BUKU MATERI AJAR KALKULUS 3 Mohammad Hamdani

MATERI AJAR KALKULUS 3

(Persamaan Differensial, Fungsi-fungsi khusus, Fungsi Bessel, PD Bessel )

Disusun Oleh:

Ir. M. Hamdani, M.Eng.

Program Sarjana PS Teknik Elektro Fakultas Teknologi Industri

Institut Sains Dan Teknologi Nasional

Kalkulus 3 merupakan matakuliah wajib bagi Program Sarjana PS Teknik Elektro, di Institut Sains Dan Teknologi Nasional. Materi Ajar ini ditulis untuk digunakan pada perkuliahan Kalkulus 3 dengan membuang beberapa topik yang tidak diperlukan.

Dari segi konsep, isi perkuliahan kalkulus 3 dapat dikatakan sudah baku, artinya tidak banyak mengalami perubahan untuk jangka waktu yang cukup panjang. Bagian yang secara berkala perlu direvisi adalah teknik penyajiannya. Selain itu soal-soal yang disajikan mulai banyak diaktualkan dengan situasi saat ini, melalui pemecahan problem-problem real sederhana yang dijumpai sehari-hari.

Penyusunan materi ajar ini bertujuan untuk m engefektifkan proses pembelajaran. Pada proses pembelajaran konvensional, biasanya dosen menjelaskan perkuliahan sambil mencatat di papan tulis. Proses pembelajaran lebih banyak mendengar- kan ceramah dari dosen. Peran serta mahasiswa sebagai pembelajar sangat terbatas. Melalui materi ajar ini diharapkan proses pembelajaran dapat lebih diefektifkan.

Fungsi dari materi ajar ini, bagi dosen untuk dipakai menjelaskan materi kuliah, sedangkan bagi mahasiswa sebagai pengganti catatan kuliah. Dengan demikian waktu pembelajaran dikelas dapat diguna- kan secara lebih efektif untuk ceramah dan diskusi. Perlu diperhatikan bahwa pada materi ajar ini soal-soal yang disajikan umumnya tidak disertai solu si. Hal ini memang disengaja karena pembelajaran akan lebih efektif bila solusinya dibicarakan bersama- sama mahasiswa di kelas. Semoga materi ajar ini dapat berguna untuk meningkatkan kualitas pembelajaran Kalkulus 3.

M. Hamdani

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 1

BAB I

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Suatu persamaan dimana terdapat hubungan antara variabel bebas, variabel tak bebas dan turunan-turunannya dinamakan persamaan differensial.

Contoh : ( , , , ₂ ,...) 0

2

dx = y d dx y dy x f

( , , , , ,...) 0

2 =

∂

∂

∂

∂

∂

y x

z x z z y x

g

Ada 2 jenis persamaan differensial :

- Persamaan differensial biasa →

3 0

2

2

+ + y =

dx x dy dx

y x d

- Persamaan differensial partial →

( ) 0

∂

∂ ∂

∂ ∂

2 2

2 2

2

+ + x + y z =

y x

z x

z

Pembahasan hanya dibatasi pada persamaan differensial biasa.

1. Persamaan Diferensial Biasa

Definisi :

- Turunan tertinggi didalam suatu persamaan differensial (PD) disebut orde dari persamaan differensial tersebut

3 orde al differensi persamaan

⇒ 0

2

3

3 2

2

+ + + y =

dx dy dx

y d dx

y x d

- Pangkat tertinggi dari turunan tertinggi persamaan differensial disebut pangkat dari persamaan differensial tersebut.

2 pangkat 3

orde diff.

persamaan

⇒ 0 5

2 6 3 3 3

2 2

dx y dy dx

y d dx

y

x d  + =



 

 + 

 

 

 + 

 

 





Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 2 1.1. Persamaan Diferensial Orde 1 Pangkat 1

1.1.1 Persamaan differensial dengan variabel yang dapat dipisahkan Bentuk Pers. Diff. f(x,y)

dx

dy= dipisahkan menjadi:

0 ) ( )

(x dx+N y dy= M

Dengan demikian variabel

x

dipisahkan dengan variabel

y

Contoh :

Carilah Penyelesaian dari Persamaan Differensial berikut:

1.

