PENGANTAR
Berkenalan dengan Persamaan Diferensial
Kus Prihantoso K.
Departemen Pendidikan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
UNY
Recall
(Turunan dan Integral)
01
Turunan
Kemiringan
Kemiringan rata-rata (dari s.d. )
Kemiringan rata-rata (dari s.d. )
Kemiringan di titik (gradien)
X Y
� = � ( � )
0
�
�
( � )
�
�+
∆ � �
+ ∆ � �
+ ∆ �
¿ �� ( � )
�� = �
′( � )
�
tan � =¿
Sifat Turunan
1. Jika maka 2. Jika maka 3. Jika maka 4. Jika maka 5. Jika maka 6. Jika maka 7. Jika maka
8. Jika maka
,
dengan
Sifat Turunan
1. Turunan dari terhadap adalah 2. Turunan dari thd adl
3. Turunan dari thd adl 4. Turunan thd adl
5. Turunan dari thd adalah 6. Turunan dari thd adalah
Integral
Integral dikenal sebagai operasi invers (kebalikan) dari turunan.
1. Jika maka 2. Jika maka 3. Jika maka 4. Jika maka 5. Jika maka
Integral
Berikut ini diberikan beberapa aturan di dalam integral.
1. Integral dari terhadap adalah 2. Integral dari terhadap adalah 3. Integral dari terhadap adalah 4. Integral dari terhadap adalah 5. Integral dari terhadap adalah 6. Jika maka
Latihan
Tentukan turunan terhadap dari fungsi- fungsi berikut.
Tentukan integral terhadap dari fungsi-
fungsi berikut.
Pendahuluan
Definisi Persamaan Diferensial
02
Review
Turunan dan Integral
Bagaimanakah turunan pertama dan kedua fungsi berikut ini terhadap ?
Bagaimanakah solusi dari bentuk persamaan berikut?
Variabel disebut sebagai variabel bergantung,
sedangkan disebut sebagai variabel bebas.
Pendahuluan
Definition, Notation (Leibniz, Prime, Newton), Variable dependent/indpendent, ODE/PDE
Definisi: Persamaan diferensial adalah persamaan (matematika) yang memuat turunan dari satu atau lebih variable bergantung
(dependent/ unknown function) terhadap satu atau lebih variable bebas (independent).
Order dan Kelinieran
Order dari persamaan diferensial (parsial maupun biasa)
menyatakan tingkat turunan tertinggi dalam persamaan diferensial.
Suatu PDB (persamaan diferensial biasa) order dikatakan linier jika persamaan tersebut linier dalam variable , , …, . (Definisi linier PDP identic dengan PD)
Solusi PD
Ketika sebuah fungsi dengan domain disubstitusikan ke suatu PD menghasilkan sebuah persamaan identitas maka merupakan solusi dari PD tersebut.
Fungsi adalah solusi dari PDB Perhatikan bahwa
Substitusi ke PDB diperoleh
Fungsi bukanlah solusi dari PDB
Karena ketika
Disubstitusikan ke PDB diperoleh
Pemodelan
03
Benda Jatuh Bebas
Misalkan , , dan menyatakan jarak, kecepatan, dan persepatan gerak suatu benda terhadap waktu .
Hubungan , , dan adalah
Seorang anak yang berada diatas sebuah Gedung dengan ketinggian 1000 kaki melemparkan sebuah benda ke atas dengan kecepatan 50 kaki per detik. Jika percepatan grafitasi dari suatu benda jatuh adalah 32 kaki per detik kuadrat dan hambatan udara yang dapat mengganggu gerak benda diabaikan,
berapakah kecepatan dan ketinggian benda yang dilempar anak tersebut 4 detik kemudian?
Benda Jatuh Bebas
Seorang anak yang berada diatas sebuah Gedung dengan ketinggian 1000 kaki melemparkan sebuah benda ke atas dengan kecepatan 50 kaki per detik. Jika percepatan grafitasi dari suatu benda jatuh adalah 32 kaki per detik kuadrat dan hambatan udara yang dapat mengganggu gerak benda diabaikan, berapakah kecepatan dan ketinggian benda yang dilempar anak tersebut 4 detik kemudian?
Jawab. Ingat bahwa maka
Perhatikan bahwa saat , maka , sehingga Selanjutnya, ingat bahwa , sehingga
Perhatikan bahwa saat , maka , shg
Dengan demikian, saat maka kaki per detik dan kaki.
Sistem Pegas Massa
Sebuah pegas dengan panjang digantungkan secara vertical. Ujung atas pegas diam tak bergerak sedangkan ujung bawah pegas diberi massa . Massa tersebut membuat panjang pegas bertambah
sejauh .
Gaya yg bekerja pd system saat posisi setimbang adl
- Gaya Tarik pegas: (hukum Hooke):
- Gaya grafitasi (berat dari massa) : Sehingga
Jika massa ditarik kebawah kemudian dilepaskan, maka gaya yg bekerja pd system (Hukum Newton II):
Sumber animasi: wikipedia