BERBAGAI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TINGKAT SATU
BERBAGAI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TINGKAT SATU Budiyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo
Abstrak Untuk mengetahui peranan matematika dalam menyelesaikan masalah nyata, perlu
dipelajari masalahnya secara keseluruhan. Tahapan penyelesaian masalah ini biasa dikenal dengan nama masalah permodelan dan suatu tahapan penyelesaian dengan memakai teori matematika mulai digunakan disebut model matematika. Berbagai model matematika yang mempunyai bentuk
persamaan diferensial biasa tingkat satu yang disajikan dalam tulisan ini di antaranya adalah L masalah laju perubahan sederhana, masalah benda jatuh bebas, masalah rangkaian listrik, masalah tabungan pendapatan, investasi, dan masalah hutang Domar. Kata Kunci: model matematika, persamaan diferensial memahami
Pendahuluan Dalam berbagai disiplin ilmu, penggunaan matematika telah demikian luasnya. Matematika mempunyai peranan yang sangat penting dan memberi sumbangan yang besar bagi perkembangan
ilmu
pengeta-huan
dan teknologi. Penyebabnya adalah matematika mempunyai logika yang konsisten,
sistimatika
dan
konstruksinya dapat dijadikan alat. Juga
memberi gagasan untuk keadaan nyata dan
mengungkap rahasia alam. Berbagai masalah nyata dalam disiplin ilmu lain proses penyelesaiannya memerlukan
matematika
yang
disertai
mengetahui
seberapa
peranan matematika dalam penyelesaian masalah nyata, perlu dipelajari masalahnya secara menyeluruh. Tahapan penyelesaian masalah nyata disebut sebagai masalah
permodel-Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu
11
an. Suatu tahapan penyelesaian di
Maksudnya,
mana teori matematika mulai
digu-symbol
nakan disebut model matematika.
tika,sehingga
Pada umumnya, masalah
per-menuliskannya dan dalam lambang matema-diperoleh beberapa
persamaan matematika atau bentuk
modelan muncul di dunia nyata
lainnya.
sebagai
pengamatan.
Pengamatan itu dapat dilakukan di
dan yang perlu diperhatikan pada
laboratorium atau di alam bebas,
model
sampai pada gejala yang nampak
terbaik. Pemilihan model
matema-setiap hari. Penyelesaian masalah
tika yang terbaik mempunyai hara-pan
nyata,
dapat memberikan penyelesaian yang
hasil suatu pembentukan modelnya Selanjutnya matematika model dipilih yang
melalui beberapa tahap. Tahap yang
mendekati
pertama adalah membuat
pengama-Tahap ke-5 adalah menyele-saikan
tan intuitif dan memeriksa
kesa-model matematika, yaitu menentukan
penyelesaian matema-tikanya. Tahap
telah diketahui sampai memperoleh
ke-6 adalah mem-buat kesimpulan
berbagai dan dugaan. Tahap kedua, keadaan real dugaan sebenar-nya. dari analisis
mencoba merumuskan masalahnya
matematikanya. Tahap ke-6 adalah
sampai pada konsep yang akan
membuat tafsiran atas penye-lesaian
digunakannya. Tahap yang ke-3,
baru tentang masalah nyata. Tahap
mengumpulkan informasi
sebanyak-yang
banyaknya yang berhubungan
deng-bandingkan hasil penafsiran yang
an masalahnya. Dari sini kemudian
dipilih beberapa yang penting untuk
menjelaskan
menyederhanakan masalah. Tahap
penyimpangan yang terjadi.
yang ke-4 adalah menyatakan model real
dalam bahasa matema-tika.
terakhir Jika adalah perbedaan terjadi mem-ataupun penyimpangan
yang besar, harus diadakan
pengu-12 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu
langan kembali proses
permodel-biasa dapat ditentukan tingkat
persa-annya dengan meninjau setiap
lang-maannya. Jika penyelesaian umum
kah yang telah dilaksanakan.
Kemu-diketahui, maka dengan
mengelimi-dian pembentukan model real dan
nasi parameternya melalui operasi
model
turunan biasa, kita dapat menentukan
diperbaiki.
