Analisis Kovarians Multivariat

UJI ASUMSI DAN POSHOC PADA MANCOVA SATU KOVARIAT

Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Statistika Dosen Pengampu : Prof. Dr. Dhoriva Urwatul Wutsqa, M.S.

Kelompok 10

Ziyana Endah Khairun Nisa’ (21309251001) Wiwik Haryanti (21309251004)

PROGRAM MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2021

ANALISIS KOVARIANS MULTIVARIAT A. Pendahuluan

Analysis of Covariance (ANCOVA) adalah analisis yang menggabungkan Regression Analysis dan Analysis of Variance (ANOVA). Di dalam ANCOVA, terdapat satu atau lebih variabel yang disebut variabel concomitant atau covariate. Jika unit-unit eksperimen (subjek) mempunyai karakteristik-karakteristik yang dapat mempengaruhi hasil, maka karakteristik- karakteristik itu mungkin merupakan covariate. Variabel yang dapat dipilih menjadi kovariat adalah variabel yang mempunyai hubungan yang signifikan dengan variabel dependen.

Tujuan utama untuk mengikutsertakan covariate di dalam sebuah eksperimen adalah untuk mendapatkan presisi (precision)/ketelitian dengan cara mengurangi varians error. Tujuan lainnya adalah untuk mengurangi efek dari faktor yang tidak terkontrol dalam eksperimen tersebut.

Sebagai contoh dalam penelitian non eksperimen tujuan ANCOVA adalah untuk menyesuaikan mean postes dengan perbedaan kondisi awal antar kelompok. Pada MANCOVA terdapat beberapa variabel terikat dan covariate dalam analisisnya.

B. Mancova Satu Kovariat

Model umum persamaan MANCOVA untuk satu kovariat dan satu dependent variabel adalah :

𝑌_𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏_𝑖 + 𝛽(𝑋_𝑖𝑗 − 𝑋) + 𝜀_𝑖𝑗, 𝑖 = 1,2, . . . , 𝐾 𝑗 = 1,2, . . . , 𝑛_𝑖 Atau 𝑌_{𝑎𝑑𝑗.𝑖𝑗} = 𝑌_𝑖𝑗 − 𝛽(𝑋_𝑖𝑗 − 𝑋. . ) = 𝜇 + 𝜏_𝑖 + 𝜀_𝑖𝑗,

𝑖 = 1,2, . . . , 𝐾 𝑗 = 1,2, . . . , 𝑛_𝑖 dimana :

𝑌_𝑖𝑗= vektor pengamatan variabel dependen pengamatan ke j kelompok ke i 𝜏_𝑖 = pengaruh treatment (perlakuan) (vektor) kelompok ke i

𝑋_𝑖𝑗 = nilai pengamatan kovariat yang bersesuaian dengan 𝑦_𝑖𝑗 𝛽 = slope pada regresi hubungan 𝑋_𝑖𝑗 dan 𝑌_𝑖𝑗

𝜀_𝑖𝑗, = vector error pada pengamatan ke j kelompok ke i K = banyak kelompok

𝑛_𝑖 = banyak pengamatan pada kelompok ke i 𝜀_𝑖𝑗 berdistribusi normal multivariat 𝑁_𝑝(0, 𝛴)

Asumsi yang harus dipenuhi dalam MANCOVA adalah ada hubungan linear antara kovariat 𝑋_𝑖𝑗( 𝑋_𝑖𝑗1 dan 𝑋_𝑖𝑗2, untuk dua kovariat) dan vector variabel dependen 𝑌_𝑖𝑗, slope persamaan

regresi antara kelompok sama. Dengan demikian terdapat tiga uji hipotesis dalam ancova, yang ketiga adalah untuk menguji adanya pengaruh perlakuan atau perbedaan mean yang disesuaikan dengan kovariat antar kelompok.

1. Hipotesis untuk menguji apakah terdapat pengaruh dari treatments (perlakuan) terhadap variabel dependen Y, yaitu :

𝐻₀: 𝜏₁ = 𝜏₂ = . . . = 𝜏_𝐾, 𝐻₁: ∃𝜏_𝑖 ≠ 𝜏_𝑖′

atau

𝐻₀: 𝜇_{1 𝑎𝑑𝑗} = 𝜇_{2 𝑎𝑑𝑗} = . . . = 𝜇_{𝐾 𝑎𝑑𝑗}, 𝐻₁: ∃𝜇_𝑖 ≠ 𝜇_𝑖′

Untuk menguji hipotesis tersebut, digunakan langkah-langkah sebagai berikut

∧₁=∧ (𝑥, 𝑦)

∧ (𝑥) = |𝐸|/|𝐸 + 𝐻|

|𝐸_𝑋𝑋|/|𝐸_𝑋𝑋+ 𝐻_𝑋𝑋| Tolak 𝐻₀ ∧₁<∧_{𝑎,𝑝,𝑣𝐾−1,𝑁−𝐾−𝑞}

Catatan : Perhitungan matriks E sama dengan matriks W matriks dan matriks H sama dengan matriks B tapi dengan melibatkan semua variabel Y dan X.

2. Hipotesis untuk menguji apakah terdapat hubungan linier antara dependent variable dan covariate adalah

𝐻₀: 𝛽 = 0

(tidak ada hubungan linear antara kovariat 𝑋_𝑖𝑗( 𝑋_𝑖𝑗1 dan 𝑋_𝑖𝑗2, untuk dua kovariat) dan vector variabel dependen 𝑌_𝑖𝑗)

𝐻₁: 𝛽 ≠ 0

(ada hubungan linear antara kovariat 𝑋_𝑖𝑗( 𝑋_𝑖𝑗1 dan 𝑋_𝑖𝑗2, untuk dua kovariat) dan vector variabel dependen 𝑌_𝑖𝑗)

Untuk menguji hipotesis tersebut, digunakan langkah-langkah berikut ini :

(1) Hitung matriks SSCP1 (E1), SSCP2 (E2),...,SSCPK (EK), K = banyaknya grup/kelompok (2) Hitung matriks 𝐸 = 𝐸₁+ 𝐸₂+. . . +𝐸_𝐾 = [𝑆𝑦𝑦 𝑆𝑦𝑥

𝑆𝑥𝑦 𝑆𝑥𝑥] Hitung

∧₂= ^{|𝐸𝑌𝑌−𝐸𝑌𝐾𝐸𝑋𝑋}

−1𝐸_𝑥𝑦2|

|𝐸_𝑌𝑌|

Tolak H0 jika ∧₂<∧_{𝑎,𝑝,𝑞,𝑣𝐸−𝑞,} 𝑣_𝐸 = 𝑁 − 𝐾

3. Hipotesis untuk menguji apakah slope sama untuk semua groups (perlakuan) atau bisa disebut uji kesamaan slopes (homogeneity of slopes), yaitu :

𝐻₀: 𝛽₁ = 𝛽₂ = . . . = 𝛽_𝐾 𝐻₁: ∃𝛽_𝑖 ≠ 𝛽_𝑖′

∧₃= ^{|𝐸𝑦𝑦−∑}

𝐾

𝑖=1 𝐸_𝑦𝑥𝑖.𝐸_𝑋𝑥⁻¹𝐸_𝑥𝑦𝑖 |

|𝐸_𝑦𝑦−𝐸_𝑦𝑥𝐸_𝑥𝑥⁻¹𝐸_𝑥𝑦|

Tolak 𝐻₀ jika ∧₃< ∧(0,05:𝑝:𝑞(𝐾−1):𝑁−𝐾(1+𝑞))