0

2

= + y

x dx

dy

Penyelesaian:

ydy+x²dx=0

∫

^{y dy +}

∫

^x2dx=C

y 3x³ C merupakan jawab umumnya

2 1 2

1 + =

2. 1− ² + dy =0 x

dx y y e^x

∫ 𝑥𝑥𝑒𝑒^𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥+∫_{�1−𝑦𝑦}^{𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦}₂ = 𝐶𝐶 ∫ 𝑥𝑥𝑑𝑑(𝑒𝑒^𝑥𝑥)−¹₂∫^{𝑦𝑦(1−𝑦𝑦}_{�1−𝑦𝑦}²₂⁾= 𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑒𝑒^𝑥𝑥− � 𝑒𝑒^𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 −¹₂ 2 �1− 𝑦𝑦² =𝐶𝐶 𝑒𝑒^𝑥𝑥(𝑥𝑥 −1)− �1− 𝑦𝑦² = 𝐶𝐶 3. 𝑥𝑥²(𝑦𝑦²+ 1)𝑑𝑑𝑥𝑥+𝑦𝑦√𝑥𝑥³+ 1 𝑑𝑑𝑦𝑦= 0

𝑥𝑥²(𝑦𝑦²+ 1)𝑑𝑑𝑥𝑥 =−𝑦𝑦√𝑥𝑥³+ 1 𝑑𝑑𝑦𝑦

� 𝑥𝑥²𝑑𝑑𝑥𝑥

√𝑥𝑥³+ 1+� 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑦𝑦² + 1 = 0

1

3�𝑑𝑑(𝑥𝑥³+ 1)

√𝑥𝑥³+ 1 +¹₂�𝑑𝑑(𝑦𝑦²+ 1) 𝑦𝑦²+ 1 =𝐶𝐶 ²₃√𝑥𝑥³+ 1 +¹₂ 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑦𝑦²+ 1) =𝐶𝐶

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 3 Soal-soal :

Carilah jawaban umum persamaan differensial berikut : 1. ^{𝑦𝑦𝑦𝑦}

𝑦𝑦𝑥𝑥=^sin_{sin 𝑦𝑦}^2𝑥𝑥

2. dx

y dy x dx y

x² dy − ² = ²

3. x x

dx y dy dx

dy ₂

sec tan

ln +

=

4. x dx e dy

y

y 1) ( arcsin

1 = −

1.1.2 Persamaan Differensial Homogen (PDH) Definisi :

Suatu

f ( x , y )

dikatakan homogen bila memenuhi sifat

) , ( )

,

( x y f x y

f

λ λ

=

λ

ⁿ Dimana λ = konstanta dan n = suatu bilangan Contoh :

a) f(x,y)= x⁴+y⁴ → f(

λ

x,

λ

y) =

λ

⁴(x⁴+y⁴) = λ² x⁴ +y⁴

= λ²

f ( x , y )

→ orde 2 b)

) (

) ) (

, ( )

,

( ₂

2 2 2 2

2

xy y y x

x xy f

y y x

x

f λ

λ λ

λ = ⁺

+ →

=

nol orde ) , (

2 2 0

y x f

xy y x

λ

o

λ

=



 



 +

=

Persamaan differensial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, disebut Persamaan Diferensial homogen bila berlaku M(x,y)dan N(x,y) adalah fungsi homogen dengan orde yang sama.

Contoh :

a) (x²+y²)dx +x³dy=0 → bukan PDH karena orde M(x,y)≠N(x,y)

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 4

b) (x²+xy)dx +x²dy=0 → PDH dimana M(x,y)danN(x,y)adalah fungsi homogen orde 2

Bentuk persamaan differensial

) , (

) , (

y x Q

y x P dx

dy = juga disebut persamaan diferensial

homogen bila terpenuhi fungsi homogen

) , (

) , ) (

,

( Q x y

y x y P

x

f = berharga orde nol.

Penyelesaian Persamaan Differensial Homogen

Untuk penyelesaian persamaan differensial homogen maka:

- ambil 𝑦𝑦= 𝑢𝑢𝑥𝑥 dimana 𝑢𝑢= 𝑢𝑢(𝑥𝑥), sehingga didapat 𝑑𝑑𝑦𝑦=𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥+𝑥𝑥𝑑𝑑𝑢𝑢 - ambil 𝑥𝑥=𝑣𝑣𝑦𝑦 dimana 𝑣𝑣= 𝑣𝑣(𝑦𝑦), sehingga didapat 𝑑𝑑𝑥𝑥 =𝑣𝑣𝑑𝑑𝑦𝑦+𝑦𝑦𝑑𝑑𝑣𝑣 Contoh :

