CADANGAN PREMIUM SUFFICIENCY ASURANSI JIWA DWIGUNA MENGGUNAKAN DISTRIBUSI
LOMAX
KARYA ILMIAH
OLEH
SHAPIRA SALSABILA YUSKA NIM. 1903112445
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU
CADANGAN PREMIUM SUFFICIENCY ASURANSI JIWA DWIGUNA MENGGUNAKAN DISTRIBUSI LOMAX
Shapira Salsabila Yuska
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This article discusses premium sufficiency reserve of endowment life insurance for single insurance participant who are x years old using Lomax distribution. The parameters in the Lomax distribution were estimated using maximum likelihood es- timation and then determined by a Newton-Raphson iteration method. The calcula- tion of premium sufficiency reserve is obtained by the gross premium which includes the administrative costs. The solution of problem is obtained by determining the ini- tial life annuity, single premium, and annual premium, then thepremium sufficiency reserve formula is obtained based on the distribution of Lomax. The calculation re- sults of premium sufficiency reserve for endowment life insurance using the Lomax distribution is larger than prospective reserve for endowment life insurance using the Lomax distribution.
Keywords: Premium sufficiency reserve, endowment life insurance, Lomax distri- bution, maximum likelihood, Newton-Raphson
ABSTRAK
Artikel ini membahas cadangan premium sufficiency asuransi jiwa dwiguna untuk peserta asu-ransi tunggal yang berusia x tahun dengan menggunakan distribusi Lo- max. Parameter-parameter dari distribusi Lomax ditaksir menggunakan metode maksimum likelihood kemudian ditentukan dengan menggunakan suatu metode ite- rasi Newton-Rapshon. Perhitungan cadangan premium sufficiency menggunakan premi bruto yang memuat biaya administrasi. Penyelesaian permasalahan dipe- roleh dengan menentukan anuitas hidup awal berjangka, premi tunggal, dan premi tahunan sehingga diperoleh formula cadangan premium sufficiency berdasarkan dis- tribusi Lomax. Hasil perhitungan cadangan premium sufficiency asuransi jiwa dwiguna menggunakan distribusi Lomax lebih besar dibandingkan pada cadangan prospektif asuransi jiwa dwiguna menggunakan distribusi Lomax.
Kata kunci: Cadangan premium sufficiency, asuransi jiwa dwiguna, distribusi Lomax, maksimum likelihood, Newton-Raphson
1. PENDAHULUAN
Pada saat ini, kehadiran industri asuransi merupakan hal yang sangat penting. Asu- ransi pada dasarnya merujuk kepada tindakan, sistem, atau bisnis dimana terdapat perjanjian antara kedua belah pihak dalam hal perlindungan. Asuransi jiwa dwiguna adalah suatu asuransi apabila pemegang polis tetap hidup ataupun meninggal dalam maupun saat berakhirnya masa pertanggungan, uang pertanggungan akan tetap diberikan [4, h. 88].
Perusahaan asuransi mewajibkan pemegang polis untuk melakukan pembayaran sejumlah uang persatuan waktu tertentu selama jangka pertanggungan yang dise- but premi [3, h. 10]. Secara umum premi terbagi dua, yaitu premi neto dan premi bruto. Premi neto adalah premi yang perhitungannya hanya menggunakan perki- raan tingkat mortalita dan tingkat suku bunga [9]. Sedangkan premi bruto atau gross premi adalah premi yang terdiri dari premi neto ditambah dengan biaya load- ing yaitu biaya pemeliharaan administrasi pemegang polis, dan sumber pendapatan untuk keperluan cadangan [5, h. 1]. Cadangan premi adalah besarnya uang yang ada pada perusahaan dalam waktu pertanggungan [4, h. 123]. Perluasan dari prospektif dengan menyertakan biaya operasional perusahaan dalam perhitungan nilai cadangan premi dapat disebut cadangan premium sufficiency [11].
Pada artikel ini ditentukan cadanganpremium sufficiency asuransi dwiguna dari peserta asuransi berusia x tahun. Cadangan premium sufficiency diperoleh dari premi yang dibayar oleh peserta asuransi selama n tahun yang besarnya dipengaruhi oleh anuitas hidup awal berjangka, premi tunggal dan premi tahunan. Peluang hidup dan peluang meninggal dari peserta asuransi ditentukan dengan menggunakan fungsi survival dari distribusi Lomax.
