BELAJAR TENTANG BAHAN AJAR FISIKA

BAHAN AJAR FISIKA

OLEH : BAMBANG PRIO HARTONO, ST,MT

FISIKA

Mata Kuliah : FISIKA (3 sks)

Kode Mata Kuliah : ED1109

Prasyarat : -

Kompetensi :

Mahasiswa mampu menaganalisis dan menyelesaikan persoalan untuk menganalisis dan menyeleseaikan masalah elektro. yang berhubungan dengan konsep-konsep fisika

Materi :

Vektor, Kinematika dan Dinamika, Partikel, Kerja, Energi, Momentum Linier, Impuls, Tumbukan, Konsep pusat Massa, Gerak Roket, Konsep Gerak Rotasi, Benda Tegar, Momen Inersia, Momentum Sudut dan Momen Gaya.

Daftar Pustaka :

[1]. Tipler, 1998., Fisika untuk Sains dan Teknik. Jilid 1. Erlangga.

[2]. Resnick, Robert and David Halliday. 1992. Physics (Extended with Modern Physics).

John Wiley & Sons.

[3]. Serway. 1990. Physics for Scientists & Engineers (with Modern Physics). 3rd ed.

Saunders Golden Sunburst Series.

[4]. Wolfson and Pasachoff. 1990. Physics (Extended with Modern Physics). Harper Collins.

MATERI JAM NGAJAR DIRUBAH KE JAM KE-7-9

0811364183

VEKTOR

Vektor dan Skalar

Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. Ada besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga atau magnitude) dan satuannya saja. Besaran ini disebut Skalar. Ada juga besaran yang disamping nilai dan satuannya perlu juga dinyatakan arahnya. Besaran ini disebut vektor.

Besaran Vektor mempunyai nilai (magnitude) dan arah (direction).

contoh besaran vektor : posisi, perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, berat, dan momentum.

Besaran skalar hanya mempunyai nilai (magnitude).

contoh besaran skalar : massa, waktu, laju, kerja dan energi.

Besaran vektor dituliskan dengan tanda panah diatas besaran tersebut atau dengan huruf tebal. Besaran atau nilai dinyatakan dengan harga mutlaknya.

Vektor dapat direpresentasikan secara grafik dengan menggunakan anak panah,

Arah anak panah menyatakan arah vektor tersebut, dan panjang anak panah sebanding dengan nilai vektornya. Titik pangkal vektor disebut titik tangkap vektor, dan garis yang berimpit dengan vektor disebut garis kerja vektor.

Kesamaan vektor

Vektor dikatakan sama dengan vektor bila besarnya dan arahnya sama. Titik tangkap dan garis kerjanya tidak harus sama.

Penjumlahan vektor

Jumlah atau resultan vektor dan adalah sebuah vektor baru ( + ) yang diperoleh dengan dengan menempatkan vektor diujung vektor , lalu pangkal vektor dihubungkan dengan ujung vektor untuk mendapatkan vektor baru. Penjumlahan vektor dapat juga digunakan aturan jajaran-genjang (PARALLELOGRAM law ).

Pengurangan vektor

Selisih dua buah vektor V dan W didefinisikan sebagai V-W = V +(-W) = V +(-)W.

Penjumlahan dan pengurangan vektor dilakukan untuk masing-masing komponen.

Perhatikan contoh berikut ini:

1. Vektor , dan vektor adalah dua vektor di . Hasil penjumlahan kedua vektor ini adalah sebuah vektor baru, diperoleh sbb:

2. Hasil pengurangan vektor dan adalah

Perkalian dengan skalar

Vektor = m adalah sebuah vektor yang panjangya |m| kali panjang vektor dan arahnya sama bila m positif dan berlawanan bila m negatif. Jika m=0, maka diperoleh vektor nol yang panjangnya nol dan arahnya tak tentu.

Mengalikan sebuah vektor dengan bilangan skalar, juga dilakukan per komponen. Jadi jika

kita mempunyai vektor maka

Perhatikan bahwa

Pada umumnya berlaku, jika skalar dan adalah vektor, maka

Panjang vektor

Diberikan sebuah vektor W dengan titik pangkal pada c=(xc,yc) dan kepala vektor pada d=

(xd, yd), berapakah panjang vektor W?

Menurut aturan Pythagoras, panjang dari sisi miring sebuah segitiga adalah akar kuadrat dari (xd-xc)^2 + (yd-yc)^2.

Vektor satuan

Definisi: Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1

Misalkan vektor adalah vektor satuan maka | | = 1. Vektor satuan biasanya ditulis sebagai .

Vektor , dan berturut-turut adalah vektor satuan dalam arah x, y dan z.

Posisi vektor pada koordinat (x,y,z) biasanya ditulis sebagai . Panjang

vektor dapat ditulis sebagai .)

Perkalian titik (Dot Product)

Perkalian titik didefinisikan sebagai

dengan adalah sudut yang diapit oleh dan . Hasil perkalian ini adlah skalar bukan vektor (disebut perkalian skalar).

Animasi dibawah ini menggambarkan perkalian titik.

Sifat-sifat perkalian dot product:

1.

2.

3.

Perkalian silang (Cross Product)

Berlainan dengan perkalian titik, hasil perkalian silang adalah vektor. Perkalian silang vektor and adalah sebuah vektor dan besarnya diberikan oleh

dimana adalah sudut antara kedua vektor.

Arah vektor hasil cross product adalah tegak lurus pada kedua vektor tersebut dan memeuhi aturan tangan kanan (right-hand rule).

Animasi dibawah ini menggambarkan perkalian silang.

Perkalian silang untuk vektor satuan sbb:

1. sebab sudut antara vektor adalah 0 dan .

2. sebab , dan tegak lurus pada kedua

vektor. Gunakan aturan tangan kanan untuk mengujinya.

3. sebab besar kedua vektor adalah satu, sudut antara mereka adalah 90 dan aturan tangan kanan menghasilkan arah .

Persamaan Dasar

Gerak Relatif

Dapat ditunjukkan dengan persamaan matematika vektor sederhana berikut yang

memperlihatkan suatu penjumlahan vektor : gerak A relatif terhadap O sama dengan gerak relatif B terhadap O ditambah dengan gerak relatif A terhadap B :

Gerakan Koordinat

Salah satu persamaan dasar dalam kinematika adalah persamaan yang menggambarkan tentang turunan dari sebuah vektor yang berada dalam suatu sumbu koordinat bergerak.

Yaitu : turunan terhadap waktu dari sebuah vektor relatif terhadap suatu koordinat diam, sama dengan turunan terhadap waktu vektor tersebut relatif terhadap koordinat bergerak

ditambah dengan hasil perkalian silang dari kecepatan sudut koordinat bergerak dengan vektor itu. Dalam bentuk persamaan :

dimana :

r(t) adalah sebuah vektor

X,Y,Z adalah sebuah sumbu koordinat tetap / tak bergerak x,y,z adalah sebuah sumbu koordinat berputar

ω adalah kecepatan sudut perputaran koordinat

Sistem Koordinat

Sistem Koordinat Diam

Pada sistem koordinat ini, sebuah vektor digambarkan sebagai suatu penjumlahan dari vektor-vektor yang searah dengan sumbu X, Y, atau Z. Umumnya adalah sebuah vektor satuan pada arah X, adalah sebuah vektor satuan pada arah Y, dan adalah sebuah vektor satuan pada arah Z.

Vektor posisi (atau ), vektor kecepatan dan vektor percepatan , dalam sistem koordinat Cartesian digambarkan sebagai berikut :

catatan : ,

Sistem Koordinat Bergerak 2 Dimensi

Sistem koordinat ini hanya menggambarkan gerak bidang yang berbasis pada 3 vektor satuan orthogonal yaitu vektor satuan , dan vektor satuan sebagai sebuah bidang dimana suatu obyek benda berputar terletak/berada, dan sebagai sumbu putarnya.

Berbeda dengan sistem koordinat Cartesian diatas, dimana segala sesuatunya diukur relatif terhadap datum yang tetap dan diam tak berputar, datum dari koordinat-koordinat ini dapat berputar dan berpindah - mengikuti gerakan dari benda atau partikel pada suatu benda yang diamati. Hubungan antara koordinat diam dan koordinat berputar dan bergerak ini dapat dilihat lebih rinci pada Transformasi Orthogonal.