Pecahkan persamaan differensial berikut : 1) (x²+xy)dx+x² dy=0

Jawab :

M(x,y)=x²+xy adalah fungsi homogen orde dua

N(x,y)=x²adalah fungsi homogen orde dua juga, dengan demikian persamaan differensial diatas adalah persamaan diff. Homogen

Misal : 𝑦𝑦= 𝑢𝑢𝑥𝑥 maka didapat 𝑑𝑑𝑦𝑦=𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥+𝑥𝑥𝑑𝑑𝑢𝑢

Sehingga : (𝑥𝑥² +𝑢𝑢𝑥𝑥²)𝑑𝑑𝑥𝑥+𝑥𝑥²(𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥+𝑥𝑥𝑑𝑑𝑢𝑢) = 0 (𝑥𝑥² +𝑢𝑢𝑥𝑥² +𝑢𝑢𝑥𝑥²)𝑑𝑑𝑥𝑥+𝑥𝑥³𝑑𝑑𝑢𝑢= 0

𝑥𝑥²(1 + 2𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑥𝑥+𝑥𝑥³𝑑𝑑𝑢𝑢 = 0

2 1

3 1

2

dx

^du_u

C

x

x

+ =

∫ ∫

⁺

ln (1 2 ) ₁

2

lnx +1 + u = C

lnx(1+2u)²¹ = lnC x(1+2u)²¹ =C

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 5

atau C

x

x y =



 

 +2

1 (jawab umum)

2) Carilah jawab umum dari : ^{𝑦𝑦𝑦𝑦}

𝑦𝑦𝑥𝑥= ^3𝑦𝑦_{3𝑥𝑥𝑦𝑦}^3−𝑥𝑥₂³ Jawab:

𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) =^3𝑦𝑦_{3𝑥𝑥𝑦𝑦}^3−𝑥𝑥₂³ adalah fungsi homogen orde nol, sehingga pers. diff.

diatas adalah pers diff homogen misal : 𝑦𝑦=𝑢𝑢𝑥𝑥 →

dx x du dx u

dy = +

𝑢𝑢+𝑥𝑥^{𝑦𝑦𝑑𝑑}_{𝑦𝑦𝑥𝑥} =^3𝑑𝑑_3𝑑𝑑^3𝑥𝑥₂³_𝑥𝑥^−𝑥𝑥₃ ³ 𝑢𝑢+𝑥𝑥^{𝑦𝑦𝑑𝑑}_{𝑦𝑦𝑥𝑥} =^3𝑑𝑑_3𝑑𝑑³⁻¹₂ 𝑥𝑥^{𝑦𝑦𝑑𝑑}_{𝑦𝑦𝑥𝑥}=^{3𝑑𝑑3−1−3𝑑𝑑}_3𝑑𝑑2 ³ 𝑥𝑥^{𝑦𝑦𝑑𝑑}_{𝑦𝑦𝑥𝑥}=_3𝑑𝑑⁻¹₂ ∫^{𝑦𝑦𝑥𝑥}_𝑥𝑥 +∫3𝑢𝑢²𝑑𝑑𝑢𝑢 = 0

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥+𝑢𝑢³ =𝐶𝐶

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥+�^𝑦𝑦_𝑥𝑥�³ = 𝐶𝐶 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥+𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒^{�𝑦𝑦𝑥𝑥�3} = ln𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑒𝑒^{�𝑦𝑦𝑥𝑥�3} =𝐶𝐶 Pecahkan soal-soal berikut:

1. x

x y y dx dy x

x y = −



 



 cos

cos

2. x y

dx y dy

x+ ) = − (

3. x

y x y dx

dy − ²− ²

=

4.

x x y

y x

y dx dy

ln +

=

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 6 Rumus-rumus Differensial yang dapat dipergunakan untuk pemecahan persamaan differensial adalah sebagai berikut:

1. d(xy)=xdy+ydx

2. ₂

x dx y dy x x

d y −

=



 





3. ₂

y dx y dy x y

d x −

 =



 



−

4. tan ¹ _{2 2}

y x

dx y dy x x d y

+

= −



 



 



 





−

5. ln _{2 2}

2 1

y x

dx y dy x y x

y d x

−

= −



 





− +

6. ₂

2

2 2

x dx y dy xy x

d y = −

 





7. ln ( ^{2 2}) _{2 2}

2 1

y x

dx y dx y x

x

d +

= +



 



 +

Contoh soal :

Selesaikan Persamaan Differensial berikut ini:

1.

xdy + ydx = 2 x

²

ydx

dx

y x x

dx y dy

x + =2

∫

^d{ln(xy)}=

∫

^2xdx dengan demikian:

ln(xy)= x² +C

2.

x

²

( xdx + ydy ) + y ( x dy − ydx ) = 0

Jawab :

) 2 (

1 2 2

y x d ydy

xdx+ = + dan

( )

x

d y

x ydx

xdy− = ² Persamaan menjadi :

( )

⁰

) 2 (

1x2d x2 + y2 + yx2d _x^y =

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 7 ambil:x=rcosθ ;y=rsinθ sehingga _x^y=tanθ dan (x² + y²)=r²

maka didapat :

0 cos

sin

cos^{2 2 3 2} ₂

2 2

1 + =

θ θ θ

θ

θ Cos

r d dr

r

r³cos²θ dr+r³sinθ dθ =0

_∫ ^{dr +} _∫ ( )

_cos^sin2θ_θ

^{d θ = C}

C

r+Cos = θ

1

C x

r+r = ⇒ C

r x=



 

 +1

1

C x

y x

x =



 

 + 2  +1

2

(x²+ y²)(1+x)² =Cx²

Carilah Jawab dari Persamaan Differensial berikut : 1. (x+e^−xsiny)dx−(y+e^−xcosy)dy=0

2. xdy−ydx=2x³dx

1.1.3 Persamaan Diferensial Linier Bentuk umum : P(x) y Q(x)

dx

dy + = ………. ( 1 ) pers. Bernoulli Cara pemecahan :

Misalkan : y=uv…………... ( 2 ) dimana : u=u(x) dan v=v(x)

dengan demikian didapat:

dx u dv dx vdu dx

dy = + …………... ( 3 ) Dari (1), (2) dan (3) diperoleh :

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 8

P(x)uv Q(x)

dx v du dx

udv + + =

P ( x ) . u Q ( x )

dx v du dx

u dv =

 

  +

+

………… ( 4 )

bSelanjutnya pilihlah

u

sedemikian rupa sehingga : 0

)

( =

+ P x u dx

du ………... ( 5 )

∫

^du_u ⁼⁻

∫

^P(x)dx

^lnu=−

∫

^{P(x)dx +C1}

ambil C1 = 0, sehingga : 𝑢𝑢 = 𝑒𝑒^{− ∫ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑦𝑦𝑥𝑥} ...( 6 ) dari (4) dan (5) didapat : Q(x)

dx

udv = ………...….. ( 7 )

subsitusi pers (6) ke pers (7) didapat ^{( )} Q(x) dx

e⁻∫^{P xdx} dv =

sehingga: dv Q x e ^{P x dx} dx

 ∫

= ( ) ^{( )}

^v=

∫

_^{Q(x)e∫P(x)dx}_^{ dx}

Dengan demikian

y = uv

dapat diselesaikan.

Contoh soal :

Selesaikan persamaan differensial berkut :

1. ( 1)^5/2

1

2 = +

− + x

x y dx dy

Jawab :

2 /

)5

1 1 (

2 = +

− + y x x

dx dy

2 /

)5

1 ( ) ( 1

) 2 ( :

dimana = +

− +

= dan Q x x

x x

P

Misal : y=uv

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 9

dx v du dx u dv dx

dy = +

( 1)^5/2

1

2  = +



 





− +

+ x

x v dx u dv dx vdu

Pilihlah v sedemikian rupa sehingga : 1 0

2 =

− + x

v dx dv

∫

^dv_v ⁼²

∫

_x^dx₊₁

lnv=2lnx+1+C₁ → ambil C₁=0 ∴ v=(x+1)²

=(x+1)^5/2 dx

vdu

2 / 5

2 ( 1)

) 1

( + = x+

dx x du

du=(x+1)¹²dx u= (x+1)^3/2 +C

3 2

Maka : y=uv

^y=

(

₃^{2(x+1)3/2 +C}

)

^(x+1)2

2. e xy

dx dy _x

2 2

−

= ⁻

Jawab:

menjadi an

disederhak

2 2

y x dx e

dy = ⁻x −

2xy e ^x2

dx

dy + = ₋

Misal : y=uv →

dx u dv dx v du dx

dy = +

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 10 Dengan demikian: 2ux e ^x2

dx v du dx

udv = ⁻



 



 + +

Pilihlah

u

sedemikian rupa sehingga : 0

2 =

+ ux dx

du

xdx

u du = −2

1

lnu=−x2+C → ambil 0 1=

C , sehingga

x2

e

u = ⁻ , sedangkan

2 2

2 maka ^{x x}

x e

dx e dv dx e

udv = ^{− −} = ⁻

dv=dx v=x+c

karena y=uv jadijawabumumnya y=(x+c)e^−x2

Soal-soal :

Pecahkan Persamaan Differensial berikut : 1.

x y x dx

dy = ² + 2

3. ( ² 1) 2xy x² dx

x + dy + =

2. x y x

dx

dy =cos³ − cos 4.

1 1

2 +

= − x

y dx dy

1.1.4 Persamaan Diferensial Non Linier Yang Dapat Dijadikan Persamaan Diferensial Linier

Suatu persamaan diferensial dengan bentuk:

yn

x Q y x dx P

dy + ( ) = ( ) ……….………. ( 1 )

Disebut persamaan differensial non linier.

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 11 Pemecahan dilakukan dengan memisalkan : z= y⁻ⁿ⁺¹ ………..… ( 2 )

Sehingga: . . karena ( n 1)y ⁿ,maka

dy dz dx

dy dy dz dx dz dx

dz dz dy dx

dy = ⇒ = = − + −

didapat :

dx y dy dx n

dz =(− +1) −n

dx y dz n dx

dy n

1 1

+

= − ………. ( 3 )

Dari (1), (2) dan (3) maka diperoleh :

didapat sehingga

dengan kalikan

, ) ( )

1 (

1 n n n

y y

x Q y x dx P y dz n

= −

+ +

−

didapat sehingga

1 dengan

kalikan )

( )

1 (

1 1

) n ( x

Q y

x dx P dz n

n = − +

+ +

−

+

−

( n 1) P(x)y ¹ ( n 1)Q(x) dx

dz + − + ⁻n⁺ = − +

( n 1)P(x).Z ( n 1)Q(x) dx

dz + − + = − +

₊ H(x).z₌W(x)_⇒ dx

dz persamaan differensial linier.

Dengan memisalkan z=uv maka persamaan differensial dapat diselesaikan.

Contoh soal :

Carilah jawab umum Persamaan Differensial Berikut:

1.

y xy

³

dx

dy + =

dirubah menjadi

 

³

) ( )

(

1 y x y

dx dy

x Q x

P

=

+

sehingga terlihat

sebagai persamaan differensial non linier

Misalkan z=y⁻ⁿ⁺¹sehingga z=y⁻³⁺¹atau z=y⁻², dengan demikian maka:

x dx y

dz −2 ⁻² =−2 atau z x

dx

dz−2 =−2 , yang merupakan persamaan differensial linier

Misal: z=uv maka uv x dx

v du dx

udv + −2 =−2

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 12 u x

dx v du dx

udv 2  =−2

 − +

Pilihlah usedemikian rupa sehingga : −2u=0

dx

du ⇒

∫

^du_u ⁼

∫

²dx

1

2

lnu= x+C , ambil 0

1=

C sehingga didapat u=e^2x

x

dx e dv dx x

udv =−2 ⇒ ^2x =−2

dv = − 2 xe

^−2x

dx

^v=

∫

^xde−2x

v=xe^−2x+¹₂e^−2x+C C

e x

v=( +₂¹) ^−2x+

∴ ^z=e2x

[

^(x+₂^1)e−2x+C

]

Sehingga: y⁻² =x+₂¹+Ce^2x

2. 1₆ 1₅ ²

xy x dx dy

y + =

→

 =



 

 +

⇒

=

+ ^{2 6} 1 ( ²) ⁶

y x x y

dx y dy x x

y dx

dy pers. differensial non linier

Dengan memisalkan : z=y⁻⁵, maka didapat : −5 = −5x² →

x z dx

dz persamaan differensial linier

Persamaan differensial dapat diselesaikan dengan mengambil z = uv

Soal-soal:

Carilah Jawab Umum dari Persamaan Differensial berikut

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 13

1. ₂ 0

2

= +

− x

y x y dx dy

2. y y x

dx

xdy + = ⁷ ln 3.

