Apa itu Model Matematik?
Model matematika adalah suatu abstraksi matematis dari suatu proses nyata. Model yang tersusun dari persamaan atau sistem persamaan matematik ini tetap merupakan suatu aproksimasi (yaitu bukan gambaran sepenuhnya) dari suatu proses yang sebenarnya. Oleh karena itu, model tidak dapat/mampu menyertakan seluruh fitur proses sebenarnya, baik dari segi makroskopik maupun mikroskopik.
Pengetahuan manusia sangat terbatas untuk memformulasikan seutuhnya fenomena alam yang Allah ciptakan, Subhaanahu wa Ta’aala!
Mengapa diperlukan Model?
Model matematik dapat memberikan banyak manfaat. Dalam konteks dinamika proses, model matematik bermanfaat untuk memudahkan mamahami suatu proses.
Model suatu proses dapat dianalisa dan digunakan dalam suatu simulasi komputer untuk investigasi perilaku proses tanpa mengeluarkan biaya pengoperasian proses tersebut. Cara ini diperlukan ketika eksperimen pada proses tersebut tidak layak dilakukan (karena berbahaya atau biaya mahal) atau proses yang dimaksud belum ada (belum dibangun).
Model Dinamika Proses
Model dinamika proses dapat dibangun dengan dua cara, yaitu:
1. Fundamental, dibangun dengan prinsip neraca massa/energi.
Empiris, dibangun dengan prinsip regresi data input-output yang diperoleh melalui eksperimen
1. Level Tanki
Hubungan Variabel
Level tangki (L) dipengaruhi oleh laju alir masuk (Fi) dan laju alir keluar (F) Pemodelan
Model yang dibangun harus menggambarkan hubungan antara level fluid dan laju alir masuk dan keluar Gunakan formulasi Neraca Massa Total,
(1)
Laju massa akumulasi didefinisikan sebagai perubahan massa dalam tangki setiap waktu.
Maka suku ini dinyatakan dalam bentuk diferensial, yaitu:
Karena variabel output yang diinginkan adalah dinamika level tangki (L), maka,
Karena satuan laju alir diinginkan dalam bentuk volumetric (m3/jam), maka,
Mska Pers. 1 menjadi:
Dengan membagi persamaan ini dengan ρ, diperoleh
Hubungan volume tangki dengan level fluida adalah . Untuk tangki berbentuk silinder nilai A adalah konstan. Maka persamaan diatas diubah menjadi:
Model ini menjelaskan bahwa level (L) dapat berubah dengan berubahnya laju alir masuk ( Fin) dan laju alir keluar (F)
Dari gambar diatas, besarmya laju alir keluar tergantung dari level fluida dalam tangki dan bukaan valve. Hubungannya dapat ditulis sebagai berikut:
CATATAN
1. Bila aliran keluar dilakukan melalui pompa dan besarnya terkontrol, maka F mempunyai nilai angka tertentu dan nilai ini bisa saja berubah-ubah sesuai dengan mekanisme pemompaan atau control valve. Demikian juga halnya dengan aliran masuk,
2. Dalam praktek industri, formula untuk aliran yang melewati sebuah valve adalah
, dimana deltaP adalah pressure drop lintas valve dan G adalah spesifik gravity fluida.
Maka, formulasi neraca massa total untuk kasus ini adalah sebagai berikut:
Hubungan Variabel
Konsentrasi A keluar tangki (CA) dipengaruhi oleh laju alir masuk kedua umpan (F
A1 dan FA2) dan konsentrasi A pada kedua aliran masuk (CA1 dan CA2).
Pemodelan
Gunakan formulasi Neraca Massa Komponen
Atau
Karena tidak ada reaksi kimia, maka laju massa generasi dan konsumsi tidak ada.
Karena diinginkan konsentrasi A dalam satuan molar (mol/l), maka dibuat model dalam bentuk neraca mol. Hubungan laju massa A dengan laju mol A adalah sebagai berikut:
Untuk akumulasi
Untuk aliran
Maka, Pers. 2 dapat ditulis sebagai,
Dengan membagi persamaan ini dengan BMA, diperoleh
Untuk kasus tangki dengan volume konstan, dimana , persamaan ini berubah menjadi:
Hubungan Variabel
Perubahan konsentrasi A, B, dan C pada aliran keluar reactor, CA, CB dan CC, dipengaruhi oleh perubahan kedua laju alir masuk (FA dan FB) dan kedua konsentrasi kedua umpan masuk (CAi dan CBi).
Pemodelan
Dengan menggunakan neraca massa komponen
Dibangun tiga persamaan neraca komponen masing-masing untuk komponen A, B dan C dimana komponen A dan B terkonsumsi selama proses dan komponen C tergenerasi
Laju massa generasi dan konsumsi didefiniskan sebagai berikut:
Ketiga persamaan neraca massa komponen adalah sebagai berikut:
Dengan substitusi model untuk laju reaksi dan sistem persamaan diatas menjadi
Pemodelan
Gunakan formulasi neraca energi/panas
Panas yang terakumulasi
Asumsi bahwa media pemanas yang masuk adalah steam yang keluar sebagai kondensat dimana temperaturnya tidak berubah.
Panas masuk ke dalam tangki melalui dua mekanisme:
Melalui aliran umpan:
Melalui transfer panas di coil:
Maka, panas masuk total
Panas keluar melalui aliran keluar
Laju panas generasi/konsumsi tidak ada dalam kasus tangka pemanas. Kedua suku ini muncul dalam kasus terjadinya reaksi eksoterm/endoterm atau pelarutan.
Maka, model dinamika tanki pemanas diatas adalah sebagai berikutL
Bila atas dibagi dengan dan , maka dihasilkan model berikut
Pemodelan
Persamaan neraca energi dibuat untuk Tangki dan Jacket. Laju massa dalam kg/jam
Tangki:
Jacket:
Untuk asumsi dan , persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi: enghasilkan:
Tangki
Jacket
Dengan menggunakan prinsip neraca massa seperti sebelumnya, diperoleh:
