CADANGAN ZILLMER ASURANSI JIWA DWIGUNA DENGAN TINGKAT BUNGA VASICEK DAN DISTRIBUSI WEIBULL

(1)

CADANGAN ZILLMER ASURANSI JIWA DWIGUNA DENGAN TINGKAT BUNGA VASICEK DAN

DISTRIBUSI WEIBULL

KARYA ILMIAH

OLEH

MESSY RAHMAFITRI NIM. 1803123894

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU 2022

(2)

CADANGAN ZILLMER ASURANSI JIWA DWIGUNA DENGAN TINGKAT BUNGA VASICEK DAN DISTRIBUSI WEIBULL

Messy Rahmafitri

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

[email protected]

ABSTRACT

This article discusses Zillmer reserve of endowment insurance for single insurance participant who are x years old using the interest rate model of Vasicek and Weibull distribution. The parameters in the model is estimated using maximum likelihood methods. The solution of this problem is obtained by determining the single premium, annual premium, and life annuity. Then the reserve formula is obtained based on the distribution of Weibull and the interest rate model of Vasicek.

Keywords: Zillmer reserve, Vasicek models, Weibull distribution, maximum likelihood method

ABSTRAK

Artikel ini membahas cadangan Zillmer asuransi jiwa dwiguna untuk peserta asuransi tunggal yang berusia x tahun dengan menggunakan model tingkat bunga Va- sicek dan distribusi Weibull. Parameter-parameter pada model tersebut ditaksir menggunakan metode maksimum likelihood. Penyelesaian permasalahan diperoleh dengan menentukan premi tunggal, premi tahunan, dan anuitas hidup. Kemudian diperoleh formula cadangan berdasarkan distribusi Weibull dan model tingkat bunga Vasicek.

Kata kunci: Cadangan Zillmer, model Vasicek, distribusi Weibull, metode maksimum likelihood

1. PENDAHULUAN

Kehadiran industri asuransi pada saat sekarang ini merupakan hal yang sangat pent- ing. Asuransi pada dasarnya merujuk kepada tindakan, sistem, atau bisnis dimana terdapat perjanjian antara kedua belah pihak dalam hal perlindungan. Salah satu jenis asuransi adalah asuransi jiwa [6]. Asuransi jiwa adalah janji perusahaan asuransi kepada nasabahnya bahwa apabila nasabah tersebut mengalami kematian, perusahaan asuransi akan memberikan santunan dengan jumlah tertentu kepada ahli

(3)

waris dari nasabah sesuai kontrak atau polis asuransi [7]. Adapun jenis asuransi jiwa berdasarkan jumlah tertanggungnya terbagi dua yaitu perorangan dan kelom- pok. Asuransi jiwa perorangan yaitu suatu perjanjian asuransi yang berhubungan dengan hidup atau matinya berdasarkan satu orang saja.

Asuransi jiwa dibagi menjadi tiga jenis yaitu asuransi jiwa berjangka, asuransi jiwa seumur hidup, dan asuransi jiwa dwiguna (endowment ). Asuransi jiwa dwiguna merupakan perpaduan antara asuransi jiwa berjangka dan asuransi jiwa seumur hidup [2]. Premi adalah sejumlah uang yang harus dibayarkan oleh tertanggung kepada penanggung yang besarnya sudah ditentukan. Premi yang dibayarkan oleh pemegang polis (tertanggung) akan dialokasikan oleh perusahaan asuransi untuk santunan atau manfaat yang akan dikembalikan ke tertanggung, operasional perusahaan dan untuk cadangan premi.

Berdasarkan teori, besarnya uang yang ada pada perusahaan dalam jangka waktu pertanggungan disebut dengan cadangan. Berdasarkan cara perhitungannya cadangan dibagi dua macam, yaitu cadangan retrospektif dan cadangan prospektif. Cadan- gan prospektif yaitu perhitungan cadangan dengan berdasarkan nilai sekarang dari semua pengeluaran diwaktu yang akan datang untuk setiap polis [4, h.123]. Cadan- gan Zillmer merupakan cadangan modifikasi yang perhitungannya menggunakan cadangan prospektif dan tingkat Zillmer sebesar α.

