• Tidak ada hasil yang ditemukan

Pengantar Berkenalan dengan Persamaan Diferensial

N/A
N/A
Rajendriya Dharmasatyasrengga

Academic year: 2023

Membagikan "Pengantar Berkenalan dengan Persamaan Diferensial"

Copied!
19
0
0

Teks penuh

(1)

PENGANTAR

Berkenalan dengan Persamaan Diferensial

Kus Prihantoso K.

Departemen Pendidikan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

UNY

(2)

Recall

(Turunan dan Integral)

01

(3)

Turunan

Kemiringan

Kemiringan rata-rata (dari s.d. )

Kemiringan rata-rata (dari s.d. )

Kemiringan di titik (gradien)

 

X Y

= ( )

 

0

 

 

 

( )

 

+

 

 

+

 

+

¿ �� ( )

�� =

( )

 

 

tan =¿

 

(4)

Sifat Turunan

1. Jika maka 2. Jika maka 3. Jika maka 4. Jika maka 5. Jika maka 6. Jika maka 7. Jika maka

8. Jika maka

,

dengan

 

(5)

Sifat Turunan

1. Turunan dari terhadap adalah 2. Turunan dari thd adl

3. Turunan dari thd adl 4. Turunan thd adl

5. Turunan dari thd adalah 6. Turunan dari thd adalah

 

(6)

Integral

Integral dikenal sebagai operasi invers (kebalikan) dari turunan.

1. Jika maka 2. Jika maka 3. Jika maka 4. Jika maka 5. Jika maka

 

(7)

Integral

Berikut ini diberikan beberapa aturan di dalam integral.

1. Integral dari terhadap adalah 2. Integral dari terhadap adalah 3. Integral dari terhadap adalah 4. Integral dari terhadap adalah 5. Integral dari terhadap adalah 6. Jika maka

 

(8)

Latihan

Tentukan turunan terhadap dari fungsi- fungsi berikut.

  Tentukan integral terhadap dari fungsi-

fungsi berikut.

 

(9)

Pendahuluan

Definisi Persamaan Diferensial

02

(10)

Review

Turunan dan Integral

Bagaimanakah turunan pertama dan kedua fungsi berikut ini terhadap ?

Bagaimanakah solusi dari bentuk persamaan berikut?

 

Variabel disebut sebagai variabel bergantung,

sedangkan disebut sebagai variabel bebas.

 

(11)

Pendahuluan

Definition, Notation (Leibniz, Prime, Newton), Variable dependent/indpendent, ODE/PDE

Definisi: Persamaan diferensial adalah persamaan (matematika) yang memuat turunan dari satu atau lebih variable bergantung

(dependent/ unknown function) terhadap satu atau lebih variable bebas (independent).

   

(12)

Order dan Kelinieran

Order dari persamaan diferensial (parsial maupun biasa)

menyatakan tingkat turunan tertinggi dalam persamaan diferensial.

Suatu PDB (persamaan diferensial biasa) order dikatakan linier jika persamaan tersebut linier dalam variable , , …, . (Definisi linier PDP identic dengan PD)

 

   

(13)

Solusi PD

Ketika sebuah fungsi dengan domain disubstitusikan ke suatu PD menghasilkan sebuah persamaan identitas maka merupakan solusi dari PD tersebut.

 

Fungsi adalah solusi dari PDB Perhatikan bahwa

Substitusi ke PDB diperoleh

 

Fungsi bukanlah solusi dari PDB

Karena ketika

Disubstitusikan ke PDB diperoleh

 

(14)

Pemodelan

03

(15)

Benda Jatuh Bebas

Misalkan , , dan menyatakan jarak, kecepatan, dan persepatan gerak suatu benda terhadap waktu .

Hubungan , , dan adalah

Seorang anak yang berada diatas sebuah Gedung dengan ketinggian 1000 kaki melemparkan sebuah benda ke atas dengan kecepatan 50 kaki per detik. Jika percepatan grafitasi dari suatu benda jatuh adalah 32 kaki per detik kuadrat dan hambatan udara yang dapat mengganggu gerak benda diabaikan,

berapakah kecepatan dan ketinggian benda yang dilempar anak tersebut 4 detik kemudian?

 

(16)

Benda Jatuh Bebas

Seorang anak yang berada diatas sebuah Gedung dengan ketinggian 1000 kaki melemparkan sebuah benda ke atas dengan kecepatan 50 kaki per detik. Jika percepatan grafitasi dari suatu benda jatuh adalah 32 kaki per detik kuadrat dan hambatan udara yang dapat mengganggu gerak benda diabaikan, berapakah kecepatan dan ketinggian benda yang dilempar anak tersebut 4 detik kemudian?

Jawab. Ingat bahwa maka

Perhatikan bahwa saat , maka , sehingga Selanjutnya, ingat bahwa , sehingga

Perhatikan bahwa saat , maka , shg

Dengan demikian, saat maka kaki per detik dan kaki.

 

(17)

Sistem Pegas Massa

Sebuah pegas dengan panjang digantungkan secara vertical. Ujung atas pegas diam tak bergerak sedangkan ujung bawah pegas diberi massa . Massa tersebut membuat panjang pegas bertambah

sejauh .

 

Gaya yg bekerja pd system saat posisi setimbang adl

- Gaya Tarik pegas: (hukum Hooke):

- Gaya grafitasi (berat dari massa) : Sehingga

Jika massa ditarik kebawah kemudian dilepaskan, maka gaya yg bekerja pd system (Hukum Newton II):

 

Sumbeanimasiwikipedia

(18)

Nagle, R.K., Saff, E.B., & Snider, A.D. 2012. Fundamentals of Differential Equations. Eighth edition. Pearson education, Inc. Halaman 1 - 3

Model lain

(19)

Terimakasih

Referensi

Dokumen terkait