Kinematika dan Dinamika

Dalam fisika, kinematika adalah cabang dari mekanika yang membahas gerakan benda tanpa mempersoalkan gaya penyebab gerakan. Hal terakhir ini berbeda dari dinamika, yang mempersoalkan gaya yang mempengaruhi gerakan.

Kinematika:

Bagian ilmu fisika yang mempelajari gerak benda dan pengaruh lingkungan terhadap gerak benda disebut mekanika. Kinematika adalah bagian dari mekanika yang mempelajari gerak suatu benda tanpa memandang gaya yang bekerja pada benda tersebut (massa benda diabaikan). Jadi jarak yang ditempuh benda selama geraknya hanya ditentukan oleh kecepatan v dan atau percepatan a. Bagian yang mempelajari bagaimana pengaruh lingkungan terhadap gerak disebut dinamika. Dalam bab ini kita akan membahas kinematika secara umum: besaran-besaran yang terlibat, gerak benda dalam satu dimensi dan dua dimensi.

Kinematika adalah studi tentang gerak benda tanpa memperhitungkan penyebab terjadi gerakan itu. Asumsi bendanya sebagai benda titik yaitu ukuran, bentuk, rotasi dan

getarannya diabaikan tetapi massanya tidak(Ganijanti, 2002). Dalam kinematika akan dibahas mengenai gerak :

• Gerak satu dimensi

 Gerak lurus beraturan

 gerak lurus berubah beraturan

 gerak lurus berubah tidak beraturan

• Gerak dua dimensi

Gerak melingkar beraturan & tidak beraturan, gerak parabola.

• Gerak tiga dimensi

Gerak spiral(helix) misalnya gerak muatan dalam medan magnet dan medan listrik(tidak dibahas dalam kelas ini)

• Gerak relatif

Gerak benda yang diamati oleh pengamat pada saat bergerak atau diam.

 Gerak Benda Titik

• Gerak benda titik dalam ruang dapat dituliskan dalam sumbu koordinat Cartesius. Yaitu :

ensi

j y i x

r   2  dim

(1)

ensi k

z j y i x

r    3  dim

(2)

Dalam kinematika besaran-besaran yang sangat penting adalah

⊲ Perpindahan(displacement),

r

⊲ Kecepatan(velocity),

V

⊲ Percepatan(accelaration),

a

 Kecepatan

Kecepatan rata(average velocity)

) ,

tan (

1 2

1

2

kecepa rata rata gerak sepanjang garis lurus t

r t t

r

v

avg

r 



 



 

(3)

Contoh :

Posisi bagian muka bis-artinya posisi dari partikel-diberikan oleh koordinat x, yang merubah terhadap waktu selama mobil bergerak. Cara yang sering digunakan untuk menerangkan gerak bis adalah dengan mengamati perubahan nilai x dalam suatu selang waktu. Misalnya 1,0 detik setelah start ujung depan mobil berada pada titik P₁, 19 m dari titik asal, dan 4,0 detik setelah start mobil berada pada titik P₂, 277m dari titik awal. Jadi, mobil telah menempuh jarak (277m – 19m) = 258m selama selang waktu (4,0 s – 1,0 s) = 3,0 s. Kita definisikan kecepatan rata-rata bis selama selang waktu tersebut secara vektor yang komponen x-nya adalah perubahan x dibagi dengan selang waktu:

(258m)/(3.0s) = 86 m/s. Secara umum, kecepatan rata-rata tergantung pada selang waktu yang dipilih.

Untuk contoh diatas kita punya x1= 19m, x2= 277 m, t1= 1,0 detik, dan t2=4,0 detik, sehingga persamaan (3) menghasilkan:

x r ana s

s m m s

s m

v

avg

m   



  86 / dim

0 , 3 258 0

, 1 0 , 2

19 277

Kecepatan sesaat (instantaneous velocity) adalah limit dari kecepatan rata-rata untuk selang waktu mendekati nol

dt dr t v r

o t

ins





 

lim

 (4)

 Pecepatan

Percepatan rata(average acceleration)

) ,

tan (

1 2

1

2

percepa rata rata gerak pada garis lurus t

v t

t v

a

avg

v 



 



 

(5)

Percepatan sesaat(instantaneous acceleration)

2

)

2

/ lim (

dt x d dt

dt dx d dt

v d t a v

o t

ins

  



 

 (6) Percepatan adalah turunan kecepatan terhadap waktu

Gambar 1: Gerak satu dimensi perpindahan dan kecepatan

Latihan 1. Sebuah semut berada pada x1 = 18mm pada t1 = 2s dan kemudian ditemukan pada posisi x2 = 14mm pada t2 = 7s. Carilah kecepatan rata-rata.

Latihan 2. Sebuah partikel bergerak dalam arah x dengan persamaan lintasan x = 5t2 + 1, x(meter), t(detik). Hitung :

1. Kecepatan rata-rata antara t = 2s dan t = 3s 2. Kecepatan pada t = 2s

3. Posisi pada t = 10 dan t = 0

4. Percepatan rata-rata antara t = 2s dan t = 3s 5. Gambarkan grafik x(t), v(t) dan a(t)

Latihan 3. Percepatan sebuah benda dinyatakan a = 4x − 2 pada x = 0 ! v0 = 10m/s. Tentukan kecepatan fungsi jarak v = v(x).

Gerak Satu Dimensi

 Gerak Lurus Beraturan

Gerak lurus beraturan adalah gerak benda titik yang membuat lintasan berbentuk garis lurus dengan jarak yang ditempuh tiap satu satuan waktu tetap baik besar dan arahnya.

Secara umum bentuk persamaan untuk gerak lurus beraturan adalah t

v So t

S( )  _s (7) t

v x t

x( ) ₀  _s (8) Persamaan kecepatan

tetap dt v

r

t  d 

(9)

pada GLB kecepatan rata-rata sama denga kecepatan sesaat

v

_avg

 v

_ins

Gambar 2: Gerak lurus beraturan

 Gerak Lurus Berubah Beraturan

Gerak lurus berubah beraturan adalah gerak benda titik dengan lintasan berbentuk garis lurus dengan jarak yang ditempuh tiap satu satuan waktu tidak sama besar, sedangkan arah gerak tetap.

Persamaan untuk GLBB

²

1 2 at t

v x

x 

_o



_o



(10)

ax v

v at v

v 

₀

 ;

²



₀²

 2

(11) Ada proses GLBB diperlambat atau dipercepatan. Contoh GLBB dipercepat adalah gerak jatuh bebas

tetap g

a gt y

t

y( ) ₀ ₂¹ ;   (12)

Gambar 3: Gerak lurus beraturan

Gerak Lurus Berubah Tidak Beraturan

Gerak lurus berubah tidak beraturan adalah gerak benda titik dengan lintasan garis lurus tetapi percepatan tidak tetap, baik besar maupun arahnya, contohnya : gerak harmonik

Gambar 4: Gerak harmonik dan proyeksinya pada sebuah garis lurus Persamaan gerak harmonik

t R t y t R t

x ( )  cos  ; ( )  sin 

(13)

Gambar 3: Gerak lurus beraturan

Gerak Dua Dimensi Gerak Melingkar

Gerak melingkar adalah gerak sebuah benda titik dengan lintasan melingkar dengan jari-jari R. Untuk gerak melingkar beraturan panjang busur yang ditempuh tiap satu satuan waktu tetap dan setiap vektor posisi

r

dari benda arahnya keluar sehingga

r  R  tetap

dan arah

r

yang berubah tiap saat

Persamaan gerak melingkar

t R R

t y t R R

t

x ( )  cos   cos  ; ( )  sin   sin 

(14) dengan ω adalah kecepatan sudut (rad/s).

Persamaan kecepatan

t R t v t R t

v

_x

( )    sin  ;

_y

( )   cos 

(15)

R

t v t v

v 

_x

( )

²



_y

( )

²

 

(16)

Gambar 5: Gerak melingkar, hubungan antara kecepatan sudut, ω, kecepatan v dan percepatan a Percepatan gerak melingkar

) ( sin

) ( );

( cos

)

( t

²

R t

²

x t a t

²

R t

²

y t

a

_x

      

_y

      

(17)

r a

a a R t

a t a

a 

_x

( )

²



_y

( )

²

 

²

; 

_x



_y

  

² (18) bentuk disebut percepatan sentripetal.