Pada artikel ini ditentukan cadangan Zillmer asuransi jiwa dwiguna dengan tingkat bunga Vasicek dan distribusi Weibull. Peserta asuransi yang berusia x tahun akan mengikuti program asuransi jiwa dengan waktu pertanggungan selama n tahun dan masa pembayaran selama h tahun. Pembahasan dimulai dengan menentukan anuitas, premi tunggal, dan premi tahunan untuk peserta asuransi.

2. FUNGSI SURVIVAL DAN DISTRIBUSI WEIBULL

Dalam aktuaria X merupakan variabel random kontinu yang menyatakan usia seseorang, fungsi distribusi kumulatif dari varibel random X dinotasikan dengan F (x) dan fungsi survival dinotasikan dengan S(x). Maka fungsi survival dari peserta asuransi yaitu [5]

S(x) = 1 − P (X ≤ x) (1)

Definisi 1 [9, h. 90] Fungsi distribusi kumulatif F (x) dari variabel random kontinu X dengan fungsi kepadatan peluang f (x) adalah

F (x) = P(X ≤ x) = Z x

−∞

f (t)dt untuk − ∞ < x < ∞.

Berdasarkan persamaan (1) dan Definisi 1 diperoleh hubungan antara fungsi survival dengan fungsi distribusi kumulatif sebagai berikut:

S(x) = 1 − F (x).

(4)

Salah satu distribusi yang banyak digunakan dalam menangani masalah survival adalah distribusi Weibull. Distribusi Weibull ditemukan oleh seorang ilmuwan yang bernama Win Smith Weibull pada tahun 1939. Distribusi Weibull mempunyai fungsi kepadatan peluang yaitu

f (x) = kx^me^m+1^−k ^x^m+1, k, m > 0 dan x ≥ 0. (2) Peluang hidup seseorang berusia x tahun hidup hingga t tahun kemudian dinyatakan dengan

tpx = e^m+1^−k (^(x+t)^m+1^−(x)^m+1). (3) Selanjutnya, peluang seseorang yang berusia x tahun yang akan meninggal setelah (x + t) tahun dinyatakan dengan

tq_x = 1 − e^m+1^−k (^(x+t)^m+1^−(x)^m+1).

Terdapat beberapa parameter yang harus dilakukan penaksiran, metode yang digunakan adalah metode maksimum likelihood. Fungsi kepadatan peluang dari peubah acak X berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi θ² dinyatakan sebagai berikut [1, h.118]:

f (x; µ, θ) = 1

√2 πσ e^−(x−µ)²^/2σ², (4)

dengan −∞ < x < ∞, −∞ < µ < ∞, dan 0 < x < ∞.

Pada metode maksimum likelihood terdapat beberapa prosedur yang dilakukan untuk menaksir parameter. Sebelum membahas prosedur yang digunakan, fungsi likelihood didefiniskan sebagai berikut:

Definisi 2 [8, h. 235] Misalkan f (x₁, . . . , x_n; θ) merupakan fungsi kepadatan peluang gabungan dari peubah acak kontinu X₁, . . . , X_n dengan nilai sampel x₁, . . . , x_n. Fungsi likelihood pada sampel dinyatakan dengan

L(x₁, . . . , x_n; θ) = f (x₁, . . . , x_n; θ), L(θ) =

n

Y

i=1

f (x_i; θ).

