebut dapat disajikan dalam notasi matriks yaitu ,
i = 1, 2, …, n dan j =1, 2, …, k (Anton, 2005).
Jika M adalah matriks berukuran nxm maka transpose dari M dinotasikan yang didefinisikan sebagai matriks yang berukuran mxn yang merupakan hasil pertukaran baris dan kolom dari matriks M (Anton, 2005).
Definisi 2.2
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya adalah nol kecuali elemen pada diagonal utama. Jadi disebut
Definisi 2.3
Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A jika AB = BA = I. Dalam hal ini invers matriks A dinotasikan . Matriks yang mempunyai
invers disebut matriks non singular (Anton, 2005).
2.2. Distribusi Binomial
Distribusi Binomial merupakan suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Dimisalkan maka fungsi probabilitasnya adalah (Jeff Gill, 2001) :
(2.1)
Jika berdistribusi binomial maka mempunyai rata-rata dan variansi (Agresti, 2002) sebagai berikut :
Rata-rata :
Varian :
2.3. Regresi Logistik Biner
independent) bertipe kategorik maupun numerik (Agresti, 1990). Variabel berskala biner adalah variabel yang memiliki dua kemungkinan (sukses atau gagal) (Ricki Indra P, 2009).
Misalkan Y variabel respon dengan nilai sukses atau gagal dan merupakan nilai dari variabel prediktor, maka bentuk model
regresi logistik adalah (Hosmer dan Lemeshow, 2000) :
(2.2)
Fungsi merupakan fungsi nonlinier sehingga perlu dilakukan transformasi dengan menggunakan transformasi logit untuk memperoleh fungsi yang linier agar dapat dilihat hubungan antara variabel respon y dengan variabel prediktor (Hosmer dan Lemeshow, 2000).
Fungsi logit dari model pada persamaan (2.2) adalah
(2.3)
2.4. Turunan dalam Format Vektor
Diasumsikan bahwa skalar z dapat ditulis sebagai fungsi dari k variabel dan dinyatakan sebagai berikut :
Beberapa aturan differensial untuk vektor (Suliyanto, 2010) : 1. Misalkan z = a’y, dengan a adalah vektor scalar, maka
2. misalkan z = y’y, maka
3. misalkan z = y’Ay, dengan A adalah matriks berukuran k x k, maka
2.5. Metode Maximum Likelihood
Misalkan merupakan variabel random identik independen dari suatu distribusi PDF , untuk dengan ruang parameter. PDF bersama antara adalah Jika PDF bersama tersebut dinyatakan sebagai fungsi terhadap maka dinamakan fungsi Likelihood
yang dinotasikan L atau ditulis :
Jika statistik memaksimumkan fungsi likelihood
, maka statistik adalah maximum likelihood estimator (MLE) dari (Hogg and Craig, 1995).
2.6. Metode Weighted Least Square
(2.4)
dengan
dan (2.5)
Dari (2.5) dapat dilihat bentuk penyimpangannya, yaitu matriks , hal ini mengakibatkan rumus pendugaan kuadrat terkecil tidak
berlaku, sehingga perlu mengubah prosedur untuk memperoleh nilai dugaan tersebut yaitu menggunakan estimator WLS. Prinsip dari metode ini adalah mencari nilai parameter yang meminimumkan fungsi . Sehingga diperoleh
(2.6)
2.7. Matriks Pembobot Keluarga Generalized Lnier Model (GLM)
Residual tidak identik mengakibatkan var(i) tidak sama untuk setiap i,
dinotasikan var(i) = 2
i
(Pada OLS var(i) = 2). Agar i memenuhi asumsi identik maka dilakukan transformasi, dengan cara mengalikan i dengan , atau
vektor dengan matriks W-1 dari sisi kiri. W adalah matrik diagonal dengan
elemen (Agresti, 2002)
(2.7)
dan komponen kolom W. Matrik diagonal yang elemennya terdiri dari komponen vektor W dinamai Matrik Pembobot (Wiwiek, S. W., 2009).
