(Binary) Heap. Binary tree yang menyimpan pasangan prioritas (atau prioritas elemen) pada node Property Heap :

heap

(Binary) Heap

• Binary tree yang menyimpan pasangan

prioritas (atau prioritas elemen) pada node

• Property Heap :

– Struktural

– Semua level kecuali yang terakhir berisi penuh, level terakhir boleh tidak penuh (berisi 1 anak) tetapi harus terisi.

– Heap

(Binary) Heap

1 1 1 7 1 3 1 8 2 1 1 9 1 7 4 3 2 3 2 6 2 9 3 1

Bukan Heap

•

_{Heap Violated}

1 1 1 9 1 3 1 8 2 1 1 9 1 7 4 2 2 2 3

Bukan Heap

• Level terakhir

• Ada yang kosong

1 1 1 7 1 3 1 8 2 1 1 9 1 7 4 3 2 6 2 9 3 1

Menemukan elemen Terkecil

• Elemen dengan prioritas

terkecil

selalu

berada pada posisi

root

dalam

heap

• Hal ini karena jika tidak maka prioritas

tersebut akan menjadi

parent

dengan

prioritas

lebih kecil

dan hal ini

melanggar

heap property

Menemukan elemen Terkecil

Findmin(a[])

Height dari Heap

• Diberikan heap dengan n Node dan

ketinggian (height) h

• Recall: Complete Binary Tree dengan

Height h memiliki 2h+1-1 node

• Dengan demikian 2h-1<=2h+1-1

• n=

_

log2 h



Implementasi Heap

• Parent (i){return

_

i/2



}

• Left(i){return 2i}

• Right(i){rreturn 2i+1}

1 1 1 7 1 3 1 8 2 1 1 9 1 7 4 3 2 3 2 6 A 1 1 1 1 2 1 1 4 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Parent(5) 2 (17) Left(3) 6 (19) Right(3) 7 17)

Implementasi Heap

• Secara implisit tree dalam link, dengan

anak node i adalah 2i dan 2i+1

• Kenapa hal ini bermanfaat ?

– Dalam representasi binary , perkalian atau

pembagian dengan 2 merupakan pergeseran

ke kanan atau ke kiri (a** == shl(a) atau

a//==shr(a))

Penyisipan dalam Heap

• Sisipkan 12

1 1 1 7 1 3 1 8 2 1 1 7 4 3 2 3 2 6 2 9 3 1 Secara struktur maka kita akan tambahkan node

12

Secara struktur sudah benar 19

Penyisipan dalam Heap

• Sisipkan 12

1 1 1 7 1 8 2 1 1 7 4 3 2 3 2 6 2 9 3 1 Secara struktur maka kita akan tambahkan node

19

Secara struktur sudah benar 12

Penyisipan dalam Heap

• Sisipkan 12

• Sisipkan 8

1 1 1 7 1 8 2 1 4 3 2 3 2 6 2 9 3 1 19 12 13 8 17

Penyisipan dalam Heap

• Sisipkan 12

• Sisipkan 8

1 1 1 7 1 8 2 1 4 2 2 2 3 ₁₉ 12 13 17 8

Penyisipan dalam Heap

• Sisipkan 12

• Sisipkan 8

1 7 1 8 2 1 4 3 2 3 2 6 2 9 3 1 19 12 8 17 13 11

Penyisipan dalam Heap

• Sisipkan 12

• Sisipkan 8

1 7 1 8 2 1 4 2 2 2 3 ₁₉ 12 11 17 13 8

Cara menyisipkan lainnya

• Perbesar heap

1 1 1 7 1 3 1 8 2 1 1 7 4 3 2 3 2 6 2 9 3 1 19 12 Memakai jalur dari root

Cara menyisipkan lainnya

• Perbesar heap

1 1 1 7 1 8 2 1 1 7 4 3 2 3 2 6 2 9 3 1 19 12 Memakai jalur dari root

Utk menyisipkan node Temukan elemen dengan prioritas tertinggi yang

lebih besar dari Elemen yang Akan di sisipkan

Cara menyisipkan lainnya

1 1 1 7 1 2 1 8 2 1 1 7 4 3 2 3 2 6 2 9 3 1 19 13

Kebenaran Insertion

• Node yang isinya berubah berada pada

path

1 1 1 7 1 3 1 8 2 1 1 7 19 12

Kebenaran Insertion

• Node yang isinya berubah berada pada

path

• Heap property terlanggar hanya pada node

anak-nya

₁ 1 1 7 1 3 1 8 2 1 1 7 19 12

Kebenaran Insertion

• Node yang isinya berubah berada pada

path

• Heap property terlanggar hanya pada node

anak-nya

• Isi yang baru berprioritas lebih kecil

dari sebelumnya

1 1 1 7 1 3 1 8 2 1 1 7 19 12

Kebenaran Insertion

• Node yang isinya berubah berada pada

path

• Heap property terlanggar hanya pada node

anak-nya

• Isi yang baru berprioritas lebih kecil

dari sebelumnya

1 1 1 7 1 8 2 1 1 7 19 12 ₁₃

Kebenaran Insertion

• Node yang isinya berubah berada pada

path

• Heap property terlanggar hanya pada node

anak-nya

• Isi yang baru berprioritas lebih kecil

dari sebelumnya

• Shg heap property aman

1 1 1 7 1 8 2 1 1 7 13 12

Heapify(i)

• i adalah index array A

• Binary tree yang berakar di Left(i) dan

Right(i) adalah

heap

• Tetapi, A[i] harus lebih besar dari

anaknya, sehingga terjadi violated pada

heap property

• Fungsi

Heapify

membuat binary tree

berakar di

i

pd heap dengan

Heapify

• Ini bukan heap

1 7 1 0 1 1 1 6 2 1 1 2 4 2 2 2 3 13

Heap property violated pada node dg index 1 tetapi Subtree pada akar 2 dan 3 adlaah heap

Cara kerja Heapify

• Heapify akan melihat dua anak dari root yang violated

• Memilih prioritas pada kedua

anak tersebut yang

terkecil

, lalu

menukar

dengan

rootnya

1 1 1 6 2 1 1 2 13 10 17

Cara kerja Heapify

• Heapify akan melihat dua anak dari root yang violated

• Memilih prioritas pada kedua

anak tersebut yang

terkecil

, lalu

menukar

dengan

rootnya

1 1 2 1 1 2 13 17 10 16

Cara kerja Heapify

• Heapify akan melihat dua anak dari root yang violated

• Memilih prioritas pada kedua

anak tersebut yang

terkecil

, lalu

menukar

dengan

rootnya

1 1 2 1 1 2 13 16 10 17

Cara kerja Heapify lainnya

• Heapify(i) melacak path tree ke

bawah

1 7 1 0 1 1 1 6 2 1 1 2 13

Cara kerja Heapify lainnya

• Heapify(i) melacak path tree ke

bawah

1 7 1 0 1 1 1 6 2 1 1 2 13

Cara kerja Heapify lainnya

• Heapify(i) melacak path tree ke

bawah

• Node terakhir pada path (misal

j

)

memiliki baik A[left(

j

)], A[right(

j

)]

yang lebih besar dari A[i]

1 7 1 0 1 1 1 6 2 1 1 2 13

Cara kerja Heapify lainnya

• Heapify(i) melacak path tree ke bawah

• Node terakhir pada path (misal

j

) memiliki

baik A[left(

j

)], A[right(

j

)] yang lebih besar dari

A[i]

• Seluruh elemen path

Memiliki prioritas

lebih

kecil

dari

saudaranya

1 7 1 0 1 1 1 6 2 1 1 2 13

Cara kerja Heapify lainnya

• Heapify(i) melacak path tree ke bawah

• Node terakhir pada path (misal

j

) memiliki baik

A[left(

j

)], A[right(

j

)] yang lebih besar dari A[i]

