FUNGSI
Kesimetrian Grafik Fungsi
Dalam beberapa kasus, pembuatan grafik fungsi dapat dilakukan dengan tangan tanpa harus menghitung banyak nilai 𝑓(𝑥), melainkan dengan mengetahui bentuk grafik fungsi lain yang lebih sederhana dan memanfaatkan sifat simetri grafik tersebut. Titik (𝑥, 𝑦) dan (𝑥, −𝑦) dikatakan simetris terhadap sumbu x, titik (𝑥, 𝑦) dan (−𝑥, 𝑦) dikatakan simetris terhadap sumbu y, sedangkan titik (𝑥, 𝑦) dan ( −𝑥, −𝑦) dikatakan simetris terhadap titik asal. Suatu fungsi yang tidak memenuhi salah satu syarat di atas bukanlah fungsi genap atau ganjil.
Dengan menggunakan sifat simetri untuk membuat grafik fungsi ini, cukup menghitung titik x pada salah satu sisi bidang xy, dan titik pada sisi simetris akan diperoleh secara langsung. Menambah atau mengurangkan suatu konstanta pada variabel bebas atau fungsi awal akan menggeser posisi grafik awal. Jadi gambaran suatu graf yang diperoleh dengan menggeser graf lain dengan besaran tetap dapat diringkas pada Tabel 1 sebagai berikut.
Ternyata hasilnya 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), artinya grafik tersebut simetris terhadap sumbu y, jadi untuk memudahkan perhitungannya cukup hitung nilai fungsinya pada nilai negatif atau positif x, kemudian mencerminkan bagian grafik yang diambil pada sumbu y.
Operasi pada Fungsi
Komposisi Fungsi
Melihat fungsi h(x), kita dapat mengetahui bahwa fungsi dalam adalah g(x) = (x – 4) dan fungsi luar adalah jika g(x) dipangkatkan lima, maka fungsi luarnya adalah f( x)= x5. Parsing dapat dilakukan dengan beberapa cara karena bergantung pada definisi fungsi dalam dan luar.
Macam – Macam Fungsi
Kemiringan garis dan perpotongan grafik dengan sumbu y dapat ditentukan dengan memeriksa fungsi f(x), dimana koefisien x menyatakan kemiringan garis, dan konstanta c adalah titik potong grafik di sumbu y. Jadi kemiringan garis dari grafik tersebut adalah 3 (koefisien x) dan akan memotong sumbu di titik (0,7) karena konstanta c = 7. Sekarang kita akan membahas cara menentukan aturan fungsi linier yang dipenuhi oleh suatu titik dengan kemiringan tertentu.
Berdasarkan bentuk grafik fungsi kuadrat, untuk memudahkan dalam menggambarkan bentuk fungsi kuadrat, maka perlu dicari titik puncak grafik (titik belok), titik potong dengan sumbu x. atau sumbu y dan hitung nilai fungsi di beberapa titik lainnya jika perlu. Sedangkan titik potong pada sumbu x dapat dicari dengan menetapkan y = 0 kemudian menyelesaikan persamaan tersebut hingga memperoleh nilai x. Suatu fungsi f dikatakan fungsi satu-satu jika memenuhi 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2) jika 𝑥1 ≠ 𝑥2. Misalkan f adalah fungsi satu-satu dengan domain A dan range B, maka invers fungsi 𝑓− 1 mempunyai domain B dan range A didefinisikan oleh 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 ⟺ 𝑓(𝑥) = 𝑦, untuk suatu fungsi tertentu kamu di B.
Jadi kita dapat mengatakan bahwa f(x) adalah invers dari g(x) dan g(x) adalah invers dari f(x) atau secara singkat kita dapat mengatakan bahwa f(x) dan g(x) merupakan fungsi yang saling invers. Hasil yang diperoleh akan menunjukkan bahwa y merupakan variabel bebas, untuk menyatakan x sebagai variabel bebas maka peranan x dan y dapat dipertukarkan. Dari grafik yang ditampilkan terlihat bahwa grafik f(x) dan 𝑓−1(𝑥) mempunyai bentuk yang sama, namun arahnya berlawanan, dimana 𝑓−1(𝑥) merupakan hasil pantulan f(x ) pada saluran x.