2.8. Prosedur Klasifikasi
Evaluasi prosedur klasifikasi adalah suatu evaluasi yang melihat peluang kesalahan klasifikasi yang dilakukan oleh suatu fungsi klasifikasi. Ukuran yang dipakai adalah apparent error rate (APER). Nilai APER menyatakan nilai proporsi sampel yang salah diklasifikasikan oleh fungsi klasifikasi (Johnson dan Wichern, 1992; Alvin C. R., 2002). Penentuan kesalahan pengklasifikasian dapat diketahui melalui tabel klasifikasi berikut :
Table 2.1 Tabel Klasifikasi
Actual
Group Observation Number of Predicted Group 1 2
1
2
Keterangan :
= Jumlah pengamatan dari Actual Group 1 tepat diklasifikasikan pada
= Jumlah pengamatan dari Actual Group 1 salah diklasifikasikan pada
= Jumlah pengamatan dari Actual Group 2 salah diklasifikasikan pada
(merupakan jumlah pengamatan Actual Group 1)
(merupakan jumlah pengamatan Actual Group 2)
Predicted Group of 1
Predicted Group of 2
Apparent Error Rate (dalam %)
(2.8)
2.9. Mean Square Error (MSE)
Dalam statistika, Mean Square Error atau MSE dari suatu estimator adalah nilai ekspektasi dari kuadrat error.
Definisi 2.4
MSE dari estimator terhadap parameter didefinisikan sebagai berikut (Johnson, 2004)
(2.9)
2.10.Algoritma Newton Raphson
dan memungkinkan membuat program sendiri walaupun di dalamnya sudah tersedia banyak program internal yang siap digunakan. Kelebihan dari paket program ini adalah baik program internal maupun yang pernah dibuat dapat digunakan sebagai subprogram yang akan dibuat.
Beberapa perintah internal yang digunakan dalam S-PLUS 2000 diantaranya: a. function ( )
Bentuknya : function(...) b. length ( )
Merupakan perintah length( )digunakan untuk menunjukkan banyaknya data.
Bentuknya : length(...) c. for ( )
Merupakan perintah for ( ) digunakan untuk mengulang satu blok pernyataan berulang kali sesuai dengan kondisi yang telah ditentukan. Bentuknya: for(kondisi){pernyataan}
d. sum ( )
Merupakan perintah untuk menjumlahkan semua anggota dari suatu vektor.
Bentuknya : sum(...) e. cat ( )
Merupakan perintah untuk menuliskan argumentasi dalam bentuk karakter dan kemudian mencetak hasil atau file yang telah ditetapkan. Bentuknya : cat(”...”)
f. rep (a,b)
Merupakan perintah untuk membentuk sebuah vektor yang anggotanya a sebanyak b.
g. matrix(a,b,c)
merupakan perintah untuk membentuk sebuah matrik yang anggotanya a dengan jumlah baris sebanyak b dan jumlah kolom sebanyak c.
Bentuknya : matrix(...,...,...) h. if else
Merupakan perintah untuk menjalankan pernyataan pertama jika kondisi benar dan pernyataan kedua akan dieksekusi jika kondisi bernilai salah. Bentuknya : if(kondisi)pernyataan pertama
else pernyataan kedua i. win.graph()
merupakan perintah awal dalam membuat gambar Bentuknya : win.graph( )
j. plot()
merupakan perintah untuk membuat plot atau grafik Bentuknya : plot(x, y, ...)
k. while
merupakan perintah untuk mengulang satu blok pernyataan terus menerus selama kondisi ungkapan logika pada while berlaku benar. Bentuknya : while(logika)
l. repeat
merupakan perintah untuk mengulang eksekusi pernyataan secara terus menerus, sehingga diperlukan pernyataan lain untuk menghentikan perulangan eksekusi.
Bentuknya : repeat
{ pernyataan
if(pernyataan kedua) break }
2.12. Aedes aegypti
2.12.1.Morfologi Aedes aegypti
Menurut Sudarto (1972) secara umum nyamuk Aedes aegypti sebagaimana serangga lainnya mempunyai bentuk morfologi sebagai berrikut:
a. Terdiri dari tiga bagian, yaitu : kepala, dada, dan perut
b. Pada kepala terdapat sepasang antena yang berbulu dan moncong yang panjang (proboscis) untuk menusuk kulit hewan atau manusia dan menghisap darahnya.
