Belajar tentang Menghitung slide

Menghitung

Nabil Nabawi Wibisono

Institut Teknologi Bandung

January 1, 2022

Topik Bahasan

1 Menghitung

Menghitung

Contoh Soal Menghitung

1 Adi, Budi, dan Cici akan duduk pada satu baris dengan syarat Budi dan Cici harus bersebelahan. Berapa banyaknya cara mereka duduk?

2 Banyaknya persegi yang dapat dibuat dari titik-titik pada gambar dibawah adalah

3 Warung ABC menyediakan 2 jenis makanan (Tempe dan Tahu) dan 3 jenis minuman (Air Putih, Teh, Kopi). Adi ingin pesan satu makanan dan satu minuman. Banyaknya kemungkinan pesanan Adi adalah. . .

Yang kita inginkan adalah : menghitung dengan tepat, sistematis, dan cepat

Objek Kombinatorika dan Sifatnya

Objek bisa jadi dianggap berbedaatau identik(biasanya ditulis di soal).

Sifat dari beberapa objek biasanya konsisten dengan dunia nyata.

Orang =⇒ berbeda.

Huruf A =⇒ identik. Kecuali dikatakan berbeda.

Biasanya di soal akan diperjelas, seperti : 5 bola identik, 4 apel berbeda, dll.

Contoh-contoh soal kombinatorika : Banyaknya cara mereka duduk. . . Banyaknya cara menyusun kata. . . Banyaknya kemungkinan. . . Banyaknya cara memilih. . .

Pada kombinatorika (kecuali peluang), kita seringkali fokus ke banyaknya kemungkinan hasil, bukanbanyaknya cara memilih.

Koin punya dua muka =⇒ Angka dan Gambar Dadu punya enam muka, =⇒ 1,2,3,4,5,6 Kartu remi punya 2 warna =⇒ Merah dan Hitam Setiap warna punya 2 lambang =⇒ ♡,♢,♣,♠

Setiap lambang punya 13 nilai =⇒ 2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A Kata adalah jejeran huruf, tidak memperhatikan artinya

Ada berapa bulan yang memiliki 28 hari?

= Ada berapa bulan yang memiliki tepat28 hari?

̸= Ada berapa bulan yang memiliki minimal 28 hari?

Pemanasan

1 Berapa banyak cara memilih 1 orang dari 3 pria dan 4 wanita?

2 Berapa banyak cara memilih 1 buah dari 3 apel identik dan 4 jeruk identik?

3 Berapa banyak cara memilih 1 huruf dari 3 hurufA, 4 hurufB, dan 5 huruf C?

4 Berapa banyak cara memilih 2 huruf dari 3 hurufP dan 4 hurufW?

5 Berapa banyak cara memilih 2 orang dari 3 pria dan 4 wanita?

6 Berapa banyak cara memilih 3 semangka identik dari 4 semangka identik?

7 Berapa banyak cara memilih 3 wanita dari 4 wanita?

8 Berapa banyak cara memilih 1 wanita dari 4 wanita?

9 Berapa banyak cara memilih 4 buah dari 5 apel identik dan 6 jeruk identik?

10 Berapa banyak cara memilih beberapa buah dari 5 apel identik dan 6 jeruk identik?

Latihan 1

1 Berapa banyak cara memilih 1 buku cerita dan 1 buku pelajaran dari 4 buku cerita berbeda dan 6 buku pelajaran berbeda?

2 Berapa banyak cara menyusun sebuah kata yang terdiri dari 2 huruf?

3 Berapa banyak cara menyusun sebuah kata yang terdiri dari 2 huruf jika pengulangan tidak diperbolehkan?

4 Berapa banyak cara menyusun sebuah kata yang terdiri dari 2 huruf, dengan huruf pertama konsonan dan huruf kedua vokal?

5 Berapa banyak cara menyusun sebuah kata yang terdiri dari 1 huruf konsonan dan 1 huruf vokal?

6 Berapa banyak cara 2 orang duduk di 5 kursi yang sebaris?

7 Berapa banyak cara memilih 2 kursi dari 5 kursi yang sebaris?

8 Berapa banyak cara memilih 1 pria dan 1 wanita dari 4 pria dan 7 wanita?

9 Berapa banyak cara memilih 1 pria dan 1 wanita dari mpria dann wanita?

Observasi 1

Jika satu hal bisa dilakukan denganmcara dan satu hal lain bisa dilakukan dengann cara, maka dua hal tersebut bisa dilakukan denganm×n cara.