• Seluruh elemen path

Memiliki prioritas

lebih

kecil

dari

saudaranya

• Seluruh elemen pd path ini

di pindahkan ke atas

1 1 2 1 1 2 13 17 10 16

Cara kerja Heapify lainnya

• Heapify(i) melacak path tree ke bawah

• Node terakhir pada path (misal j) memiliki baik

A[left(

j

)], A[right(

j

)] yang lebih besar dari A[i]

• Seluruh elemen path

Memiliki prioritas lebih

kecil dari saudaranya

• Seluruh elemen pd path ini

di pindahkan ke atas

•

_{A[i] pindah ke posisi}

_j

1 1 2 1 1 2 13 17 10 16

Run Time Analisis

• Heap dengan n node mempunyai height

O(log n)

• Selama penyisipan kita harus

memindahkan elemen ke atas

• Dengan demikian setidaknya di perlukan

O(log n) langkah

Operasi Binary Heap

• Delete-Min

• Building heap dalam O(n) time

• Heapsort

Delete Minimum

• Elemen minimum adalah elemen pada top heap

• Kita dapat menghapus elemen tersebut dan

memindahkan anaknya ke atas untuk mengisi ruang

yang kosong karena penghapusan tadi

• Ruang yang kosong pada tree di pindahkan ke bawah

• Di akhiri pada setiap posisi pada akhir level

• Hasilnya tree menjadi tidak ada yang kosong pada akhir

levelnya

Delete-min dalam heap

8 1 0 11 1 8 2 1 1 2 4 3 23 26 29 31 13 19 ₁₇

Delete-min dalam heap

1 0 11 1 8 2 1 1 2 4 3 23 26 29 31 13 19 ₁₇

Delete-min dalam heap

1 0 11 1 8 2 1 1 2 4 3 23 26 29 31 13 19 ₁₇

Delete-min dalam heap

1 1 1 8 2 1 1 2 4 3 23 26 29 31 13 19 ₁₇ 10

Delete-min dalam heap

1 1 1 8 2 1 1 2 4 3 23 26 29 31 13 19 ₁₇ 10

Delete-min dalam heap

1 1 2 1 1 2 4 3 23 26 29 31 13 19 ₁₇ 10 18

Delete-min dalam heap

1 1 2 1 1 2 4 3 26 29 31 13 19 ₁₇ 10 18 18

Delete-min dalam heap

1 1 2 1 1 2 4 3 26 29 31 13 19 ₁₇ 10 18 23

Delete-min dalam heap (2)

• Ganti elemen top dengan elemen

terakhir dalam heap

8

1

0 11

1

Delete-min dalam heap (2)

• Ganti elemen top dengan elemen

terakhir dalam heap

1

0 11

1

Delete-min dalam heap (2)

• Ganti elemen top dengan elemen

terakhir dalam heap

• Lakukan Heapify(1)

1 2 13 17 10 16 11 11

Delete-min dalam heap (2)

• Ganti elemen top dengan elemen

terakhir dalam heap

• Lakukan Heapify(1)

1 2 13 10 17 16 11 11

Delete-min dalam heap (2)

• Ganti elemen top dengan elemen

terakhir dalam heap

• Lakukan Heapify(1)

1 2 13 10 16 17 11 21

Building Heap

• Dimulai dari bawah ke atas

• Semua leaves adalah heap

2 3 4 3 26 1 0 21 13 31

Build-Heap (A)

for i



n/2



downto 1

do Heapify(A,i)

Building Heap

• Dimulai dari bawah ke atas

• Semua leaves adalah heap

2 3 4 3 26 1 0 21 13 31

Build-Heap (A)

for i



n/2



downto 1

do Heapify(A,i)

Karen leaves berupa heap

Building Heap

• Dimulai dari bawah ke atas

• Semua leaves adalah heap

2 3 4 3 26 1 0 21 13

Build-Heap (A)

for i



n/2



downto 1

do Heapify(A,i)