• Dalam notasi vektor

• Pada gerak melingkar tidak beraturan, busur yang ditempuh tiap satu satuan tidak sama disebabkan kecepatan sudut tidak tetap. Maka timbul suatu percepatan yang disebut dengan percepatan tangensial yaitu

α adalah percepatan angular/sudut(rad/s²). Sehingga gerak melingkar tidak beraturan mempunyai 2 percepatan yaitu

Latihan 4. Sebuah partikel bergerak dalam bidang xy dengan percepatan tetap. Pada t = 0 partikel berada , pada t = 2s posisi dan kecepatannya menjadi . Carilah percepatan, kecepatan fungsi waktu dan posisi partikel fungsi waktu.

+ Gerak Peluru

• Gerak peluru adalah gerak benda titik yang ditembakkan dengan arah yang tidak vertikal sehingga geraknya hanya dipengaruhi oelh percepatan gravitasi bumi dan membentuk lintasan parabola.

Gambar 6: Gerak peluru dengan H titik tertinggi dan R titik terjauh Persamaan gerak peluru

substitusikan Pers(21) ke Pers(22) menjadi persamaan parabola

• Tinggi tertinggi didapatkan pada kondisi

Titik terjauh

untuk mencapai nilai R maksimum syarat

• Syarat-syarat gerak peluru

⊲ Jarak cukup kecil sehingga kelengkungan bumi dapat diabaikan.

⊲ Ketinggian cukup kecil sehingga perubahan kecepatan gravitasi terhadap ketinggian dapat diabaikan.

Latihan 5. Sebuah peluru ditembakkan ke udara dengan v0= 50m/s sudut elevasi 37^oterhadap horisontal.

Carilah titik tertinggi, terjauh dan waktu tempuh.

Latihan 6. Pada kondisi yang sama pada kasus sebelumnya tetapi ditembakkan pada ketinggian 55 m diatas permukaan tanah.

Catatan :sin 37^o= 0, 6; cos 37^o= 0, 8; g = 10m/s² Percepatan Coriolis

• Percepatan coriolis adalah percepatan yang terjadi pada sebuah benda yang berada pada bidang berputar dan benda bergerak pada arah radial.

• Perubahan arah dari pada arah radial ke dalam yaitu perubahan vT arah radial

• Perubahan besar dari vpo ! vp pada arah tangensial yaitu perubahan vT arah tangensial

• Percepatan Coriolis dapat dinyatakan

Arah percepatan coriolis adalah tangensial pada lintasan

Gambar 7: Percepatan coriolis akibat benda Gambar 8: Gerak muatan dalam medan Magnet

Posisi dan Perpindahan

Letak sebuah partikel dalam ruang dinyatakan oleh vektor posisi r. Vektor posisi ini dapat dituliskan dalam komponen-komponennnya,

Bila partikel bergerak, posisinya berubah terus terhadap waktu. Jadi partikel yang bergerak memiliki vektor posisi yang merupakan fungsi waktu, demikian juga komponen-

komponennya:

Misalkan pada saat t₁ partikel berada di titik 1 dengan vektor posisi r₁ = r(t₁), dan pada saat t₁ benda di titik 2 dengan vektor posisi r₂ = r(t₂). Perpindahan partikel dalam selang waktu ini dinyatakan dengan vektor D r dari titik 1 ke titik 2. Vektor D r ini disebut vektor

perpindahan:

Gambar 1. Posisi vs. waktu

Selang waktu yang dibutuhkan untuk menempuh perpindahan dari titik 1 ke titik 2 adalah:

-rata

Kecepatan rata-rata didefenisikan sebagai:

Kecepatan ini disebut kecepatan rata-rata karena tidak menggambarkan kecepatan benda yang sesungguhnya, melainkan hanya kecepatan rata-rata selama selang waktu tersebut.

Kecepatan rata-rata adalah besaran vektor.

Gambar 2. Tangen garfik posisi vs waktu

singgung lintasan seperti ditunjukkan dalam gambar 2. Kecepatan rata-rata menjadi kecepatan kecepatan sesaat di titik 1 dan arahnya menyinggung kurva lintasan:

Dalam komponen vektor kecepatan

Kecepatan sesaat ini benar-benar menunjukkan keadaan gerak di sebuah titik (sifat lokal).

Untuk selanjutnya kecepatan sesaat hanya akan disebut kecepatan saja.

Percepatan rata-rata Benda yang bergerak dengan kecepatan berubah disebut mengalami percepatan. Percepatan adalah ukuran cepat-lambatnya perubahan kecepatan.

Percepatan rata-rata didefinisikan sebagai perbandingan antara perubahan vektor kecepatan terhadap selang waktu yang dipakai untuk perubahan tersebut.

Gambar 3. Grafik kecepatan vs. waktu Percepatan rata-rata:

Percepatan sesaat:

Percepatan sesaat di suatu titik, didefenisikan sebagai limit percepatan rata-rata untuk selang waktu yang sangat kecil, yaitu:

Gambar 4. Grafik tangen kecepatan vs. waktu Ditulis

Hubungan antar posisi, kecepatan dan percepatan

Kita mempunyai dua hubungan yang mendefinisikan bagaimana posisi, kecepatan, dan percepatan berhubungan satu sama lain:

dan hubungan antara percepatan dan posisi:

Gerak Lurus Berubah Beraturan

Bentuk paling sederhana dari percepatan adalah a = 0, yang kita kenal sebagai gerak lurus beraturan. Jika a = konstan, artinya kecepatan benda tidak tetap lagi, tapi berubah secara beraturan. Gerak ini kita kenal sebagai gerak lurus berubah beraturan.

Hubungan antara percepatan dan kecepatan menjadi:

Cara lain untuk memperoleh hubungan persamaan diatas adalah dengan teknik integral:

Maka posisi partikel/benda diperoleh sbb:

Persamaan ini juga dapat diperoleh dengan proses integrasi:

Dari persamaan-persamaan diatas dapat diperoleh hubungan berikut:

Rinkasan Persamaan Kinematika

Hukum Newton

Mekanika klasik atau mekanika Newton adalah teori tentang gerak yang didasarkan pada konsep massa dan gaya dan hukum-hukum yang menghubungkan konsep-konsep fisis ini dengan besaran kinematika, perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Semua gejala dalam mekanika klasik dapat digambarkan dengan menggunakan hanya tiga hukum sederhana yang dinamakan hukum Newton tentang gerak. Hukum Newton menghubungkan percepatan sebuah benda dengan massanya dan gaya-gaya yang bekerja padanya.

Hukum I. (Hukum Kelembaman)

Sebuah benda tetap pada keadaan awalnya yang diam atau bergerak dengan kecepatan sama kecuali ia dipengaruhi oleh suatu gaya tidak seimbang, atau gaya eksetrnal neto (gaya neto yang bekerja pada sebuah benda, juga dinamakan gaya resultan, adalah jumlah vektor semua gaya yang bekerja padanya.

.) F F_neto 

Hukum 2. Percepatan sebuah benda berbanding terbalik dengan massanya dan sebanding dengan gaya eksternal neto yang bekerja padanya:

m

a  F

^net atau F_neto ma

Hukum 3. (Hukum interaksi atau hukum aksi reaksi).

Gaya-gaya selalu terjadi berpasangan. Jika benda A memberikan gaya pada benda B, gaya yang besarnya sama tetapi arahnya berlawanan diberikan oleh benda B pada benda A.

Hukum I. (Hukum Kelembaman) Gaya, Massa, dan Hukum Kedua Newton

Hukum pertama dan kedua Newton dapat dianggap sebagai definisi gaya. Gaya adalah suatu pengaruh pada sebuah benda yang menyebabkan benda mengubah kecepatannya, artinya, dipercepat. Arah gaya adalah arah percepatan yang disebabkannya jika gaya itu adalah satu-satunya gaya yang bekerja pada benda tersebut. Besarnya gaya adalah hasil kali massa benda dan besarnya percepatan yang dihasilkan gaya. Secara eksperimen telah ditemukan bahwa jika dua atau lebih gaya bekerja pada benda yang sama, percepatan benda adalah sama seperti jika benda dikenai gaya tunggal yang sama dengan penjumlahan vektor gaya-gaya itu sendiri. Artinya, gaya-gaya dijumlahkan sebagai vektor-vektor.

Massa adalah sifat intrinsik sebuah benda yang mengukur resistensinya terhadap percepatan. Rasio dua massa dapat didefinisikan sebagai berikut. Jika gaya f dikerjakan pada benda bermassa m₁, dan menghasilkan percepatan a₁, maka

1 1

a m F 

Jika gaya yang sama dikerjakan pada benda kedua yang massanya m2, dan menghasilkan percepatan a₂, maka

2 2

a m F 

Dengan menggabungkan persamaan-persamaan ini, kita dapatkan

2 2 1

1

a m a

m

F  

Atau

2 1 1 2

a a m m 

Jadi rasio massa dua benda didefinisikan dengan menerapkan gaya yang sama pada masing-masing benda dan membandingkan percepatannya.