10 Warung ABC menyediakan 2 jenis makanan (Tempe dan Tahu) dan 3 jenis minuman (Air Putih, Teh, Kopi). Adi ingin pesan satu makanan dan satu minuman. Tapi Adi tidak mau memesan Tempe dengan Kopi sekaligus karena akan membuatnya sakit perut. Banyaknya kemungkinan pesanan Adi adalah . . .

Observasi 1

Prinsip Perkalian

Jika satu hal bisa dilakukan denganmcara dan satu hal lain bisa dilakukan dengann caraterlepas dari bagaimana hal pertama dilakukan, maka dua hal tersebut bisa dilakukan denganm×n cara.

Latihan 2

1 Berapa banyak hasil yang mungkin ketika 1 koin dan 1 dadu dilemparkan?

2 Berapa banyak hasil yang mungkin ketika 2 koin dan 1 dadu dilemparkan?

3 Berapa banyak hasil yang mungkin ketika 2 koin dan 2 dadu dilemparkan?

4 Berapa banyak hasil yang mungkin ketika m koin dan n dadu dilemparkan?

5 Berapa banyak outfit yang dapat dibuat dari 2 baju dan 3 celana?

6 Berapa banyak outfit yang dapat dibuat dari 2 baju, 3 celana, dan 4 sepatu?

7 Berapa banyak outfit yang dapat dibuat dari 2 baju, 3 celana, 4 sepatu, dan 5 topi?

8 Berapa banyak outfit yang dapat dibuat dari 2 baju, 3 celana, 4 sepatu, 5 topi, dan 6 masker?

9 Berapa banyak outfit yang dapat dibuat daria baju,b celana, c sepatu,d topi, dane masker?

Observasi 2

Prinsip perkalian tidak hanya bisa digunakan untuk 2 hal saja, melainkan banyak lebih.

Aturan Pengisian Tempat Jika:

tempat ke−1 bisa diisi dengank1 cara, tempat ke−2 bisa diisi dengank₂ cara,

...

tempat ke−n bisa diisi dengank_n cara,

dengansetiap cara tidak mempengaruhi banyak cara mengisi tempat lainnya, makan tempat tersebut bisa diisi dengan

k₁×k₂×k₃×. . .×k_ncara.

Latihan 3

1 Berapa banyak cara menyusun kata dari huruf A,B,C?

2 Berapa banyak cara menyusun kata dari huruf A,B,C,D?

3 Berapa banyak cara menyusun kata dari huruf A,B,C,D,E?

4 Berapa banyak cara 4 orang duduk di satu baris?

5 Berapa banyak cara 5 orang duduk di satu baris?

6 Berapa banyak cara 10 orang duduk di satu baris?

7 Berapa banyak caran orang duduk di satu baris?

Obeservasi 3

Banyaknya cara menyusunn objek pada satu baris adalah n×(n−1)×(n−2)×. . .×3×2×1.

8 Berapa banyak cara menyusun kata dari huruf A,A,B?

Permutasin objek berbeda

Banyaknya cara menyusunn objekberbeda pada satu baris adalah n! =n×(n−1)×(n−2)×. . .×3×2×1.

dengan notasin! dibaca n faktorial.

Latihan 4

1 Berapa banyak cara menyusun kata dari huruf A,B,C,D ?

2 Berapa banyak cara menyusun kata dengan 3 huruf dari huruf A,B,C,D ?

3 Berapa banyak cara menyusun kata dengan 2 huruf dari huruf A,B,C,D ?

4 Berapa banyak cara menyusun kata dengan 2 huruf dari huruf A,B,C,D,E,F ?

5 Berapa banyak cara memilih 3 juara dari 6 anak?

6 Berapa banyak cara memilih 3 juara dari 7 anak?

7 Berapa banyak cara memilih 5 juara dari 7 anak?

8 Berapa banyak cara memilih 5 juara dari n anak?

9 Berapa banyak cara memilihr juara darin anak?

Obeservasi 4

Banyaknya cara mempermutasikanr objek darin objek adalah n×(n−1)×(n−2)×. . .×(n−(r−1)).

10 Berapa banyak cara menyusun kata dengan 3 huruf dari huruf A,A,B,C ?

11 Berapa banyak cara menyusun kata dengan 2 huruf dari huruf A,B,C jika pengulangan diperbolehkan?

Permutasir dari n

Banyaknya cara mempermutasikanr objektanpa pengulangan dari n objek berbeda adalah

nP_r =n×(n−1)×(n−2)×. . .×(n−(r−1)) = n!

(n−r)!.

Latihan 5

1 Berapa banyak cara memilih 4 huruf dari huruf A,B,C,D ?

2 Berapa banyak cara memilih 3 huruf dari huruf A,B,C,D ?

3 Berapa banyak cara memilih 2 huruf dari huruf A,B,C,D ?

4 Berapa banyak cara memilih 2 huruf dari huruf A,B,C,D,E,F ?

5 Berapa banyak cara memilih 3 anak dari 6 anak?

6 Berapa banyak cara memilih 3 anak dari 7 anak?

7 Berapa banyak cara memilih 5 anak dari 7 anak?

8 Berapa banyak cara memilih 5 anak darin anak?

9 Berapa banyak cara memilihr anak dari n anak?

Observasi 5

Banyaknya cara memilihr objek darin objek adalah _r!(n−r^n! _)!.

10 Berapa banyak cara memilih 2 huruf dari huruf A,A,B ?

11 Berapa banyak cara membeli 2 donat dari 3 jenis donat berbeda ?

Kombinasir dari n

Banyaknya cara memilihr objek tanpa pengulangandari n objek berbeda adalah

nC_r =

n

r

= n!

r!(n−r)!.

Permutasi vs Kombinasi

Berapa banyak cara memilih 2 anak dari 3 anak? =⇒ Kombinasi Berapa banyak cara memilih 2 juara dari 3 anak? =⇒ Permutasi Kesimpulan :

Kombinasi tidak memperhatikan urutan =⇒ AB =BA Permutasi selalu memperhatikan urutan =⇒ AB ̸=BA

Latihan 6

1 Berapa banyak cara menyusun kata dari huruf A,A,B ?

2 Berapa banyak cara menyusun kata dari huruf A,A,A,B ?

3 Berapa banyak cara menyusun kata dari huruf A,A,A,A,B ?

4 Berapa banyak cara menyusun kata dari huruf A,A,A,A,B,B ?

5 Berapa banyak cara menyusun kata dari huruf A,A,A,A,B,B,C ?

6 Berapa banyak cara menyusun kata dari huruf A,A,A,A,B,B,B,C ?

7 Berapa banyak cara menyusun kata dari huruf A,A,A,A,B,B,B,C,C ?

8 Berapa banyak cara menyusun kata darik1 hurufA dank2 huruf B ?

9 Berapa banyak cara menyusun kata dari k₁ huruf A,k₂ hurufB, dank₃ hurufC ?

10 Berapa banyak cara menyusun kata darik₁ hurufA,k₂ hurufB,k₃ hurufC, dan k₄ hurufD ?

Observasi 6

Permutasin objek yang memuatbeberapa objek yang samatidak bisa menggunakan caran!, melainkan:

Tulis dulu semua objek berbeda darin objek tersebut.

Hitung ada berapa banyaknya masing-masing objek tersebut.

Hitung dengan cara seperti tadi.

Observasi 6

Permutasin objek jika ada objek yang sama Jika darin objek terdapat:

k₁ buah objek ke−1, k₂ buah objek ke−2,

... kt buah objek ke−t,

Maka banyaknya permutasi yang mungkin adalah n!

k₁!×k₂!×. . .×k_t!. Tentu,k₁+k₂+. . .+k_t=n.

Latihan 7

Jika setiap huruf bisa dipakai lebih dari satu kali,

1 Berapa banyak cara menyusun kata dengan 2 huruf dari huruf A,B,C ?

2 Berapa banyak cara menyusun kata dengan 3 huruf dari huruf A,B,C ?

3 Berapa banyak cara menyusun kata dengan 4 huruf dari huruf A,B,C ?

4 Berapa banyak cara menyusun kata dengan 2 huruf dari huruf A,B,C,D ?

5 Berapa banyak cara menyusun kata dengan 3 huruf dari huruf A,B,C,D ?

6 Berapa banyak cara menyusun kata dengan 2 huruf dari huruf alfabet?

7 Berapa banyak cara menyusun kata dengan 2 huruf darin huruf berbeda?

8 Berapa banyak cara menyusun kata dengan 3 huruf darin huruf berbeda?

9 Berapa banyak cara menyusun kata dengan r huruf dari n huruf berbeda?

Obeservasi 7

Permutasir dari n (boleh diulang)

Banyaknya cara mempermutasikanr objekdengan diperbolehkannya pengulangan darin objekberbeda adalah n^r.

Pemanasan 2

1 Terdapat 10 rumah yang terletak pada satu baris. Seorang arsitek ingin membuat pagar di sebelah kanan dan kiri dari setiap rumah. Berapa banyak pagar yang diperlukan arsitek?

2 Terdapat 10 rumah yang terletak pada satu baris. Seorang arsitek ingin memisahkan setiap rumah satu dengan yang lainnya dengan pagar. Berapa banyak pagar yang diperlukan arsitek?

Latihan 8

1 Berapa banyak kata yang memuat 2 huruf S dan 4 hurufB?

2 Berapa banyak barisan yang memuat 2 simbol |dan 4 simbol• ?

3 Berapa banyak barisan yang memuat 2 tanda + dan 4 angka 1?

4 Berapa banyak cara untuk membagikan 4 bola ke 3 anak? (boleh ada anak yang tidak dapat)

5 Berapa banyak cara untuk membeli 4 buah dari 3 jenis buah?

6 Berapa banyak cara untuk menaruh 4 bola ke 3 keranjang berbeda?

7 Berapa banyak tripel bilangan bulat non-negatif (x₁,x₂,x₃) yang memenuhi x₁+x₂+x₃= 4?

Latihan 8 Lanjutan

9 Berapa banyak barisan yang memuat 2 simbol |dan 5 simbol• ?

10 Berapa banyak cara untuk membeli 5 buah dari 3 jenis buah?

11 Berapa banyak barisan yang memuat 2 simbol |dan 6 simbol• ?

12 Berapa banyak cara untuk membeli 6 buah dari 3 jenis buah?

13 Berapa banyak cara untuk membeli r buah dari 3 jenis buah?

14 Berapa banyak cara untuk membeli r buah dari 4 jenis buah?

15 Berapa banyak cara untuk membeli r buah dari 5 jenis buah?

16 Berapa banyak cara untuk membeli r buah darin jenis buah?

Latihan 8 Lanjutan

17 Berapa banyak kata yang memuat (n−1) hurufS danr hurufB?

18 Berapa banyak barisan yang memuat (n−1) simbol |danr simbol •?

19 Berapa banyak barisan yang memuat (n−1) tanda + dan r angka 1?

20 Berapa banyak cara untuk membagikan r bola ke n anak? (boleh ada anak yang tidak dapat)

21 Berapa banyak cara untuk membeli r buah darin jenis buah?

22 Berapa banyak cara untuk menaruhr bola ke n keranjang berbeda?

23 Berapa banyak tupel bilangan bulat non-negatif (x₁,x₂, . . . ,x_n) yang memenuhi x1+x2+x3+. . .+xn−1+xn=r ?

24 Berapa banyak cara untuk memilih r objek darin objek berbeda, dengan diperbolehkannya pengulangan?

Obeservasi 8

Kombinasir dari n (boleh diulang)

Banyaknya cara memilihr objek dengan diperbolehkannya pengulangandari n objekberbeda adalah

r+n−1 n−1

.