4. Pos Hoc dalam Mancova a) Uji Lanjut dengan Uji t Hipotesis :

𝐻₀: 𝜇_{𝑖𝑗(𝑎𝑑𝑗)}= 𝜇_{𝑖𝑗′(𝑎𝑑𝑗)} 𝐻₁: 𝜇_{𝑖𝑗(𝑎𝑑𝑗)} ≠ 𝜇_{𝑖𝑗′(𝑎𝑑𝑗)} 𝐻₁: 𝜇_{𝑖𝑗(𝑎𝑑𝑗)} > 𝜇_{𝑖𝑗′(𝑎𝑑𝑗)} 𝐻₁: 𝜇_{𝑖𝑗(𝑎𝑑𝑗)} < 𝜇_{𝑖𝑗′(𝑎𝑑𝑗)} Statistik Uji :

𝑡 = 𝑌̅_{𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)} − 𝑌̅_{𝑖′𝑙(𝑎𝑑𝑗)}

√𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗(_𝑛𝑖¹ +_𝑛𝑖′¹ +^(𝑋̅𝑖_𝐸𝑥𝑥^{+𝑋̅𝑖′)2}) Dengan

𝑌̅_{𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)} = 𝑌̅_𝑖𝑙− 𝛽̂𝑤 = 𝐸_𝑥𝑦1 𝐸_𝑥𝑥 𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗 = 𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗

𝑛₁+ 𝑛₂+ ⋯ + 𝑛_𝐾− 𝐾 − 1 𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗 = 𝐸_{𝑌𝑙𝑌𝑙}−(𝐸_𝑋𝑌𝑙)²

𝐸_𝑋𝑋 Kriteria : 𝐻₀ ditolak jika

1. |𝑡| > 𝑡^𝑎

2,𝑛1+𝑛2+⋀+𝑛𝐾−𝐾−1

2. 𝑡 > 𝑡^𝑎

2,𝑛1+𝑛2+⋀+𝑛𝐾−𝐾−1 3. 𝑡 < 𝑡^𝑎2,𝑛1+𝑛2+⋀+𝑛𝐾−𝐾−1

Untuk t Bonferoni nilai 𝑡^𝑎2,𝑛1+𝑛2+⋀+𝑛𝐾−𝐾−1 diganti 𝑡𝑝𝐾(𝐾−1),𝑛1+𝑛2+⋀+𝑛𝐾−𝐾−1^𝑎

b) Uji Fisher Hayter

𝑞𝐹𝐻 = 𝑌̅_{𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)}− 𝑌̅_{𝑖′𝑙(𝑎𝑑𝑗)}

√𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗(_𝑛𝑖¹ +_𝑛𝑖¹′+^{(𝑋̅𝑖+𝑋̅𝑖′)}

2 𝐸𝑥𝑥 )/2 Kriteria :

𝐻₀ ditolak jika |𝑞𝐹𝐻| > 𝑞𝑎,𝐾−1,𝑛1+𝑛2+⋀+𝑛𝐾−𝐾−1

c) Uji Bryant-Paulson

𝐵𝑃 = 𝑌̅_{𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)} − 𝑌̅_{𝑖′𝑙(𝑎𝑑𝑗)}

√𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗(_𝑛𝑖¹ +_𝑛𝑖¹_′+^{(𝑋̅𝑖+𝑋̅𝑖′)}

2 𝐸𝑥𝑥 )/2 Kriteria :

𝐻₀ ditolak jika |𝑞𝐹𝐻| > 𝑞𝑎,1,𝐾,𝑛1+𝑛2+⋀+𝑛𝐾−𝐾−1

d) Uji Scheffe

𝐹𝑆 = (𝑌̅_{𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)}− 𝑌̅_𝑖^′_{𝑙(𝑎𝑑𝑗)})² 𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗(_𝑛𝑖¹ +_𝑛𝑖¹_′+^{(𝑋̅𝑖+𝑋̅𝑖′)}

2 𝐸𝑥𝑥 ) Kriteria :

𝐻₀ ditolak jika |𝐹𝑆| > (𝐾 − 1) ∗ 𝐹𝑎,𝐾−1,𝑛1+𝑛2+⋀+𝑛𝐾−𝐾−1

CONTOH KASUS DAN PEMBAHASAN

Seorang peneliti ingin mengetahui apakah terdapat pengaruh antara metode diskusi dengan metode discovery learning terhadap hasil belajar IPA dan Matematika siswa. Pengambilan sampel dilakukan secara acak. Dalam hal ini, terdapat variabel lain yaitu IQ yang diperkirakan dapat mempengaruhi pencapaian prestasi belajar mahasiswa. Data nilai siswa pada mata pelajaran IPA dan Matematika adalah sebagai berikut:

No

Diskusi Discovery Learning IQ IPA Matematika IQ IPA Matematika

1 106 35 36 105 51 45

2 97 54 56 88 78 73

3 102 31 31 90 75 81

4 95 58 59 106 57 49

5 103 35 34 87 79 85

6 94 62 62 107 61 52

7 104 39 36 85 88 80

8 104 41 38 83 85 91

9 92 68 66 82 87 93

10 90 45 41 83 94 84

11 105 47 42 108 71 59

12 90 74 70 84 98 82

Keterangan:

𝑁 = (𝑛₁+ 𝑛₁) 𝑁 = 24

𝑛₁ = 𝑛 𝑔𝑟𝑜𝑢𝑝 1 𝑛₁ = 12

𝑛₂ = 𝑛 𝑔𝑟𝑜𝑢𝑝 2 𝑛₂ = 12

𝑛 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑔𝑟𝑜𝑢𝑝

𝑝 = banyak variabel terikat 𝑝 = 2

𝑞 = banyak variabel kovariat 𝑞 = 1

𝐾 = banyak kelompok 𝐾 = 2

UJI ASUMSI PADA MANCOVA SATU KOVARIAT Langkah-langkah sebelum melakukan perhitungan uji, adalah sebagai berikut:

1. Menghitung matriks SSCP1 (E1), SSCP2 (E2), ... , SSCPK (EK)

W1/SSCP Model 1 (E1)

2160,91667 2123,417 -742,5 2123,41667 2144,917 -730,5 -742,5 -730,5 413

2. Menghitung matriks SSCP total (Matriks S) = SSCP1 + SSCP2 = [𝑆𝑦𝑦 𝑆𝑦𝑥 𝑆𝑥𝑦 𝑆𝑥𝑥] Wtotal/E (Matriks S)

4552,916667 4556,416667 -2276,5 4556,416667 5324,583333 -2626,8333 -2276,5 -2626,833333 1677,66667 3. Menghitung matriks T = [𝑇𝑦𝑦 𝑇𝑦𝑥

𝑇𝑥𝑦 𝑇𝑥𝑥] Matriks SSCP (T) = E + B total 9228,95833 8785,792 -3309,42 8785,79167 9149,958 -3561,08 -3309,4167 -3561,08 1905,833 Selanjutnya dilakukan uji berikut:

a. Menguji perbedaan rata-rata populasi (hipotesis untuk menguji apakah terdapat pengaruh dari treatments (perlakuan-perlakuan) terhadap variabel terikat (Y)

1) Hipotesis Statistik :

𝐻₀: 𝜇_{1𝑎𝑑𝑗} = 𝜇_{2𝑎𝑑𝑗} = ⋯ 𝜇_{𝑗𝑎𝑑𝑗} 𝐻₁: ∃𝜇_𝑖 ≠ 𝜇_𝑖′

2) Hipotesis Penelitian

H0 = Rata-rata populasi tidak berbeda secara signifikan H1 = Rata-rata populasi berbeda secara signifikan 3) Taraf Signifikansi : 𝑎 = 0,05

4) Kriteria Keputusan :

⋀₁ =⋀(𝑥, 𝑦)

⋀(𝑥) = |𝑊|/|𝑇|

|𝑆𝑥𝑥|/|𝑇𝑥𝑥|= |𝑆|/|𝑇|

|𝑆𝑥𝑥|/|𝑇𝑥𝑥|

W2/SSCP Model 2 (E2)

2392 2433 -1534

2433 3179,66667 -1896,333333 -

1534 -1896,3333 1264,666667

Keterangan

Syy Syx

Sxy Sxx

Keterangan

Tyy Tyx

Txy Txx

5) Perhitungan a) Cari |𝑆|

Matriks 𝑆

Matriks S/Wtotal

4552,91667 4556,417 -2276,5 4556,41667 5324,583 -2626,83 -2276,5 -2626,83 1677,667 Maka nilai |𝑆| =1324654005 b) Cari |𝑇|

Matriks 𝑇

Matriks T = S + B

9228,95833 8785,792 -3309,42 8785,79167 9149,958 -3561,08 -3309,4167 -3561,08 1905,833 Maka nilai |𝑇| = 3660936713 c) Cari |𝑆𝑥𝑥|

Maka nilai |𝑆𝑥𝑥| = 1677,66667 d) Cari |𝑇𝑥𝑥|

Matriks 𝑇𝑥𝑥

1905,83333

Maka nilai |𝑇𝑥𝑥| = 1905,83333

e) Hitung nilai ⋀₁ dengan menggunakan rumus:

⋀₁ =^{⋀(𝑥,𝑦)}

⋀(𝑥) =|𝑆𝑥𝑥|/|𝑇𝑥𝑥|^{|𝑆|/|𝑇|}

⋀₁ = 0,4110451

f) Cari nilai ⋀(0,05;𝑝;𝐾−1;𝑁−𝐾−𝑞) = ⋀(0,05;2;1;21)= 0,741 g) Kesimpulan

Karena ⋀₁ = 0,4110451 < ⋀(0,05;2;1;21) = 0,741 maka H0 ditolak, artinya rata-rata populasi berbeda secara signifikan.

Matriks 𝑆𝑥𝑥 1677,66667

b. Uji Linearitas 1) Hipotesis Statistik :

𝐻₀: 𝛽 = 0 𝐻₁: 𝛽 ≠ 0

2) Hipotesis Penelitian

H0 : Tidak ada hubungan linear antara IPA (Y1) dan Matematika Y2) dengan IQ (X) H1 : Ada hubungan linear antara IPA (Y1) dan Matematika Y2) dengan IQ (X) 3) Taraf signifikansi : 𝑎 = 0,05

4) Statistik Uji :

⋀₂ = ^{|𝑆𝑦𝑦−𝑆𝑦𝑦}

−1𝑆_𝑥𝑦| 𝑆_𝑦𝑦 5) Kriteria Keputusan :

6) 𝐻₀ 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 ∧₂=∧(𝑎;𝑝;𝑞;𝑉𝐸−𝑞 𝑉_𝐸 = 𝑁 − 𝐾 7) Hitungan

a) Cari 𝑆_𝑋𝑋⁻¹ 𝑆_𝑋𝑋⁻¹ 0,000596066 b) Cari Matriks 𝑆_𝑦𝑥. 𝑆_𝑥𝑥⁻¹

-1,35694417 -1,56576594

c) Cari Matriks 𝑆_𝑦𝑥. 𝑆_𝑥𝑥⁻¹. 𝑆_𝑥𝑦 3089,0834 3564,466173 3564,466173 4113,006176 d) Cari Matriks 𝑆_𝑦𝑦− (𝑆_𝑦𝑥. 𝑆_𝑥𝑥⁻¹. 𝑆_𝑥𝑦)

1463,833267 991,9504934 991,9504934 1211,577157

e) Cari Matriks |𝑆_𝑦𝑦− (𝑆_𝑦𝑥. 𝑆_𝑥𝑥⁻¹. 𝑆_𝑥𝑦)|

|𝑆_𝑦𝑦− (𝑆_𝑦𝑥. 𝑆_𝑥𝑥⁻¹. 𝑆_𝑥𝑦)|

789581,1673

f) Cari |𝑆_𝑦𝑦|

|𝑆_𝑦𝑦| 3481451,361

g) Hitung nilai ⋀₂ dengan menggunakan rumus

⋀₂ = ^{|𝑆𝑦𝑦−𝑆𝑦𝑦}

−1𝑆𝑥𝑦| 𝑆𝑦𝑦

⋀₂ = 0,226796553

h) Cari nilai ⋀(0,05;𝑝;𝑞;𝑉𝐸−𝑞) = ⋀(0,05;2;1;21) = 0,741 i) Kriteria Uji H0 ditolak jika ⋀₂ < ⋀(0,05;𝑝;𝑞;𝑉𝐸−𝑞)

j) Kesimpulan

Karena ⋀₂ = 0,226796553 < ⋀(0,05;𝑝;𝑞;𝑉𝐸−𝑞)=⋀(0,05;2;1;21) = 0,741 maka H0 ditolak, artinya ada hubungan linear antara variabel covariate (X) dan variabel dependen (Y1, Y2)

c. Uji Asumsi Homogenitas Slops 1) Hipotesis Statistik :

𝐻₀: 𝛽₁ = 𝛽₂ = ⋯ = 𝛽_𝐾 𝐻₁: ∃𝛽_𝑖 ≠ 𝛽_𝑖′

2) Hipotesis Penelitian

H0 : Tidak ada perbedaan slope dari populasi kedua kelompok tersebut yaitu antara IPA (Y1) dan Matematika Y2) (slope untuk kelompok homogen)

H1 : Ada perbedaan slope dari populasi kedua kelompok tersebut 3) Taraf signifikansi : 𝑎 = 0,05

4) Statistik Uji :

⋀₃ = ^{|𝑆𝑦𝑦−∑ 𝑆𝑦𝑥𝑖𝑆𝑥𝑥𝑖}

−1𝑆_𝑥𝑦𝑖 𝐾

𝑖=1 |

|𝑆𝑦𝑦−𝑆𝑦𝑥𝑆𝑥𝑥−1−𝑆𝑥𝑦| 5) Kriteria Keputusan :

𝐻₀ 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 ∧₂< ∧(𝑎;𝑝;𝑞(𝐾−1);𝑉𝐸−𝑞𝐾 6) Perhitungan

a) Cari Matriks 𝑆_𝑦𝑥1𝑆_𝑥𝑥1⁻¹𝑆_𝑥𝑦1

1334,882 1313,308 1313,308 1292,083 b) Cari Matriks 𝑆_𝑦𝑥2𝑆_𝑥𝑥2⁻¹𝑆_𝑥𝑦2

1860,693 2300,191 2300,191 2843,5

c) Hitung Matriks ∑²_𝑖=1𝑆_𝑦𝑥𝑖𝑆_𝑥𝑥𝑖⁻¹𝑆_𝑥𝑦𝑖 3195,575 3613,499

3613,499 4135,583

d) Cari Matriks 𝑆_𝑦𝑦− ∑²_𝑖=1𝑆_𝑦𝑥𝑖𝑆_𝑥𝑥𝑖⁻¹𝑆_𝑥𝑦𝑖 1357,342 942,9172

942,9172 1189

e) Cari Matriks |𝑆_𝑦𝑦− ∑²_𝑖=1𝑆_𝑦𝑥𝑖𝑆_𝑥𝑥𝑖⁻¹𝑆_𝑥𝑦𝑖| =724786,9

f) Sebelumnya, sudah diketahui bahwa |𝑆_𝑦𝑦− (𝑆_𝑦𝑥. 𝑆_𝑥𝑥⁻¹. 𝑆_𝑥𝑦)| =789581,1673 g) Hitung nilai ⋀₃ dengan menggunakan rumus

⋀₃ = ^{|𝑆𝑦𝑦−∑ 𝑆𝑦𝑥𝑖𝑆𝑥𝑥𝑖}

−1𝑆_𝑥𝑦𝑖 2

𝑖=1 |

|𝑆𝑦𝑦−(𝑆𝑦𝑥.𝑆𝑥𝑥−1.𝑆𝑥𝑦)|

⋀₃ = 0,917938

h) 𝐻₀ 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 ∧₃< ∧(𝑎;𝑝;𝑞(𝐾−1);𝑉𝐸−𝑞𝐾= 0,730 i) Kesimpulan

Karena ∧₃= 0,917938 > ∧(𝑎;𝑝;𝑞(𝐾−1);𝑉𝐸−𝑞𝐾= 0,730 maka H0 diterima, artinya tidak ada perbedaan slope dari populasi ketiga kedua kelompok tersebut (slope untuk semua kelompok homogen)

POS HOC MANCOVA SATU KOVARIAT Hal-hal yang perlu diketahui dalam melakukan uji lanjut pos hoc adalah

Mean Y1 Y2 X1

Grup 1 49,08333 47,583 98,500

Grup 2 77,00000 72,833 92,333

Mean total x 95,417

1463,833267 991,9504934 991,9504934 1211,577157 Uji lanjut atau uji pos hoc akan dilakukan ke dalam 4 cara yaitu :

1. Uji Lanjut dengan Uji t Hipotesis :

𝐻₀: 𝜇_{𝑖𝑗(𝑎𝑑𝑗)}= 𝜇_{𝑖𝑗′(𝑎𝑑𝑗)} 𝐻₁: 𝜇_{𝑖𝑗(𝑎𝑑𝑗)} ≠ 𝜇_{𝑖𝑗′(𝑎𝑑𝑗)} 𝐻₁: 𝜇_{𝑖𝑗(𝑎𝑑𝑗)} > 𝜇_{𝑖𝑗′(𝑎𝑑𝑗)} 𝐻₁: 𝜇_{𝑖𝑗(𝑎𝑑𝑗)} < 𝜇_{𝑖𝑗′(𝑎𝑑𝑗)} Statistik Uji :

𝑡 = 𝑌̅_{𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)} − 𝑌̅_{𝑖′𝑙(𝑎𝑑𝑗)}

√𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗(_𝑛𝑖¹ +_𝑛𝑖′¹ +^(𝑋̅𝑖_𝐸𝑥𝑥^{+𝑋̅𝑖′)2}) Dengan

𝑌̅_{𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)} = 𝑌̅_𝑖𝑙− 𝛽̂𝑤 = 𝐸_𝑥𝑦1 𝐸_𝑥𝑥 𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗 = 𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗

𝑛₁+ 𝑛₂+ ⋯ + 𝑛_𝐾− 𝐾 − 1

Y1 Y2 X1

W TOTAL/E TOTAL/MATRIKS S Y1 4552,917 4556,417 -2276,5 Y2 4556,417 5324,583 -2626,83333 X -2276,5 -2626,83 1677,666667

Keterangan

Syy Syx

Sxy Sxx

𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗 = 𝐸_{𝑌𝑙𝑌𝑙}−(𝐸_𝑋𝑌𝑙)² 𝐸_𝑋𝑋 Kriteria : 𝐻₀ ditolak jika

1. |𝑡| > 𝑡^𝑎2,𝑛1+𝑛2+⋀+𝑛𝐾−𝐾−1

2. 𝑡 > 𝑡^𝑎2,𝑛1+𝑛2+⋀+𝑛𝐾−𝐾−1

3. 𝑡 < 𝑡^𝑎

2,𝑛1+𝑛2+⋀+𝑛𝐾−𝐾−1

Untuk t Bonferoni nilai 𝑡^𝑎

2,𝑛1+𝑛2+⋀+𝑛𝐾−𝐾−1 diganti 𝑡 ^𝑎

𝑝𝐾(𝐾−1),𝑛1+𝑛2+⋀+𝑛𝐾−𝐾−1

a) Y1 Grup 1 dengan Y1 Grup 2

❖ Mencari ^{(𝑋̅𝑖+𝑋}_𝐸𝑥𝑥^̅𝑖′)2 = 0,022667064

❖ 𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗 = 1463,833267

1) Y1 Grup 1 dengan Y2 Grup 2 a) Hipotesis Statistik :

𝐻₀: 𝜇_{1(𝑎𝑑𝑗)}= 𝜇_{2(𝑎𝑑𝑗)} 𝐻₀: 𝜇_{1(𝑎𝑑𝑗)}≠ 𝜇_{2(𝑎𝑑𝑗)} b) Hipotesis Penelitian :

H0 : tidak ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y1 pada Grup 1 dengan Y1 pada Grup 2

H1 : Ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y1 pada Grup 1 dengan Y1 pada Grup 2

c) Kriteria :

H0 ditolak jika |𝑡| > 𝑡^𝑎2,𝑛1+𝑛2+⋀+𝑛𝐾−𝐾−1

❖ 𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗 = ^{𝑆𝑆𝑎𝑑𝑗}

𝑛₁+𝑛₂+⋯+𝑛_𝐾−𝐾−1= 69,70635

❖ 𝛽̂𝑤 =^{𝐸𝑥𝑦1}

𝐸𝑥𝑥 = -1,356944168

❖ 𝛽̂𝑤 =^{𝐸𝑥𝑦2}

𝐸𝑥𝑥 = -1,56577

❖ 𝑌̅_{𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)} = 53,26724

❖ 𝑌̅_{𝑖′𝑙(𝑎𝑑𝑗)} = 72,17222

d) Perhitungan

𝑡 = ^{𝑌̅𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)−𝑌̅𝑖′𝑙(𝑎𝑑𝑗)}

√𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗(_𝑛𝑖¹+_𝑛𝑖′¹+^{(𝑋̅𝑖+𝑋}_𝐸𝑥𝑥^̅𝑖′)2)

𝑡 = 53,26724−72,17222

√69,70635 (₁₂¹+₁₂¹ +0,022667064)

𝑡 = -5,203865

|𝑡| = 5,203865 e) Kesimpulan:

Karena |𝑡| = 5,203865 < 𝑡_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙} = 2,413845 maka H0 diterima. Artinya tidak ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y1 pada grup 1 dengan Y1 pada grup 2

b) Y2 Grup 1 dengan Y2 Grup 2

❖ Mencari ^{(𝑋̅𝑖+𝑋}_𝐸𝑥𝑥^̅𝑖′)2 = 0,022667064

❖ 𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗 = 1211,577157 a) Hipotesis Statistik :

𝐻₀: 𝜇_{1(𝑎𝑑𝑗)}= 𝜇_{2(𝑎𝑑𝑗)} 𝐻₀: 𝜇_{1(𝑎𝑑𝑗)}≠ 𝜇_{2(𝑎𝑑𝑗)} b) Hipotesis Penelitian :

H0 : tidak ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y2 pada Grup 1 dengan Y2 pada Grup 2

H1 : Ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y2 pada Grup 1 dengan Y2 pada Grup 2

c) Kriteria :

H0 ditolak jika |𝑡| > 𝑡^𝑎

2,𝑛1+𝑛2+⋀+𝑛𝐾−𝐾−1

❖ 𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗 = ^{𝑆𝑆𝑎𝑑𝑗}

𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛𝐾−𝐾−1=57,69415035

❖ 𝛽̂𝑤 =^{𝐸𝑥𝑦1}

𝐸𝑥𝑥 = -1,356944168

❖ 𝛽̂𝑤 =^{𝐸𝑥𝑦2}

𝐸_𝑥𝑥 = -1,56577

❖ 𝑌̅_{𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)} = 51,76724452

❖ 𝑌̅_{𝑖′𝑙(𝑎𝑑𝑗)} = 68,005555

d) Perhitungan

𝑡 = ^{𝑌̅𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)−𝑌̅𝑖′𝑙(𝑎𝑑𝑗)}

√𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗(_𝑛𝑖¹+_𝑛𝑖′¹+^{(𝑋̅𝑖+𝑋}_𝐸𝑥𝑥^̅𝑖′)2)

𝑡 = 51,76724452−68,005555

√57,69415035 (₁₂¹+₁₂¹ +0,022667064)

𝑡 = - 4,913160525

|𝑡| = 4,913160525 e) Kesimpulan:

Karena |𝑡| = 4,913160525 > 𝑡_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙}= 2,413845 maka H0 ditolak. Artinya ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y2 pada grup 1 dengan Y2 pada grup 2

2. Uji lanjut dengan Fisher Hayter

• Uji Fisher Hayter: q𝐹𝐻 = ^{𝑌̅𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)−𝑌̅𝑖′𝑙(𝑎𝑑𝑗)}

√𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗(¹ 𝑛𝑖+_𝑛¹

𝑖′

+^(𝑋

̅𝑖−𝑋̅ 𝑖′)2 𝐸𝑥𝑥 ) 2⁄

Kriteria :𝐻₀ ditolak jika |𝑞𝐹𝐻|>𝑞_{𝛼,𝐾−1,𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛𝐾−𝐾−1} 1) Y1 grup 1 dengan Y1 grup 2

a) Hipotesis Statistik : 𝐻₀: 𝜇_{1(𝑎𝑑𝑗)} = 𝜇_{2(𝑎𝑑𝑗)} 𝐻₀: 𝜇_{1(𝑎𝑑𝑗)} ≠ 𝜇_{2(𝑎𝑑𝑗)} b) Hipotesis Penelitian :

H0 : tidak ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y1 pada Grup 1 dengan Y1 pada Grup 2

H1 : Ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y1 pada Grup 1 dengan Y1 pada Grup 2

𝑞𝐹𝐻 = ^{𝑌̅𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)−𝑌̅𝑖′𝑙(𝑎𝑑𝑗)}

√𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗(¹ 𝑛𝑖+_𝑛¹

𝑖′

+^(𝑋

̅𝑖−𝑋̅ 𝑖′)2 𝐸𝑥𝑥 ) 2⁄

=7.359376122

sedangkan 𝑞 table= 𝑞_0.05,1,21 = 2,941

Karena |𝑞𝐹𝐻| = 7.359376122 > 𝑞 tabel = 2,941maka H0 ditolak sehingga dapat diartikan terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y1 pada Grup 1 dengan Y1 pada Grup 2

2) Y2 grup 1 dengan Y2 grup 2 a) Hipotesis Statistik :

𝐻₀: 𝜇_{1(𝑎𝑑𝑗)} = 𝜇_{2(𝑎𝑑𝑗)} 𝐻₀: 𝜇_{1(𝑎𝑑𝑗)} = 𝜇_{2(𝑎𝑑𝑗)} b) Hipotesis Penelitian :

H0 : tidak ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y2 pada Grup 1 dengan Y2 pada Grup 2

H1 : Ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y2 pada Grup 1 dengan Y2 pada Grup 2

𝑞𝐹𝐻 = ^{𝑌̅𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)−𝑌̅𝑖′𝑙(𝑎𝑑𝑗)}

√𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗(¹ 𝑛𝑖+¹

𝑛𝑖′

+^{(𝑋̅𝑖−𝑋̅𝑖′)} 2 𝐸𝑥𝑥 ) 2⁄

= 6.948258248

sedangkan 𝑞 table= 𝑞_0.05,1,21 = 2,941

Karena |𝑞𝐹𝐻| = 6.948258248 > 𝑞 tabel = 2,941maka H0 ditolak sehingga dapat diartikan terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y2 pada Grup 1 dengan Y2 pada Grup 2

3. Uji lanjut dengan Bryant- Paulson B𝑃 = ^{𝑌̅𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)−𝑌̅𝑖′𝑙(𝑎𝑑𝑗)}

√𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗(¹ 𝑛𝑖+¹

𝑛𝑖′

+^{(𝑋̅𝑖−𝑋̅𝑖′)} 2 𝐸𝑥𝑥 ) 2⁄

Kriteria :𝐻₀ ditolak jika |𝐵𝑃|>𝑞_{𝛼,1, 𝐾,𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛𝐾−𝐾−1} 1) Y1 grup 1 dengan Y1 grup 2

a) Hipotesis Statistik : 𝐻₀: 𝜇_{1(𝑎𝑑𝑗)} = 𝜇_{2(𝑎𝑑𝑗)} 𝐻₀: 𝜇_{1(𝑎𝑑𝑗)} ≠ 𝜇_{2(𝑎𝑑𝑗)}

b) Hipotesis Penelitian :

H0 : tidak ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y1 pada Grup 1 dengan Y1 pada Grup 2

H1 : Ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y1 pada Grup 1 dengan Y1 pada Grup 2

𝐵𝑃 = ^{𝑌̅𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)−𝑌̅𝑖′𝑙(𝑎𝑑𝑗)}

√𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗(¹ 𝑛𝑖+_𝑛¹

𝑖′

+^(𝑋

̅𝑖−𝑋̅ 𝑖′)2 𝐸𝑥𝑥 ) 2⁄

=7.359376122

sedangkan 𝑞 tabel= 𝑞0.05,1,2,21 = 3,0175

Karena 𝐵𝑃 = 7.359376122 > 𝑞 tabel = 3,0175 maka H0 ditolak sehingga dapat diartikan terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y1 pada Grup 1 dengan Y1 pada Grup 2

2) Y2 grup 1 dengan Y2 grup 2 c) Hipotesis Statistik :

𝐻₀: 𝜇_{1(𝑎𝑑𝑗)} = 𝜇_{2(𝑎𝑑𝑗)} 𝐻₀: 𝜇_{1(𝑎𝑑𝑗)} ≠ 𝜇_{2(𝑎𝑑𝑗)} d) Hipotesis Penelitian :

H0 : tidak ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y2 pada Grup 1 dengan Y2 pada Grup 2

H1 : Ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y2 pada Grup 1 dengan Y2 pada Grup 2

𝐵𝑃 = ^{𝑌̅𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)−𝑌̅𝑖′𝑙(𝑎𝑑𝑗)}

√𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗(¹ 𝑛𝑖+_𝑛¹

𝑖′

+^(𝑋

̅𝑖−𝑋̅ 𝑖′)2 𝐸𝑥𝑥 ) 2⁄

= 6.948258248

sedangkan 𝑞 table= 𝑞_0.05,1,21 = 3,0175

Karena 𝐵𝑃 = 6.948258248 > 𝑞 tabel = 3,0175 maka H0 ditolak sehingga dapat diartikan terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y2 pada Grup 1 dengan Y2 pada Grup 2

4. Uji lanjut dengan Scheffe

𝑆 = (𝑌̅_{𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)}− 𝑌̅_𝑖^′_{𝑙(𝑎𝑑𝑗)})² 𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗(1

𝑛_𝑖+ 1

𝑛_𝑖^′ +(𝑋̅_𝑖− 𝑋̅_𝑖^′)² 𝐸_𝑥𝑥 )

Kriteria :𝐻₀ ditolak jika |𝐹𝑆|>(𝐾 − 1)𝐹_{𝛼,𝐾−1,𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛𝐾−𝐾−1} 1) Y1 grup 1 dengan Y1 grup 2

a) Hipotesis Statistik : 𝐻₀: 𝜇_{1(𝑎𝑑𝑗)} = 𝜇_{2(𝑎𝑑𝑗)} 𝐻₀: 𝜇_{1(𝑎𝑑𝑗)} ≠ 𝜇_{2(𝑎𝑑𝑗)} b) Hipotesis Penelitian :

H0 : tidak ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y1 pada Grup 1 dengan Y1 pada Grup 2

H1 : Ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y1 pada Grup 1 dengan Y1 pada Grup 2

𝐹𝑆 = ^{(𝑌̅𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)−𝑌̅𝑖′𝑙(𝑎𝑑𝑗))}

2

𝑀𝑆𝑆𝑎𝑑𝑗(¹ 𝑛𝑖+_𝑛¹

𝑖′

+^(𝑋

̅𝑖−𝑋̅ 𝑖′)2 𝐸𝑥𝑥 )

= 27.08020846

sedangkan 𝐹 tabel= = (2 − 1)𝐹_0.05,1,21 = 4,38075

Karena 𝐹𝑆 = 27.08020846 > 𝐹 tabel = 4,38075 maka H0 ditolak sehingga dapat diartikan terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y1 pada Grup 1 dengan Y1 pada Grup 2

2) Y2 grup 1 dengan Y2 grup 2 a) Hipotesis Statistik :

𝐻₀: 𝜇_{1(𝑎𝑑𝑗)} = 𝜇_{2(𝑎𝑑𝑗)} 𝐻₀: 𝜇_{1(𝑎𝑑𝑗)} ≠ 𝜇_{2(𝑎𝑑𝑗)} b) Hipotesis Penelitian :

H0 : tidak ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y2 pada Grup 1 dengan Y2 pada Grup 2

H1 : Ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y2 pada Grup 1 dengan Y2 pada Grup 2

𝐹𝑆 = ^{(𝑌̅𝑖𝑙(𝑎𝑑𝑗)−𝑌̅𝑖′𝑙(𝑎𝑑𝑗))}

2

𝑀𝑆𝑆_𝑎𝑑𝑗(¹ 𝑛𝑖+_𝑛¹

𝑖′

+^(𝑋

̅𝑖−𝑋̅ 𝑖′)2 𝐸𝑥𝑥 )

= 24.13914634

sedangkan 𝐹 table= = (2 − 1)𝐹_0.05,1,21 = 4,38075

Karena 𝐹𝑆 = 24.13914634 > 𝐹 tabel = 4,38075 maka H0 ditolak sehingga dapat diartikan terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan antara Y2 pada Grup 1 dengan Y2 pada Grup 2

PROSEDUR PENYELESAIAN DENGAN SPSS

Terdapat dua cara untuk mengolah data menggunakan SPSS yaitu sebagai berikut:

CARA I. Olah Data Tidak Menggunakan Syntax SPSS Langkah-langkah:

1. Input data

2. Analyze – General Linear Model – Multivariate

3. Masukan IPA (Y1), Matematika (Y2) ke Dependent Variables, IQ (X) ke Covariate (s), dan Metode ke Fixed Factor (s).

4. Klik Model – Specify factorial diganti Custom

Type : Main effect lalu masukkan Metode ke Model dan X ke Model

Lalu Type diganti Interaction, masukkan Metode dan IQ secara bersamaan ke dalam Model.

Klik Continue.

5. Klik Options, pindahkan Metode ke Display Means for. Centang Descriptive statistics, Parameter estimates, Homogenity tests.

6. Klik Continue – OK.

Interpretasi:

Perhatikan bahwa pada hasil multivariate test, nilai ⋀ Wilks lamda = 0.918, sig.of F = 0.443 >

0.05. dengan demikian H0 diterima atau dapat dikatakan bahwa tidak ada perbedaan slope dari populasi kedua kelompok tersebut (slop untuk semua kelompok homogen)

CARA II. Olah Data dengan Syntax SPSS Syntax MANCOVA satu kovariat (SPSS) 1. Buka program SPSS

2. Klik file, pilih new kemudian pilih syntax

3. Input data. Tulis sesuai dengan format di bawah ini TITLE 'MULTIVARIATE ANALYSIS COVARIANCE'.

DATA LIST FREE/GPID Y1 Y2 X.

BEGIN DATA.

1 35 36 106

1 54 56 97

1 31 31 102

1 58 59 95

1 35 34 103

1 62 62 94

1 39 36 104

1 41 38 104

1 68 66 92

1 45 41 90

1 47 42 105

1 74 70 90

2 51 45 105

2 78 73 88

2 75 81 90

2 57 49 106

2 79 85 87

2 61 52 107

2 88 80 85

2 85 91 83

2 87 93 82

2 94 84 83

2 71 59 108

2 98 82 84

END DATA.

LIST.

MANOVA Y1 Y2 X BY GPID(1,2)/

ANALYSIS Y1 Y2 WITH X/

PRINT=PMEANS/

DESIGN/

ANALYSIS=Y1 Y2/

DESIGN=X, GPID, X BY GPID/

ANALYSIS=X.

Sehingga akan muncul tampilan berikut ini:

4. Setelah tampilannya lengkap (dari TITLE 'MULTIVARIATE ANALYSIS COVARIANCE'. hingga ANALYSIS=X. ) selanjutnya klik Run selanjutnya pilih All

5. Selanjutnya akan didapatkan output sebagai berikut:

TITLE 'MULTIVARIATE ANALYSIS COVARIANCE'.

MULTIVARIATE ANALYSIS COVARIANCE

Interpretasi:

Berdasar hasil multivariate test, nilai Λ Wilks lamda = 0,22680 dan Sig. of F = 0,000 < 0,05.

Dengan demikian Ho ditolak atau dapat dikatakan bahwa terdapat hubungan linear yang signifikan antara kovariat IQ(x) dengan variabel terikat Hasil belajar IPA dan Matematika (Y1 dan Y2)

Interpretasi:

Berdasar hasil multivariate test, nilai Λ Wilks lamda = 0,41105 dan Sig. of F = 0,000

< 0,05. Dengan demikian Ho ditolak atau dapat dikatakan rata-rata populasi berbeda secara signifikan.

Interpretasi:

Berdasar hasil multivariate test, nilai Λ Wilks lamda = 0,91794 dan Sig. of F = 0,443> 0,05.

Dengan demikian Ho diterima atau dapat dikatakan tidak ada perbedaan slope dari semua kelompok tersebut (semua kelompok homogen).

UJI LANJUT / POS HOC DENGAN UJI T Langkah-langkah :

1. Ulangi langkah 1-4

2. Klik EM Means, centang Compare main effect dan klik option hilangkan centang pada descriptive statistics, parameter estimates, homogenity tests. Klik continue – OK 3. Hasil

Univariate Tests

Dependent Variable Sum of Squares df Mean Square F Sig.

IPA Contrast 2018,432 1 2018,432 28,956 ,000

Error 1463,833 21 69,706

MTK Contrast 1284,434 1 1284,434 22,263 ,000

Error 1211,577 21 57,694

The F tests the effect of Metode. This test is based on the linearly independent pairwise comparisons among the estimated marginal means.

Estimates

Dependent Variable Metode Mean Std. Error

95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound

IPA 1,00 53,267^a 2,491 48,087 58,447

2,00 72,816^a 2,491 67,636 77,996

MTK 1,00 52,411^a 2,266 47,699 57,124

2,00 68,006^a 2,266 63,293 72,718

a. Covariates appearing in the model are evaluated at the following values: IQ = 95,4167.

Interpretasi:

Perhatikan bahwa pada hasil pada Etimate, nilai Mean pada Y1:

1. Pada Metode1 = 53,267 merupakan nilai 𝑌𝑎𝑑𝑗1, 2. Pada Metode2 = 72,816 merupakan nilai 𝑌𝑎𝑑𝑗2 dan, Sedangkan nilai Mean padaY2 1.

1. Pada Metode1 = 52,411 merupakan nilai 𝑌𝑎𝑑𝑗1, 2.

2. Pada Metode2 = 68,006 merupakan nilai 𝑌𝑎𝑑𝑗2 dan, 3.

Nilai tersebut merupakan nilai 𝑌𝑎𝑑𝑗𝑖

MSSadj Y1

MSSadj Y2

Y adj

Tests of Between-Subjects Effects

Source Dependent Variable

Type III Sum of

Squares df Mean Square F Sig.

Corrected Model IPA 7765,125^a 2 3882,563 55,699 ,000

MTK 7938,381^b 2 3969,191 68,797 ,000

Intercept IPA 6777,546 1 6777,546 97,230 ,000

MTK 8034,396 1 8034,396 139,258 ,000

Metode IPA 2018,432 1 2018,432 28,956 ,000

MTK 1284,434 1 1284,434 22,263 ,000

IQ IPA 3089,083 1 3089,083 44,316 ,000

MTK 4113,006 1 4113,006 71,290 ,000

Error IPA 1463,833 21 69,706

MTK 1211,577 21 57,694

Total IPA 104611,000 24

MTK 96151,000 24

Corrected Total IPA 9228,958 23

MTK 9149,958 23

a. R Squared = ,841 (Adjusted R Squared = ,826)

Multivariate Tests^a

Effect Value F Hypothesis df Error df Sig.

Intercept Pillai's Trace ,845 51,934^b 2,000 19,000 ,000

Wilks' Lambda ,155 51,934^b 2,000 19,000 ,000

Hotelling's Trace 5,467 51,934^b 2,000 19,000 ,000

Roy's Largest Root 5,467 51,934^b 2,000 19,000 ,000

Metode Pillai's Trace ,046 ,455^b 2,000 19,000 ,641

Wilks' Lambda ,954 ,455^b 2,000 19,000 ,641

Hotelling's Trace ,048 ,455^b 2,000 19,000 ,641

Roy's Largest Root ,048 ,455^b 2,000 19,000 ,641

IQ Pillai's Trace ,743 27,422^b 2,000 19,000 ,000

Wilks' Lambda ,257 27,422^b 2,000 19,000 ,000

Hotelling's Trace 2,886 27,422^b 2,000 19,000 ,000

Roy's Largest Root 2,886 27,422^b 2,000 19,000 ,000

Metode * IQ Pillai's Trace ,082 ,849^b 2,000 19,000 ,443

Wilks' Lambda ,918 ,849^b 2,000 19,000 ,443

Hotelling's Trace ,089 ,849^b 2,000 19,000 ,443

Roy's Largest Root ,089 ,849^b 2,000 19,000 ,443

a. Design: Intercept + Metode + IQ + Metode * IQ b. Exact statistic

MSSadj Y1 MSSadj Y2

b. R Squared = ,868 (Adjusted R Squared = ,855)

Interpretasi:

Perhatikan bahwa hasil Test of between-Subjects Effects, nilai Mean Square pada Source Error Y1= 69,706 dan Y2 = 57,694. Nilai tersebut merupakan nilai 𝑀𝑆𝑆𝑎𝑑𝑗 yang diperlukan dalam perhitungan POS HOC (cek di dalam file excel).

Parameter Estimates

Dependent

Variable Parameter B Std. Error t Sig.

95% Confidence Interval Lower

Bound Upper Bound

IPA Intercept 202,291 18,975 10,661 ,000 162,831 241,751

[Metode=1,00] -19,549 3,633 -5,381 ,000 -27,104 -11,994

[Metode=2,00] 0^a . . . . .

IQ -1,357 ,204 -6,657 ,000 -1,781 -,933

MTK Intercept 217,406 17,262 12,594 ,000 181,506 253,305

[Metode=1,00] -15,594 3,305 -4,718 ,000 -22,468 -8,721

[Metode=2,00] 0^a . . . . .

IQ -1,566 ,185 -8,443 ,000 -1,951 -1,180

a. This parameter is set to zero because it is redundant.

Interpretasi:

Perhatikan bahwa hasil Parameter Estimates, nilai 𝛽 pada Y1 untuk X = -1,357 dan untuk Y2 untuk X = -1,566. Nilai tersebut merupakan nilai 𝛽w1 dan 𝛽w2 yang diperlukan dalam perhitungan POS HOC (cek di dalam file excel).

Pairwise Comparisons

Dependent

Variable (I) Metode (J) Metode

Mean Difference (I-

J) Std. Error Sig.^b

95% Confidence Interval for Difference^b

Lower

Bound Upper Bound

IPA 1,00 2,00 -19,549^* 3,633 ,000 -27,104 -11,994

2,00 1,00 19,549^* 3,633 ,000 11,994 27,104

MTK 1,00 2,00 -15,594^* 3,305 ,000 -22,468 -8,721

2,00 1,00 15,594^* 3,305 ,000 8,721 22,468

Based on estimated marginal means

*. The mean difference is significant at the ,05 level.

b. Adjustment for multiple comparisons: Bonferroni.

Perhatikan bahwa pada hasil pada Pairwise Comparisons, nilai Sig pada Y1:

❖ Untuk Metode 1 dan Metode 2 yaitu 0,000 < 0,05 dengan demikian Ho ditolak atau dengan kata lain ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Hasil Belajar IPA (Y1) pada Metode 1 dan Hasil Belajar IPA (Y1) pada Metode 2.

Sedangkan nilai Sig pada Y2:

❖ Untuk Metode 1 dan Metode 2 yaitu 0,000 < 0,05 dengan demikian Ho ditolak atau dengan kata lain ada perbedaan rata-rata yang signifikan antara Hasil Belajar Matematika (Y2) pada Metode 1 dan Hasil Belajar Matematika (Y2) pada Metode 2.

UJI T :

1. Masukkan data seperti ini, Ulangi langkah 1-4

Pada Specify factorial diganti Full factorial. Continue – OK

2. Klik EM Means, masukkan metode ke Display Means for centang Compare main effect, pada confidence interval adjustment pilih LSD (none), lalu klik continue

3. Klik option, hilangkan centang descriptive statistics, parameter estimates, dan homogentiy test, lalu OK

4. Hasil :

Kesimpulan :

1. Antara penelitian Metode 2 (Discovery Learning) dengan Metode 1 (Diskusi) memiliki Mean Difference 19,549. Hal ini menunjukkan bahwa penelitian Metode 2 (Discovey Learning) lebih baik dari penelitian 1 (Diskusi) ditinjau dari nilai IPA.

2. Antara penelitian Metode 2 (Discovery Learning) dengan Metode 1 (Diskusi) memiliki Mean Difference 15,594. Hal ini menunjukkan bahwa penelitian Metode 2 (Discovey Learning) lebih baik dari penelitian 1 (Diskusi) ditinjau dari nilai Matematika.

Perhitungan Menggunakan R studio

Langkah-langkah pengolahan data menggunakan R studio adalah sebagai berikut:

1. Siapkan data di Excel untuk diolah menggunakan program R 2. Buka R studio

3. Ketikkan syntax berikut ini : library(readxl)

data <- read_excel("C:/Users/wiwik haryanti/OneDrive/Gambar/Desktop/data10.xlsx") View(data)

str(data)

#install package install.packages("car") install.packages("psych") install.packages("effects")

#library(MASS) library(car) #Type III

library(psych) #descriptive statistics library(effects) #adjusted means

4. Menentukan nilai ⋀₂

#Uji untuk wilks lambda 2

outcome=cbind(data10$Y1,data10$Y2)

model2=manova(outcome~Metode+X, data=data10) summary(model2, test="Wilks", type="III")

▪ Interpretasi

𝐻₀ ditolak jika p-value<0.05

Berdasar hasil di atas ditunjukkan bahwa untuk nilai p-value = 3.601e-07 < 0,05. Sehingga 𝐻₀ ditolak, sehingga dapat disimpulkan ada/terdapat hubungan linear antara IQ (X) dengan hasil belajar IPA (Y1) dan Matematika (Y2).

5. Menentukan nilai ⋀₃

#Uji Kesamaan Slopes (untuk lambda 3)

model3=manova(outcome~X+Metode+X:Metode, data=data10) summary(model3, test="Wilks", type="III")

▪ Interpretasi

𝐻₀ ditolak jika p-value < 0,05

Berdasar hasil di atas dapat ditunjukkan bahwa bahwa untuk nilai p-value =0.4433317 >

0,05. Sehingga 𝐻₀ diterima, dapat disimpulkan bahwa seluruh treatment/perlakuan memiliki kesamaan slopes.

6. Menentukan nilai ⋀₁

#Uji untuk wilks lambda 1

model1=manova(outcome~X+Metode, data=data10)

summary(model1, test="Wilks", type="III")

• Interpretasi

𝐻₀ ditolak jika p-value < 0,05

Berdasar hasil di atas dapat ditunjukkan bahwa untuk nilai p-value =0.0001377 < 0,05.

Sehingga 𝐻₀ ditolak, artinya ada pengaruh dari treatment (perlakuan) terhadap nilai IPA (Y1) dan Matematika (Y2).

Karena 𝐻₀ ditolak sehingga dilanjutkan dengan uji post hoc yaitu sebagai berikut :

7. Uji Post Hoc

#PostHoc

library(multcomp)

data10$Metode<-as.factor(data10$Metode) model_IPA<-aov(Y1 ~ X+Metode, data=data10)

postHocs1<-glht(model_IPA, linfct=mcp(Metode="Tukey")) summary(postHocs1)

confint(postHocs1)

• Interpretasi

𝐻₀ ditolak jika p-value <0,05. Berdasar hasil di atas dapat dilihat bahwa untuk nilai p- value antara metode 2 dan 1 (0,0000245) < 0,05. Sehingga H0 ditolak, artinya ada perbedaan yang signifikan antara metode 1 dan metode 2 dalam perolah nilai IPA.

Berdasar data dapat diketahui bahwa metode 2 lebih baik daripada metode 1 karena nilainya lebih besar (dalam gambar confint bernilai 27.1038), bahkan setelah menambahkan kovariat (IQ).

model_MTK<-aov(Y2 ~ Metode+X, data=data10)

postHocs2<-glht(model_MTK, linfct=mcp(Metode="Tukey")) summary(postHocs2)

confint(postHocs2)

▪ Interpretasi

𝐻₀ ditolak jika p-value <0,05. Dari hasil di atas dapat dilihat bahwa untuk nilai p- value antara metode 2 dan 1 (0,000117) < 0,05. Sehingga H0 ditolak, artinya ada perbedaan yang signifikan antara metode 1 dan metode 2 dalam perolah nilai Matematika.

Berdasar data dapat diketahui bahwa metode 2 lebih baik daripada metode 1 karena nilainya lebih besar (dalam gambar confint bernilai 22.4677), bahkan setelah menambahkan kovariat (IQ).

Referensi

Rencher, A. C. (1998). Multivariate statistical inference and applications (Vol. 338). Wiley- Interscience.

Rosenblad, A. (2009). Applied multivariate statistics for the social sciences, by James P. Stevens.

Lampiran : Script R untuk mancova 1 covariat

#Install packages hanya sekali saja, install.packages("car")

install.packages("psych") install.packages("effects") install.packages("jmv") install.packages("multcomp")

#Untuk yang sudah install packages, langsung ke bawah ini library(car) #Untuk perhitungan type III

library(psych) #Untuk perhitungan deskriptif stat library(effects) #Untuk perhitungan adj means

#Import data yang ada di excel= klik import dataset from excel, dst, selanjutnya masukkan script dibawah

str(Book1) attach(Book1) options(scipen=999) library(readxl)

Book1 <- read_excel("~/Book1.xlsx") View(Book1)

#Asumsi Linieritas Variabel Dependen dan Covariat outcome=cbind(Book1$Y1, Book1$Y2)

model2=manova(outcome~Metode+X,data=Book1) summary(model2,test="Wilks",type="III")

#Asumsi Homogenitas

model3=manova(outcome~X+Metode+X:Metode,data=Book1) summary(model3,test="Wilks",type="III")

#Pengaruh Treatment terhadap Y

model1=manova(outcome~X+Metode,data=Book1) summary(model1,test="Wilks",type="III")

#PostHOC

library(multcomp)

Book1$Metode <- factor(Book1$Metode) model_IPA<-aov(Y1 ~ X+Metode, data=Book1)

posthoc1<-glht(model_IPA, linfct=mcp(Metode="Tukey")) summary(posthoc1)

confint(posthoc1)

model_MTK<-aov(Y2 ~ X+Metode, data=Book1)

posthoc2<-glht(model_MTK, linfct=mcp(Metode="Tukey")) summary(posthoc2)

confint(posthoc2)