3. ANUITAS HIDUP AWAL BERJANGKA DENGAN TINGKAT BUNGA VASICEK DAN DISTRIBUSI WEIBULL

Premi tunggal dalam aktuaria dapat dipengaruhi oleh faktor diskon tergantung tingkat bunga tertentu. Menentukan tingkat bunga dapat dilakukan menggunakan model suku bunga stokastik. Model suku bunga stokastik terbagi dua yaitu suku

(5)

bunga Vasicek dan CIR. Model tingkat bunga Vasicek adalah suatu metode pemod- elan terhadap pergerakan suku bunga sebagai nilai risiko pasar, dimana terdapat r yang diasumsikan mengikuti proses OU dan berubah sebagai fungsi terhadap waktu dengan koefisien konstan [10]. Bentuk umum model tingkat bunga Vasicek adalah

dr(j) = α(β − r(j))dj + θdW (j), r(0) = r₀.

Dengan r(j) adalah tingkat bunga Vasicek, t merupakan waktu, β menyatakan rata- rata jangka panjang dari tingkat bunga, α menyatakna kecepatan kembali menuju β, θ merupakan volatilas, dan W (t) menyatakan proses Wiener. Jika rata-rata dari proses Wiener adalah 0 maka ekspektasi dari proses Wiener adalah 0, sehingga diperoleh

E(r(j)) = r₀e^−αj + β(1 − e^−αj). (5) Faktor diskon untuk t tahun yang akan datang menggunakan suatu tingkat bunga dinotasikan dengan v^t dan dinyatakan dengan

v^t =

t

Y

j=1

1

1 + E(r(j)). (6)

Dengan mensubstitusikan persamaan (5) ke dalam persamaan (6) diperoleh faktor diskon untuk t tahun yang akan datang menggunakan tingkat bunga Vasicek yaitu

v^t=

t

Y

j=1

1

1 + r₀e^−αj+ β(1 − e^−αj). (7) Anuitas merupakan suatu rangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu secara berkelanjutan berdasarkan kontrak yang disepakati oleh tertanggung kepada perusahaan asuransi. Anuitas yang pembayarannya ditentukan oleh peluang hidup dan peluang meninggal peserta asuransi dan pembayarannya dilakukan setiap awal tahun selama n tahun disebut anuitas hidup awal berjangka. Anuitas hidup awal berjangka dinyatakan dengan

¨ a_x:n| =

n−1

X

t=0

v^t tpx. (8)

Dengan mensubstitusikan persamaan (3) dan persamaan (7) ke dalam persamaan (8) nilai tunai anuitas hidup awal berjangka untuk peserta asuransi yang berusia x tahun menggunakan tingkat bunga Vasicek dan distribusi Weibull diperoleh

¨ a_x:n|=

n−1

X

t=0 t

Y

j=1

e^m+1^−k (^(x+t)^m+1^−(x)^m+1)

1 + r₀e^−αj + β(1 − e^−αj). (9)

(6)

Selanjutnya, berdasarkan persamaan (9) nilai tunai anuitas hidup awal berjangka untuk usia (x + t) tahun dengan masa pertanggungan (h − 1) tahun menggunakan tingkat bunga Vasicek dan distribusi Weibull yaitu

¨

a_x+t:h−t| =

h−t−1

X

l=0 l

Y

j=1

e^m+1^−k (^(x+t+l)^m+1^−(x+t)^m+1)

1 + r0e^−αj + β(1 − e^−αj). (10)

4. CADANGAN ZILLMER ASURANSI JIWA DWIGUNA DENGAN TINGKAT BUNGA VASICEK DAN DISTRIBUSI WEIBULL Sebelum menghitung premi tahunan, terlebih dahulu dihitung premi tunggal asuransi jiwa dwiguna. Premi tunggal asuransi jiwa dwiguna merupakan gabungan dari premi tunggal asuransi jiwa berjangka dan asuransi jiwa dwiguna murni [3, h.89]. Premi tunggal asuransi jiwa dwiguna dinotasikan dengan A_x:n| dan dinyatakan dengan

A_x:n| = R (1 − d¨ax:n) . (11) Dengan mensubstitusikan persamaan (9) ke dalam persamaan (11) diperoleh premi tunggal asuransi jiwa dwiguna sebagai berikut:

A_x:n| = R 1 − d

n−1

X

t=0 t

Y

j=1

e^m+1^−k (^(x+t)^m+1^−(x)^m+1) 1 + r₀e^−αj + β(1 − e^−αj)

!