Latihan 9

1 Berapa banyak cara untuk membagikan 4 bola ke 3 anak? (boleh ada anak yang tidak dapat)

Jika setiap anak harus dapat,

2 Berapa banyak cara untuk membagikan 4 bola ke 3 anak?

3 Berapa banyak cara untuk membagikan 5 bola ke 3 anak?

4 Berapa banyak cara untuk membagikan r bola ke 3 anak?

5 Berapa banyak cara untuk membagikan r bola ke 4 anak?

6 Berapa banyak cara untuk membagikan r bola ke n anak?

7 Berapa banyak tupel bilangan asli (x1,x2, . . . ,xn) yang memenuhi x₁+x₂+x₃+. . .+xn−1+x_n=r ?

Obeservasi 9

Banyaknya tupel bilangan bulat non-negatif (x1,x2, . . . ,xn) yang memenuhi x₁+x₂+x₃+. . .+xn−1+x_n=r ?

adalah

r+n−1 n−1

.

Banyaknya tupel bilangan asli (x1,x2, . . . ,xn) yang memenuhi x₁+x₂+x₃+. . .+xn−1+x_n=r ? adalah

r−1 n−1

.

Ringkasan

Aturan Pengisian Tempat sangat sering digunakan : k1×k2×k3×. . .×kn. Permutasi n objek berbeda :

n! =n×(n−1)×(n−2)×. . .×3×2×1.

Permutasi n objek yang tidak harus berbeda : n!

k1!×k2!×. . .×kt!.

Ringkasan

Jika kita memilihr objek darin objekberbeda, perlu diperhatikan apakah pada objek yang kita pilih :

urutan diperhatikan atau tidak, boleh ada pengulangan atau tidak.

Urutan Diperhatikan (Permutasi)

Urutan tidak diperhatikan (Kombinasi) Tidak boleh ada

pengulangan

n!

(n−r)!

n

r

Boleh ada

pengulangan n^r

r+n−1 n−1

Contoh 1 : Ada 8 orang. Tentukan banyaknya cara

1 Memilih 6 orang dan menaruh mereka pada satu baris.

2 Memilih 6 orang dan menaruh mereka pada 2 antrian, masing-masing 3 orang, 1 ke teller dan 1 kecustomer service.

3 Memilih 6 orang dan menaruh mereka pada 2 antrian, masing-masing 3 orang, keduanya menuju teller.

4 Memilih 6 orang dan menjadikan mereka 1 grup.

5 Memilih 6 orang dan menjadikan mereka 2 grup, masing-masing 3 orang, yakni grup futsal dan satu grup basket.

6 Memilih 6 orang dan menjadikan mereka 2 grup, masing-masing 3 orang, keduanya grup futsal.

7 Memilih 6 orang dan menjadikan mereka 3 grup, masing-masing 2 orang, ketiganya grup futsal.

Contoh 2 : Ada 8 bola. Tentukan banyaknya cara

1 Memilih 6 bola dan menaruh mereka pada satu baris.

2 Memilih 6 bola dan menaruh mereka dalam satu kantong.

3 Memilih 6 bola dan memberikannya pada 3 orang, boleh ada orang yang tidak dapat.

4 Memilih 6 bola dan memberikannya pada 3 orang, setiap orang harus dapat.

5 Memilih 6 bola dan menaruh mereka pada 3 kantong, setiap kantong minimal 1 bola.

6 Memilih 6 bola dan membagikannya pada 3 orang, setiap orang mendapat minimal 1 bola.

7 Memilih 6 bola dan menaruh mereka pada beberapa kantong (≥1), setiap kantong minimal 1 bola.

8 Memilih 6 bola dan membagikannya pada beberapa orang, setiap orang mendapat minimal 1 bola.

Contoh 3 : Ada 8 tipe donat. Tentukan banyaknya cara

1 Membeli 6 donat dan menaruh mereka pada satu tusuk sate.

2 Membeli 6 donat dan menaruh mereka pada 2 tusuk sate, masing-masing 3 donat, 1 tusuk kayu dan 1 tusuk besi.

3 Membeli 6 donat dan menaruh mereka pada 2 tusuk sate, masing-masing 3 donat.

4 Membeli 6 donat dan menaruh mereka pada satu kantong.

5 Membeli 6 donat dan menaruh mereka pada 2 kantong, 1 kantong plastik dan 1 kantong kain.

6 Membeli 6 donat dan membagi rata mereka pada 2 kantong plastik.

7 Membeli 6 donat dan membagi rata mereka pada 3 kantong plastik.

8 Membeli 10 donat dan setiap tipe donat harus dibeli.

Selesai !