2.12.2 Siklus Hidup Aedes aegypti
Siklus hidup nyamuk Aedes aegypti secara sempurna terdiri dari 4 (empat) stadium, yaitu telur, larva, pupa, dan dewasa (Sudarto, 1972; Cahyaningsih, 2011).
1. Telur
Pada waktu dikeluarkan, telur aedes berwarna putih, dan berubah menjadi hitam dalam waktu 30 menit. Telur dapat bertahan sampai berbulan-bulan dalam suhu – , namun akan menetas dalam waktu 1 – 2 hari pada kelembaban rendah. Telur yang diletakkan di dalam air kan menetas dalam waktu 1 – 3 hari pada suhu , tetapi membutuhkan waktu 7 hari pada suhu . Pada kondisi normal, telur Aedes aegypti yang direndam di dalam air akan menetas sebanyak 80% pada hari pertama dan 95% pada hari kedua.
2. Larva
3. Pupa
Larva instar IV akan berubah menjadi pupa yang berbentuk bulat gemuk menyerupai tanda koma. Untuk menjadi nyamuk dewasa diperlukan 21 waktu 2 – 3 hari. Suhu untuk perkembangan pupa yang optimal adalah sekitar – . Stadium pupa tidak memerlukan makanan. Bentuk nyamuk dewasa timbul setelah sobeknya selongsong pupa oleh gelembung udara karena gerakan aktif pupa.
4. Dewasa
Setelah keluar dari selongsong pupa, nyamuk akan diam beberapa saat di selongsong pupa untuk mengeringkan sayapnya. Nyamuk betina dewasa menghisap darah sebagai makanannya, sedangkan nyamuk jantan hanya makan cairan buah-buahan dan bunga. Nyamuk dapat hidup dengan baik pada suhu – dan akan mati bila berada pada suhu dalam 24 jam.
Nyamuk dapat hidup pada suhu – Rata-rata lama hidup nyamuk betina Aedes aegypti selama 10 hari.
2.13. Daun Mimba (Azadirachta indica)
kandungan bermanfaat baik dalam bidang pertanian (pestisida dan pupuk) maupun farmasi (kosmetik dan obat-obatan) (Kardiman dkk, 2004, Cahyaningsih, 2011).
Daun mimba dan biji mimba bisa digunakan sebagai antibiotik, antimikroba, antifungi, antihelmintik dan antivirus. Selain itu daun mimba dapat digunakan untuk menurunkan gula darah, menyembuhkan penyakit kulit (Csurhes, 2008), memiliki efek gastro protektif pada mukosa lambung terhadap ulkus peptikum, menurunkan total kolesterol dalam darah, LDL- and VLDL-cholesterol, triglyserid dan total lipid dalam serum (Chattopadhyay dkk, 2005, Cahyaningsih, 2011).
Efek primer azadirachtin terhadap serangga berupa antifeedant dengan menghasilkan stimulan detteren spesifik berupa reseptor kimia (chemoreseptor) pada bagian mulut (mouth part) yang bekerja bersama-sama dengan reseptor kimia yang mengganggu persepsi rangsangan untuk makan (phagostimulant). Sedangkan efek sekunder Azadirachtin yang dikandung mimba berperan sebagai
BAB III
METODE PENULISAN
Metode penulisan yang digunakan dalam penelitian ini melalui langkah-langkah sebagai berikut ini:
3.1. Estimasi model regresi logistik biner berdasarkan metode :
3.1.1. Maximum Likelihood Estimation (MLE) dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1.
Mengasumsikan data yang mempunyai struktur
i
1.
2.
N
dengan jumlah sukses dalam sampel pengamatan ke- i
ukuran sampel pengamatan ke- i
nilai-nilai prediktor ke- i sampai ke- k dari
dan memenuhi model logit
dengan
,
,
dan
Langkah 2.
Menentukan fungsi likelihood berdasarkan model logit.
Langkah 3.
Menentukan fungsi log likelihood.
Langkah 4.
Menentukan differensial parsial fungsi log likelihood terhadap parameter
dan disamadengankan nol.
Langkah 5.
3.1.2. Metode Weighted Least Square (WLS) dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1.
Mengasumsikan data yang mempunyai struktur
i
1.
2.