2. FUNGSI SURVIVAL DAN DISTRIBUSI LOMAX
Fungsi survival S(x) adalah fungsi yang menyatakan peluang seseorang yang da- pat bertahan hidup hingga beberapa tahun berikutnya. Jika X merupakan sebuah variabel acak yang menyatakan waktu bertahan dari peserta asuransi, maka fungsi survival dari peserta asuransi yang dijelaskan dalam [2, h. 52], yaitu
S(x) = 1−P(X ≤x). (1)
Fungsi kepadatan peluang f(x) berkaitan dengan fungsi distribusi kumulatif F(x) dengan X merupakan variabel random kontinu dan di definisikan sebagai berikut:
Definisi 1 [1, h. 66] Fungsi distribusi kumulatifF(x) dari variabel random kontinu X dengan fungsi kepadatan peluang f(x) adalah
F(x) = P(X ≤x) =
∫ x
−∞
f(t)dtuntuk − ∞< x <∞.
Selanjutnya, berdasarkan Definisi 1 dan persamaan (1) diperoleh hubungan antara fungsi survival dengan fungsi distribusi kumulatif sebagai berikut:
S(x) = 1−F(x).
MisalkanFT(x)(t) adalah fungsi distribusi dariT(x)yang dinyatakan dengan beri- kut [3, h. 17]:
FT(x)(t) = P[T(x)≤t], t≥0. (2) Peluang seseorang yang berusiaxmeninggal dalam jangka waktuttahun dinotasikan dengan tqx, yaitu [2, h. 53]
tqx =P[T(x)≤t], t≥0. (3) Hubungan antara FT(x)(t) dengan tqx berdasarkan persamaan (2) dan persamaan (3), yaitu
FT(x)(t) = tqx. (4)
Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random kontinuT(x) juga dapat dinyatakan sebagai berikut [2, h. 52]:
FT(x)(t) = F(x+t)−F(x)
S(x) .
MisalkanST(x)(t) adalah fungsi survival dariT(x) yang dinyatakan sebagai beri- kut:
ST(x)(t) = 1−P(T(x)≤t).
Hubungan antara ST(x)(t) dengan FT(x)(t) dapat dinyatakan sebagai berikut:
ST(x)(t) = 1−FT(x)(t). (5) Kemudian hubungan antaraST(x)(t) dengantqxberdasarkan persamaan (4) ke dalam persamaan (5), yaitu
ST(x)(t) = 1−tqx. (6)
Dalam ilmu aktuaria, fungsi ST(x)(t) menyatakan peluang seseorang x tahun dapat bertahan hidup hingga t tahun berikutnya dinyatakan sebagai berikut:
ST(x)(t) = tpx. (7)
Berdasarkan persamaan (6) dan persamaan (7) diperoleh peluang hidup seseorang yang berusia x tahun dapat bertahan hidup sampai t tahun kemudian, yaitu
tpx= 1−tqx.
Peluang tertunda yaitu seseorang yang berusiaxtahun dapat bertahan hidup hingga t tahun dan meninggal 1 tahun berikutnya, untuk u= 1 adalah [4, h. 35]
t|qx=tpx−t+1px. (8)
Distribusi Lomax diperkenalkan oleh K.S Lomax pada tahun 1954 yang disebut juga sebagai distribusi Pareto Type II yang merupakan kasus khusus dari distribusi Pareto [8]. Distribusi Lomax dengan dua parameter memiliki fungsi kepadatan probabilitas f(x;α, λ), yaitu[7]
f(x;α, λ) = αλα(λ+x)−(α+1) ;x, α, λ >0.
dimana α >0 adalah parameter bentuk dan λ >0.
Ada banyak cara untuk menaksirkan suatu parameter salah satunya ialah metode maksimum likelihood dengan menggunakan metode iterasi Newton-Raphson.
Definisi 2 [10, h. 235] Misalkanf(x1, . . . , xn;θ) merupakan fungsi kepada-tan pelu- ang gabungan dari peubah acak kontinu X1, . . . , Xn dengan nilai sampelx1, . . . , xn. Fungsi likelihood pada sampel dinyatakan dengan
L(x1, . . . , xn;θ) = f(x1, . . . , xn;θ), L(θ) =
∏n i=1
f(xi;θ).
