BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah

∫

^....dx, sehingga berdasarkan definisi dapat ditulis

∫

f⁽x^).dx=F⁽x⁾+C

Contoh 1:

Tentukanlah anti turunan dari f(x) = 4x ³ Jawab:

F(x) = 4( ⁴ 4

1x ) = x⁴ yang memenuhi F’(x) = f(x) = 4x³ , sehingga

Anti turunan dari f(x) = 4x adalah x^{3 4} + C Dengan Derive:

Cara 1:

Tulislah: int(4x³, x, c) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Cara 2:

1. Tulislah: 4x³ enter

2. Klik icon Klik icon , ganti konstan 0 dengan c, dan OK 3. Klik icon

Menggambar f(x) dan anti turunannya:

Klik 4x³, lalu klik tanda gambar

Tulislah: Vector(x⁴ + c, c, -2, 2) enter, lalu klik tanda gambar Definisi:

F suatu anti-turunan f pada selang I jika dan hanya jika Dx F(x) = f(x) pada I, yakni F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung I, F’(x) hanya perlu turunan sepihak)

=

∫

Tugas Kelompok:

1. Gunakan definisi untuk menentukan : a.

∫

₃^{1x2dx pada (-∞,∞)}

b.

∫

^{x3dx pada (-∞,∞)}

c.

∫

^{x4/3dx pada (-∞,∞)}

2. Cocokkan jawaban anda pada 1 dengan menggunakan derive.

Aturan Pangkat

Tentukanlah integral tak-tentu berikut dengan menggunakan Derive:

a.

∫

^x0 dx = ...

b.

∫

^x dx = ...

c.

∫

^x2 dx = ...

d.

∫

^x3 dx = ...

e.

∫

^x−1dx = ...

f.

∫

^xn dx = ...

Dapatkah anda menyimpulkan

∫

^xn dx = ...

Berikan alasan dari kesimpulan anda,

...

Tugas kelompok:

1. Untuk membuktikan Teorema A, harus ditunjukkan bahwa )

) ( ( )

( )

(x dx F x C D F x C

f = + ⇒ _x +

∫

= f(x). Buktikan Teorema A!

2. Dif(y, x) adalah untuk mencari diferensial y = f(x) terhadap x.

Konstruksilah langkah-langkah untuk membuktikan teorema aturan pangkat dengan menggunakan derive.

3. Selesaikan berdasarkan aturan pangkat dan derive

a.

∫

^x2dx

3

1

b.

∫

^x3dx

c.

∫

^x4/3dx

Teorema A (Aturan Pangkat):

Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka

∫

^xrdx= _r¹₊₁^{xr+1 +c}; r≠1 dan r∈ Bilangan rasional

4. Tentukanlah integral tak-tentu

∫

sin(x dx dan ⁾

∫

cos(x dx dengan ⁾ menggunakan Derive, juga gambar grafik masing-masing fungsi dan anti turunannya.

Buktikan teorema B tersebut dengan Derive!

Buktikan teorema tersebut secara teoritis (manual)!

Contoh 2:

Dengan menggunakan kelinearan integral, hitunglah

∫

(3x² +4x) dx Jawab:

dx x x 4 ) 3

( ² +

∫

⁼

∫

^{3x2 dx+}

∫

^{4x dx= x3 + C1 + 2x2 + C2 = x3 + 2x2 + C}

Dengan Derive:

Tulis: int(3x^2, x, c) + int(4x, x, d) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Klik F4, lalu ganti c+d dengan K enter

Klik icon Calculus, pilih Vektor, ubah variabel x ke k , isi starting value dengan -2 dan ending value dengan 2, OK, lalu klik tanda gambar

Teorema B:

∫

^{sin(x)dx=−cos(x)+c dan}

∫

^{cos(x)dx=sin(x)+c}

Teorema C: Integral tak tentu adalah operator linear 1.

∫

^{kf(x) dx= k}

∫

^{f(x) dx}

2.

∫

^{[f(x)+g(x) dx=}

∫

^{f(x) dx+}

∫

^{g(x) dx}

3.

∫

^{[f(x)−g(x) dx=}

∫

^{f(x) dx−}

∫

^{g(x) dx}

Aturan Pangkat yang Digeneralisir

Contoh 3:

Tentukanlah

∫

^{(x3 +6x)2(3x2 +6)dx}

Jawab:

Misalkan u = x³ +6x maka du = 3x² +6 dx

∫

^{(x3 +6x)2(3x2 +6)dx=}

∫

^{u2 du=}₃^1u3+C= ₃^{1(x3 +6x)3+C}

Teorema D (Aturan Pangkat):

Andaikan g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1, maka

∫

^{[g(x)rg'(x) dx=[g(}_r^x₊^)]₁^r+11+c

Dengan Derive:

Misalkan u = x³ + 6x

1. Deklasilakan: u : = x³ + 6x enter dan du:=dif(u,x) 2. Klik

3. Tulis u² , enter

4. Klik icon , ganti variabel x dengan u, OK 5. Klik , lalu Simplify >> Expand

Hasilnya adalah seperti gambar berikut.

Sehingga, x x x x c

dx x

x

x + + = + + + +

∫

^{( 3 6 )2(6 2 12)} ₃^{9 6 7 36 5 72 3}

Tugas Kelompok:

Tunjukkan bahwa

3

3 6 )

3(

1 x + x = ^{7 5 3}

9

72 36

3 6x x x

x + + +

∫

=

=

Soal-Soal Latihan:

Carilah anti-turunan untuk masing-masing fungsi berikut.

1. f(x)=x² +π 2. f(x)=x^5/4

3.

3 2

) 1 (

x x

f =

4. f(x)=x² +x 5. f(x)=4x⁵ −3x³

6. f(x)=27x⁷ +3x⁵ −45x³ + 2x

7. 3₂ 2₃

)

(x x x

f = −

8. ₃

4

6 3

) 4

( x

x x x

f +

=

Tentukanlah hasil integral-integral berikut dengan menggunakan operator linear.

9.

∫

^{(x2 +x) dx}

10.

∫

^{(x+1)2 dx}

11.

∫

^{+ dz}

z z² 1)² (

12.

∫

^{(sinθ −cosθ) dθ}

Gunakan aturan pangkat yang digeneralisir untuk menghitung integral berikut.

13.

∫

^{(x 2+1)3 2 dx}

14.

∫

^{(5x2 +1)(5x3 +3x−8)6 dx}

15.

∫

^{(5x2 +1) (5x3+3x−2 dx}

16.

∫

^{3t 3 2t2 −11 dx}

17.

∫

^{6sin(3x−6) dx}

18.

∫

^sin3(₆^{x) dx}

19.

∫

^{(x2cos(2x)+xsin(2x)) dx}

Carilah f(x) dengan mengintegralkannya dua kali.

20. f"(x)= x3 +1 21. f"(x)= x

22. ₃

4 1

) (

"

x x x

f +

=

23. Andaikan F0(x) = x sin(x) dan F_n+1(x) =

∫

^{Fn(x) dx}, Tentukanlah:

a. F1(x), F₂(x), F₃(x), dan F₄(x)

b. Berdasarkan bagian a, perkirakanlah Fn(x) untuk n genap dan n ganjil.

5.2. Pendahuluan Persamaan Diferensial Contoh 4:

Carilah persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) dan kemiringannya pada setiap titik pada kurva itu adalah 4x³ (dy/dx = 4x³).

Jawab:

dx x dy dx x

dy _{3 3}

4

4 ⇒ =

=

∫

^{dy =}

∫

^{4x3 dx,} kedua ruas diintegralkan

y + C1 = x⁴ + C2

y = x⁴ + C

Karena kurva melalui (-1, 2) maka (-1, 2) disubstitusi pada y = x⁴ + C, diperoleh 2 = (-1)⁴ + C atau C = 1

Sehingga,

y = x⁴ + 1 merupakan persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) Dengan Derive:

1. Tulislah y = int(4x³, x, c), lalu enter

2. Klik icon SUB, masukkan nilai x = -1, Klik OK 3. Klik icon SUB, masukkan nilai y = 2, Klik OK 4. Klik , memperoleh c =1

5. Klik y = x⁴ + c, lalu Klik icon SUB, masukkan nilai c = 1, Klik OK.

Hasilnya adalah seperti gambar berikut.

≈

y=x⁴+1

Jadi persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) dan kemiringannya pada setiap titik pada kurva itu adalah 4x³ adalah y = x⁴ + 1.

Berdasarkan uraian tersebut, maka dy/dx = 4x³ atau dy = 4x³ dx disebut persamaan diferensial.

Contoh 5:

Selesaikanlah persamaan diferensial ₂ 3 2

y x x dx

dy +

= , kemudian carilah

penyelesaian yang memenuhi y = 6 bilamana x = 0.

Penyelesaian dengan Derive:

1. Tulislah: int(y², y, c) = int(x + 3x², x, d) enter, lalu Klik icon

2. Persamaannya adalah x d

x y c

+ +

=

+ 2

3

2 3 3

atau ^{3 3}

2

2 3

3x x C

y= + +

3. Tulislah: ^{3 2} 3 ³ 2

3x x C

y= + +

4. Klik icon SUB, masukkan x = 0, Klik OK dan ulangi untuk y = 6, Klik OK 5. Klik , memperoleh c = 216

6. Klik ^{3 2} 3 ³ 2

3x x C

y= + + , Klik icon SUB, masukkan nilai c = 216, Klik OK.

Hasilnya adalah seperti gambar berikut.

Definisi:

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang tidak diketahui berupa fungsi dan melibatkan turunan (diferensial) dari fungsi yang tidak diketahui tersebut.

=

≈

Jadi penyelesaian umum persamaan diferensial adalah ^{3 3}

2

2 3

3x x C

y= + + .

Penyelesaian khusus yang memenuhi y = 6 bilamana x = 0 adalah

3 3

2

216 2 3

3 + +

= x x

y .

Contoh 6:

Anggaplah percepatan benda jatuh karena grafitasi adalah 32 kaki per detik kuadrat dengan hambatan udara diabaikan. Jika suatu benda dilempar ke atas dari ketinggian 1000 kaki (Gambar 1) dengan kecepatan 50 kaki per detik, carilah kecepatan dan tingginya 4 detik kemudian.

Gambar 1 1000

Jawab:

Mula-mula kecepatan v = ds/dt adalah positif (s meningkat) tetapi percepatan a = dv/dt adalah negatif (tarikan grafitasi cenderung memperkecil v). Sehingga titik awal persamaan diferensial adalah dv/dt = -32, dengan syarat v = 50 dan s = 1000 pada saat t = 0.

dv/dt = -32

v =

∫

^{−32 dt} = -32t + C

Karena v = 50 pada t = 0, diperoleh C = 50, sehingga v = -32t + 50 Selanjutnya,

ds/dt = -32t + 50

s =

∫

^{−32t+50 dt= -16t2} + 50t + K

Karena s = 1000 pada t = 0, diperoleh K = 1000, sehingga s = -16t² + 50t + 1000

Akhirnya pada saat t = 4, diperoleh:

v = -32(4) + 50 = -72 kaki per detik dan s = -16(4) + 50(4) + 1000 = 944 kaki.

Soal-oal Latihan:

Dalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu carilah penyelesaian khususnya yang memenuhi syarat yang ditunjukkan.

1. =x² +1; y=1 pada x=1 dx

dy

2. = ; y=1 pada x=1 y

x dx dy

3. 1

3

; 1

2

2 = =

=t z z pada t

dt dz

4. =16t² +4t−1; s=100 pada t =0 dt

ds

5. =(2x+1)⁴; y=6 pada x=0 dx

dy

6. Carilah persamaan-xy dari kurva yang melalui (1,2) dan kemiringannya setiap titik pada kurva itu adalah tiga kali koordinat-x-nya.

7. Carilah persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) dan kemiringannya pada setiap titik pada kurva itu adalah tiga kali kuadrat koordinat-y-nya.

8. Sebuah bola dilemparkan ke atas dari permukaan bumi dengan kecepatan awal 96 kaki per detik. Berapakah tinggi maksimum yang dicapai bola tersebut?

9. Pada permukaan Bulan, percepatan gravitasi adalah -5,28 kaki per detik per detik. Jika sebuah benda dilemparkan ke atas dari ketinggian awal 1000 kaki dengan kecepatan 56 kaki per detik, carilah kecepatan dan tingginya 4,5 detik kemudian.

10. Laju perubahan volume V suatu bola salju yang mencair berbanding lurus dengan luas permukaan bola S; yakni dV/dt = -kS, dengan k konstanta positif.

Jika pada saat t = 0, jari-jari bola r = 2, dan saat t = 10, jari-jari r = 0,5.

Tunjukkan bahwa 2

20

3 +

−

= t

r .

5.3. Notasi Sigma

Perhatikan jumlah: 1² + 2² + 3² + 4² + ... + 100² =

∑

= 100

1 2 i

i

Penyelesaian dengan Derive:

1. Tulislah: i²

2. Klik icon Σ, masukkan lower limitnya 1 dan upper limitnya 100, OK 3. Klik icon

Hasilnya adalah seperti berikut.

Jadi 1² + 2² + 3² + 4² + ... + 100² =

∑

= 100

1 2 i

i = 338350

=

Tugas Kelompok

Gunakan derive untuk menemukan rumus jumlah khusus berikut:

a.

∑

= n

i

i

1

= ...

b.

∑

= n

i

i

1

2 = ...

c.

∑

= n

i

i

1

3 = ...

d.

∑

= n

i

i

1

4 = ...

Contoh 7:

Hitunglah: a.

∑

= 10

1 i

i b.

∑

= 10

1 2 i

i c.

10 4

2

∑

= i

i

Jawab:

a. 55

2 ) 1 10 (

10 10

1

+ =

∑

=

= i

i

b. 385

6

) 1 20 )(

1 10 (

10 10

1

2 + + =

∑

=

= i

i

c. 1 25.332

30

) 1 10 900 6000 )(

11 ( 1 10

10

1 4 4 10

2

4 + + − − =

=

−

=

∑

∑

=

= i

i

i i

Definisi:

Misalkan a1, a2, a3, ... , an adalah n buah bilangan-bilangan. Jumlahan

a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n dinotasikan sebagai sigma dengan simbol

∑

= n

i

ai 1

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-4, tentukanlah hasil jumlah berikut.

1. 1 + 2 + 3 + .... + 41

2. 100

... 1 3 1 2

1+1+ + +

3.

∑

= +

7

1 1

1

k k

4.

∑

=

− − 8

1

2 2

) 1 (

m

m m

5.

∑

= 6

1

) cos(

n

n

n π

6.

∑

= − +

40

1

1) 1 (1

k k k

7.

∑

=

−

100

1

2 3

i

i

8.

∑

=

−

10

1

2 3 k

k k

9.

∑

=

−

n

i

i

1

)2

3 2 (

10. Buktikan dengan induksi matematis rumus jumlah khusus yang telah anda temukan dalam tugas kelompok.

5.4. Luas Poligon Dalam Riemann

Tinjaulah daerah R yang dibatasi oleh parabola y = f(x) = x², sumbu-x, dan garis tegak x = 3. Kita menggunakan acuan R sebagai daerah dibawah kurva y = x² diantara x = 0 dan x = 3. Sasaran kita menghitung luas daerah A(R) pada gambar 2.

Gambar 2

Buatlah selang [0,3] menjadi 3 selang bagian, buat poligon-poligon dengan tinggi f(x) = x² dan lebar x∆ = 1 (lihat gambar 3),

Luas A(R1) =

∑

=

∆

2

0

) (

i

i x

x

f = f(x₀) x∆ + f(x₁) x∆ + f(x₂) x∆ = 0.1 + 1.1 + 4.1 = 5.

Gambar 3

Buatlah selang [0,3] menjadi 6 selang bagian, buat poligon-poligon dengan tinggi f(x) = x² dan lebar x∆ = 1/2 (lihat gambar 3),

Luas A(R2) =

∑

=

∆

5

0

) (

i

i x

x

f

= f(x₀) x∆ + f(x₁) x∆ + f(x₂) x∆ + f(x₃) x∆ + f(x₄) x∆ + f(x₅) x∆ = 0(1/2) + (1/4)(1/2) + 1(1/2) + (9/4)(1/2) + 4(1/2) + (25/4)(1/2)

= 6,875.

dan seterusnya sampai n selang bagian diperoleh:

A(R_n) =

∑

⁻

=

∆

1

0

) (

n

i

i x

x

f =

∑

⁻

= 1

0

2 3) ( 3 ) (

n

i n n

i =

∑

⁻

= 1

0 2 3

27 ⁿ

i

n i = ]

6 ) 1 2 ( ) 1 [( 27

3

−

− n n

n n

= 2 3 ]

6 [ 27

3 2 3

n n n

n − +

= 3 1 ]

2 6 [ 27

n2

n+

−

A(R) =

∞

→

nlim 3 1 ]

2 6 [ 27

n2

n+

− = 9.

Rumus umum poligon dalam Riemann:

∑

⁻

∞ =

→

∆

=

1

0

) ( )

(

lim

n

i i n

x x f R

A

Dengan Derive:

Left_Riemann(f(x),x,a,b,n) adalah untuk menghitung luas daerah poligon- poligon dalam Riemann y = f(x), a ≤ x ≤ b, dan n selang bagian.

Tugas Kelompok

Konstruksilah langkah-langkah pengerjaan dengan Derive sehingga anda menemukan bahwa A(R) = 9.

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-3, carilah luas poligon dalam yang ditunjukkan 1.

2.

3.

y=x+1

y=x+1

y=x+1

Dalam soal-soal 4-5, Hitunglah luas daerah di bawah kurva y = f(x) , a ≤ x ≤ b pada selang bagian n yang diberikan.

4. f(x) = 3x -1, a = 1, b = 3, n = 4 5. f(x) = x² – 1, a = 2, b = 3, dan n = 6 6. f(x) = x³ + x + 1, a = -1, b = 1, dan n = 10

Dalam soal-soal 6-10, Hitunglah luas daerah di bawah kurva y = f(x) , a ≤ x ≤ b.

Untuk melakukan ini, bagilah a ≤ x ≤ b atas n selang bagian, hitung jumlah luas poligon dalam, dan tarik nilai limitn n→∞.

7. y=x+2, a=0, b=1 8. y=2x+2, a=−1, b=1 9. y=x³, a=0, b=1 10. y=x³+x, a=0, b=1

5.5. Integral Tentu

Contoh 8:

Hitunglah jumlahan Riemann f(x) = x² + 1, -1 ≤ x ≤ 2 1. Deklarasikan: f(x):= x² + 1

2. Tulislah: .f(a k(b a)/n) n

a

b− + −

3. Tarik sigma ke-k, k = 1 sampai k = n, 4. Substitusi a = -1 dan b = 2

5. Tarik limit ke-n untuk n → ∞ 6. Klik icon sama dengan.

Definisi

Grafik y = f(x) dalam interval [a,b], intervalnya dibagi atas n selang bagian dengan panjang setiap poligon

n a

b − dan tingginya f(xk) untuk suatu xk

adalah titik tengah alas poligon maka

n a kb a n x

a k b

a dengan x

n f a b

k n

k

k

+ −

≤

− ≤

−

− +

∑

=

) 1 (

; ) (

1

disebut jumlahan Riemann.

Jadi hasil jumlahan Riemannnya adalah 6

Contoh 9: Hitunglah

∫

x dx

−

+

3

2

) 3 (

1. Tulislah: (-2+i(5/n))(5/n) enter

2. Tarik sigma ke-i, i =1 sampai i = n, OK 3. Tarik limit n → ∞, OK

4. klik icon sama dengan.

Definisi

Misalkan |P| (norma P) menyatakan selang bagian yang terpanjang, dan f terdefinisi pada selang tutup [a, b]. Jika

∑

→ = Ι

Ι ∆

n

i

i

P f xi x

0 1 ( )

lim ada, maka f

terintegralkan pada [a, b]. Lebih lanjut f x dx

b

a

∫

^{( )} disebut integral tentu

(Integral Riemann) f dari a ke b, yakni:

dx x f

b

a

∫

^{( ) =}

^∑

→ = Ι

Ι ∆

n

i

i

P f xi x

0 1 ( )

lim

Jadi

∫

x dx

−

+

3

2

) 3

( = 35/2

Teorema A: Teorema Dasar kalkulus

Anggaplah f kontinu (dan terintegrasikan) pada selang [a, b] , dan anggaplah F sebarang anti turunan f pada [a,b], jadi

∫

^{b = −}

a

a F b F dx x

f( ) ( ) ( )

Contoh 10: Hitunglah

∫

x dx

−

+

3

2

) 3 2 (

Jawab:

dx

∫

x

−

+

3

2

) 3

( =

∫

x dx

− 3

2

2 +

∫

dx

− 3

2

3

= ^(x2)

]

³₋₂^+(3x)

]

³₋₂

= (3² −(−2)²)+(3.3−3(−2)

= 5 + 15 = 20

Menyelesaikan contoh 2 dengan Derive:

Int(f(x), x, a, b) adalah untuk menghitung integral tentu y = f(x) dari x = a ke b.

1. Tulislah: Int ( x + 2, x, -2, 3) enter 2. Klik icon sama dengan.

Teorema B: Integral tentu adalah operator linear

1.

∫

^{b =}

∫

a

b

a

dx x f k dx x

kf( ) ( )

2.

∫

^{+ =}

∫

⁺

∫

b

a b

a

b

a

dx x g dx x f dx x g x

f( ) ( ) ( ) ( )

[

3.

∫

^{− =}

∫

⁻

∫

^b

a b

a

b

a

dx x g dx x f dx x g x

f( ) ( ) ( ) ( )

[

Contoh 11:

Hitunglah -

∫

² x ⁻ dx

0

2 4) (

1. Tulislah: -Int(x² - 4), x, -2, 3) enter 2. Klik icon sama dengan.

Jadi -

∫

² x ⁻ dx

0

2 4)

( = 16/3

Jika daerah R sebagian terletak di atas sumbu-x dan sebagian berada di bawah sumbu-x maka luasannya dapat dihitung dengan memanfaatkan teorema berikut.

Contoh 12:

Hitunglah

∫

x dx

−

−

3

1

2 8) 2 (

Teorema (sifat tambahan pada selang)

Jika f terdiferensialkan pada sebuah selang yang mengandung titik a, b, dan c maka

dx x f

c

a

∫

^{( ) = b f x dx}

a

∫

^{( ) + c f x dx}

b

∫

^{( )}

1. Tulislah: -Int(2x² - 8), x, -1, 2) + int(2x² – 8, x, 2, 3) enter 2. Klik icon sama dengan.

Jadi

∫

x dx

−

−

3

1

2 8) 2

( = 68/3

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-6, Hitunglah integral tentu dengan menggunakan definisi.

1.

∫

² x⁺ dx

0

) 1

( 4.

∫

² x ⁺ dx

0

2 1) (

2.

∫

x dx

−

+

1

2

) 2

( π 5.

∫

x dx

−

+

1

2

2 2) 3

(

3.

∫

⁵ x⁺ dx

0

) 1

( 6.

∫

x x dx

−

+

10

10

2 )

(

Dalam soal-soal 7- 10, Hitunglah f x dx

b

a

∫

^{( )} dengan a dan b batas kiri dan kanan

dimana f terdefinisi, dengan menggunakan sifat tambahan pada selang dan rumus luas yang cocok dari geometri bidang.

7.











≤

<

≤

<

≤

≤

=

5 2

2 1

2

1 0

2 ) (

x jika

x

x jika

x jika

x x

f x

8.







≤

≤ +

−

≤

= ≤

2 1

2 ) 1 ( 2

1 0

) 2 (

x jika x

x jika

x x f

9. 





≤

<

−

≤

≤

= −

2 1

1

1 0

) 1 (

2

x jika x

x jika

x x f

10. 





≤

<

−

−

≤

≤

−

−

= −

2 1

2 2

0 2

) 4 (

2

x jika x

x jika

x x f

Dalam soal-soal 11-16, Hitunglah integral berikut.

11.

∫

² x ⁺ dx

0

3 1)

( 14.

∫

⁶ x dx

0

) sin(

12.

∫

¹ x dx

0

)

tan( 15.

∫

x x dx

−

+

−

2

1

2

4 3 1)

(

13.

∫

x dx

−

+

−

4

2

|

|

1 16. dx

∫

¹ x

0

1