Syarat suatu fungsi invers disebut fungsi invers jika f merupakan fungsi bijektif (korespondensi satu – satu). Fungsi trigonometri yang dibahas akan didasarkan pada lingkaran satuan yang ditunjukkan pada gambar di bawah. Periode fungsi trigonometri Gambar 06 menunjukkan bahwa sudut t + 2π dan t sama kedudukan titik P, sehingga sin (t + 2π) = sin t dan cos(t + 2π) = cos t.
Secara umum, suatu fungsi f disebut periodik, jika terdapat bilangan positif p sehingga f(t + p)= f(t) untuk semua t dalam domain f. Jadi kita dapat mengatakan bahwa fungsi sin t periodik dengan periode 2π, maka kita mendapatkan sin (−t) = −sin t, dan cos (−t) = cos t. Pada gambar y = sin x dan y = cos x terlihat bahwa fungsi ini simetris terhadap sumbu y, dan bentuk yang berulang pada interval tertentu menunjukkan bahwa fungsi tersebut periodik.
LIMIT FUNGSI
- Limit Sepihak
- Limit Tak Hingga
- Aturan Limit Fungsi
- Kontinuitas
- Limit Fungsi Trigonometri
Berdasarkan cara penentuan nilai limit fungsi pada contoh 10, limit f(x) dihitung dengan cara mendekati x dari kiri dan kanan, keduanya memberikan nilai yang sama, sehingga diperoleh kesimpulan untuk nilai limit dari fungsi itu sendiri. Artinya suatu limit suatu fungsi dapat ditentukan apabila limit kiri dan limit kanan memberikan nilai yang sama. Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka tidak dapat ditentukan nilai limit f(x) jika x mendekati 0.
Jika suatu fungsi f(x) tidak mempunyai nilai limit ketika x mendekati a, maka limit dari f(x) dikatakan tidak ada ketika x mendekati a. Jika nilai suatu fungsi f(x) bertambah atau berkurang ( bergerak tak terhingga) ketika x mendekati a, maka nilai batas f(x) dikatakan tak terhingga ketika x mendekati a. Berdasarkan Gambar 09 terlihat bahwa nilai f(x) menjadi semakin positif ketika x mendekati nol, baik dari sisi kiri maupun kanan.
Bila nilai x sangat besar maka nilai pembilang dan penyebutnya juga semakin besar, sehingga nilai limit f(x) tidak dapat ditentukan saat ini. Berdasarkan contoh di atas, secara umum kita memperoleh aturan limit fungsi tak terhingga untuk fungsi rasional. Substitusi langsung nilai x = 2 ke dalam f(x) akan menghasilkan penyebut yang sama dengan nol, sehingga substitusi langsung tidak dapat dilakukan.
Pada pembahasan limit sebelumnya telah dijelaskan bahwa limit suatu fungsi f(x) ketika x mendekati a dapat dihitung dengan menentukan nilai fungsi pada saat x=a atau dengan menghitung f(a). Berdasarkan Definisi 2.5 maka fungsi kontinu v a harus memenuhi tiga syarat yaitu. Fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi akar, dan fungsi trigonometri merupakan fungsi yang kontinu pada setiap domain.
Pembahasan paling mendasar tentang limit fungsi trigonometri adalah limit sin x dan cos x ketika x mendekati nol, dimana x adalah sudut dalam radian. Ada dua batasan dasar dalam aturan limit fungsi trigonometri, yaitu: pembuktian diberikan pada bagian pembahasan LKM limit fungsi trigonometri). Aturan limit fungsi trigonometri lainnya dapat ditentukan dari aturan dasar tersebut dengan menggunakan aturan limit sebelumnya.