Kemudian terdapat pendekatan numerik yang digunakan yaitu metode Newton- Raphson untuk mencari nilai taksiran dari parameter λ. Rumus iterasi dari metode Newton-Raphson, yaitu [6, h. 80]
xn+1 = xn− f(xn)
f′(xn). (9)
Berdasarkan Definisi 2 diperoleh nilai taksiran dari parameter α yang dinotasikan dengan ˆα, yaitu
ˆ
α= n
∑n i=1
ln (
1 + xi λ
). (10)
Kemudian nilai estimasi dari parameter λ yang dinotasikan dengan ˆλ diperoleh
berdasarkan persamaan (9), yaitu
λˆn+1 = n
1 + n
∑n i=1
ln (
1 + xi λn
)
λn
∑n i=1
( xi λn+xi
)
−
−n λ +
1 + n
∑n i=1
ln (
1 + xi
λ )
λ
∑n i=1
( xi λ+xi
)
n λ2n −
n
∑n i=1
− xi λ2n
( 1 + xi
λn )
λn (∑n
i=1
ln (
1 + xi λn
))2
∑n i=1
( xi λn+xi
)
−
1 + n
∑n i=1
ln (
1 + xi λn
)
λ2n
∑n i=1
( xi
λn+xi )
+
1 + n
∑n i=1
ln (
1 + xi λn
)
λn
∑n i=1
(
− xi (λn+xi)2
)
. (11)
Selanjutnya peluang bertahan hidup dengan distribusi Lomax adalah sebagai berikut:
tpx=
( λ+x λ+x+t
)α
. (12)
Peluang hidup seseorang berusia x tahun hidup hingga t tahun kemudian dengan
distribusi Lomax, yaitu
tqx = 1−
( λ+x λ+x+t
)α
.
3. ANUITAS HIDUP AWAL BERJANGKA ASURANSI JIWA DENGAN DISTRIBUSI LOMAX
Anuitas adalah suatu pembayaran dalam jumlah tertentu yang dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu secara berkelanjutan. Anuitas berjangka adalah yang pembayarannya dilakukan pada jangka waktu tertentu [4, h. 71-72] Dalam perhitungan anuitas hidup dipengaruhi oleh tingkat bunga i. Tingkat bunga yang digunakan pada skripsi ini adalah tingkat bunga majemuk yang terdapat fungsi v yang disebut dengan faktor diskon dan fungsi d yang disebut tingkat diskon [4, h.
2], yaitu
v = 1 1 +i.
d= 1−v. (13)
Anuitas hidup awal berjangka merupakan suatu pembayaran yang dimulai pada awal tahun hingga tahun ke (n−1) dan akan berhenti bila peserta asuransi meninggal dunia, yaitu
¨ ax:n| =
n−1
∑
t=0
vttpx. (14)
Nilai tunai anuitas hidup awal berjangka menggunakan distribusi Lomax diperoleh dari mensubstitusikan persamaan (12) ke dalam persamaan (14), yaitu
¨ ax:n|=
n−1
∑
t=0
vt
( λ+x λ+x+t
)α
. (15)
Selanjutnya berdasarkan persamaan (15), diperoleh nilai tunai anuitas hidup awal berjangka dari peserta asuransi yang berusia (x+t) tahun dengan jangka waktu pertanggungan (n−t) tahun dengan distribusi Lomax, yaitu
¨
ax+t:n−t| =
(n∑−t)−1 k=0
vk
( λ+x+t λ+x+t+k
)α
. (16)
Nilai tunai anuitas hidup awal berjangka dengan jangka waktu pertanggungan pem- bayaran selama m tahun dengan m < n menggunakan distribusi Lomax diperoleh
berdasarkan persamaan (12), yaitu
¨ ax:m|=
m∑−1 t=0
vt
( λ+x λ+x+t
)α
. (17)
Kemudian berdasarkan persamaan (17) diperoleh nilai tunai anuitas hidup awal berjangka dari peserta asuransi yang berusia (x+t) tahun dengan jangka waktu pertanggungan (m−t) tahun dengan distribusi Lomax, yaitu
¨
ax+t:m−t| =
(m∑−t)−1 k=0
vk
( λ+x+t λ+x+t+k
)α
. (18)
4. PREMI DAN CADANGAN PREMIUM SUFFICIENCY ASURANSI JIWA DWIGUNA MENGGUNAKAN DISTRIBUSI
LOMAX
Premi adalah serangkaian pembayaran yang harus dilakukan oleh peserta asuransi kepada perusahaan asuransi selama periode waktu tertentu. Premi tunggal adalah pembayaran sekali premi asuransi yang disetujui pada awal waktu kontrak di mulai.