Building Heap

• Dimulai dari bawah ke atas

• Semua leaves adalah heap

2 3 4 3 26 1 0 21 13 1₇

Build-Heap (A)

for i



n/2



downto 1

do Heapify(A,i)

Karen leaves berupa heap

Building Heap

• Dimulai dari bawah ke atas

• Semua leaves adalah heap

2 3 4 3 26 1 7

Build-Heap (A)

for i



n/2



downto 1

do Heapify(A,i)

Karen leaves berupa heap 1 21 11

Building Heap

• Dimulai dari bawah ke atas

• Semua leaves adalah heap

2 3 4 3 26 1 7

Build-Heap (A)

for i



n/2



downto 1

do Heapify(A,i)

Karen leaves berupa heap

Jadi mulai dari parent leaves terakhir

11 8

1 0

Building Heap

• Dimulai dari bawah ke atas

• Semua leaves adalah heap

2 3 4 3 1 7

Build-Heap (A)

for i



n/2



downto 1

do Heapify(A,i)

Karen leaves berupa heap 1 8 11

0

Building Heap

• Dimulai dari bawah ke atas

• Semua leaves adalah heap

2 3 4 3 1 7

Build-Heap (A)

for i



n/2



downto 1

do Heapify(A,i)

Karen leaves berupa heap

Jadi mulai dari parent leaves terakhir

11

8 1

Building Heap

• Dimulai dari bawah ke atas

• Semua leaves adalah heap

2 3 4 3 13 1 7

Build-Heap (A)

for i



n/2



downto 1

do Heapify(A,i)

Karen leaves berupa heap

11

8 1

Building Heap

• Dimulai dari bawah ke atas

• Semua leaves adalah heap

2 3

13 1 7

Build-Heap (A)

for i



n/2



downto 1

do Heapify(A,i)

Karen leaves berupa heap

Jadi mulai dari parent leaves terakhir

11

8 1

0

Building Heap

• Dimulai dari bawah ke atas

• Semua leaves adalah heap

2 3

13 1 7

Build-Heap (A)

for i



n/2



downto 1

do Heapify(A,i)

Karen leaves berupa heap

11 8

1

Building Heap

• Dimulai dari bawah ke atas

• Semua leaves adalah heap

13 1 7

Build-Heap (A)

for i



n/2



downto 1

do Heapify(A,i)

Karen leaves berupa heap

Jadi mulai dari parent leaves terakhir

11 21 8 1 0 23

Building Heap

• Dimulai dari bawah ke atas

• Semua leaves adalah heap

13 1 7

Build-Heap (A)

for i



n/2



downto 1

do Heapify(A,i)

Karen leaves berupa heap

11 21 8 1 0 23

Building Heap

• Dimulai dari bawah ke atas

• Semua leaves adalah heap

13 1 7

Build-Heap (A)

for i



n/2



downto 1

do Heapify(A,i)

Karen leaves berupa heap

Jadi mulai dari parent leaves terakhir

11 21 8 1 0 23

Analisis Building heap

• Kebenaran : induksi pada i, semua akar tree pada

m>i adalah heap

• Run time : n call pada Heapify = n O(log n)=O(n log

n)

• Height node : panjang dari jalur terpanjang dari node

ke leaf

• Height tree: height node

• Time Heapify(i)=O(height of subtree berakar i)

• Asumsi : jum node n=2k-1 (complete binary tree)

Analisis Building heap (2)

• Untuk n/2 node dngan height 1, heapify

membutuhkan setidaknya 1 kali tukar

• Untuk n/4 node dngan height 2, heapify

membutuhkan setidaknya 2 kali tukar

• Untuk n/2i node dngan height i, heapify

membutuhkan setidaknya i kali tukar

• Jadi total jumlah pertukaran :

      + ₊ + ₊ + _{+ + −} =O n n n k n T .3 ... 1 8 1 2 . 4 1 2 1 ) (

Bagaimana terjadi O(n) ?