TURUNAN
Notasi Turunan
Agar lebih mudah dipahami, kita dapat merepresentasikan diferensiasi sebagai operasi yang jika diterapkan pada fungsi f akan menghasilkan 𝑓′. Jika dinyatakan sebagai y = f(x) yang berarti x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat, maka operasi diferensiasinya dinyatakan sebagai berikut. Fungsi f dapat diturunkan pada interval terbuka (a, b) atau pada (a, ∞) atau pada (-∞, a) atau pada (-∞,∞), jika f dapat diturunkan pada setiap bilangan pada interval tersebut .
Jika f tidak dapat diturunkan di suatu titik, maka turunan dari f dikatakan tidak ada di titik tersebut. Penggolongan titik-titik yang tidak dapat diturunkan fungsi f adalah titik-titik yang mempunyai sudut lancip, titik-titik yang mempunyai garis singgung tegak lurus, atau titik-titik yang mempunyai diskontinuitas.
Hubungan Antara Dapat Diturunkan
Rumus-Rumus Turunan
Turunan Fungsi Trigonometri
Aturan Rantai
Turunan Tingkat Tinggi
Berdasarkan apa yang terlihat pada gambar mengenai area asal (domain), area teman (kodomain), dan area hasil (jangkauan), coba definisikan ketiga istilah tersebut. Lalu apa yang dapat disimpulkan mengenai penentuan perpotongan grafik pada sumbu x atau sumbu y? Buka file "transformasi 2" (buka link https://bit.ly/LKMGeoGebra), perhatikan slide dan fungsinya f(x) = (x – a)2– 5, coba geser a.
Apa yang terjadi jika h dan k divariasikan ketika eksponennya sama dengan 1, dengan a adalah nilai konstanta apa pun. Kesimpulan yang dapat diambil tentang kemiringan garis dan perpotongan garis dengan sumbu koordinat pada fungsi linier (eksponen sama dengan 1). Perubahan apa yang terjadi jika nilai a diubah ketika eksponennya sama dengan 2 dengan h dan k tetap.
Perubahan apa yang terjadi jika eksponennya sama dengan 2, dengan nilai a tetap seperti h dan k divariasikan. Kesimpulan apa yang dapat ditarik dari kemunculan di titik f, g, h LKM 05 jika dihubungkan dengan bentuk grafik dan titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu koordinat. Berdasarkan soal 1, 2, 3 dan 4 LKM 06, dapat ditarik kesimpulan apa tentang cara menentukan invers suatu fungsi.
Lihat nilai x < 3 sebagai perkiraan nilai x = 3 dari kiri, dan nilai x > 3 sebagai perkiraan nilai x = 3 dari kanan. Jika dikaitkan dengan nilai f(x) apa yang dapat disimpulkan. Kesimpulan apa yang dapat diambil mengenai pengertian batas-batas fungsional secara umum, sesuai dengan yang telah dibahas pada soal 1, 2 dan 3 LKM 08. Berdasarkan hasil soal 4 LKM 09, apa yang dapat disimpulkan tentang nilai f(x) ketika x mendekati nilai tertentu, misalnya x mendekati a.
Berdasarkan perbandingan hasil yang diperoleh pada soal 1, 2 dan 3 LKM 10, dapat diambil kesimpulan apa mengenai nilai batas dalam. Kesimpulan apa yang dapat diambil dari soal 5a dan 5b LKM 10, jika barisan fungsi dihubungkan dengan nilai limitnya. Buka file “turunan fungsi” (buka link https://bit.ly/LKMGeoGebra), maka akan tampil seperti pada gambar di bawah ini.
Berdasarkan soal 1a sampai 1e LKM 14, apa kesimpulan dari penentuan kemiringan garis singgung grafik dengan menggunakan kemiringan garis yang memotong grafik tersebut. Jika tidak, coba gunakan perkiraan dengan menghitung kecepatan rata-rata dengan selang waktu 1 ≤ t ≤ 2. Jika diberikan selang waktu yaitu :.