. (12)

Berdasarkan persamaan (12) premi tunggal asuransi jiwa dwiguna untuk seorang peserta asuransi yang berusia (x + t) tahun dengan masa pertanggungan selama (n − t) tahun yakni

A_x+t:n−t| = R 1 − d

n−t−1

X

l=0 l

Y

j=1

e^m+1^−k (^(x+t+l)^m+1^−(x+t)^m+1) 1 + r₀e^−αj+ β(1 − e^−αj)

!

. (13)

Sehingga premi tahunan yang dibayarkan selama h tahun dengan h < n dinyatakan dengan

hP_x:n|= R

1 − dPn−1 t=0

Qt j=1

e

−k

m+1((x+t)m+1−(x)m+1)

1+r0e^−αj+β(1−e^−αj)

Ph−1 t=0

Qt j=1

e

−k

m+1((x+t)m+1−(x)m+1) 1+r0e^−αj+β(1−e^−αj)

. (14)

Cadangan prospektif asuransi jiwa dwiguna untuk peserta asuransi berusia x tahun dengan t merupakan waktu perhitungan cadangan, h merupakan masa pembayaran premi, n merupakan masa pertanggungan dengan uang pertanggungan yang dibayarkan pada akhir tahun polis dinotasikan dengan ^h_tV_x:n| yang dijelaskan

(7)

dalam [4, h.126] yaitu

h

tV_x:n|= A_x+t:n−t|−_hP_x:n|¨a_x+t:h−t|.

Cadangan Zillmer merupakan metode cadangan yang menggunakan metode prospektif sebagai dasar perhitungannya dan menggunakan modifikasi premi dengan α sebagai tingkat Zillmer, selama n masa pertanggungan, dan h masa pembayaran premi yaitu [6]

h

tV_x:n|^(z) = A_x+t:n−t|−_hP_x:n|+ α

¨

a_x:n|¨a_x+t:h−t|. (15) Pada cadangan Zillmer, premi tahun pertama hanya dapat menutupi biaya loading tahun pertama saja atau dengan kata lain cadangan di tahun pertama sama dengan nol. Sehingga nilai α yakni

α =

h−1P_x+1:n−1|−_hP_x:n|

¨

a_x:h|. (16)

Dengan mensubstitusikan persamaan (15) ke dalam persamaan (16), diperoleh cadangan Zillmer sebagai berikut:

h

tV_x:n|^(z) = A_x+t:n−t|−_hP_x:n|¨a_x+t:h−t| −

h−1P_x+1:n−1|−_hP_x:n|

¨ a_x:h|

¨

a_x:n| ¨a_x+t:h−t|. (17) Selanjutnya, dengan mensubstitusikan persamaan (10), persamaan (13), persamaan (14) ke dalam persamaan (17) diperoleh cadangan Zillmer dengan menggunakan Tingkat bunga Vasicek dan distribusi Weibull yaitu

h

tV_x:n|^(z) =R 1 − d

n−t−1

X

l=0 l

Y

j=1

e^m+1^−k (^(x+t+l)^m+1^−(x+t)^m+1) 1 + r₀e^−αj + β(1 − e^−αj)

!

− R

1 − dPn−1 t=0

Qt j=1

e

−k

m+1((x+t)m+1−(x)m+1)

1+r0e^−αj+β(1−e^−αj)

Ph−1 t=0

Qt j=1

e

−k

m+1((x+t)m+1−(x)m+1) 1+r0e^−αj+β(1−e^−αj)

·

h−t−1

X

l=0 l

Y

j=1

e^m+1^−k (^(x+t+l)^m+1^−(x+t)^m+1) 1 + r₀e^−αj + β(1 − e^−αj)