Sedangkan premi tahunan adalah pembayaran premi pada awal tahun yang besarnya bisa sama ataupun berbeda [4, h. 106]. Sebelum menghitung premi tahunan, ter- lebih dahulu dilakukan premi tunggal asuransi jiwa dwiguna. Premi tunggal asuransi jiwa dwiguna dinotasikan dengan Ax:n|, xmenyatakan usia peserta asu-ransi dan n merupakan masa pertanggungan asurasi, yaitu[3, h. 90]
Ax:n| =A1x:n|+Ax:n1|. (19) Premi tunggal asuransi jiwa berjangka dinyatakan dalam [4, h. 87] sebagai berikut:
A1
x:n| =
n−1
∑
t=0
vt+1t|qx. (20)
Premi tunggal asuransi jiwa dwiguna murni sebagai berikut [4, h. 70]:
Ax:n|1 =vnnpx. (21)
Premi tunggal asuransi jiwa dwiguna diperoleh dengan mensubsitusikan per- samaan (20) dan (21) kedalam persamaan (19), yaitu
Ax:n|=vnnpx+
n−1
∑
t=0
vt+1t|qx. (22)
Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (8) ke dalam persamaan (22) dipe-
roleh
Ax+t:n−t|= 1−da¨x+t:n−t|. (23) Premi tunggal asuransi jiwa dwiguna menggunakan distribusi Lomax diperoleh dari mensubstitusikan persamaan (15) ke dalam persamaan (23), yaitu
Ax:n|= 1−d
n−1
∑
t=0
vt
( λ+x λ+x+t
)α
. (24)
Berdasarkan persamaan (24) diperoleh premi tunggal asuransi jiwa dwiguna dari peserta asuransi yang berusia (x+t) tahun dengan jangka waktu pertanggungan (n−t) tahun dengan distribusi Lomax, yaitu
Ax+t:n−t| = 1−d
(n−t)−1∑
k=0
vk
( λ+x+t λ+x+t+k
)α
. (25)
Premi tahunan asuransi jiwa dwiguna dengan masa pembayaran premi selama m tahun dengan distribusi Lomax, yaitu
mPx:n| = 1−d
n∑−1 t=0
vt
( λ+x λ+x+t
)α
m∑−1 t=0
vt
( λ+x λ+x+t
)α . (26)
Cadangan premium sufficiency ialah perhitungan cadangan premi asuransi ber- dasarkan asumsi premi bruto. Premi bruto merupakan anuitas, namun premi bruto memiliki nilai yang lebih besar dari premi neto. Hal ini dikarenakan penetapan premi bruto ini dipengaruhi oleh biaya administrasi. Premi bruto asuransi jiwa dwiguna, yaitu [5, h. 2]:
mPx:n∗ | = 1 1−β
(
mPx:n| + a′
¨
ax:m| + γ + γ′ ¨ax:n| − ¨ax:m|
¨ ax:m|
)
, (27)
dengan
a′ := biaya penutupan baru untuk besar uang pertanggungan 1 satuan.
β := biaya pengumpulan premi sepanjang jangka waktu pertanggungan premi untuk uang pertanggungan 1 satuan
γ := biaya pemeliharaan dalam masa pembayaran premi untuk uang pertanggungan 1 satuan
γ′ := biaya pemeliharaan setelah masa pembayaran premi untuk uang pertanggungan 1 satuan
pembayaran premi dan t tahun adalah waktu perhitungan cadangan, yaitu [5, h.