∑

∑

∑

∑

∞ ∞ = − ∞ = − ∞ =

=

=

=

→

−

=

−

→

−

=

−

<

−

=

0 2 1 0 2 1 0

2

2

/

1

2

1

//

)

(

//

)

1

(

1

//

1

1

1

i i i i i i

i

x

masukan

x

x

x

x

i

x

kalikan

x

x

i

si

diferensia

x

if

x

x

Jadi O(n)

Heapsort

• Buat heap

Lakukan delete-min

Secara berulang hingga

Heap mjd kosong

• Lakukan sort pada, array

Pindahkan (tukar)

elemen yang di hapus

8 1 0 11 1 2 2 1 1 7 1 6 23 43 29 26 13 19 ₃₁

Proses heapsort

• Delete-min

1 1 1 2 21 17 1 6 2 3 4 3 2 9 2 6 13 19 ₃₁ 8 10

Proses heapsort

• Heapify (1)

1 1 1 2 21 17 1 6 2 3 4 3 2 9 2 6 13 19 ₈ 31 10

Proses heapsort

• Heapify (1)

1 1 13 19 ₈ 10 31 12 21 16 23 43 29 26 17

Proses heapsort

• Heapify (1)

1 1 13 19 ₈ 10 12 31 21 16 23 43 29 26 17

Proses heapsort

• Heapify (1)

1 1 13 19 ₈ 10 12 16 21 31 23 43 29 26 17

Proses heapsort

• Delete-min

1 1 13 19 ₈ 10 12 16 21 31 23 43 29 26 17

Proses heapsort

• Delete-min

1 1 13 10 ₈ 19 12 16 21 31 23 43 29 26 17

Proses heapsort

• Heapify(1)

13 10 ₈ 19 12 16 21 31 23 43 29 26 17 11

Proses heapsort

• Heapify(1)

13 10 ₈ 11 12 16 21 31 23 43 29 26 17 19

Proses heapsort

• Delete-min

19 10 ₈ 11 12 16 21 31 23 43 29 26 17 13

Proses heapsort

• Delete-min

19 10 ₈ 26 12 16 21 31 23 43 29 11 17 13

Proses heapsort

• Heapify(1)

19 10 ₈ 26 12 16 21 31 23 43 29 11 17 13

Proses heapsort

• Heapify(1)

19 10 ₈ 12 26 16 21 31 23 43 29 11 17 13

Proses heapsort

• Heapify(1)

19 10 ₈ 12 16 26 21 31 23 43 29 11 17 13

Proses heapsort

• Delete-min

19 10 ₈ 12 16 23 21 31 26 43 29 11 17 13

Proses heapsort

• Delete-min

19 10 ₈ 29 16 23 21 31 26 43 12 11 17 13

Proses heapsort

• Heapify(1)

19 10 ₈ 29 16 23 21 31 26 43 12 11 17 13

Proses heapsort

• Heapify(1)

19 10 ₈ 13 16 23 21 31 26 43 12 11 17 29

Proses heapsort

• Heapify(1)

19 10 ₈ 13 16 23 21 31 26 43 12 11 29 17

Proses heapsort

• Delete-min

19 10 ₈ 13 16 23 21 31 26 43 12 11 29 17

Proses heapsort

• Heapify(1)

19 10 ₈ 43 16 23 21 31 26 13 12 11 29 17

Proses heapsort

• Heapify(1)

19 10 ₈ 16 43 23 21 31 26 13 12 11 29 17

Proses heapsort

• Delete-min

19 10 ₈ 16 21 23 43 31 26 13 12 11 29 17

Proses heapsort

• Heapify(1)

19 10 ₈ 26 21 23 43 31 16 13 12 11 29 17

Proses heapsort

• Heapify(1)

19 10 ₈ 17 21 23 43 31 16 13 12 11 29 26

Proses heapsort

• Delete-min

26 10 ₈ 17 21 23 43 31 16 13 12 11 29 19

Proses heapsort

• Heapify(1)