N
dengan banyaknya peluang sukses dalam sampel pengamatan ke- i
ukuran sampel pengamatan ke- i
nilai-nilai prediktor ke- i sampai ke- k dari
pengamatan ke- i
dan memenuhi fungsi logit
dengan
,
Langkah 2.
Menyatakan model regresi logistik dalam bentuk matriks
Mencari nilai yang meminimumkan fungsi Q dengan cara menurunkan fungsi Q terhadap dan disamadengankan nol.
Langkah 5.
Menyelesaikan persamaan yang diperoleh dari langkah 4 untuk mendapatkan estimasi parameter model regresi logistik dengan menggunakan metode WLS.
3.1.3. Metode Iteratively Reweighted Least Square dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1.
Langkah 2.
Menentukan nilai estimator dengan menggunakan rumus yang telah
didapat dari metode WLS berdasarkan .
Langkah 3.
Menentukan kembali matriks pembobot yang dihitung berdasarkan nilai .
Langkah 4.
Menentukan kembali nilai estimator dengan menggunakan rumus yang
telah diperoleh dari metode WLS berdasarkan .
Langkah 5.
Proses yang sama untuk mendapatkan dan seterusnya sampai
konvergen.
3.2. Membandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner menggunakan metode MLE dengan metode WLS berdasarkan kriteria nilai APPER dan MSEdengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1.
Menghitung nilai APPER dan MSE dari masing-masing metode.
Langkah 2.
Langkah 3.
Mendapatkan metode yang lebih baik yaitu metode yang mempunyai nilai APPER dan nilai MSE terkecil.
3.3. Menerapkan model regresi logistik biner pada data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti dengan langlah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1.
Input data.
Langkah 2.
Menaksir parameter regresi logistik biner pada data tersebut dengan menggunakan metode Maximum Likelihood, metode WLS dan IRWLS.
Langkah 3.
Menghitung nilai APPER dan MSE dari masing-masing metode.
Langkah 4.
Membandingkan kedua nilai APPER dan MSE yang telah diperoleh.
Langkah 5.
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam bab ini akan diuraikan tiga metode untuk mengestimasi parameter model regresi logistik, dilengkapi dengan algoritma untuk pemrograman komputasi estimator. Selanjutnya diuraikan prosedur untuk perhitungan APPER dan MSE. Pada akhir bab ini akan disajikan contoh penerapan pemodelan regresi logistik pada kasus uji efektifitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba terhadap larva Aedes aegypti. Pada contoh kasus tersebut dilakukan estimasi parameter model regresi logistik dengan menggunakan metode Maximum Likelihood, WLS dan IRWLS. Selanjutnya dibandingkan hasil estimasi dari ketiga metode tersebut dengan kriteria APPER dan MSE untuk mendapatkan metode yang lebih baik.
4.1. Estimasi Parameter Model Regresi Logistik
Misalkan Y adalah variabel respon yang menyatakan jumlah sukses dalam sampel berukuran n dengan probabilitas sukses . x1, x2, …, xk adalah variabel-variabel prediktor yang berpengaruh terhadap probabilitas sukses . Misalkan dalam sebuah penelitian dicatat data pengamatan dengan struktur sebagai berikut :
i
1.
2.
dengan jumlah sukses dalam sampel pengamatan ke- i
ukuran sampel pengamatan ke- i
nilai-nilai prediktor ke- 1 sampai ke- k dari
pengamatan ke- i
dan memenuhi model logit
dengan
,
,
dan
Berikut ini akan diuraikan tiga metode untuk mengestimasi parameter .
4.1.1. Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE)
Jika diasumsikan independen identik dari distribusi Binomial
maka fungsi likelihood untuk model regresi logistik biner adalah
(4.1)
Karena maka
(4.2)
Selanjutnya persamaan (4.2) diturunkan terhadap . Hasil penurunan tersebut disamadengankan nol sehingga diperoleh :
Selanjutnya estimator diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan (4.3). Namun persamaan (4.3) masih dalam bentuk implisit dan tidak bisa diselesaikan, sehingga dibutuhkan metode numerik. Dalam skripsi ini digunakan metode
Sehingga diperoleh persamaan umumnya
(4.4)
Dari (4.3) diperoleh vektor kolom berikut :
Dari (4.4) diperoleh matriks persegi Hessian dengan
Algoritma iterasi Newton Raphson untuk mendapatkan nilai melalui langkah-langkah sebagai berikut :
1. Masukkan nilai dugaan awal yang diperoleh dari metode kuadrat terkecil (OLS)
kemudian masukkan pada persamaan (2.2). 2. Menentukan dan .