−

h−1P_x+1:n−1|−_hP_x:n|

¨ a_x:n|

Pn−1 t=0

Qt j=1

e

−k

m+1((x+t)m+1−(x)m+1) 1+r0e^−αj+β(1−e^−αj)

·

h−t−1

X

l=0 l

Y

j=1

e^m+1^−k (^(x+t+l)^m+1^−(x+t)^m+1)

1 + r₀e^−αj + β(1 − e^−αj). (18)

(8)

Selanjutnya terlebih dahulu dibahas mengenai estimasik parameter pada dis- ribusi Weibull. Berdasarkan Definisi 2 diperoleh nilai taksiran dari parameter k yang dinotasikan dengan ˆk yaitu

k =ˆ n(m + 1) Pn

i=1xim+1. (19)

Kemudian nilai taksiran dari parameter m yang dinotasikan dengan ˆm yakni ˆ

m = −n

lnPn

i=1xi(1 − n)− 1. (20)

Pada model tingkat bunga Vasicek memiliki parameter α dan β. Dengan menggunakan persamaan (4) diperoleh fungsi kepadatan peluang berdistribusi normal yang digunakan ke dalam Definisi 2, sehingga diperoleh nilai β sebagai berikut:

β = Pn

z=1rj_z − rj_z−1 e^−αδj

n(1 − e^−αδj) . (21)

Pada persamaan (21) masih terdapat parameter α yang belum diketahui nilainya, sehingga dicari terlebih dahulu nilai taksiran dari parameter α. Untuk mempermu- dah perhitungan dimisalkan

a =

n

X

z=1

rj_z−1, b =

n

X

z=1

rj_z, c =

n

X

z=1

rj_z−1², g =

n

X

z=1

rj_z−1 rj_z.

Kemudian diperoleh nilai taksiran paramater α yaitu α = −1

δjln g − βa − βb + nβ² c − 2βa + nβ²

. (22)

Selanjutnya persamaan (22) disubstitusikan ke dalam persamaan (21) sehingga diperoleh nilai taksiran dari β sebagai berikut:

β = (bc) − (ag)

n(c − g) − (a²− ab). (23)

Contoh 1 Seorang pedagang pria yang berusia 35 tahun ingin mengikuti asuransi jiwa dwiguna perorangan dengan jangka waktu 20 tahun dan masa pembayaran premi selama 18 tahun. Jika uang pertanggungan yang diterima oleh ahli waris sebesar Rp. 100.000.000,00 dan tingkat bunga Indonesia dari tahun 2010 sampai 2019 maka tentukanlah perhitungan dari kasus berikut :

(i) Cadangan Zillmer asuransi jiwa dwiguna dengan menggunakan tingkat bunga Vasicek dan distribusi Weibull.

(ii) Cadangan Zillmer asuransi jiwa dwiguna dengan menggunakan tingkat bunga majemuk dan distribusi Weibull dengan tingkat bunga sebesar 6,5%.

(9)

Penyelesaian : berdasarkan persoalan tersebut diketahui x = 35, n = 20, h = 18, R = 100.000.000.

(i) Cadangan Zillmer asuransi jiwa dwiguna dengan menggunakan tingkat bunga Vasicek dan distribusi Weibull.

Pada contoh soal ini untuk menaksir nilai parameter dari model tingkat bunga vasicek digunakan data tingkat bunga Indonesia tahun 2010 sampai 2019 yang disajikan pada Tabel 1.

Tabel 1: Tingkat Bunga Indonesia Tahun 2010-2019 Tahun Tingkat bunga Indonesia

2010 0,065000

2011 0,067500

2012 0,060000

2013 0,057500

2014 0,075000

2015 0,075208

Sumber: Data rate Bank Indonesia

Berdasarkan data tingkat bunga Indonesia tahun 2010 sampai 2019 pada Tabel 3.1 dengan tingkat bunga untuk rj_z = 0, 065000 dan selisih waktu pembayaran yaitu 1 tahun diperoleh nilai β menggunakan persamaan (23) yaitu

β =0, 059478665.

Dengan mensubstitusi nilai β ke dalam persamaan (22) diperoleh α =0, 7995986060.

Kemudian dengan mensubstitusikan nilai α dan β ke dalam persamaan (7) diperoleh faktor diskon dengan tingkat bunga Vasicek yakni

v^t=

10

Y

j=1

1

1 + 0, 065e−0,7995986060j + 0, 059478665(1 − e−0,7995986060j).

Untuk memperoleh peluang hidup peserta asuransi ditentukan terlebih dahulu parameter m dengan menggunakan persamaan (20) yaitu

ˆ

m = − 0, 9861019076.

Selanjutnya, ditentukan k yaitu dengan menggunakan persamaan (19) maka diperoleh

k =0, 01318550808.ˆ

(10)

Peluang hidup peserta asuransi yang berusia 35 tahun hingga t tahun kemudian menggunakan distribusi Weibull diperoleh dengan menggunakan persamaan (2) untuk t = 1 yaitu

tp₃₅=0, 9996097373.

Karena nilai pada cadangan Zillmer tahun pertama sama dengan nol, perhitungkan cadangan dimulai dari tahun ke-2. Kemudian dengan menggunakan persamaan (10) dengan t = 2 diperoleh nilai anuitas sebagai berikut:

¨

a_35+2:18−2|=10, 68469868.

Selanjutnya premi tunggal untuk t = 2 diperoleh dengan menggunakan persamaan (13) yaitu

A_35+2:20−2| = Rp 35.335.538, 90.

Dengan menggunakan persamaan (18) didapat cadangan Zillmer asuransi jiwa dwiguna dengan tingkat bunga Vasicek dan distribusi Weibull pada tahun kedua diper- olah

18

2 V_35:20|^(z) =Rp 3.265.176, 68.

Jadi, cadangan yang ada pada perusahaan asuransi diakhir tahun pertama kontrak untuk peserta asuransi yaitu sebesar Rp 3.265.176,68.

(ii) Cadangan Zillmer asuransi jiwa dwiguna dengan menggunakan tingkat bunga majemuk dan distribusi Weibull dengan tingkat bunga sebesar 6,5%.

Selanjutnya diperoleh nilai premi tunggal asuransi jiwa dwiguna untuk t = 2 premi tunggal asuransi jiwa dwiguna adalah

A_35+2:20−2| = Rp 32.334.252, 11.

Cadangan Zillmer asuransi jiwa dwiguna dengan tingkat bunga majemuk menggunakan distribusi Weibull pada tahun kedua diperoleh

18

2 V_35:20|^(z) =Rp 3.110.062, 87.

Jadi, cadangan Zillmer asuransi jiwa Dwiguna dengan tingkat bunga majemuk dan distribusi Weibull yaitu sebesar Rp 3.110.062,87.

Perhitungan lengkap cadangan Zillmer asuransi jiwa dwiguna dengan distribusi Weibull untuk seorang pria berusia 35 tahun pada tahun ke-t, untuk kedua kasus diatas disajikan dalam tabel 2.

(11)

Tabel 2: Cadangan Zillmer dengan Distribusi Weibull Tahun Bunga Vasicek (Rp) Bunga Majemuk (Rp)

t A_35+t:20−t| ¹⁸_t V_35:20|^{(F )} A_35+t:20−t| ¹⁸_t V_35:20|^{(F )}

1 33.378.789,85 0 30.388.510,00 0

2 35.335.538,90 3.265.176,685 32.334.252,11 3.110.062,870 3 37.410.384,15 6.589.003,037 34.408.168,04 6.272.107,421 4 39.610.360,77 10.113.017,23 36.618.602,21 9.642.082,746 5 41.942.931,71 13.849.135,97 38.974.451,25 13.233.519,78 6 44.416.014,41 17.809.997,87 41.485.201,04 17.060.842,19 7 47.038.007,44 22.009.005,94 44.160.964,30 21.139.423,54 8 49.817.821,03 26.460.375,05 47.012.522,62 25.485.650,30 9 52.764.909,88 31.179.183,19 50.051.370,15 30.116.987,85 10 55.889.311,45 36.181.430,01 53.289.761,44 35.052.052,02

Gambar 1 mengilustrasikan perbandingan besarnya cadangan Zillmer asuransi jiwa dwiguna menggunakan tingkat bunga Vasicek dengan distribusi Weibull dan tingkat bunga majemuk dengan distribusi Weibull pada peserta asuransi pria berusia 35 tahun.

Gambar 1: Cadangan Zillmer dengan distribusi Weibull

Berdasarkan ilustrasi Gambar 1 diperoleh bahwa besarnya cadangan Zillmer asuransi jiwa dwiguna menggunakan tingkat bunga Vasicek dan distribusi Weibull lebih besar dibandingkan dengan besarnya cadangan Zillmer asuransi jiwa dwiguna menggunakan tingkat bunga majemuk dan distribusi Weibull.

5. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan sebelumnya dapat disimpulkan bahwa premi tahunan asuransi jiwa dwiguna untuk status perorangan menggunakan distribusi Weibull dan

(12)

tingkat bunga Vasicek lebih besar dibandingkan premi tahunan untuk asuransi jiwa dwiguna status perorangan tanpa menggunakan distribusi Weibull dan tingkat bunga Vasicek. Hal ini menyebabkan besarnya cadangan Zillmer asuransi jiwa untuk status perorangan menggunakan distribusi Weibull dan tingkat bunga Vasicek lebih besar dibandingkan besarnya cadangan Zillmer asuransi jiwa dwiguna untuk status perorangan tanpa menggunakan distribusi Weibull dan tingkat bunga Vasicek.

Ucapan terima kasih diberikan kepada Dra. Hasriati, M.Si. yang telah mem- bimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] L. J. Bain dan M. Engelhardt, Introduction to Probability and Mathematical Statistics, Second Edition, Duxbury, California, 1991.

[2] N. L. Bowers, H. U. Geerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, dan C. J. Nesbitt, Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries, Schaumburg, 1997.

[3] D. C. M. Dickson, M. R. Hardy, dan H. R. Waters, Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks, Cambridge University Pres, New York, 2009.

[4] T. Futami, Matematika Asuransi Jiwa Bagian I. Terj. dari Seimei Hoken Sug- aku, Jokan (”92 Revision), oleh Gatot Herliyanto. Incorprated Foundation Oriental Life Insurance Cultural Development Center, Tokyo, Japan, 1993.

[5] J. Glasser & R. G. Regis, A generalized survival function method for the ex- pectation of function of nonnegative random variables, American Journal of Mathematical and Management Sciences, 40 (2021), 378-390.

[6] M. R. Oktavian, D. Devianto, dan F. Yanuar, Kajian metode Zillmer, full preliminary term, dan premium sufficiency dalam menentukan cadangan premi pada asuransi jiwa dwiguna, Jurnal Matematika FMIPA UNAND, 3 (2014), 160-167.

[7] M. N. A. Rajak, Y. N. Nasution, dan N. A. Rizki, Penentuan besaran premi asuransi jiwa dengan model apportionable fractional premiums berdasarkan tabel mortalita dengan metode interpolasi kostaki, Jurnal Eksponensial, 9 (2018), 27-34.

[8] K. M. Ramacandran dan C. P. Tsokos, Mathematical Statistics with Applica- tions, Elsevier Academic Press, California, 2009.

[9] R. E. Walpole, R. H. Myers, dan S. L. Myers, Probability and Statistics for Engineering and Scientist, Ninth Edition, Prentice Hall, Boston, 2012.

[10] S. Zeytun dan A. Gupta, A comparative study of the Vasicek and the CIR model of the short rate, Fraunhofer Institut Techno-und Wirtschaftsmathematik, 124 (2007), 1-17.