26 10 ₈ 31 21 23 43 17 16 13 12 11 29 19

Proses heapsort

• Heapify(1)

26 10 ₈ 19 21 23 43 17 16 13 12 11 29 31

Proses heapsort

• Delete-Min

31 10 ₈ 19 21 23 43 17 16 13 12 11 29 26

Proses heapsort

• Heapify(1)

31 10 ₈ 29 21 23 43 17 16 13 12 11 19 26

Proses heapsort

• Heapify(1)

31 10 ₈ 21 29 23 43 17 16 13 12 11 19 26

Proses heapsort

• Delete-min

31 10 ₈ 21 23 29 43 17 16 13 12 11 19 26

Proses heapsort

• Heapify(1)

21 10 ₈ 31 23 29 43 17 16 13 12 11 19 26

Proses heapsort

• Heapify(1)

21 10 ₈ 23 31 29 43 17 16 13 12 11 19 26

Proses heapsort

• Delete-min

21 10 ₈ 23 29 31 43 17 16 13 12 11 19 26

Proses heapsort

• Heapify(1)

21 10 ₈ 43 29 31 23 17 16 13 12 11 19 26

Proses heapsort

• Heapify(1)

21 10 ₈ 26 29 31 23 17 16 13 12 11 19 43

Proses heapsort

• Delete-min

21 10 ₈ 26 29 31 23 17 16 13 12 11 19 43

Proses heapsort

• Heapify(1)

21 10 ₈ 31 29 26 23 17 16 13 12 11 19 43

Proses heapsort

• Delete-min

21 10 ₈ 29 31 26 23 17 16 13 12 11 19 43

Proses heapsort

• Hepaify(1)

21 10 ₈ 43 31 26 23 17 16 13 12 11 19 29

Proses heapsort

• Delete-min

21 10 ₈ 31 43 26 23 17 16 13 12 11 19 29

Proses heapsort

• Delete-min

21 10 ₈ 43 31 26 23 17 16 13 12 11 19 29

Proses heapsort

• Delete-min

21 10 ₈ 43 31 26 23 17 16 13 12 11 19 29

Run time operasi heap

• Insert():O(log n)

• Heapify(): O(log n)

• Findmin(): O(1)

• Deletemin(): O(log n)

• Buildheap(): O(n)

Psuedo code

• PARENT(i)

return i/2

• LEFT(i)

return 2i

• RIGHT(i)

return 2i + 1

Tukar

Tukar (a,b)

temp=a

a=b

Heapify

HEAPIFY(A, i)

l  LEFT(i)

r  RIGHT(i)

if l <=heap-size[A] and A[l] > A[i] then largest  l

else largest  i

If r <=heap-size[A] and A[r] > A[largest] then largest  r

Shiftdown

ShiftDown(A,i)

ki

repeat

jk

if 2j<=length(A) and A[2j]>A[k]

then k2j

if 2j<length(A) and A[2j+1]>A[k]

then k2j+1

Shiftup

Shiftup(A,i)

ki

repeat

jk

if j>i and A[j%2]<A[k] then kj%2

Tukar(A[j],A[k])

Buildheap dan Makeheap

BUILDHEAP(A)

heap-size[A] length[A]

for i length



A/2



downto 1

do HEAPIFY(A, i)

Atau

Makeheap(A)

FindMax-min, DelMax-min

Findmax(A)

return A[1];

FindMin(A)

return A[n]

DelMax(A)

A[1]A[n]

ShiftDown(A[1..n-1],1)

DelMin(A)

InsertNode

InsertNode(A,v)

A[n+1]v

Heapsort

Heapsort (A)

makeheap(A)

for in downto 2 do tukar(A[1],A[i])

Shiftdow(A[1..i-1],1) Atau

HEAPSORT(A)

BUILDHEAP(A)

for i length[A] downto 2 do tukar(A[1],A[i])