1 BAB I
PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG
Pada jaman dahulu, manusia masih menggunakan burung sebagai media perantara komunikasi jarak jauh. Berbeda sekali dengan jaman sekarang ini, kemajuan teknologi lambat laun semakin meningkat. Manusia sudah dimudahkan melakukan setiap aktivitasnya dengan ditemukan berbagai macam alat-alat canggih seperti telepon, radio, alat USG. Dimana penggunaan semua peralatan ini tidak lepas dari adanya gelombang.
Misalkan telepon, dalam penggunaannya digunakan gelombang bunyi sebagai medium perambatannya. Bunyi yang dihasilkan oleh si penelepon akan diterima oleh satelit dan kemudian akan dipantulkan kembali ke penerima. Sehingga komunikasi jarak jauh dapat dilakukan dalam hitungan detik. Berarti secara tidak langsung, gelombang-gelombang tersebut sudah melekat pada manusia dalam kehidupan sehari-harinya. Selain itu, matahari sebagai pusat tata surya dapat memancarkan cahayanya ke bumi karena adanya gelombang. Dimana berkas cahaya yang jatuh ke bumi memiliki kecepatan tertentu dalam waktu t detik.
B. RUMUSAN MASALAH
1. Apakah pengertian Transformasi Fourier?
2. Apa saja contoh Transformasi Fourier?
3. Apa saja aplikasi dari Transformasi Fourier?
C. TUJUAN
1. Mengetahui pengertian tentang Transformasi Fourier.
2. Mengetahui contoh-contoh dari Transformasi Fourier.
3. Mengetahui aplikasi Transformasi Fourier.
2 BAB II
PEMBAHASAN
A. PENGERTIAN TRANSFORMASI FOURIER
Transformasi Fourier, dinamakan atas Joseph Fourier, adalah sebuah transformasi integral yang menyatakan-kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis sinusoidal, yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien ("amplitudo"). Ada banyak variasi yang berhubungan-dekat dari transformasi ini tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan.
Proses penting dalam pemrosesan sinyal digital adalah menganalisis suatu sinyal input maupun output untuk mengetahui karakteristik sistem fisis tertentu dari sinyal. Proses analisis dan sintesis dalam domain waktu memerlukan analisis cukup panjang dengan melibatkan turunan dari fungsi, yang dapat menimbulkan ketidaktelitian hasil analisis. Analisis dan sintesis sinyal akan lebih mudah dilakukan pada domain frekuensi, karena besaran yang paling menentukan suatu sinyal adalah frekuensi. Oleh karena itu, untuk dapat bekerja pada domain frekuensi dibutuhkan suatu formulasi yang tepat sehingga proses manipulasi sinyal sesuai dengan kenyataan. Salah satu teknik untuk menganalisis sinyal adalah mentransformasikan (alih bentuk) sinyal yang semula analog menjadi diskrit dalam domain waktu, dan kemudian diubah ke dalam domain frekuensi.
Transformasi Fourier adalah suatu model transformasi yang memindahkan sinyal domain spasial atau sinyal domain waktu menjadi sinyal domain frekuensi. Di dalam pengolahan suara, transformasi fourier banyak digunakan untuk mengubah domain spasial pada suara menjadi domain frekuensi. Analisa-analisa dalam domain frekuensi banyak digunakan seperti filtering. Dengan menggunakan transformasi fourier, sinyal atau suara dapat dilihat sebagai suatu objek dalam domain frekuensi.
3
Transformasi Fourier Diskrit
Transformasi Fourier Diskrit (Discrete Fourier Transform - DFT) adalah prosedur yang paling umum dan kuat pada bidang pemrosesan sinyal digital. DFT memungkinkan untuk menganalisis, memanipulasi, dan mensintesis sinyal dengan cara yang tidak mungkin dilakukan dalam pemrosesan sinyal analog Lyons, Richard G. 1997. Understanding Digital Signal Processing. Prentice Hall PTR... Meskipun sekarang digunakan dalam hampir setiap bidang teknik. Aplikasi yang menggunakan DFT terus berkembang sebagai utilitas yang menjadikan DFT lebih mudah untuk dimengerti.
Karena itu, pemahaman yang kuat tentang DFT adalah wajib bagi siapa saja yang bekerja di bidang pemrosesan sinyal digital.
DFT merupakan prosedur matematika yang digunakan untuk menentukan harmonik atau frekuensi yang merupakan isi dari urutan sinyal diskrit. Urutan sinyal diskrit adalah urutan nilai yang diperoleh dari sampling periodik sinyal kontinu dalam domain waktu. DFT berasal dari fungsi Transformasi Fourier X(f) yang didefinisikan:
Dalam bidang pemrosesan sinyal kontinu, Persamaan 2.1 digunakan untuk mengubah fungsi domain waktu kontinu x(t) menjadi fungsi domain frekuensi kontinu X(f). Fungsi X(f) memungkinkan untuk menentukan kandungan isi frekuensi dari beberapa sinyal dan menjadikan beragam analisis sinyal dan pengolahan yang dipakai di bidang teknik dan fisika.
Dengan munculnya komputer digital, ilmuwan di bidang pengolahan digital
4 berhasil mendefenisikan DFT sebagai urutan sinyal diskrit domain frekuensi X(m), dimana:
Meski lebih rumit daripada Persamaan 2.2, Persamaan 2.3 lebih mudah untuk dipahami. Konstanta j = √−1 hanya membantu membandingkan hubungan fase di dalam berbagai komponen sinusoidal dari sinyal.
Nilai N merupakan parameter penting karena menentukan berapa banyak sampel masukan yang diperlukan, hasil domain frekuensi dan jumlah waktu proses yang diperlukan untuk menghitung N-titik DFT. Diperlukan N- perkalian kompleks dan N-1 sebagai tambahan. Kemudian, setiap perkalian membutuhkan N-perkalian riil, sehingga untuk menghitung seluruh nilai N (X(0), X(1), …, X(N-1)) memerlukan N2 perkalian. Hal ini menyebabkan perhitungan DFT memakan waktu yang lama jika jumlah sampel yang akan diproses dalam jumlah besar.
5
Fast Fourier Transform
Meskipun DFT memainkan peranan yang penting sebagai prosedur matematis untuk menentukan isi frekuensi dari urutan domain waktu, namun sangat tidak efisien. Jumlah titik dalam DFT meningkat menjadi ratusan atau ribuan, sehingga jumlah- jumlah yang dihitung menjadi tidak dapat ditentukan. Pada tahun 1965 sebuah makalah diterbitkan oleh Cooley dan Tukey menjelaskan algoritma yang sangat efisien untuk menerapkan DFT Cooley, J. & Tukey, J. 1965. An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series. Mathematics of Computation. pp. 297-301.. Algoritma yang sekarang dikenal sebagai Fast Fourier Transform (FFT). Sebelum munculnya FFT, seribu titik DFT membutuhkan waktu begitu lama untuk melakukan perhitungan yang pada saat itu masih terbatas pada komputer-komputer berspesifikasi rendah. Gagasan Cooley dan Tukey, dan perkembangan industri semikonduktor menjadikan jumlah N-titik DFT semisal 1024- titik, dapat dilakukan dalam beberapa detik saja pada komputer berspesifikasi rendah Lyons, Richard G. 1997. Understanding Digital Signal Processing. Prentice Hall PTR..
Meskipun telah banyak bermacam-macam algoritma FFT yang dikembangkan, algoritma FFT radix-2 merupakan proses yang sangat efisien untuk melakukan DFT yang memiliki kendala pada ukuran jumlah titik dipangkatkan dua. FFT radix-2 menghilangkan redundansi dan mengurangi jumlah operasi aritmatika yang diperlukan. Sebuah DFT 8-titik, harus melakukan N2 atau 64 perkalian kompleks. Sedangkan FFT melakukan (N/2)log2N yang memberikan penurunan yang signifikan dari N2 perkalian kompleks. Ketika N = 512 maka DFT memerlukan 200 kali perkalian kompleks dari yang diperlukan oleh FFT.
Gambar Perbandingan jumlah perkalian kompleks DFT dengan FFT Lyons, Richard G. 1997. Understanding Digital Signal Processing. Prentice Hall PTR.
6 FFT beroperasi dimulai dengan menguraikan (dekomposisi) sinyal domain waktu titik N ke N sinyal domain waktu hingga masing-masing terdiri dari satu titik. Selanjutnya menghitung N frekuensi spektrum yang berkorespondensi dengan N sinyal domain waktu. Terakhir, spektrum N disintesis menjadi spektrum frekuensi tunggal.
Gambar Diagram Alir FFT Smith, Steven W. 1997. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. (Online) http://www.dspguide.com (20 Februari 2013).
Dalam proses dekomposisi diperlukan tahapan Log2N. Sebagai contoh, sinyal 16 titik (24) memerlukan 4 tahapan, sinyal 512 titik (29) membutuhkan 9 tahap, sinyal 4096 titik (212) membutuhkan 12 tahapan. Dalam Gambar1, sinyal 16 titik terurai melalui empat tahap yang terpisah. Tahap pertama memisahkan sinyal 16 titik menjadi dua sinyal masing-masing terdiri dari 8 titik. Tahap kedua menguraikan data menjadi empat sinyal terdiri dari 4 titik.
Pola ini berlanjut sampai sinyal N terdiri dari satu titik. Dekomposisi digunakan setiap kali sinyal dipecah menjadi dua, yaitu sinyal dipisahkan menjadi sampel genap dan sample ganjil.
7 Gambar1 Contoh dekomposisi sinyal domain waktu yang digunakan di FFT Smith,
Steven W. 1997. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. (Online) http://www.dspguide.com (20 Februari 2013).
Setelah dekomposisi, dilakukan Pengurutan Pembalikan Bit (Bit Reversal Sorting), yaitu menata ulang urutan sampel sinyal domain waktu N dengan menghitung dalam biner dengan bit membalik dari kiri ke kanan. Asumsi N adalah kelipatan dari 2, yaitu N = 2r untuk beberapa bilangan bulat r=1, 2, dst. Algoritma FFT memecah sampel menjadi dua bagian yaitu bagian genap dan bagian ganjil.
Tabel Pengurutan Pembalikan Bit
Persamaan 2.2 dibagi menjadi bagian ganjil dan bagian genap sebagai berikut:
8 Karena rumusan yang didapat panjang, sehingga digunakan notasi standar untuk menyederhanakannya. Didefenisikan WN = 𝑒−𝑗2𝜋/𝑁 yang merepresentasikan nth root of unity. Persamaan 2.4 dapat ditulis:
Sintesis domain frekuensi membutuhkan tiga perulangan. Perulangan luar menjalankan tahapan Log2N (setiap tingkat mulai dari bawah dan bergerak ke atas).
Perulangan bagian tengah bergerak melalui masing-masing spektrum frekuensi individu dalam tahap sedang dikerjakan (masing-masing kotak pada setiap tingkat). Dalam pemrosesan sinyal digital dikenal istilah butterfly. Butterfly digunakan untuk menggambarkan peruraian (decimation) yang terjadi. Karena tampilannya yang bersayap maka disebut butterfly. Butterfly adalah elemen komputasi dasar FFT, mengubah dua poin kompleks menjadi dua poin kompleks lainnya. Ada dua jenis peruraian,
9 peruraian dalam waktu (decimation in time-DIT) dan peruraian dalam frekuensi (decimation in frekuensi-DIF). Gambar dari butterfly dasar untuk kedua jenis peruraian tersebut dapat dilihat pada Gambar 3 dan Gambar 4
Gambar 3 FFT butterfly dasar untuk peruraian dalam waktu Lyons, Richard G. 1997.
Understanding Digital Signal Processing. Prentice Hall PTR.
Gambar 4 FFT butterfly dasar untuk peruraian dalam frekuensi sintesis butterfly Lyons, Richard G. 1997. Understanding Digital Signal Processing. Prentice Hall PTR.
Perulangan paling dalam menggunakan butterfly untuk menghitung poin dalam setiap spektrum frekuensi (perulangan melalui sampel dalam setiap kotak). Gambar 5 menunjukkan implemetasi FFT dari empat spektrum dua titik dan dua spektrum empat titik. Gambar 5 terbentuk dari pola dasar pada Gambar 3 berulang-ulang.
10 Gambar 5 FFT sintesis butterfly Lyons, Richard G. 1997. Understanding Digital Signal
Processing. Prentice Hall PTR.
B. CONTOH TRANSFORMASI FOURIER
Kita telah mengenal formulasi deret Fourier dengan x sebagai variabel dan n sebagai pembentuk polinom ke n
dengan n adalah bilangan real. Kita telah mengetahui pula bahwa:
Atau
Sekali lagi kita mengulangi formula Euler namun dengan variable yang lebih spesifik yaitu variable yang menunjukkan siklus sinusoidal dalam ranah (2πN/T)x maka diperoleh:
11 Misalkan f adalah suatu fungsi yang mempunyai nilai nol selain pada rentang [-L/2, L/2].
Pada setiap T ≤ L kita dapat memperoleh f sebagai deret Fourier pada interval [-T/2, T/2] yang mempunyai besaran komponen basis sebagai berikut
Jika T(AN/T+iBN/T)/2 diubah menjadi f^(N/T) maka
Jika N adalah bilangan real maka nilai N dapat digantikan dengan n seperti pada deret Fourier dan T diasosiasikan sebagai suatu rentang periode maka:
maka ƒ(x) dapat diperoleh dengan manipulasi matematis dengan menganggap T/2-(-T/2) adalah rentang untuk f(x) yang linear maka,
Jika x/T ->0 maka haruslah -∞ ≤n ≤∞ maka
12 sehingga
Kita ambil ζn = n/T dan dengan kenyataan bahwa n adalah bilangan real maka akan memperoleh Δζ = ζ(n+1) – ζn = (n+1)/T-n/T = 1/T sehingga kita akan memperoleh:
atau
merupakan suatu integral Riemann
Jika 2πn/T = ωn maka n/T = ωn/2π sehingga 1/T =2π Δζ=Δ ω konsekuensinya Δζ = Δ ω/2π,maka persamaan di atas menjadi:
Jika T -> ∞ pada n -> ∞, maka Δ ω ->0, sehingga persamaan di atas menjadi:
Merupakan pernyataan fungsi inverse transformasi Fourier.
Persamaan (1) dapat berubah menjadi:
13 dengan ωn/2π adalah frekuensi individual. Jika kita menggantikan x
dengan pernyataan waktu t maka persamaan 2 dan 3 dapat ditulis ulang menjadi:
dan
Sehingga sebagai deret Fourier f(t), transformasi Fourier dapat dipahami sebagai suatu fungsi yang mengukur seberapa banyak kah masing-masing frekuensi individual yang muncul di dalam fungsi original yang kita bahas, dan kita melakukan penggabungan/kombinasi ulang dengan menggunakan suatu integral (atau penjumlahan kontinu) untuk menghasilkan kembali fungsi originalnya.
Contoh 1:
Mari kita mencoba satu ilustrasi untuk memahami transformasi Fourier dengan lebih baik. Kita akan mencoba menggunakan fungsi yang sangat sulit diselesaikan menggunakan formula integral kontinu, namun mudah diselesaikan menggunakan integral diskret Riemann.
Ambil satu fungsi:
yang dapat diuraikan menjadi,
yang menunjukkan bahwa persamaan ini mempunyai getaran dasar 1/T=3, atau T=1/3 =0.3333. Persamaan ini mengindikasikan bahwa semakin besar besaran-nilai t maka fungsi tersebut akan menuju 0. Kita mencoba
menggunakan rentang t yang diperluas hingga t = 3.383333334 mulai dari
14 t = -1.691666667 hingga t = 1.691666667 dengan ∆t = 0.001, maka kita akan memperoleh grafik original sebagai berikut:
Gambar 1. Gelombang original
Untuk memperoleh transformasi Fourier yang menunjukkan fungsi getaran individual pada getaran dasarnya kita harus mengintegrasikan
f(t)sejalan formula (5) sehingga diperoleh:
dengan ∆t = 0.001.
Berikut ini adalah grafik dari fungsi real:
Gambar 2. Grafik transformasi bagian real pada 3×1/T=3
15 dan grafik fungsi imajiner:
Gambar 3. Grafik transformasi bagian imajiner pada 3×1/T=3 Untuk f^(5): Bagian real,
Gambar 4. Grafik transformasi bagian imajiner pada 5×1/T=5 bagian imajiner,
Gambar 5. Grafik transformasi bagian imajiner pada 5×1/T=5
16 Spektrum transformasi Fourier yang muncul :
Gambar 6. Kehadiran spectrum-spektrum frekuensi(1/T) Tambahan:
Untuk f^(1):
Bagian real,
Gambar 7. Grafik transformasi bagian real pada 1×1/T=1 bagian imajiner,
Gambar 8. Grafik transformasi bagian imajiner pada 1×1/T=1
17 Untuk f^(2):
Gambar 9. Grafik transformasi bagian real pada 2×1/T=2 bagian imajiner,
Gambar 10. Grafik transformasi bagian imajiner pada 2×1/T=2 Pada Gambar 6, tampak bahwa, selain spectrum pada 1/T=3 adalah tidak signifikan bahkan 0 artinya bahwa spectrum pada frekuensi tersebut tidak muncul pada pembentukan fungsi deret Fourier ataupun transformasi Fouriernya. Mengapa demikian ? Hal ini terjadi karena gelombang transformasi Fourier selain 1/T=3 baik bagian real maupun imajinernya mempunyai kesimetrisan nilai positif terhadap negatifnya sehingga
integrasi yang dibentuk menuju 0. Spektrum pada 1/T = 3 mempunyai nilai paling besar yaitu 0.5, komponen spectrum ini disebut juga komponen dasar.
Fakta kerekayasaan:
Pada transformator-daya (5MVA ke atas) sumbangan kecacatan harmonisa bisa terjadi karena beberapa sebab:
1. Sumbangan arus kulit yang bersifat kapasitif karena adanya jarak/gap yang tidak layak antar lilitan, oleh karena itu pada manufaktur tranformator daya setelah lilitan selesai dipasang pada inti-magnetnya
18 kemudian dilakukan pressing pada bagian atas dari satu paket lilitan dengan bagian bawah ditahan. Pressing dapat menggunakan tekanan hingga 30 kPa ke atas.
2. Sumbangan lucutan muatan statis dari bagian dalam tank logam yang bersudut tajam atau kasar ketika transformator sedang dioperasikan sehingga electrical active part transformator harus ditutup dengan insulation paper board atau bahkan dengan corrugated insulation paper supaya muatan statis yang terlucut tidak menyumbangkan cacat harmonisa.
3. Rugi-rugi arus eddy (eddy current losses) selain mengurangi efisiensi transformator juga dapat menyumbangkan cacat harmonisa mengingat frekuensinya yang mempunyai besar beberapa kali lipat dari frekuensi dasar listrik. Eddy current ini dihasilkan oleh penataan silicon laminated magnetic steel sheet yang tidak rapat pada paket-paketnya.
C. KEGUNAAN TRANSFORMASI FOURIER
Fungsi periodik adalah fungsi yang berulang dengan pola tertentu. Suatu fungsi periodik dapat diuraikan dalam bentuk deret Fourier. Semakin banyak suku dalam deret Fourier, maka semakin bagus deret tersebut mendekati fungsi yang diuraikan. Fungsi dengan periode tak terhingga atau tidak periodik dapat juga diuraikan dengan deret Fourier, tetapi penjumlahan pada deret digantikan dengan integral. Metode ini dinamakan Transformasi Fourier. Manfaat dari deret Fourier adalah seperti dalam analisis gelombang bunyi, vibrasi, optika, maupun pengolahan citra seperti dalam pencitraan medis.
Dalam beberapa permasalahan yang berhubungan dengan gelombang (gelombang suara, air, bunyi, panas, dsb) pendekatan dengan deret fourier yang suku-suku nya memuat sinus dan cosinus sering digunakan. Dengan mengekspansikan ke dalam bentuk deret Fourier, suatu fungsi periodik bisa dinyatakan sebagai jumlahan dari beberapa fungsi harmonis, yaitu fungsi dari sinus dan cosinus (fungsi sinusoidal)
19 Salah satu aplikasi dari deret fourier adalah pada pemisahan perpaduan gelombang. Suatu gelombang yang bergerak pada sutu medium bukan hanya gelombang yang berupa gelombang tunggal namun merupakan perpaduan dari banyak gelombang. Dengan menggunakan deret fourier maka perpaduan dari banyak panjang gelombang ini dapat dipisahkan kembali menjadi gelombang- gelombang penyusunnya. Misalkan saja pada gelombang radio.
Gelombang radio FM mempunyai frekuensi 88 Mhz sampai dengan 108 Mhz. Tapi yang menimbulkan pertanyaan adalah kenapa kita dapat mendengarkan suara penyiar radionya padahal batas pendengaran manusia hanya 20 Hz sampai dengan 20.000 Hz saja?. Ini dapat dijawab karena gelombang radio tersebut hanya sebagai pembawa. Yang nantinya pada radio penerima gelombang datang tersebut akan dipecah kembali yang salah satunya berupa gelombang suara yang dapat kita dengarkan.
Pada gambar diatas disajikan dua bentuk gelombang yang mempunyai bentuk yang sangat berbeda. Namun pada gambar kiri itu merupakan gelombang perpaduan dari banyak sekali gelombang. Sedangkan pada gambar kanan merupakan bentuk- bentuk gelombang yang menyusun gambar kiri tadi. Gambar kiri dapat di pecah menjadi gambar kanan dengan bantuan deret
20 fourier. Hal ini pula yang berlaku pada frekuensi radio yang telah disinggung sebelumnya.
21 BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Bilangan kompleks sangat banyak digunakan, terutama dalam berbagai sinyal. Sinyal –sinyal tersebut telah menjadi bagian penting dalam kehidupan kita, seperti listrik, gambar digital, suara audio, dan sinyal – sinyal lain. Hadirnya bilangan kompleks sangat mendukung perkembangan sinyal sehingga teknologi dapat semakin maju seperti saat ini. Penggunaan bilangan kompleks dan pemrosesan sinyal dengan sistem transformasi tentu akan terus berkembang dan menghasilkan teknologi –teknologi baru yang lebih baik dari sebelumnya.
22 DAFTAR PUSTAKA
http://majalah1000guru.net/2014/04/deret-dan-transformasi-fourier/
http://muhammadirfan-m12.blogspot.co.id/2013/09/deret-fourier-dan-deret- taylor.html
https://www.slideshare.net/Lukman_Hakim1992/04-deretfouriergt http://zuhdiismail.blog.uns.ac.id/2010/10/17/aplikasi-deret-fourier-dan- transformasi-fourier/