Contoh 1:

Sebuah gaya tertentu menghasilkan percepatan 5 m/s² pada benda standa. Jika gaya yang sama dikenakan pada benda kedua, gaya itu menghasilkan percepatan 15 m/s². Berapakah massa benda kedua, dan berapakah besarnya gaya itu?

Karena percepatan benda kedau adalah 3 kali percepatan benda standar yang dipengaruhi gaya yang sama, massa benda kedua adalah 1/3 massa benda standar atau 0,33 kg. Besarnya gaya adalah F= (1 kg)(5 m/s²) =5 N

Perhatikan bahwa kita telah mendefinisikan konsep gaya dan massa sehingga hukum kedua Newton segera muncul dari definisi-definisi itu:

ma F_neto 

Hukum kedua Newton menetapkan hubungan antara besaran dinamika gaya dan massa dan besaran kinematika percepatan, kecepatan, dan perpindahan.

Contoh 2.

Sebuah partikel bermassa 0,4 kg dikenai dua gaya, F1=2N i – 4N j dan F2=-2,6 N i + 5 N j.

Jika partikel dimulai dari keadaan diam di titik asal pada t=0, tentukan posisi dan kecepatannya pada t=1,6 s

Gaya neto yang bekerja pada partikel adalah jumlah vektor dua gaya yang diketahui Fneto = F1 + F2 = (2 N i – 4N j) + (-2,6 N i + 5 N j)

= -0,6 N i + 1,0 N j

Percepatan partikel diberikan oleh hukum kedua Newton:

kg j N i

N m

a F

^net

4 , 0

0 , 1 6

,

0 

 



j i ^m_s

s

m 2 2,5 2

5 ,

1 





Atau

2

2

2 , 5

5 ,

1

^m_{s y} ^m_s

x

dan a

a   

Karena partikel mulai dai keadaan diam dititik asal pada t = 0 koordinat x dan y pada t = 1,6 s diberikan oleh

   s  m

t a

x 

¹_{2 x} ²



¹₂

 1 , 5

^m_s2

1 , 6

²

  1 , 92

Dan

   s  m

t a

y

_y 2 12

2 , 5

^m_s

1 , 6

²

3 , 20

12

2









Komponen x dan y kecepatan partikel di t = 1,6 s adalah

   

ms

s m

x

t s

a

Vx    1 , 5

2

1 , 6

²

  2 , 40

Dan

   

ms

s m

y

t s

a

Vy    2 , 5

2

1 , 6

²

 4 , 00

Dalam notasi vektor, kecepatan partikel pada t = 1,6 s adalah

j

i

v   2 , 40

^m_s

 4 , 00

^m_s

Gaya karena adanya Gravitasi : Berat

Gaya tarikan gravitasi bumi pada sebuah benda. Gaya ini dinamakan berat benda W. Jika kita menjatuhkan sebuah benda dekat permukaan bumi dan mengabaikan resistensi udara sehingga satu-satunya gaya yang bekerja pada benda itu adalah gaya karena gravitasi (keadaan ini dinamakan jatuh bebas), benda dipercepat ke bumi dengan percepatan 9,81 m/s². Pada tiap titik di ruang, percepatan ini sama untuk semua benda, tak tergantung pada massanya. Kita namakan nilai percepatan ini g. Dari hukum kedua Newton, kita dapat menulis gaya gravitasi F_g pada benda bermassa m sebagai :

ma

F

_g



(2-1)

Dengan menggunakan a = g dan menulis w untuk gaya gravitasi, kita dapatkan

mg

w 

(2-2)

Karena g adalah sama untuk semua benda di suatu titik, kita dapat menyimpulkan bahwa berat benda sebanding dengan massanya. Vektor g dalam Persamaan 2-2 adalah gaya per satuan massa yang dilakukan bumi pada setiap benda dan dinamakan medan gravitasi bumi. Percepatan ini sama dengan percepatan jatuh bebas yang dialami sebuah benda jika satusatunya gaya yang bekerja padanya adalah gaya gravitasi burni. Di dekat perrnukaan bumi, g mempunyai nilai

g = 9,81 N/kg = 9,81 m/s

2

(2-3)

Pengukuran g yang teliti di berbagai tempat menunjukkan bahwa g tidak mempunyai nilai yang sama di mana-mana. Gaya tarikan bumi pada benda berubah dengan lokasi. Secara khusus; di titik-titik di atas permukaan bumi, gaya karena gravitasi berubah secara terbalik dengan kuadrat jarak benda dari pusat bumi. Jadi, sebuah benda memiliki berat sedikit lebih kecil pada ketinggian yang sangat tinggi dibandingkan pada ketinggian laut. Medan gravitasi juga sedikit berubah dengan garis lintang karena bumi tidak tepat bulat tetapi agak datar di kutub kutubnya.

Jadi, berat tidak seperti massa, bukan sifat intrinsik benda; artinya berat bukan sifat benda itu sendiri.

Walaupun berat sebuah benda berbeda dari tempat ke tempat karena perubahan dalam g, perbedaan. ini terlampau kecil untuk dapat dicatat dalam kebanyakan terapan praktis. Jadi, dalam pengalaman kita sehari-hari, berat sebuah benda tampak sebagai karakteristik benda yang konstan seperti massanya.

Di dekat permukaan bulan, tarikan gravitasi bumi pada sebuah benda jauh

lebih kecil - dibandingkan tarikan bulan. Gaya yang dikerjakan bulan pada benda

biasanya dinamakan berat benda ketika benda dekat ke bulan. Catat sekali lagi

bahwa mas'sa benda adalah sama baik bila benda ada di bumi, di bulan, atau entah

di mana pun di ruang. Massa adalah sifat benda itu sendiri, sedangkan berat

bergantung pada hakikat dan jarak benda-benda lain yang mengerjakan gaya-gaya

gravitasional pada benda itu. Sebuah contoh akan membantu menjelaskan perbedaan antara massa dan berat. Andaikan Anda membawa sebuah bola berat misalnya bola gelinding ke bulan. Karena berat bola di bulan hanya sekitar seperenam beratnya di bumi, mengangkat bola itu jauh lebih mudah di bulan. Akan tetapi, melempar bola itu dengan kecepatan horisontal tertentu mernbutuhkan gaya yang sama di bulan maupun di bumi. Artinya, gaya yang sama dibutuhkan untuk menghasilkan percepatan tertentu pada bola baik di bulan maupun di bumi karena massa bola adalah sama. Gaya yang sama juga dibutuhkan untuk menghasilkan percepatan bola yang sama di ruang bebas, jauh dari medan gravitasional apa pun.

Karena pada tiap lokasi tertentu, berat sebuah benda sebanding dengan massanya, kita dengan mudah dapat membandingikan massa sebuah benda dengan massa benda lain dengan membandingkan beratnya, sepanjang kita menetapkan beratnya di lokasi yang sama.

3. Satuan Gaya dan Massa

Satuan Sl untuk massa adalah kilogram. Seperti selkon dan meter, kilogram adalah satuan dasar dalarn SI. Satuan gaya, newton, dan satuan untuk besaran-besaran lain yang akan kita pelajari, seperti momentum dan energi, diturunkan dari ketiga satuan ini. Karena 1 N menghasilkan percepatan 1 m/s

²

jika gaya itu bekerja pada. benda 1 kg, dari F = ma kita dapatkan

1 N = 1 kg.M/S2

Walaupun umumnya kita akan menggunakan satuan SI dalam buku ini, kita perlu

mengetahui sistern lain, sistem A.S sehari-hari, yang didasarkan pada feet, sekon

dan satuan gaya (pound), yang masih tetap digunakan di Amerika. Serikat. Sistem

A.S. sehari-hari berbeda dari sistem Sl karena satuan gaya alih-alih satuan massa

dipilih sebagai satuan clasarnya. Pound semula didefinisikan sebagai berat sebuah

benda standar tertentu di lokasi tertentu. Sekarang pound didefinisikan sebagai

4,448222 N. (Ini adalah berat sebuah benda yang massanya 0,45359237 kg di

sebuah titik di mana g mempunyai nilai 9,80665 m/s 2 = 32,1740 ft/s

²

) Pembulatan

sampai tiga tempat, menghasilkan

1 lb = 4,45 N

Karena 1 kg beratnya 9,81 N, beratnya dalarn pound adalah 9,81 N x 1 lb/4,45 N= 2,20 lb

Satu satuan massa dalam sistem A.S. sehari-hari adalah sebuah massa yang memperoleh percepatan satu feet per sekon kuddrat jika sebuah gaya satu pound diberikan padanya. Satuan ini, yang dinamakan slug, adalah massa sebuah benda yang beratnya 32,2 pound.

Contoh 3

Gaya neto, yang bekerja pada benda 10,0 lb adalah 3,00 lb. Berapakah percepatannya?

Percepatannya adalah gaya dibagi massa :

2

2

9 , 66 /

) / 2 , 32 /(

) 0 . 10 (

00 , 3

/ ft s

s ft lb

lb g

w F m

a  F   

4. Hukum Ketiga Newton

Hukum ketiga Newton kadang-kadang dinamakan bukum interaksi atau hukum

aksi reaksi. Hukum ini menggambarkan sifat penting dari gaya, yaitu bahwa

gaya-gaya selalu terjadi berpasangan. Jika sebuah gaya dikerjakan pada sebuah

benda A, maka harus ada benda lain B yang mengerjakan gaya itu. Selanjutnya, jika

B mengerjakan gaya pada A, maka A harus mengerjakan gaya pada B yang sama

besar dan berlawanan arahnya. Sebagai contoh, bumi mengerjakan gaya

gravitasional F

g

pada sebuah benda proyektil, yang menyebabkannya dipercepat ke

bumi. Menurut hukurn ketiga Newton, proyektil mengerjakan gaya pada bumi yang

sama besar dan berlawanan arahnya. Jadi, proyektil mengerjakan gaya F

_g^'

  F

_g

pada bumi ke arah proyektil. Jika gaya adalah satu-satunya gaya yang bekerja pada

bumi, bumi akan dipercepat ke proyektil. Karena bumi mempunyai massa yang

sangat besar, percepatan yang dialami akibat gaya yang dihasilkan proyektil ini

sangat kecil dan tak teramati.

Dalam pembahasan tentang hukum ketiga Newton, kata "aksi" dan "reaksi"

seringkali digunakan. Jika gaya yang dikerjakan pada benda A dinamakan aksi benda B pada A, maka gaya A yang dikerjakan balik pada B dinamakan reaksi A pada B. Tidaklah menjadi persoalan gaya mana dalam pasangan semacam itu dinamakan aksi dan yang mana reaksi. Yang penting adalah bahwa gaya-gaya selalu terjadi dalarn pasangan aksi-reaksi, dan bahwa gaya reaksi adalah sama besar dan berlawanan arah dengan gaya aksi.

Perhatikan bahwa gaya aksi dan reaksi tidak pernah dapat saling mengimbangi karena mereka bekerja pada benda-benda yang berbeda.

Hal ini digambarkan di Gambar 1, yang menunjukkan dua pasangan aksi-reaksi untuk balok yang diam di atas sebuah meja. Gaya yang bekerja ke bawah pada balok adalah berat w karena tarikan bumi, Gaya yang sama dan berlawanan w = -w dikerjakan oleh balok pada burni. Gaya-gaya ini adalah pasangan aksi-reaksi. Jika mereka adalah satu-satunya gaya yang ada, balok akan dipercepat ke bawah karena balok hanya mempunyai satu gaya yang bekerja padanya. Namun, meja yang menyentuh balok akan mengerjakan gaya ke atas F n padanya. Gaya ini mengimbangi berat balok. Balok juga mengerjakan gaya F

_n^'

  F

_n

ke bawah pada meja. Gaya-gaya Fn dan F

_n^'

F.' juga merupakan pasangan aksi-reaksi.

Contoh 4

Seekor kuda menolak untuk menarik sebuah kereta. Alasan kuda, menurut hukum

ketiga Newton, gaya apa pun yang aku kerjakan pada kereta, kereta akan

mengerjakan gaya yang sama dan berlawanan padaku, sehingga gaya neto akan

not dan aku tidak mempunyai kesempatan mempercepat kereta ini." Apa yang salah

dengan alasan kuda ini?

Gambar 1. Aksi Reaksi 5. Terapan untuk Pemecahan Soal

Hukum-hukum Newton dapat digunakan untuk memecahkan berbagai soal mekanika. Sebagai contoh, hukum-hukum Newton memungkinkan kita menentukan percepatan sebuah partikel dari pengetahuan tentang semua gaya yang bekerja padanya, atau untuk menetapkan gaya-gaya yang bekerja pada sebuah partikel jika diketahui percepatannya.

Gambar 2. Sebuah balok pada permukaan horizontal tanpa gesekan dengan gaya horizontal yang clikeriakan paclanya oleh sebuah tali. Langkah pertama dalam memecahkan soai ini adalah mengisolir

bencla yang akan dianalisis. Dalam kasus ini, lingkaran mengisolir balok dari sekitarnya.

Perhatikan sebuah balok bermassa m yang diam pada meja horizontal tanpa gesekan dan ditarik dengan gaya F yang diberikan pada tali, seperti ditunjukkan pada Gambar 2. Untuk mendapatkan gerakan balok, kita perlu menemukan gaya neto yang bekerja padanya. Langkah pertama adalah memilih benda yang percepatannya harus ditentukan dan di mana gaya-gaya yang diperhatikan bekerja.

Dalam gambar, sebuah lingkaran digambarkan mengelilingi balok untuk menolong kita membayangkan mengisolir balok dari sekitarnya. Kemudian kita mencari semua gaya yang mungkin bekerja pada benda yang terpilih. Gaya-gaya semacam itu dapat muncul dari kontak benda dengan sekitarnya, atau mereka dapat merupakan gaya pada suatu jarak seperti gravitasi.

Tiga gaya eksternal penting bekerja pada. benda dalam contoh ini. Mereka ditunjukkan dalarn diagram pada Gambar 3. Diagram semacam itu dinamakan diagram benda bebas. Ketiga gaya itu adalah

1. Berat balok w

2. Gaya kontak F

n

yang dikerjakan meja. Karena kita menganggap meja tanpa gesekan, gaya kontak tegak lurus pada meja.

3. Gaya kontak T yang dikerjakan oleh tali.

Gambar 3. Diagram benda bebas untuk balok pada Gambar 4-9. Ketiga gaya penting yang bekerja pada balok adalah gaya yang dikerjakan oleh bumi w, gaya

normal F

n

, dan gaya yang dikerjakan oleh tali T.

Sebuah sistem koordinat yang sesuai juga ditunjukkan pada Gambar 3. Perhatikan bahwa gaya normal F

n

dan berat w digambarkan sama besamya. Kita tahu gaya-gaya ini mempunyai besar yang sama karena balok tidak dipercepat secara vertikal. Karena gaya resultan ada dalam arah x dan mempunyai besar T, hukurn kedua Newton memberikan

T = ma

s

Gaya F yang dikerjakan oleh tangan pada tali sama dengan gaya T yang dikerjakan oleh tali pada balok. Kita dapat melihat ini dengan memperhatikan diagram benda bebas untuk tali yang ditunjukkan pada Gambar 4. Gaya T' adalah gaya yang dikerjakan balok pada tali.

Gambar 4. Diagram Benda Bebas untuk tali pada Gambar 4-11

Gaya ini sama besamya dan melawan arah gaya T yang dikerjakan oleh tali pada balok. (Kita telah mengabaikan berat tali. Dalam kenyataannya, tali akan sedikit mengendur dan gaya-gaya F dan T' akan mempunyai komponen vertikal yang kecil, tetapi komponer. tersebut sedemikian kecilnya hingga kita dapat secara arnan mengabaikannya dalam soal ini). Dengan menganggap tali tetap tegang, maka tali mempunyai percepatan yang sama dengan balok. Jika m

s

adalah massa tali, maka dengan menerapkan hukum kedua Newton pada tali kita dapatkan

s s

a

m

T

F 

^'



Jika tali cukup ringan sehingga kita dapat mengabaikan massa maka kita dapatkan

'

  0

 T m

_s

a

_s

F

Karena T' dan T sama besar, maka F dan T adalah sama Contoh 5

Carilah percepatan balok bermassa m yang meluncur menuruni suatu permukaan tetap yang licin yang miring dengan sudut θ terhadap bidang horizontal.

Ada dua gaya yang bekerja pada balok, beratnya w dan gaya normal F

n

' yang dikerjakan oleh bidang miring (lihat Gambar 5). (Untuk permukaan yang sebenarnya, terdapat gaya gesekan yang sejajar bidang miring, tetapi di sini kita mengasumsikan permukaan ideal yang licin). Karena kedua gaya itu tidak bekerja sepanjang garis yang sama, mereka tidak dapat dijumlahkan menjadi nol, sehingga balok harus dipercepat. Percepatannya adalah sepanjang bidang miring. Ini adalah contoh lain dari sebuah kendala. Untuk soal ini, akan memudahkan bila memilih kerangka

Gambar 5. Gaya-gaya yang bekerja pada sebuah balok bermassa m pada bidang licin. Akan memudahkan bila memilih sumbu x sejajar dengan bidang miring itu

Gambar 6. Berat balok dapat digantikan oleh komponennya sepanjang sumbu-sumbu x dan y.

Karena vektor berat tegak lurus pada garis horizontal dan sumbu y negatif tegak lurus bidang miring, sudut antara kedua garis ini sama dengan sudut 0 bidang miring ini. Jadi, komponen y berat balok

adalah -mg cos 0, dan komponen x adalah mg sin 0.

koordinat dengan satu sumbu sejajar dengan bidang miring sumbu yang lainnya tegak lurus padanya, seperti ditunjukkan pada Gambar 6. Dengan demikian, percepatan hanya mempunyai satu komponen a

x

. Untuk pilihan ini, F

n

ada dalam arah y, dan berat w mempunyai komponen





sin

sin mg

w

w_x  



 sin

sin mg

w

w

_y

   

dengan m adalah massa balok dan g adalah percepatan (Gambar 6.). Gaya neto dalam arah y adalah

F_n mgcos



Dari hukum kedua Newton dan kenyataan bahwa a

y

= 0, 0

cos  





 F

_y

F

_n

mg  ma

_y

dan dengan demikian



cos mg F_n 

Dengan cara sama, untuk komponen x,

0

sin  



F_n mg



ma_x

 sin g a

_x



Percepatan menurun bidang miring adalah konstan dan bes sama dengan g sin θ.

Adalah bermanfaat untuk memeriksa hasil kita pada nilai kemiringan yang ekstrim,

 0

 dan   90

⁰

. Pada   0 , permukaan adalah horizontal. Berat hanya mempunyai komponen y, yang diimbangi oleh gaya normal F

n

Percepatan adalah nol: a

x

= q sin θ

⁰

= 0. Pada ekstrim yang lain,   90

⁰

, bidang miring adalah vertikal. Berat hanya mempunyai komponen x sepanjang bidang miring, dan gaya normal adalah nol: F

_n

 mg cos 90

⁰

. Percepatan adalah a

x

= g sin 90' = g. Artinya balok jatuh bebas.

Contoh 6

Sebuah lukisan yang beratnya 8 N digantungkan pada dua kawat yang tegangannya

T

1

dan T

2

seperti ditunjukkan pada Gambar 7a. Hitung tegangan pada kawat-kawat

itu.

Gambar 7. (a) lukisan yang digantungkan pada dua kawat;

(b) Diagram benda bebas untuk lukisan dengan gaya gaya diuraikan kedalam komponen x dan y

CONTOH LAIN

Karena lukisan tidak dipercepat, gaya neto yang bekerja padanya haruslah nol. Ketiga gaya yang bekerja pada lukisan beratnya mg, tegangan T

1

pada satu kawat, dan tegangan T

2

pada kawat lainnya karena itu jumlahnya harus nol.

Gambar 7b. menunjukkan diagram benda bebas untuk lukisan dengan gaya gaya yang diuraikan ke dalam komponen horizontal dan vertikalnya. Karena berat hanya mempunyai komponen vertikal mg ke bawah, komponen horizontal tegangan T

1

dan T

2

harus saling mengimbangi, dan komponen vertikal tegangan harus mengimbangi berat:

0 60 cos 30

cos

⁰ ₂ ⁰

1

 



 F

_x

T T

0 60

sin 30

sin

⁰ ₂ ⁰

1

  



 F

_y

T T mg

Dengan menggunakan

0 32 ⁰

60 sin 30

cos   dan menghitung besarnya tegangan, maka kita dapatkan

N mg

T

12

4

1

 

N mg

T

T 6 , 93

2 3

₁

3

2

  

Contoh 7

Sebuah bola bertali yang massanya m digantungkan pada tali yang panjangnya L

dan bergerak dengan kelajuan konstan v dalarn lingkaran horizontal berjari-jari r.

Tali membentuk sudut θ yang diberikan oleh hubungan sin θ = r/L, seperti ditunjukkan pada Gambar 8. Cari tegangan dalam tali dan kelajuan bola.

Gambar 8. (a) Bola yang bertali bergerak dalam lingkaran horizontal.

(b) Diagram benda bebas untuk bola dengan gaya T diuraikan ke dalam komponen vertikal clan horizontal.

Dua gaya yang bekerja pada bola adalah berat mg, yang bekerja vertikal ke bawah, dan tegangan T, yang bekerja sepanjang tali. Dalam soal ini, kita tahu bahwa percepatan adalah horizontal, yang arahnya ke pusat lingkaran, dan besamya v

²

/ r . Jadi komponen vertikal dari tegangan harus mengimbangi berat mg. Komponen horizontal tegangan adalah gaya sentripetal. Komponen vertikal dan horizontal F

neto

= ma karena itu memberikan 0

cos  mg 

T 

atau

mg T cos   T dan

mv r ma

T sin   

²

Tegangan didapat langsung dari persamaan pertama karena θ diketahui. Kita dapat menghitung kelajuan v dalarn besaran diketahui r dan θ dengan membagi satu persamaan dengan lainnya untuk mengeliminasi T. Dengan begitu kita dapatkan

mg T

T

^mv2_r

cos

sin 





rg v

²

cos tan

sin   





sehingga

 tan rg v 

Hukum II Newton 1. Gesekan

Gambar 9. Jika anda mencoba mendorong sebuah kotak besar melintasi lantai, gesekan akan melawan gerakan. Lantai mengerjakan sebuah gaya gesekan statik yang mengimbangi gaya luar

kecuali gaya luar itu lebih besar daripada gaya gesekan statik maksimum yang dimungkinkan

Jika Anda mendorong sebuah kotak besar yang diam di atas lantai dengan sebuah gaya horizontal yang kecil, maka mungkin saja kotak itu tak bergerak sama sekali.

Alasannya adalah karena lantai melakukan gaya horizontal yang dinamakan gaya

gesekan statis f

s

yang mengimbangi gaya yang Anda kerjakan (Gambar 9). Gaya

gesekan ini disebabkan oleh ikatan molekul-molekul kotak dan lantai di tempat

tempat terjadinya kontak yang sangat erat antara kedua permukaan. Gaya ini

berlawanan arah dengan gaya luar yang dikerjakan. Gaya gesekan statik agak mirip

dengan gaya pendukung yang dapat menyesuaikan dari nol sampai suatu gaya

maksimum f

s,mak

, bergantung pada seberapa kuat Anda mendorong. Jika Anda

mendorong cukup kuat, kotak akan meluncur di atas lantai. Jika kotak meluncur,

ikatan molekuler secara terus-menerus dibentuk dan dipecah, dan potongan

potongan kecil permukaan berpecahan. Hasilnya adalah sebuah gaya gesekan

kinetik f

k

(dinamakan juga gesekan luncuran) yang melawan gerakan. Untuk mempertahankan kotak agar meluncur dengan kecepatan konstan, Anda harus mengerjakan gaya yang sama besar dan berlawanan arah dengan gaya gesekan kinetik ini. Jadi, gaya gesek statik maksimurn f

s'Maks

sebanding dengan gaya normal antara permukaan-permukaan:

n s maks

s

F

f

_,

 

Dengan µ

s

dinamakan koefisien gesekan statik. Koefisien gesekan statik ini bergantung pada sifat permukaan kotak dan meja. Jika kita mengerjakan gaya horizontal yang lebih kecil dari f

s,mak

pada kotak gaya gesekan akan tepat mengimbangi gaya horizontal ini. Secara umurn, kita dapat menulis

n s maks

s

F

f

_,

 

Gaya gesekan kinetik berlawanan dengan arah gerakan. Seperti gesekan statik, gesekan kinetik adalah gejala yang rumit dan belum dimengerti secara lengkap.