Nilai digunakan untuk mencari sehingga diperoleh nilai dan . Kemudian diperoleh nilai , dan seterusnya untuk setiap j
sampai mencapai
dengan adalah tingkat ketelitian, misalkan . 4.1.2. Metode Weighted Least Square (WLS)
Misalkan model logit
dengan asumsi .
Estimator parameter regresi logistik dapat diperoleh dengan menggunakan metode WLS, diperoleh dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat galat terboboti
. Misalkan terdapat suatu matriks non singular P yang bersifat , maka dengan mengalikan kedua sisi pada model logit dengan
diperoleh
dengan dengan . Sehingga
fungsi Q dapat diuraikan sebagai berikut :
Syarat cukup agar fungsi Q mencapai nilai minimum adalah
Maka diperoleh estimasi parameter model regresi logistik
(4.5)
Berdasarkan (2.7), maka elemen-elemen dari Matriks pembobot untuk model regresi logistik ini adalah
(4.6)
4.1.3. Metode Iteratively Reweighted Least Square (IRWLS)
maka dalam persamaan (4.6) terlihat bahwa pembobot masih terdapat estimator . Oleh karena itu, jika estimator yang telah diperoleh dari (4.5) selanjutnya digunakan untuk menghitung pembobot yang baru dan menghitung ulang nilai estimator yang baru, demikian seterusnya maka metode seperti ini disebut Iteratively Reweighted Least Square (IRWLS). Untuk lebih jelasnya, berikut akan diberikan langkah-langkah IRWLS dalam model regresi logistik :
i. Menentukan dengan menggunakan persamaan (4.6). ii. Menghitung dengan menggunakan persamaan (4.5)
iii. Menghitung
iv. Melakukan perhitungan iterasi dengan dan seterusnya maka
dan
v. Jika maka proses iterasi dihentikan. Jika tidak maka
hitung :
4.2. Membandingkan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner
Menggunakan Metode ML dan Metode WLS berdasarkan Kriteria Nilai APER dan MSE
Setelah mendapatkan hasil estimasi dari metode Maximum Likelihood dan metode WLS maka langkah selanjutnya adalah membandingkan kedua hasil estimator tersebut berdasarkan kriteria nilai APPER dan MSE. Untuk itu, berikut ini akan diuraikan terlebih dahulu cara menghitung APPER dan MSE.
Berdasarkan struktur data sebelumnya, berikut ditulis kembali penggalan struktur data beserta probabilitas sukses dan estimasinya :
i Kelompok Prediksi Kelompok
1.
2.
3.
N
Pengisian kelompok dan prediksi kelompok adalah dengan cara sebagai berikut : i. Jika maka , sebaliknya jika maka . ii. Jika maka , sebaliknya jika maka .
Selanjutnya diisi dengan nilai-nilai berikut :
untuk i = 1, 2, …, N.
banyaknya pengamatan dengan nilai dan
untuk i = 1, 2, …, N.
banyaknya pengamatan dengan nilai dan
untuk i = 1, 2, …, N.
banyaknya pengamatan dengan nilai dan
untuk i = 1, 2, …, N.
Selanjutnya APPER dihitung dengan rumus :
APPER
Sedangkan MSE dihitung dengan rumus :
(4.7) dengan dan
4.2.1. Metode ML
Telah diketahui hasil estimasi model regresi logistik biner dari metode
Hessian H. Setelah melalui proses iterasi, maka diperoleh nilai . Kemudian ditentukan nilai MSE dan APPER.
4.2.2.Metode WLS
Telah diketahui hasil estimasi model regresi logistik biner dari metode WLS pada persamaan (4.5) maka ditentukan nilai terlebih dahulu untuk mendapatkan nilai lalu disubstitusikan dalam persamaan (4.5). Kemudian menentukan nilai . Setelah mendapatkan nilai , selanjutnya hitung nilai APPER dan MSE.
4.2.3.Metode IRWLS
Metode IRWLS dalam menentukan nilai sama halnya dengan metode WLS. Namun terlebih dahulu hitung nilai lalu disubstitusikan ke persamaan (4.5). Kemudian dengan melalui proses iterasi IRWLS, maka diperoleh nilai
yang terkecil yang mendekati nol. Kemudian ditentukan nilai MSE dan APPER.
Setelah mendapatkan nilai MSE dan APPER dari masing-masing metode, lalu dibandingkan. Nilai MSE dan APPER yang paling kecil itulah metode yang baik.
4.3. Menerapkan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner pada Data Uji Efektivitas Larvasida Ekstrak Ethanol Daun Mimba (Azadirachta
indica) terhadap Larva Aedes aegypti 4.3.1.Data
larvasida ekstrak ethanol daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti. Variabel respon dari data tersebut adalah jumlah kematian larva Aedes aegypti. Sedangkan variabel prediktor yang digunakan adalah konsentrasi ekstrak ethanol daun Mimba dalam g/L dan lama waktu pengamatan larva Aedes aegypti dalam jam . Data selengkapnya dapat dilihat di lampiran 1.
4.3.2. Analisa Data
Langkah awal dalam menganalisa data ini adalah membuat struktur data sesuai model regresi logistik biner seperti berikut ini
i
1.
2.
N
dengan :
jumlah larva nyamuk Aedes aegypti yang mati
jumlah larva nyamuk Aedes aegypti keseluruhan
konsentrasi ekstrak ethanol daun Mimba g/L
lama waktu pengamatan larva Aedes aegypti dalam jam
4.3.2.1. Metode ML
Terlebih dahulu menentukan nilai awal dengan menggunakan metode OLS (program lihat pada Lampiran 2) dan diperoleh (hasil output lihat pada Lampiran 5.a)
Kemudian melalui proses iterasi dengan menggunakan algoritma Newton Raphson
(program lihat pada Lampiran 2) maka diperoleh estimator (hasil output lihat pada Lampiran 5.b)
Lalu dimasukkan kedalam persamaan (2.3) maka diperoleh hasil estimasi dan model regresi logistik biner sebagai berikut :
Berdasarkan hasil output pada Lampiran 5.c, maka diperoleh nilai MSE yaitu 0,6566313. Untuk APPER, berikut akan diuraikan perhitungannya :
Berdasarkan hasil output pada Lampiran 5.c maka :
27 1
1 16
APPER
4.3.2.2. Metode WLS
Langkah awal pada metode ini adalah ditentukan nilai . Kemudian substitusikan ke dan persamaan (4.5), maka akan didapatkan (hasil output lihat pada Lampiran 6.a)
Sehingga model regresi logistik biner menjadi
Berdasarkan hasil output pada Lampiran 6.b maka diperoleh nilai MSE yaitu 0,8861757. Untuk nilai APPER, berikut akan diuraikan perhitungannya :
Berdasarkan hasil output pada Lampiran 6.b maka :
25 3
0 17
maka nilai APPER-nya adalah
APPER 4.3.2.3. Metode IRWLS
nilai dengan
sampai dengan
melalui proses iterasi (program lihat pada Lampiran 4) sehingga
mendapatkan hasil estimasi
Maka model regresi logistik biner adalah
Berdasarkan hasil output pada Lampiran 7.b maka diperoleh nilai MSE 0,6763576. Untuk nilai APPER, berikut akan diuraikan perhitngannya :
Berdasarkan hasil output pada Lampiran 7.b maka :
26 2
1 16
maka nilai APPER-nya adalah
APPER
BAB V
PENUTUP
5.1. Kesimpulan
Dari hasil pembahasan pada bab sebelumnya, dapat disimpulkan sebagai berikut :
1. Hasil estimasi parameter model regresi logistik biner adalah sebagai brikut : a. Berdasarkan metode Maximum likelihood :
Estimator diperoleh dengan menyelesaikan system persamaan
dengan menggunakan metode numerik. b. Berdasarkan metode WLS :
Estimator diperoleh dengan rumus
dengan ,
c. Berdasarkan metode IRWLS :
Estimator diperoleh dengan iterasi
dengan ,
,
adalah indeks iterasi.
2. Perbandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner yang lebih baik dari metode Maximum Likelihood, metode WLS dan IRWLS berdasarkan kriteria nilai MSE dan APPER diperoleh dengan memilih nilai MSE dan APPER yang terkecil.
3. Berdasarkan hasil penerapan pada kasus uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti maka diperoleh metode yang lebih baik adalah metode Maximum Likelihood
dengan nilai MSE dan APPER masing-masing adalah 0,6566313 dan 4,44%.
5.2. Saran
1. Berdasarkan hasil yang telah diperoleh, maka penulis menyarankan penggunaan metode Maximum likelihood dalam pemodelan regresi logistik biner.
DAFTAR PUSTAKA
1. Agresti, A., 2002, Categorical Data Analysis, John Wiley and Sons, Inc, New York
2. Anton, H., 2005, Elementary Linear Algebra Ninth Edition, John Wiley & Sons, Inc, Canada
3. Aradilla, A.S., 2009, Uji Efektivitas Larvasida Ekstrak Ethanol Daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti, Laporan Akhir Penelitian, Fakultas Kedokteran Universitas Diponegoro, Semarang
4. Cahyaningsih, T, 2011, Estimasi Model Regresi Probit Nonparametrik Aditif Berdasarkan Estimator Kernel, Skripsi, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya
5. Chattopadhyay RR and Bandyopadhyay M., 2005, Effect of Azadirachta indica Leaf Extract on Serum Lipid Profile Changes in Normal and Streptozotocin Induced Diabetic Rats, African Journal of Biomedical Research, Vol. 8; 101 – 104 ISSN 1119 – 5096 © Ibadan Biomedical Communications Group
6. Csurhes S., 2008, Pest Plant Risk Assessment, Neem Tree (Azadirachta indica), Department of Primary Industries and Fisheries, Queensland, Australia
7. Danardono, Dr., MPH, 2006, Bahan Ajar Biostatistika dan Epidemiologi, Jurusan Matematika, FMIPA UGM, Yogyakarta
8. Daniel, 2008, Ketika Larva dan Nyamuk Dewasa Sudah Kebal Terhadap Insektisida, FARMACIA Vol.7 No.7
9. Everiit, S, 1994, A Handbook of Statistical Analysis Using S-PLUS, Chapman & Hall, London
10.Grill, J., 2001, Generalized Linier Model: A Unified Approach, University of Florida, London
12.Indra, P., R., 2009, Faktor-faktor Yang Mempengaruhi Resiko Penyebab Penderita Kanker Payudara Dengan Menggunakan Pendekatan Regresi Logistik, Makalah, Mahasiswa Jurusan Statistika FMIPA ITS, Surabaya
13.Johnson, R. A. dan Wichern, D. W., 1992, Applied Multivariate Statistical Analysis, Prentice Hall, New Jersey
14.Judarwanto SpA, Dr. Widodo, 2007, Profil Nyamuk Aedes dan
Pembasmiannya, Artikel,
http://medicastore.com/artikel/184/Profil_Nyamuk_Aedes_dan_Pembasmi annya.html, download tanggal 1 Agustus 2012
15.Kardiman, A. dan Dhalimi A., 2003, Mimba (Azadirachta indica A.Juss) Tanaman Multi Manfaat. Perkembangan Teknologi TRO Vol. XV, No. 1 16.Rencher, Alvin C., 2002, Methods of Multivariate Analysis, John Wiley
and Sons, Inc, New York
17.Rokhman, M. S., 2008, Perbandingan Antara Model Logit Dengan Probit Sebagai Regresi Untuk Peubah Respon Kategori, Jurnal OSEATEK UPS, Tegal
18.Samsudin, 2008, Azadirachtin Metabolit Sekunder dari Tanaman Mimba sebagai Bahan Insektisida Botani, Lembaga Pertanian Sehat
19.Sudarto, 1972, Atlas Entomologi Kedokteran, EGC, Jakarta
Keterangan:
Sumber : Aradilla, Ashry Sikka, 2009, Uji Efektivitas Larvasida Ekstrak Ethanol Daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti,
Laporan Akhir Penelitian, Fakultas Kedokteran Universitas Diponegoro, Semarang
33 43 75 10 120
34 47 75 10 132
35 50 75 10 144
36 51 75 10 156
37 56 75 10 168
38 9 75 20 12
39 51 75 20 24
40 62 75 20 36
41 66 75 20 48
42 67 75 20 60
43 68 75 20 72
44 73 75 20 84
return(betatopi)
cat("Nilai MSE dan APPER dari Metode ML :\n")
Lampiran 3 : Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode WLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER
cat("Nilai MSE dan APPER dari Metode WLS :\n")
Lampiran 4 : Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode IRWLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER
cat("Nilai MSE dan APPER dari Metode IRWLS :\n")
Lampiran 5 : Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode ML berdasarkan kriteria MSE dan APPER
Nilai MSE dan APPER dari Metode ML : mse.MLE:
[33,] 0.57333333 0.62311925 1 1
[34,] 0.62666667 0.67363086 1 1
[35,] 0.66666667 0.72041021 1 1
[36,] 0.68000000 0.76284508 1 1
[37,] 0.74666667 0.80062185 1 1
[38,] 0.12000000 0.63033057 0 1
[39,] 0.68000000 0.68037144 1 1
[40,] 0.82666667 0.72657680 1 1
[41,] 0.88000000 0.76837665 1 1
[42,] 0.89333333 0.80549695 1 1
[43,] 0.90666667 0.83792313 1 1
[44,] 0.97333333 0.86584380 1 1
[45,] 0.98666667 0.88958842 1 1
Lampiran 7 : Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode IRWLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER
a. Hasil Estimasi
>estimasi.IRWLS(larva2)
Hasil estimasi :
[,1]
-4.85354531 0.29216975 0.02383477 b. MSE dan APPER > MSE.IRWLS(larva2) Hasil estimasi : Nilai MSE dan APPER dari Metode IRWLS : mse.IRWLS: [1] 0.6763576 M: P Ptopi P.baru Ptopi.baru [1,] 0.01333333 0.03678916 0 0
[2,] 0.05333333 0.04838126 0 0
[3,] 0.10666667 0.06338563 0 0
[4,] 0.13333333 0.08263916 0 0
[5,] 0.14666667 0.10707243 0 0
[6,] 0.17333333 0.13764576 0 0
[7,] 0.20000000 0.17523574 0 0
[9,] 0.25333333 0.33382987 0 0
[10,] 0.28000000 0.40013652 0 0
[11,] 0.29333333 0.47031520 0 0
[12,] 0.02666667 0.04283258 0 0
[13,] 0.13333333 0.05621780 0 0
[14,] 0.14666667 0.07346486 0 0
[15,] 0.22666667 0.09546793 0 0
[16,] 0.29333333 0.12318485 0 0
[17,] 0.42666667 0.15754716 0 0
[18,] 0.44000000 0.24888678 0 0
[19,] 0.45333333 0.30607344 0 0
[20,] 0.49333333 0.36992845 0 0
[21,] 0.54666667 0.43868356 1 0
[22,] 0.56000000 0.58067089 1 1
[23,] 0.60000000 0.64829324 1 1
[24,] 0.04000000 0.16167326 0 0
[25,] 0.12000000 0.20427066 0 0
[26,] 0.22666667 0.25468187 0 0
[27,] 0.36000000 0.31264583 0 0
[28,] 0.40000000 0.37712682 0 0
[29,] 0.42666667 0.44627221 0 0
[30,] 0.45333333 0.51756107 0 1
[31,] 0.50666667 0.58814216 1 1
[32,] 0.53333333 0.65527494 1 1
[33,] 0.57333333 0.71673534 1 1
[35,] 0.66666667 0.81762810 1 1
[36,] 0.68000000 0.85648249 1 1
[37,] 0.74666667 0.88819094 1 1
[38,] 0.12000000 0.78174543 0 1
[39,] 0.68000000 0.82662357 1 1
[40,] 0.82666667 0.86388054 1 1
[41,] 0.88000000 0.89415646 1 1
[42,] 0.89333333 0.91833495 1 1
[43,] 0.90666667 0.93737703 1 1
[44,] 0.97333333 0.95221007 1 1
[45,] 0.98666667 0.96366590 1 1
APPER.IRWLS:
