BAB I PENDAHULUAN

(1)

1

BAB I

PENDAHULUAN

Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang penelitian, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, serta kerangka pemikiran dari penelitian.

1.1 Latar Belakang

Suatu graf 𝐺 merupakan himpunan terbatas tak kosong yang disebut titik dengan seperangkat pasangan tak beraturan dari titik berbeda pada graf 𝐺 yang disebut sisi. Himpunan titik graf 𝐺 dilambangkan dengan 𝑉(𝐺) sedangkan himpunan sisi graf 𝐺 dilambangkan dengan 𝐸(𝐺). Kardinalitas dari titik pada graf 𝐺 disebut dengan order yang dilambangkan dengan 𝑛(𝐺) atau 𝑛, sedangkan kardinalitas dari sisi pada graf 𝐺 disebut dengan size yang dilambangkan dengan 𝑚(𝐺) atau 𝑚. Graf 𝐺(𝑛, 𝑚) berarti memiliki order sebanyak 𝑛 dan size sebanyak 𝑚 (Chartrand dan Lesniak, 1996).

Graf dapat digunakan sebagai model dalam penyelesaian suatu permasalahan. Contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan graf yaitu mengenai susunan pegawai dalam suatu perusahaan. Misalkan dalam suatu perusahaan terdapat sejumlah divisi yang di dalamnya terdiri dari sejumlah pegawai. Jika setiap pekerjaan diberi bobot kerja dan perusahaan mengharapkan bobot kerja setiap divisi seimbang, maka hal ini dapat diselesaikan menggunakan dekomposisi ajaib graf dengan memodelkan susunan pegawai beserta bobotnya ke dalam suatu graf. Pada permasalahan ini, divisi berperan sebagai subgraf yang di dalamnya terdapat pegawai dengan masing-masing bobot kerja yang berbeda.

Kemudian, didapatkan nilai konstanta ajaib dari masing-masing subgrafnya bernilai sama atau seimbang. Ilustrasi dari susunan pegawai perusahaan dengan menggunakan graf persahabatan ditunjukkan pada Gambar 1.1.

(2)

2 Gambar 1. 1 Ilustrasi Susunan Pegawai pada Suatu Perusahaan

Beberapa topik bahasan dapat dikaji dalam konsep graf, salah satunya adalah pelabelan graf. Pelabelan merupakan proses memberikan label atau nilai pada sisi dan/ atau titik pada graf. Pelabelan adalah suatu fungsi bijektif (satu-satu dan pada) yang memetakan himpunan titik dan/ atau sisi ke suatu himpunan yang berisi bilangan bulat positif tertentu. Pelabelan yang memetakan titik dinamakan pelabelan titik (vertex labeling), sedangkan pelabelan yang memetakan sisi maka disebut pelabelan sisi (edge labeling). Jika pelabelan memetakan keduanya, yaitu titik dan sisi maka pelabelan tersebut merupakan pelabelan total (total labeling) (Masyitoh, 2019).

Pelabelan telah banyak berkembang menjadi berbagai jenis, antara lain pelabelan ajaib dan anti ajaib. Suatu pelabelan dikatakan ajaib jika hasil pelabelan tersebut memiliki konstanta atau bobot (𝑤) yang sama pada titik atau sisinya, sedangkan jika pelabelan tersebut memiliki konstanta atau bobot yang berbeda maka pelabelan dikatakan pelabelan anti ajaib (Masyitoh, 2019). Pelabelan ajaib dan anti ajaib pun dapat digunakan sebagai pelabelan titik (vertex labeling), pelabelan sisi (edge labeling) dan pelabelan total (total labeling). Pelabelan juga berlaku pada graf yang terdiri dari subgraf-subgraf yang dinamakan dekomposisi graf.

Dekomposisi graf merupakan salah satu topik perluasan dari tema pelabelan. Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah suatu graf dengan himpunan tak kosong 𝑉

yang memuat titik dan himpunan sisi 𝐸. Diketahui pula 𝐻 = {𝐻_𝑖 ⊆ 𝐺, 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛} merupakan koleksi subgraf dari 𝐺 dengan

𝐻_𝑖 ≅ 𝐻_𝑗, 𝑖 ≠ 𝑗. Jika 𝐻_𝑖∩ 𝐻_𝑗 = ∅ dan ⋃^𝑛_𝑖=1𝐻_𝑖 = 𝐺, maka graf 𝐺 membentuk suatu

(3)

3 dekomposisi 𝐻. Selanjutnya, jika terdapat 𝑓(𝑣) dan 𝑔(𝑒) yang masing-masing merupakan fungsi pelabelan titik dan sisi pada 𝐺 dan total bobot dari masing-

masing subgraf 𝐻_𝑖, 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 bernilai sama, yaitu

∑_{𝑣∈𝑉(𝐻}_𝑖₎𝑓(𝑣)+ ∑_{𝑒∈𝐸(𝐻}_𝑖₎𝑔(𝑒)= 𝑤, maka graf 𝐺 memuat dekomposisi 𝐻_𝑖 ajaib dengan 𝑤 sebagai konstanta ajaib.

Beberapa penelitian sebelumnya telah banyak mengangkat mengenai dekomposisi graf dengan berbagai graf yang berbeda. Contoh penelitian sebelumnya mengenai dekomposisi graf, yaitu Soffi Nur Masyitoh pada tahun 2019 tentang Dekomposisi (𝑎, 𝑑) − 𝑃₄− Anti Ajaib pada Graf Generalized Peterson 𝐺𝑃(𝑛, 3). Pada penelitiannya tersebut didapatkan kesimpulan bahwa graf generalized Peterson 𝐺𝑃(𝑛, 3) dengan 𝑛 ≥ 7, 𝑖 ∈ [0, 𝑛 − 1] memiliki dekomposisi (𝑎, 𝑑) − 𝑃₄−anti ajaib dengan nilai 𝑎 dan 𝑑 yang berbeda, sehingga didapatkan lima teorema berdasarkan nilai 𝑎 dan 𝑑 yang diperoleh.

Dalam teori graf terdapat salah satu jenis graf yang disebut graf persahabatan. Graf persahabatan merupakan graf tak berarah dengan titik sebanyak 2𝑛 + 1 dan sisi sebanyak 3𝑛. Graf persahabatan 𝐹_𝑛 dapat dibangun dengan menggabungkan graf siklik dengan titik 𝑛 yang sama. Saat ini, graf persahabatan merupakan graf yang masih jarang dijadikan sebagai objek penelitian pada graf.

Penelitian mengenai dekomposisi (𝑎, 𝑑) untuk 𝑎 dan 𝑑 yang merupakan suatu bilangan bulat positif dengan 𝑎 adalah nilai awal dan 𝑑 adalah beda sehingga membentuk suatu barisan aritmatika dengan menggunakan graf persahabatan ini bertujuan guna melanjutkan penelitian mengenai graf, khususnya pada graf persahabatan.

Penelitian ini mengkaji mengenai dekomposisi graf menggunakan graf persahabatan. Dekomposisi pada graf persahabatan ini menggunakan subgraf yang berupa graf siklik dengan 𝑛 = 3 (𝐶₃). Oleh karena itu, penelitian ini membahas tentang “Dekomposisi (𝑎, 𝑑) − 𝐶₃− Ajaib pada Graf Persahabatan”.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan uraian yang telah dipaparkan pada latar belakang, maka rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana membangun dekomposisi (𝑎, 𝑑) − 𝐶₃ − Ajaib pada graf persahabatan.

(4)

4 1.3 Batasan Masalah

Berdasarkan uraian yang telah dipaparkan pada latar belakang dan perumusan masalah sebelumnya, maka penelitian ini dibatasi hanya dengan menggunakan order (𝑛) ganjil pada graf persahabatan.

1.4 Tujuan Penelitian

Berdasarkan perumusan masalah pada subbab sebelumnya, maka tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah untuk membangun dekomposisi (𝑎, 𝑑) − 𝐶₃ − Ajaib pada graf persahabatan.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah menambah ilmu dan wawasan pada penulis maupun pembaca mengenai teori graf, khususnya pada topik dekomposisi (𝑎, 𝑑) − 𝐶₃ − Ajaib pada graf persahabatan. Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat membantu pengembangan teori graf khususnya pada topik dekomposisi graf.

1.6 Kerangka Pemikiran Penelitian

Kerangka pemikiran penelitian berupa diagram fishbone bertujuan untuk memberikan gambaran kepada pembaca mengenai penelitian yang dikerjakan.

Kerangka pemikiran ditunjukkan pada Gambar 1.2.

(5)

5 Dekomposisi (𝑎, 𝑑) − 𝐶₃− Ajaib

pada Graf Persahabatan

Permasalahan Metode

Penelitian Terdahulu

Dekomposisi Graf Penentuan

Subgraf Pelabelan

Graf Dekomposisi

Ajaib Graf

Persahabatan

Munawarah (2019), Dekomposisi Graf Komplit

Rahmawati dan Rahajeng (2014), Dekomposisi Graf Sikel, Graf Roda, Graf Sir, dan Graf

Persahabatan Pancahayani (2017), Dekomposisi Super Ajaib

berbentuk Lintasan dari Amalgamasi Graf Siklus Masyitoh (2019), Dekomposisi

(𝑎, 𝑑) − 𝑃₄− Anti Ajaib pada Graf Generalized Peterson 𝐺𝑃 (𝑛, 3)

Gambar 1. 2 Kerangka Pemikiran Penelitian