16]
m t Vps
x:n| =Ax+t:n−t| + (β−1)mPx:n∗ |¨ax+t:m−t| + γ¨ax+t:m−t|. (28) Cadangan premium sufficiency menggunakan premi bruto diperoleh dari mensub- stitusikan persamaan (27) ke persamaan (28) dinyatakan sebagai berikut:
m t Vps
x:n| =Ax+t:n−t| − (
mPx:n| + a′
¨ ax:m|
)
¨
ax+t:m−t|
+ γ′ (
¨
ax+t:n−t| − a¨x:n|
¨
ax:m|¨ax+t:m−t| )
. (29)
Cadangan premium sufficiency untuk asuransi jiwa dwiguna padan tahun dan ter- tanggung berusia x tahun menggunakan distribusi Lomax diperoleh dari mensub- stitusikan persamaan (15), persamaan (16), persamaan (17), persamaan (18) per- samaan (24), persamaan (25), persamaan (26) ke dalam persamaan (29), yaitu
m t Vps
x:n|=R [
1−d
n∑−t−1 k=0
vk
( λ+x+t λ+x+t+k
)α]
−
R
(
1−d ∑n−1 t=0 vt
( λ+x λ+x+t
)α)
∑m−1 t=0 vt
( λ+x λ+x+t
)α + a′
∑m−1 t=0 vt
( λ+x λ+x+t
)α
·
m∑−t−1 k=0
vk
( λ+x+t λ+x+t+k
)α
+ γ′
[n−t−1
∑
k=0
vk
( λ+x+t λ+x+t+k
)α
−
∑n−1 t=0 vt
( λ+x λ+x+t
)α
∑m−1
t=0 vt
( λ+x λ+x+t
)α ·
m∑−t−1 k=0
vk
( λ+x+t λ+x+t+k
)α]
. (30)
Contoh 1 Seorang pria yang berusia 35 tahun ingin mengikuti asuransi jiwa dwi- guna perorangan dengan jangka waktu 20 tahun dan masa pembayaran premi se- lama 18 tahun. Jika uang pertanggungan yang diterima oleh ahli waris sebesar Rp100.000.000 pada akhir tahun polis dengan tingkat bunga 2,5%. Peserta asur- ansi tersebut diharuskan membayar premi yang telah dikenakan biaya penutupan baru (a′) sebesar 0,5%, dari uang pertanggungan dan biaya manajemen perusahaan asuransi (γ′) sebesar 6% dari uang pertanggungan. Tentukanlah:
(i) Cadangan prospektif asuransi jiwa dwiguna dengan menggunakan distribusi Lomax.
(ii) Cadanganpremium sufficiency asuransi jiwa dwiguna menggunakan distribusi Lomax.
Penyelesaian : Berdasarkan persoalan tersebut diketahui x= 35 , n = 25, m = 18, i = 0,025, a′ = 0,005, γ′ = 0,03, dan R = 100.000.000. Kemudian dengan mensubsitusikan nilai i ke dalam (13) diperoleh faktor diskon d = 0,0243902439.
Berdasarkan persamaan (10) dan (11) dengan bantuansoftware Maple 13 diperoleh nilai taksiran parameter dari α = 1,0839333430 dan λ = 29,2092493200. Selan- jutnya dilakukan perhitungan untuk masing-masing kasus menggunakan software Maple 13 dan diperoleh hasil sebagai berikut:
(i) Cadangan prospektif asuransi jiwa dwiguna dengan menggunakan distribusi Lomax pada akhir tahun pertama kontrak, yaitu
18
1 V35:20|= Rp3.561.625,79.
(ii) Cadanganpremium sufficiency asuransi jiwa dwiguna menggunakan distribusi Lomax pada akhir tahun pertama kontrak, yaitu
18 1 Vps
35:20|= Rp3.541.391,03.
Perhitungan lengkap premi tunggal dan cadangan full preliminary term asu- ransi jiwa dwiguna dengan distribusi Lomax untuk seorang pria yang berusia 35 tahun pada tahun ke-10, untuk kedua kasus diatas disajikan dalam Tabel 1 dan di ilustrasikan dalam grafik pada Gambar 1.