Koefisien gesekan kinetik µ

k

didefinisikan sebagai rasio besarnya gaya gesekan kinetik f. dan gaya normal f

k

, Maka,

n k

k F

f 



Secara eksperimen, ditemukan bahwa:

1. µ

k

lebih kecil daripada µ

s

2. µ

k

bergantung pada kelajuan relatif permukaan; tetapi untuk kelajuan dalam kisaran dari sekitar 1 cm/s sampai beberapa mete per sekon, µ

k

hampir konstan.

3. µ

k

(seperti µ

s

) bergantung pada sifat permukaan-permukaan yq bersentuhan, tetapi tak bergantung pada luas kontak (makroskopik)

Kita akan mengabaikan tiap perubahan µ

k

karena kelajuan dalam menganggap bahwa µ

k

adalah konstanta yang bergantung hanya pada sifat permukaan-permukaan yang bersentuhan.

Kita dapat mengukur µ

k

dan µ

s

antara dua permukaan hanya dengan

menempatkan sebuah balok pada permukaan datar dan memiringkan bidang

permukaan itu sampai balok mulai meluncur, Misalkan θ

c

: adalah sudut kritis ketika

balok mulai meluncur. Untuk sudut-sudut kemiringan yang kurang dari ini, balok ada

dalam kesetimbangan statik di bawah pengaruh beratnya, mg, gaya normai F

n

, dan gaya gesekan statik fs (lihat Gambar 5-4). Dengan memilih sumbu x sejajar bidang dan surnbu y tegak lurus bidang, kita rnernpunyai persamaan

0 cos 





 F

_y

F

_n

mg  dan

0

sin  



 F

_x

mg  f

_s

Kita dapat mengeliminasi berat mg dari dua persamaan ini dengan menyelesaikan persamaan anpertama untuk memperoleh

mgF_n/cos

 dan mensubstitusikan hasil ini ke persarnaan kedua:



 

 sin tan

sin cos

ⁿ _n

s

F F

mg

f   

Pada sudut kritis θ, gaya gesekan statik sama dengan nilai maksimumnya, dan kita dapat mengganti f

s

dengan µ

s

F

n

. Maka





_s tan

Jadi, koefisien gesekan statik sama dengan tangen sudut kemiringan ketika balok tepat mulai meluncur.

Pada sudu-sudut yang lebih besar daripada θ

c

, balok meluncur kebawah bidang miring dengan kecepatan a

s

. Dalam hal ini, gaya gesekan adlah µ

k

F

n dan

Kita mendapatkan

Dengan mesubtitusikan mg cos θ untuk F_n, maka kita mendapatkan persamaan untuk percepatan

x n k

x

mg F ma

F  sin    

) cos sin

(

 

_k



x g

a  

PENDAHULUAN

Modul ini banyak membahas tentang sifat perilaku benda saat berinteraksi atau saling bersentuhan dengan lainnya. Sifat tersebut dinyatakan dalam sebuah gaya gesekan ini sangat mudah untuk Anda pahami bila Anda tekun mengkaji dan rajin berlatih

menyelesaikan soal-soal latihan.

Tentu Anda masih ingat pada materi modul dinamika partikel 1, bukan? Dalam modul tersebut Anda telah mempelajari mekanika, yang mengkaji benda-benda bergerak atau diam. Saat benda bergerak atau diam maka berlaku hukum-hukum fisika yang disebut dengan hukum I, II, dan III Newton. Dalam modul ini Anda akan mempelajari gaya gesekan dikaitkan dengan ketiga hukum tersebut. Demikian juga kaitannya dengan konsep gerak lurus beraturan (GLB), gerak lurus berubah beraturan (GLBB) dan gerak jatuh bebas.

Apakah yang akan Anda pelajari dalam gaya gesekan? Dalam gaya gesekan Anda akan mempelajari gaya-gaya yang timbul akibat dua permukaan benda yang saling

bersentuhan baik pada bidang datar, bidang miring maupun bidang tegak.

Modul dinamika partikel 2 ini berisi tiga kegiatan belajar, yaitu:

- Kegiatan belajar 1 : Gaya Gesekan dan Benda Berat

- Kegiatan belajar 2 : Keuntungan dan Kerugian Akibat Gaya Gesekan - Kegiatan belajar 3 : Gaya Gesekan Statik dan Kinetik

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat memahami konsep gaya gesekan secara utuh dan menyeluruh.

Bagaimana cara Anda mempelajari modul ini?

Untuk lebih mudahnya ikuti petunjuk berikut ini. pelajarilah modul ini kegiatan demi kegiatan. Mulailah dengan kegiatan belajar 1 hingga kegiatan belajar itu Anda kuasai dengan baik. Untuk mengetahui apakah Anda telah menguasai isi materi pelajaran pada suatu kegiatan belajar, kerjakan tugas yang disediakan pada akhir kegiatan belajar itu dan kemudian cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawabannya. Bila Anda belum menguasai 65% dari tiap kegiatan, maka pelajari kembali bagian itu. Setelah Anda yakin bahwa Anda telah menguasai semua isi materi pelajaran pada kegiatan belajar itu, barulah Anda melanjutkan ke kegiatan belajar berikutnya.

Anda mempunyai waktu kurang lebih dua belas jam pelajaran untuk mempelajari modul ini.

1. Pengertian Gaya Gesekan

Pernahkah Anda memperhatikan alas kaki Anda yaitu sepatu atau sandal Anda. Pada saat sepatu atau sandal Anda baru, Anda pasti merasakan betapa nyamannya Anda berjalan. Bandingkan dengan sepatu atau sandal Anda yang lama, dimana alasnya tipis dan aus (gundul). Anda tentu merasa kurang nyaman berjalan, karena Anda khawatir tergelincir atau terpeleset.

Mungkin Anda bertanya mengapa alas sepatu atau sandal yang Anda pakai semakin lama semakin tipis (aus). Hal ini terjadi akibat adanya gesekan antara alas sepatu atau sandal dengan lantai saat Anda berjalan. Gesekan yang terjadi antara alas sepatu atau sandal pada akhirnya menimbulkan gaya yang disebut dengan gaya gesekan.

Meskipun secara mikrokopis akan terasa bahwa bagaimanapun halusnya permukaan benda, pasti akan timbul gaya gesekan karena adanya keterbatasan dalam membuat permukaan benda menjadi licin sempurna.

Beberapa contoh gaya gesekan dapat Anda jumpai dalam kehidupan sehari-hari, misalnya gaya gesekan yang terjadi antara ban mobil atau sepeda motor dengan jalan, gaya gesekan antara head radio tape dengan pita kaset yang menghasilkan bunyi yang merdu hingga gaya gesekan antara pena dengan kertas saat Anda menulis.

Untuk membuktikan adanya gaya gesekan di sekitar Anda, lakukanlah kegiatan berikut ini. Letakkan sebuah balok kayu di atas sebuah meja atau lantai. Doronglah balok kayu tersebut dengan tangan Anda. perhatikan apa yang terjadi. Tentu balok kayu tersebut mula-mula akan bergerak, namun sesaat kemudian balok kayu berhenti

Pernahkah Anda bertanya faktor atau besaran apa saja yang mempengaruhi besarnya gaya gesekan itu? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, silahkan Anda lakukan kegiatan berikut ini. Cobalah Anda dorong sebuah lemari di rumah Anda. Dapatkah lemari tersebut bergerak? Tentu tidak bukan? Mengapa lemari tersebut tidak bergerak?

Ya, betul lemari yang didorong dengan gaya F akan bergerak apabila gaya yang diberikannya lebih besar dari gaya penghambat atau gaya gesekannya. Gaya yang menghambat gerak lemari akan semakin besar apabila permukaan lantainya lebih kasar sehingga akan diperlukan gaya dorong F lebih besar lagi agar lemari dapat bergerak.

2. Gaya Gesekan di Bidang Datar

Dalam bahasan ini Anda akan dijelaskan penurunan persamaan gaya gesekan yang terjadi di bidang datar. Persamaan tersebut hanya sebatas kualitatif saja, sebab analisa kuantitatif terhadap persoalan gaya gesek di bidang datar akan dijelaskan dalam

kegiatan belajar 3. Perhatikan sebuah benda (balok) yang terletak di atas lantai datar berikut ini.

Pada balok bekerja beberapa komponen gaya yang dapat Anda uraikan seperti gambar di bawah ini. Anggap balok didorong oleh gaya F ke kanan.

Bila benda belum bergerak (diam), maka pada benda berlaku hukum I Newton, perhatikan persamaan berikut ini: , Anda dapat uraikan gaya tersebut dalam arah sumbu x dan sumbu y, sehingga menjadi:

pada sumbu x

F - f = 0

Pada sumbu y

N = m.g

Untuk benda yang bergerak, berlaku hukum II Newton. Sehingga persamaan di atas tidak berlaku untuk benda yang bergerak. Penurunan persamaannya dapat dirumuskan sebagai berikut:

Pada sumbu x

F - f = ma, pindah ke ruas kanan dan ma ke ruas kiri, maka F - ma = f atau f = F - ma

Pada sumbu y

N - W = 0 N = W

N = mg

Keterangan : f = gaya gesek (N) F = gaya dorong (N) N = gaya normal (N) W = gaya berat (N)

a = percepatan benda (m/s2) m = massa benda (kg)

Bagaimana, mudah bukan? Apabila Anda belum paham, pelajari kembali materi tersebut baik-baik. Bagi Anda yang sudah paham Anda dapat melanjutkan ke materi berikut ini.

2. Gaya Gesekan di Bidang Miring

Secara kualitatif persamaan gaya gesekan pada bidang miring dapat diuraikan sebagai berikut.

Perhatikan gambar di bawah ini!

Ada dua kemungkinan gerak yang dialami balok di bidang miring tersebut, yaitu:

pertama, balok meluncur turun ke bawah dan kedua, balok naik ke atas jika terdapat gaya dorong F yang mendorong balok naik ke atas.

Sekarang marilah kita bahas dua kemungkinan tersebut.

2.1. Balok Turun ke Bawah

Persamaan gaya yang bekerja pada balok yang turun ke bawah di bidang miring dapat Anda uraikan sebagai berikut.

Perhatikan penguraian gaya-gaya yang bekerja pada balok di bawah ini!

Ada dua kemungkinan gerak yang dialami balok di bidang miring tersebut, yaitu:

pertama, balok meluncur turun ke bawah dan kedua, balok naik ke atas jika terdapat gaya dorong F yang mendorong balok naik ke atas.

Sekarang marilah kita bahas dua kemungkinan tersebut.

Persamaan gaya yang bekerja pada balok yang turun ke bawah di bidang miring dapat Anda uraikan sebagai berikut.

Perhatikan penguraian gaya-gaya yang bekerja pada balok di bawah ini!

Untuk benda yang bergerak turun, maka pada benda berlaku hukum II Newton.

Perhatikan persamaan di bawah ini.

Pada sumbu x

Pada sumbu y :

2.2. Balok Naik ke Atas

Untuk benda yang bergerak naik, karena adanya gaya dorong pada benda maka persamaannya dapat dirumuskan sebagai berikut:

Perhatikan gambar 8 di atas ! Pada sumbu x

Pada sumbu y :

Keterangan:

f =gaya gesekan (N) F =gaya dorong (N) N =gaya normal (N) w =gaya berat (N) m =massa benda (kg)

a = percepatan benda (10 ) g = percepatan gravitasi (10 ) (dibaca

alfa) = sudut kemiringan bidang

Bagaimana, mudah bukan? Apabila Anda belum paham, pelajari kembali materi tersebut baik-baik. Bagi Anda yang sudah paham, silahkan Anda melanjutkan ke materi berikut ini

3. Gaya Gesekan di Bidang Tegak

Gaya gesekan di bidang tegak biasanya dialami oleh sebuah batu yang meluncur turun jatuh dari sebuah bukit yang memiliki sudut kemiringan 900 atau tegak lurus bidang permukaan tanah datar. Agar batu tersebut dapat bergesekan dengan dinding bukit maka umumnya pada batu bekerja gaya luar yang menahan batu tersebut agar selalu menempel pada bukit. Bila Anda analogikan sebuah bukit dengan sebuah dinding rumah maka gaya gesekan yang terjadi di bidang tegak dapat digambarkan sebagai berikut:

Pada batu bekerja beberapa komponen gaya yang dapat Anda uraikan dengan menggunakan hukum II Newton, seperti persamaan di bawah ini.

Pada sumbu x:

N - F = 0 atau N = F

Sedangkan pada sumbu y :

f = mg - ma Keterangan :

f =gaya gesekan (N) F =gaya luar (N) N = gaya normal (N) m =massa benda (kg)

g =percepatan gravitasi ( ) Sudah pahamkah Anda? Bagus.

Sekarang lanjutkanlah aktivitas Anda dengan menjawab tugas kegiatan 1 berikut ini.

1. Keuntungan Gaya Gesekan

Sebelum Anda membahas tentang keuntungan dan kerugian akibat gaya gesekan, lakukanlah kegiatan berikut ini.

1.

Siapkanlah balok kayu yang permukaannya agak kasar. Letakkan balok kayu di atas meja. Tariklah perlahan-lahan dengan menggunakan neraca pegas (skala 0 – 10 N). Sambil menarik balok kayu amatilah skala neraca pegas ketika benda tepat akan bergeser. Lakukan kegiatan ini beberapa kali untuk tingkat kekasaran permukaan meja berbeda.

2. Letakkan roda-roda di bawah balok, kemudian lakukan seperti kegiatan 1! Coba Anda bandingkan hasilnya! Dari kedua kegiatan tadi dan dari penga- laman Anda sehari-hari dapat disimpulkan bahwa roda dapat memperkecil gesekan antara gerak balok kayu terhadap permukaan meja.

Dari kegiatan di atas Anda telah membuktikan bahwa roda-roda yang dipasangkan pada balok mampu memperkecil gaya yang dikeluarkan untuk menarik benda bila dibandingkan dengan balok kayu yang ditarik tanpa roda. Kegiatan seperti itu dirasakan amat membantu manusia dalam melakukan aktifitasnya.

Pada pejalan kaki, gesekan antara alas sepatu atau sandal dengan lantai sangat diperlukan, bahkan dibutuhkan gaya gesekan yang sebesar-besarnya antara alas sepatu atau sandal dengan lantai. Hal ini dimaksudkan agar pejalan kaki tidak tergelincir atau mudah jatuh. Di jalan yang licin, gesekan antara kaki dan jalan biasanya kecil, sehingga pejalan kaki itu akan mudah jatuh. Sedangkan di jalan yang kering (tidak licin) Anda akan merasa aman berjalan sebab Anda tidak takut

terjatuh.

Demikan halnya pada kendaraan bermotor roda dua, gesekan antara ban dan jalan amat dibutuhkan bahkan gaya gesekan yang sebesar-besarnya antara ban dan jalan. Hal ini dimaksudkan agar ban tidak mengalami slip, supaya pengemudi dan penumpangnya merasa aman. Tetapi jika gesekan antara ban dan jalan nilainya kecil, umumnya disebabkan ban yang gundul (aus), maka hal ini dapat

membahayakan pengemudi dan penumpangnya.

Contoh lain keuntungan akibat gaya gesekan dalam kehidupan sehari-hari adalah rem pada kendaraan. Prinsip kerja dari rem yaitu menahan atau menghentikan lajunya kendaraan. Sehingga kendaraan dapat mengurangi lajunya bahkan berhenti pada tempat yang diinginkan. Bila seorang pengendara mobil misalnya, menginjak pedal rem. Maka pada saat yang bersamaan kampas rem bergesekan dengan roda untuk menahan atau menghentikan gerak rotasi (putaran) roda. Gaya gesekan yang timbul antara kampas rem dan roda sangat penting terutama bagi keselamatan dalam berkendaraan.

Dalam bidang elektronika gesekan antara head radio tape dengan pita kaset amat menguntungkan karena dapat menghasilkan bunyi musik yang merdu.

2. Kerugian Gaya Gesekan

Gaya gesekan selain menguntungkan juga dapat merugikan manusia. Coba Anda amati gesekan yang terjadi pada mesin kendaraan bermotor. Mengapa kendaraan bermotor membutuhkan minyak pelumas atau oli mesin? Dapatkah Anda

menjawabnya? Betul sekali. Kendaraan bermotor membutuhkan minyak pelumas karena gesekan yang terjadi di bagian mesin kendaraan bermotor sangat

merugikan. Jika gesekan tersebut tidak dikurangi maka dapat merusak bagian- bagian mesin. Oleh karena itu, minyak pelumas diperlukan untuk mengurangi gesekan bagian-bagian mesin tersebut. Bahkan pada mesin tertentu seringkali digunakan minyak pelumas khusus yang memiliki