Setelah proses perbaikan ini
dilaksa-persamaan diferesial.
nakan, diperhatikan lagi penyimpangannya. Dalam hal terjadi penyimpangan
yang
perlu
Metode pemisahan peubah
dianalisis faktor penyebabnya
se-dipakai untuk mencari
penyele-hingga
saian persamaan diferensial
bi-dari
kecil,
a. Model Pemisahan Peubah
hasil
ini
didapat
informasi yang berguna.
asa.
Bentuk
persamaan
biasa
linier tingkat satu adalah : Persamaan
Diferensial
Biasa
dy = f ( x , y) atau y 1 = f ( x , y) dx atau F (x,y,y1)= 0
suatu persamaan yang melibatkan suatu
fungsi
beserta
turunannya.
atau F (x,y,
dy )=0 dx
Untuk fungsi dengan sebuah peu-bah
Jika persamaan diferen-sial
real, turunan yang terlibat adalah
biasanya ditulis dalam ben-tuk y1
turunan
= f (x.y) dengan mani-pulasi
biasa,
sehingga
dise-but
persamaan diferensial biasa.
aljabar dapat ditulis dalam bentuk
Penyelesaian persamaan
dife-:
rensial biasa terdiri dari penye-lesaian
P(x) + q(y) dy = 0
umum,
atau
penyeleaian
dan
penyelesaian singular (jika ada). Dari banyaknya
parameter
p(x) dx + q (y) dy = 0
pada
penyelesaian persamaan diferensial Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu
13
Dalam kasus p(x) dan q(y) fungsi elementer, maka penyelesaiannya
diperoleh
mengintegralkan
c. Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu
dengan
Persamaan diferensial lini-er
ruas
tingkat satu mempunyai bentuk
kedua
umum :
persamaan itu, didapat : p(x) dx + q(y) dy = C
A(x) y1 + B(x)y = C(x).A(x) 0
Penyelesaian umum persamaan
dengan A,B dan C kontinu pada
diferensialnya adalah:
irisan
ketiga
definisi
fungsi tersebut. Persamaan
dife-P(x) + Q(y) = C
rensial itu juga dapat ditulis dalam
dengan P(x) = p(x) dx dan
bentuk :
Q(y) = q (y) dy
y1 + p (r) y = q (x) dengan p dan q kontinu pada
b. Persamaan Diferensial
irisan kedua daerah deferensial.
Homogen Bertingkat Satu Persamaan
yang
mempu-nyai bentuk : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 disebut
persamaan
diferensial
homogen tingkat satu jika M dan N adalah fungsi homogen yang berderajat sama. Persamaan itu dapat ditulis dalam bentuk : M (tx, ty) t n M (x, y) F(x,y)== N (tx, ty) t n N (x, y)
= fl (x,y) = t° f (x,y)
Cara penyelesaiannya deng-an menggunakan Substitusi
=
y atau y = x x Penyelesaian persamaan itu adalah dengan cara mengalikan kedua ruas persamaan deferensialnya dengan faktor p (x)dx didapat : p (x)dx => y1 = p (x)dx p(x)y = p (x)dx . q(x)
14 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu
Ruas kiri bentuk di atas yaitu
saian persamaan diferensial
sak adalah suatu fungsi dengan
d ( p (x)dx y), ini berakibat : dx
sebuah parameter yang berben-tuk F (x,y) = C.
d ( p(x)dx.y) = p(x)dx.q(x) dx Penyelesaian rensialnya
persamaan diperoleh
mengintegralkan
difedengan
kedua
pada persamaan deferensialnya menghasilkan bentuk yang da-pat disebut
faktor
laju
perubahan
yang
sebanding
dengan besarnya populasi pada saat itu. masalah seperti itu biasa disebut masalah laju perubahan yang sederhana.
integrasi. d. Persamaan Diferensial Eksak Persamaan deferensial yang M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 disebut eksak jika terdapat fungsi
tersebut, dimisalkan besarnya popuP = P (t), P>0 Besarnya laju perubahan populasi pada saat t dapat dinyatakan
z = F (x,y) sehingga
sebagai :
dz = d F (x,y) = M (x,y) dx + N (x,y) dy persamaan
Untuk menyelesaikan masalah lasi pada saat t adalah :
mempunyai bentuk:
diferensial
Diketahui suatu populasi yang setiap saat besarnya berubah dengan
Faktor yang setelah dikalikan
Ciri
hana
ruas
bentuk itu.
diselesaikan
Masalah Laju Perubahan
Seder-dN dM dan . Jadi penyeledy dx
dP d (Pt ) = dt dt Disebabkan bahwa laju perubahan populasi setiap saat itu sebanding dengan besarnya populasi pada saat itu, maka terdapatlah konstan k = 0 sehingga:
Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu
15
P=
Masalah Benda Jatuh Bebas
dP = kP . k = 0 dt
Apabila suatu benda dengan
Pada masalah ini, k > 0, jika P
massa m jatuh bebas, maka selain
bertambah dan k < 0 jika k
ber-gaya berat benda W = mg, benda itu
kurang. Selanjutnya kita selesaikan
juga mengalami hambatan udara yang
persamaan diferensial yang terakhir
menurut
pemi-berbanding lurus dengan kuadrat sahan peubah : kecepatannya. Apabila besarnya kecepatan dP = k.dt p
benda tersebut pada saat t adalah v
dP = k.dt p
adalah b, maka besarnya hambatan
dan
terdapat gaya lain yang
mempe-P = Ckt.CC1
ngaruhi gerakan benda, maka
me-kt
P = C e .C > 0 besarnya
nurut Hukum Kedua Newton, massa populasi
pada saat t berbentuk fungsi eksponensial P = P (t) = C e kt.C > 0 memperhatikan
perbandingannya
Dengan mengandalkan bahwa tidak
P = e kt+c1
Ternyata
konstanta
udara adalah U, maka U = bv².
ln P = kt + C1
penelitian
bentuk
kali percepatan sama dengan gaya diperoleh persamaan diferensial. m=
fungsi itu, kita mengatakan bahwa populasinya terbentuk secara eksponential. Selanjutnya, jika
diketa-dv = mg – bv² dt dan
V (o) = Vo Kita
selesaikan
persamaan
hui dua data untuk besarnya P pada
diferensial itu dengan peubah bebas t
saat yang berbeda, maka kita dapat
dan peubah tidak bebasnya v. Akan
menentukan besarnya konstan C dan
diperoleh informasi tentang sifat v
k.
sebagai fungsi dari t, yaitu besarnya kecepatan pada setiap saat. Dari 16 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu
bentuk ini kita dapat mem-berikan
oleh
bahwa
tafsiran fisisnya.
sepanjang induktor berbanding lurus dengan
Masalah Listrik
besarnya
laju
perubahan
EL
arus
I,
dinyatakan dengan notasi
matema-Kita mempunyai suatu
rang-tika sebagai :
kaian listrik yang terdiri dari daya EL = L.
gerak listrik. E (t) vol, tahanan
dl dt
(resistansi) R ohm dan induktansi L
dengan konstanta perbandingan L
Henry disebut induktansi. seperti ditunjukkan pada gambar berikut : Menurut R jumlah aljabar hukum dari Kirchoff, daya yang
dihasilkan sepanjang suatu tahanan tertutup adalah nol, atau besarnya E(t)
daya yang diberikan pada suatu rangkaian
tertutup
sama
dengan
jumlah sisa daya pada rangkaian S = saklar L Apabila saklar pada rangkaian
tersebut.
Diperoleh
matematika:
ditutup maka terjadi aliran arus litrik
EL + ER = E (t)
pada rangkaian tersebut. Menurut
yang
hukum Ohm, besarnya daya ER
deferensial
sepanjang resistor berbanding lurus dengan arus sesaat I. Dinyatakan dengan notasi matematika sebagai : ER = R.I Dengan konstanta
perbanding-hubungan memberikan L persamaan dl + RI = E (t) dt Atau dl R I + I= E (t) dt L L
an R disebut tahanan (resistansi).
Model matematika rangkaian
Dari eksperimen (percobaan)
dife-Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu
17
rensial linear dengan peubah bebas t dan I sebagai peubah tidak bebas-nya. Penyelesaian persamaan dife-rensial
langsung marginal
tersebut I = I (t), yang menyatakan
dengan
dy , dinyatakan dengan: dt
I (t) = g.
besarnya arus listrik pada setiap saat.
penda-patan
dy ... (2) dt
Konstanta g diharapkan lebih besar Masalah Tabungan
dari pada nol dan merupakan nilai
Masalah tabungan S,
penda-banding pertambahan modal
terha-patan y, dan investasi I model
dap pendapatannya, dinyatakan
se-matematikanya dibuat oleh Domar
bagai: dan Harrod. Dengan persamaan g=
Idt dK = dy dy
dengan dK = I ; dt = pendapatan modal K.
pada waktu t adalah fraksi tertentu s
Menurut definisi maka
tabung-dari pendapatannya y pada waktu itu,
an yang terealisasi masyarakat
ada-dinyatakan sebagai :
lah
pertambahan
kekayaannya.
Besarnya sama dengan pendapatan S (t) = s . y (t) … (1) dengan anggapan bahwa tabungan yang diinginkan dan tabungan yang terealisasi sama adanya. Fraksi s letaknya antara nol dan satu merupakan kecenderungan marginal atau rerata untuk menabung. para
harus sama, sehingga S ter-realisasi = I
terealisasi.
Pada
umum-nya
tabungan yang diinginkan tidak perlu sama dengan tabungan teren-cana sehingga: S terrealisasi = S terencana
Investasi I yang diinginkan atau direncanakan
dikurangi konsumsi, maka kedua-nya
entrepreneur
masyarakat pada waktu t ber-banding
= I terrealisasi. Investasi terealisasi yang sama dengan tabungan terealisasi itu dapat
18 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu
dihitung dengan rumus (1) dan
investasi terencana dapat dihitung
atas pendapatan nasional.
dengan rumus (2).
Dimisalkan
Para entrepreneur masya- rakat
untuk
mencegah
pengangguran diambil kebijaksana-an
investasi
belanja defisit. Defisit dD dalam
terencana = investasi terrealisasi. Ini
jangka waktu dt berbanding
lang-dinyatakan sebagai :
sung dengan dt dan dengan
panda-menginginkan
agar
S (t) = I (t) …... (3)
patan nasional y, sehingga hubung-an
yang dengan persamaan (1) dan (2)
ini menjadi persamaan. g= dapat dy = S. y (t) dt persamaan dalam
dD = k y dt
dD = ky … (1) dt
Persamaan yang terakhir ini merupakan
dinyatakan
deferensial
Defisit dD ditutup dengan
tingkat satu yang peubahnya dapat
pinjaman,
dipisahkan menjadi :
merupakan hutang nasional.
Persa-dy S = dt y g
maan (1) menyatakan bahwa laju naik
demikian
D
hutang nasional berbanding langsung
Penyelesaian umumnya adalah : S g = t = lnC y
y = Ce dengan dengan tetapan pendapatan k nasi-onal adalah y. persentase
pendapatan nasional yang dipinjam
negara. Dalam model matematika itu
Masalah Hutang Model
matematika
perlu masalah
hutang ini biasa disebut sebagai model hutang domar. Model ini
dimisalkan
lagi
bagaimana
pendapatan nasional y berubah dengan waktu t, maka diandaikan : Y = at + yo …. (2)
Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu
19
Dengan a = konstanta, dan yo
bahan sederhana, masalah benda
= pendapatan pada waktu t = a.
jatuh, masalah rangkaian listrik,
substitusi
masalah tabungan pendapatan dan
(2)
dalam
(1)
meng-investasi, masalah hutang dan
lain-hasilkan persamaan deferensial.
lain.
dD = k at + k yo dt
Penyelesaian umumnya adalah : D = ½ k at² + ky ot + C Penutup Persamaan diferensial ada-lah salah satu cabang matematika yang banyak
digunakan
untuk
men-jelaskan masalah-masalah yang dapat dimodelkan. Alat untuk mengetahui kelakuan maupun sifat-sifat masalah-masalah yang ditinjau digunakan persamaan deferensial. Persamaan deferensial yang paling sederhana adalah persamaan deferensial tingkat satu. Persamaan ini dapat digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah laju
peru-Ayres. F. 1952. Theory and Problem Of Differential Equation. New York : Schaum’s Out Line Series. Mc Graw Hill. Johannes H, Budiomo Sri Handoko. 1981.Pengantar Matematika untuk Ekonomi. Jakarta : LP3ES. Martono. K. 1990. Kalkulus Persamaan Diferensial Biasa. Bandung : ITB. Nababan. 1987. Pendahuluan Persamaan Diferensial Biasa. Jakarta. Karunika. Simmons. G.T. 1979.
Differential Equations With Applica- tions and Historical Notes. Tata Mc.Graw: Hill Publishing.