Binary Search Tree

(1)

Struktur Data dan Algoritma

Suryana Setiawan, Ruli Manurung & Ade Azurat

(acknowledgments: Denny)‏

Fasilkom UI

Binary Search Tree

(2)

Tujuan

 Memahami sifat dari Binary Search Tree (BST)‏

 Memahami operasi-operasi pada BST

 Memahami kelebihan dan kekurangan dari

BST

(3)

Outline

 Properties of Binary Search Tree (BST)‏

 Operation

 Insert

 find

 remove

(4)

Properties of Binary Search Tree

 Untuk setiap node X pada tree, nilai elemen

pada subtree sebelah kiri selalu lebih kecil dari elemen node X dan nilai elemen pada subtree sebelah kanan selalu lebih besar dari elemen node X.

 Jadi object elemen harus comparable.

X

<X >X

(5)

Binary Search Tree

9 3

6 5 1

2

7

(6)

7 2

3

9 1 5

6

Binary Search Tree

(7)

3 2

1 3 1

2

2 1 3

1 3 2 1

2

3

Binary Search Tree

(8)

Basic Operations

 insert

 findMin and findMax

 remove

 cetak terurut

(9)

Print InOrder

class BinaryNode { void printInOrder( )‏

{

if( left != null )‏

left.printInOrder( ); // Left

System.out.println( element ); // Node if( right != null )‏

right.printInOrder( ); // Right }

}

class BinaryTree {

public void printInOrder( )‏

{

if( root != null )‏

root.printInOrder( );

}

(10)

Insertion

 Penyisipan sebuah elemen baru dalam binary search tree, elemen tersebut pasti akan

menjadi leaf

10 2

3

15 1 5

6

12

14

(11)

Insertion: algorithm

 Menambah elemen X pada binary search tree:

 mulai dari root.

 Jika X lebih kecil dari root, maka X harus diletakkan pada sub-tree sebelah kiri.

 jika X lebih besar dari root, then X harus diletakkan pada sub-tree sebelah kanan.

 Ingat bahwa: sebuah sub tree adalah juga

sebuah tree. Maka, proses penambahan elemen pada sub tree adalah sama dengan

penambahan pada seluruh tree. (melalui root tadi)

 Apa hubungannya?

 permasalahan ini cocok diselesaikan secara rekursif.

(12)

BinaryNode insert(int x, BinaryNode t) {

if (t == null) {

t = new BinaryNode (x, null, null);

} else if (x < t.element) {

t.left = insert (x, t.left);

} else if (x > t.element) {

t.right = insert (x, t.right);

} else {

throw new DuplicateItem(“exception”);

}

return t;

}

Insertion

(13)

BinaryNode findMin (BinaryNode t) {

if (t == null) throw exception;

while (t.left != null) { t = t.left;

}

return t;

}

FindMin

 Mencari node yang memiliki nilai terkecil.

 Algorithm:

 ke kiri terus sampai buntu….:)‏

 Code:

(14)

FindMax

 Mencari node yang memiliki nilai terbesar

 Algorithm?

 Code?

(15)

Find

 Diberikan sebuah nilai yang harus dicari

dalam sebuah BST. Jika ada elemen tersebut, return node tersebut. Jika tidak ada, return null.

 Algorithm?

 Code?

7 2

3

9 1 5

6

(16)

Remove

 Kasus 1: jika node adalah leaf (tidak punya anak), langsung saja dihapus.

 Kasus 2: jika node punya satu anak: node parent menjadikan anak dari node yang

dihapus (cucu) sebagian anaknya. (mem-by- pass node yang dihapus).

 Kasus 3: jika node punya dua anak…..

(17)

8 4

5

12 1 6

3

Remove

5 6 4

Kasus 1

Kasus 2

Kasus 3

(18)

Removing 6

8 4

5

12 1 6

3

(19)

After 6 removed

8

5

12

1

3

4

6

(20)

Remove (lanj.) ‏

 Bagaimana bila node punya dua anak?

1. Hapus isi node (tanpa mendelete node) 2. Gantikan posisinya dengan:

 Succesor Inorder node terkecil dari sub tree kanan, dilanjutkan dengan melakukan

removeMin di subtree kanan.

[Alternatif: dengan kaidah Predecesor Inorder, 2. Gantikan posisinya dengan:

 Predecesor Inorder, node terbesar dari sub tree kiri, dilanjutkan dengan melakukan

removeMax di subtree kiri.]

(21)

7

3

9 1 5

4

Removing 2 (Sucessor Inorder)

Cari node berisi 2

2

(22)

7

9 1 5

4

Removing 2 (Sucessor Inorder)

2 Cari sucessor Indorder

3

(23)

7

9 1 5

4

Removing 2 (Sucessor Inorder)

3 Gantikan posisi yang

dihapus

(24)

After 2 deleted

7 3 9

1 5

4 Hapus node

ini

(25)

Removing Root

7 2

3

12 1 5

4 10 14

9 11

9

(26)

removeMin

BinaryNode removeMin(BinaryNode t) {

if (t == null) throw exception;

if (t.left != null) {

t.left = removeMin (t.left);

} else {

t = t.right;

}

return t;

}

(27)

Remove

BinaryNode remove(int x, BinaryNode t) { if (t == null) throw exception;

if (x < t.element) {

t.left = remove(x, t.left);

} else if (x > t.element) {

t.right = remove(x, t.right);

} else if (t.left != null && t.right != null) { t.element = findMin(t.right).element;

t.right = removeMin(t.right);

} else {

t = (t.left != null) ? t.left : t.right;

}

return t;

}

(28)

removeMax

 code?

(29)

S _L

S _R X

k < S _L + 1

S _L

S _R X

k == S _L + 1

S _L

S _R X

k > S _L + 1

Find k-th element

(30)

Find k-th element

BinaryNode findKth(int k, BinaryNode t) {

if (t == null) throw exception;

int leftSize = (t.left != null) ? t.left.size : 0;

if (k <= leftSize ) {

return findKth (k, t.left);

} else if (k == leftSize + 1) { return t;

} else {

return findKth ( k - leftSize - 1, t.right);

}

(31)

Analysis

 Running time:

 insert?

 Find min?

 remove?

 Find?

 Worst case: O(n)‏

(32)

Rangkuman

 Binary Search Tree menjamin urutan elemen pada tree.

 Tiap node harus comparable

 Semua operasi membutuhkan O(log n) - average case, saat tree relatif balance.

 Semua operasi membutuhkan O(n) - worst

case, tinggi dari tree sama dengan jumlah

node.

(33)

Selanjutnya:

 Sejauh ini struktur Binary Search terbentuk dengan asumsi data cukup acak sehingga seluruh bagian tree akan cukup terisi.

 Benarkah asumsi tersebut?

 Jika tidak benar, maka akan terbentuk tree yang “tidak balance” yang berakibat tidak tercapainya performance O(log n)

 Solusi?

 Dalam kuliah yad akan dibahas struktur

binary tree dengan kemampuan auto-

balancing  AVL tree