2 6

2 1

1 x

y x x

xy dx

dy

= −

− −

I.1.5 Persamaan Diferensial Exact

Suatu persamaan differensial : M(x,y)dx+N(x,y)dy =0 disebut persamaan differensial Exact bila mempunyai sifat bahwa :

x M y N

∂

= ∂

∂

∂

Misalkan

F ( x , y ) = C

merupakan jawaban persamaan differensial tersebut.

maka

≡0

∂ + ∂

∂

=∂ dy

y dx F x

dF F

bila M (x,y) x

F =

∂

∂

maka M(x,y)dx+N(x,y)dy =0 N(x,y)

y F =

∂

∂

x y

F y

M

∂

∂

= ∂

∂

∂

²

∴ x

N y

M

∂

= ∂

∂

∂

y x

F x

N

∂

∂

= ∂

∂

∂

²

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 14 Dari M(x,y)

x F =

∂

∂ didapat ^F(x,y)=

∫

^{M(x,y)dx+c ambilc= g(y)}

sedangkan N(x,y) y

F =

∂

∂ , maka

[ _∫ ⁺ ]

∂

= ∂ ( , ) ( ) )

,

( M x y dx g y

y y x N

∴

g ( y ) =

……. ? (dapat dicari) Contoh soal :

Selesaikan Persamaan Differensial Berikut 1. (x² + xy)dx+(y² +¹₂x²)dy =0 Penyelesaian:

x

y y M

x M xy

x =

∂

⇒∂

=

+ ( , )

2

Jadi

x N y

M

∂

= ∂

∂

∂

x x y N

x N x

y =

∂

⇒ ∂

=

+ ₂^{1 2} ( , )

2

Dengan demikian maka persamaan

Misalkan

F ( x , y ) = C

merupakan jawaban persamaan differensial tersebut.

Maka berlaku bahwa:

M(x,y) x

F =

∂

∂ sehingga didapat ^F(x,y)=

∫

^M(x,y)dx

⁼

∫

^{(x2 +xy)dx}

Jadi F(x,y)= ¹₃x³ + ₂¹ x²y+ g(y) dan N(x,y) ₂¹ x² g^,(y) y² ₂¹ x²

y

F = ⇒ + = +

∂

∂

jadi : ^{2 3} ₁

3 ) 1 ( )

(

' y y sehingga g y y C

g = = +

Dengan demikian didapat : F(x, y) = _{1 2}

3 2

3

3 2

3 x y y C C

x + + + =

Sehingga: ₃¹ x³+ ₂¹ x²y +₃¹ y³ =C merupakan jawabumumnya

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 15 2. (2xe^y +e^x)dx+(x² +1)e^ydy =0

Karena M(x,y)=2xe^y +e^x → xe^y y

M = 2

∂

∂ dan

y

y

xe

x e N

x y x

N ( , ) (

²

1 ) = 2

∂

→ ∂ +

=







. . .

: jadi

E D P

x N y

M

∂

= ∂

∂

∂

Dari M(x,y) x

F =

∂

∂ maka didapat ^F(x,y)=

∫

^M(x,y)dx

⁼

∫

^(2xey+ex)dx

sehingga F(x,y)= x²e^y +e^x +g(y)

N x y x e^y g y x e^y

y

F ( , ) ( ) ( 1)

sedangkan = ⇒ ² + ^, = ²+

∂

∂

g'(y) = e^y sehingga g(y) = e^y +C₁ Jadi : F(x,y) ≡x²e^y +e^x +e^y +C₁ =C₂

Dengan demikian maka: (x² +1)e^y +e^x =C, adalah jawab umumnya

Soal-soal :

1. (y²+ 2xy+1)dx +(2xy+x²)dy =0

2.

Cos x

x y x dx

dy 2 + sin

=

3. (x+ y² +1dx) – ) 0

1

( 2 =

− + dy

y y xy

4. ( ln ) ln sin  = 0

 



 + +

+ +

+ x y dy

y dx x x y y e^x

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 16 E

R1

R2 L

1 S 2

R2

R1

L i(t)

5. 2 (2 tan 2 sinh ) 0

1

1 2

2  + − + =

 



 −

+

− x x y dy

y dx x y

y

6. + −sin dx=0 x

x dy y

1.1.2 Aplikasi Persamaan Diferensial Pada Rangkaian Listrik

Persamaan Differensial dapat dipergunakan dalam memecahkan persoalan rangkaian listrik seperti contoh berikut:

1. Selesaikan pemecahan rangkaian berikut

pada t < 0, saklar s di 1

Pada t > 0, saklar s di 2

Tentukan i(t) pada t > 0

Penyelesaian

Pada t > 0, rangkaian menjadi :

( ) 0

) ( )

( ₁+ ₂ + =

dt t Ldi t i R R

( ) ( ) ( )

2

1 R i t

dt R t

Ldi =− +

dt

L R R t

i t

di ( )

) (

)

(

₁

+

₂

−

=

Jadi :

∫ ^di _{i (} ⁽ _t ^t ₎ ^{) = −} ∫ ^{( R}

¹

⁺ _L ^R

²

^{) dt}

t k L

R

i R  +



 



−  +

=

^{1 2}

ln

Sehingga didapat:

L t R R

ke t

i

^

 



 +

=

− ^{1 2}

)

(

Dari rangkaian diatas untuk

t = 0

maka didapat ) 1

0 ( _R^E i =

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 17 i(t)

t R1

E

R2

R1

1

E C

2

R2

R1

i(t) C

sedangkan dari perhitungan untuk

t = 0

maka didapat

i ( 0 ) = k

dengan

demikian ^L

t R R

e t

i

k

_R^E

R

E ^{( 1 2)}

1 1

sehingga didapat ( )

− +

=

=

Dengan demikian hal tersebut dapat digambarkan sebagai berikut :

2. Selesaikan rangkaian berikut : b

Pada t < 0, saklar di 1

Pada t > 0, saklar di 2 Tentukan i(t) pada t > 0 Penyelesaian :

Pada t > 0, rangkaian menjadi :

(R1 + R2) i(t) + idt 0 C

1

∫

=

(R1 + R2) 0

C ) t ( i dt

di + =

sehingga :

C ) R R (

) t ( i dt

di

2 1 +

−

=

∫

^di_i(⁽_t^t₎^{) = −}_{(R +}¹_{R )C}

∫

^dt

2 1

k

C R R

i t +

− +

= ( )

ln

2 1

Dengan demikian diperoleh:

^{R R C}

t

e k t

i ( ) =

^{−( 1+ 2)}

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 18 E

R1

R2

L S

2

1 R

R E +

) (t i

t

R2

L E i(t)

Dari persamaan diatas didapat, pada t = 0 maka 𝑖𝑖(0) = 𝑘𝑘 , sedangkan dari rangkaian pada t=0 didapat 𝑖𝑖(0) =_{𝑅𝑅1+𝑅𝑅2}^𝐸𝐸 , sehingga 𝑘𝑘= _{𝑅𝑅1+𝑅𝑅2}^𝐸𝐸 jadi dengan demikian akan diperoleh 𝑖𝑖(𝑡𝑡) =_{𝑅𝑅1+𝑅𝑅2}^{𝐸𝐸 𝑒𝑒− (𝑅𝑅1+𝑅𝑅2𝑡𝑡 )𝐶𝐶}

3.

Pada t < 0, saklar s dibuka Pada t > 0, saklar s ditutup Tentukan i(t) pada t > 0 Jawab :

Pada t > 0, rangkaian seperti terlihat disebelah, sehingga didapat persamaan rangkaian sebagai berikut:

E

dt t Ldi t i

R + ( ) = )

2 (

L

t E L i R dt

t

di ( ) + ( ) =

: didapat demikian

dengan

²

Misalkan : i = pq →

dt p dq dt q dp dt

di = +

L

pq E L R dt pdq dt

qdp + + ² =

L

q E L R dt p dq dt

qdp  =

 +

+ ²

Pilih q sedemikian rupa sehingga :

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 19

2 = 0

+ q

L R dt dq

k L t q R L dt

R q

dq =− ² ⇒ln = − ² +

^{L t}

R

e q

− 2

=

L E dt e dp L

E dt

qdp ^{L t}

R

=

= sehingga ^{− 2}

∫

^{dp = E}_L

∫

^{eRL2t dt}

₂

2

2

. e k

R L L

p E ^Lt

R

+

=

₂

2

2

k R e

p E ^Lt

R

+

=

Dengan demikian didapat : 



 



 +

= ⁻ ₂

2

2 2

)