Tabel 1: Cadangan prospektif dan premium sufficiency dengan distribusi Lomax
Tahun Premi Cadangan Cadangan
Tunggal (Rp) Prospektif (Rp) Premium Sufficiency (Rp)
t A35:20| 18t V35:20| 18t Vps
35:20|
0 65.796.110,49 0 -500.000
1 66.891.018,83 3.561.625,79 3.541.391,03 2 68.040.406,52 7.297.596,65 7.777.305,82 3 69.245.730,91 11.212.620,05 12.213.047,85 4 70.508.505,78 15.311.583,85 16.854.121,45 5 71.830.302,27 19.599.559,33 21.706.235,66 6 73.212.750,15 24.081.805,62 26.775.309,22 7 74.657.539,22 28.763.773,75 32.067.474,81 8 76.166.420,54 33.651.111,10 37.589.084,49 9 77.741.207,94 38.749.665,98 45.627.563,07 10 79.383.779,46 44.065.492,46 49.347.171,37
Gambar 1: Cadangan prospektif dan premium sufficiency dengan distribusi Lomax 6. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan, diketahui bahwa besarnya premi bergantung pada jangka pertanggungan, jangka pembayaran, tingkat bunga, nilai tunai anuitas, dan usia peserta asuransi. Selanjutnya, peluang hidup dan peluang meninggal dari peserta asuransi ditentukan dengan menggunakan distribusi Lomax yang bergantung pada usia peserta asuransi.
Perhitungan cadanganpremium sufficiency pada asuransi jiwa berjangka dipen- garuhi oleh dua faktor yaitu biaya penutupan baru dan biaya pemeliharaan. Metode ini memberikan cadangan dengan nilai negatif untuk uang pertanggungan sebesar R satuan pembayaran pada awal kontrak dimulai karena biaya manajemen yang dikeluarkan oleh perusahaan asuransi. Cadangan premium sufficiency menggu- nakan distibusi Lomax juga lebih besar daripada cadangan prospektif menggunakan distribusi Lomax karna terdapat biaya pemeliharaan asuransi dalam perhitungan cadangan. Namun cadangan prospektif dan cadangan premium sufficiency dengan menggunakan distribusi Lomax semakin membesar seiring tahun. Hal ini dikare- nakan premi tunggal menggunakan distribusi Lomax yang dibebankan pada peserta asuransi semakin besar dengan anuitas hidup awal berjangka semakin mengecil.
Ucapan terima kasih diberikan kepada Dra. Hasriati, M.Si. yang telah mem- bimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini. Berkat bantuan beliau penulis dapat menyelesaikan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] L. J. Bain dan M. Engelhardt, Introduction to Probability and Mathematical Statistics, Second Edition, Duxbury, Los Angeles, 1991.
[2] N. L. Bowers, H. U. Geerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, dan C. J. Nesbitt, Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries, Schaumburg, 1997.
[3] D. C. M. Dickson, M. R. Hardy, dan H. R. Waters, Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks, Cambridge University Press, New York, 2009.
[4] T. Futami, Matematika Asuransi Jiwa Bagian I, Terj. dari Seimei Hoken Sug- aku, Gekan (92 Revision), oleh Gatot Herliyanto, Incorporated Foundation Ori- ental Life Insurance Cultural Development Center, Tokyo, Japan, 1993.
[5] T. Futami,Matematika Asuransi Jiwa Bagian II, Terj. dari Seimei Hoken Sug- aku, Gekan (92 Revision), oleh Gatot Herliyanto, Incorporated Foundation Ori- ental Life Insurance Cultural Development Center, Tokyo, Japan, 1994.
[6] K. A. W. Han, Elementary Numerical Analysis, Third Edition, John Wiley &
Sons, Hoboken, 2004.
[7] A. S. Hassan dan A. N. Zaky, Entropy bayesian estimation for Lomax distribu- tion based on record, Thailand Statistician, 19 (2021), 95-114.
[8] P. Kumar, K. Kour, dan J. Kour,Estimation of the probability density function of Lomax distribution, International Journal of Statistics and Economics, 19 (2018), 78-88.
[9] M. R. Oktavian, D. Devianto, dan F. Yanuar, Kajian metode Zillmer, full preliminary term, dan premium sufficiency dalam menentukan cadangan premi pada asuransi jiwa dwiguna, Jurnal Matematika FMIPA UNAND, 3 (2014), 160-167.
[10] K. M. Ramacandran dan C. P. Tsokos, Mathematical Statistics with Applica- tions, Elsevier Academic Press, California, 2009.
[11] L.A. Tarigas, N. Satyahadewi, H. Perdana, Penentuan Cadangan Premi Asur- ansi Jiwa dwiguna Menggunakan Metode Full Preliminary Term dan Premium Sufficiency, Buletin Ilmiah Matematika Statistika dan Terapannya (Bimaster), 3 (2019), 379 386.