( e k

R e E t

i ^Lt

t R L R

^Lt

R

e R k

t E i

2

2 2

)

( = + ⁻

Untuk t = 0 ⇒

2 1

) 0

( R R

i E

= +

Jadi : ₂

2 2 1

R k E R R

E = +

+

_



 



 −

= +

2 2 1 2

1 1

R R E R

k

_



 





+

−

= −

)

( _{1 2}

2

2 1 2

R R R

R R E R

jadi :

2 2 1

1

2 (R R )R

R k E

− +

=

maka 

 





− +

= e^−RLt R R

R R

t E i

2

2 1

1 2

1 )

(

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 20 E

R₁

R₂

L S

R2

R₁ S

E

1 2

C

TUGAS 1 (dikumpulkan minggu depan) Carilah penyelesaian rangkaian berikut ini:

1.

pada t < 0, s ditutup pada t > 0, s dibuka Tentukan i( t ) pada t > 0 2.

pada t < 0, s di 1 pada t > 0, s di 2

Tentukan i( t ) pada t > 0 3. Perhatikan gambar berikut, bagaimanakah persamaan diffrensial penyelesaiannya ?

I.2 Persamaan Diferensial Dengan Orde Lebih Dari Satu Terdapat dua jenis, antara lain:

1. Bentuk : f(x) x(x) dx

y d

n n

≡

=

Penyelesaian dengan menurunkan ordenya.

Ambil :

dx dp dx

y p d

dx

dy = ⇒

²₂

=

₂

2 3 3

dx p d dx

y

d =

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 21

₁

1

−

=

ⁿ−_n n

n

dx p d dx

y d

Bila : q = ₂

2

dx p d dx dq dx

dp ⇒ =

∴ ₂

2 1

1

−

−

−

−_n

=

ⁿ_n

n

dx p d dx

q

d

... dst.

Contoh :

Selesaikan persamaan differensial : ₃ ^x

3

e dx x

y

d =

Jawab :

misal : ₂

2

dx y d dx dp dx

p = dy → =

₃

3 2

2

dx y d dx

p

d =

x

x

x e

dx p e d

dx x y

d

³₃

= →

²₂

=

ambil : q = ₂

2

dx p d dx dq dx

dp → =

∴ xe^x dx

dq = sehingga dq = xe^xdx

^{q =}

∫

^xexdx

Sehingga: q = xe^x −e^x +C₁ Dengan demikian maka : xe e C₁

dx

dp = x − x +

dp =(xe^x −e^x + C₁)dx ^{p =}

∫

^{(xex −ex + C1)dx}

p= xe^x −e^x−e^x + C₁x+C₂ ^y=

∫

^{pdx sehingga y =}

∫

^{{(x −2)ex+C1x+C2)}dx}

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 22 = (x−3)e^x+C₁x²+C₂x+C₃

2. Bentuk : f(y) g(y) dx

y d

n

n = ≡

Misalkan :

dy p dp dx dy dy dp dx maka dp dx

p=dy = . =

dy p dp dx

y d

²₂

=

dx dy dy p dp dy

d dx

y d







 

 



= 

3 3

₂

2 2 2

dy p p d dy

p dp +

 



= 

demikian seterusnya Contoh :

y dx a

y y d

dx a y

d ₂

2 2 2

2 2

0

: berikut PD

Selesaikan

1. + = ⇒ =−

Penyelesaian : Misalkan :

dx

p = dy sehingga

dx dy dy dp dx

dp = .

₂

2

sehingga

dx

y d dy p dp dy

p dp =

=

∴

a y dy

p dp = −

²

pdp + a²ydy =0 ₂¹ p² + ₂¹ a²y² = C₁

p² +a²y² =C₂ → ambil C2 = c² p² =c² −a²y²

Kalkulus 3 Mohammad Hamdani Halaman 23 p =± c² −a²y²

c² a²y² dx

dy = ± − → ambil +

2 2 2

y a c dx dy

= −

⁼

∫

2 ₋ 2 2

y a c

x dy = 1 sin ₃

c C arc ay

a +

∴

arcsin C

₃

c

ax ay  +



 



= 

sin (ax c₄)

c

ay = +

=sin axcosc₄ +cosaxsinc₄

y = P sin ax + Q cos ax

Soal-soal:

Selesaikan persamaan differensial : 1. xe ^x dx

y

d ₋

3 =

3

0

2. ₂ ²

2 −a y=

dx y d