BAB III
KALKULUS PROPOSISI
3.1 KONSEP DAN NOTASI DASAR
Kalkulus proposisi merupakan metode untuk kalkulasi yang menggunakan proposisi/kalimat. Dalam kalkulus proposisi yang ditinjau adalah nilai kalimat deklaratif (true/false), metode penggabungan kalimat dan penarikan kesimpulan (kalimat) berdasarkan kalimat tersebut. Kebenaran kalimat dapat ditentukan dari struktur kalimat itu sendiri, tanpa melihat apakah unsur-unsur pokoknya benar atau sala h atau sesuai dengan kenyataan di alam.
Contoh :
Jika kita tidak mengetahui apakah ada kehidupan di planet jupiter, maka kalimat berikut ini:
Ada monyet di planet Jupiter Atau
Tidak ada monyet di planet Jupiter Adalah BENAR.
Kedua kalimat tersebut dapat dinotasikan dengan : P or (not P)
Definisi 3.1 : Proposisi
Kalimat proposisi logik dibentuk oleh simbol berikut yang disebut proposisi : - Simbol kebenaran : True dan False
- Simbol proposisional: P, Q, R, S, P1, Q1, R1, S1, ….
Definisi 3.2 : Kalimat
Kalimat proposisi dibentuk dari konektivitas proposisional :
Not, and, or, if-then, if-and-only- if, if- then-else
Kalimat-kalimat dibentuk menurut aturan-aturan berikut ini :
• Setiap proposisi adalah kalimat
• Jika F adalah kalimat, maka negasi (not F) adalah kalimat
• Jika F dan G adalah kalimat, maka konjungsi : (F and G) adalah kalimat
• Jika F dan G adalah kalimat, maka disjungsi : (F or G) adalah kalimat
• Jika F dan G adalah kalimat, maka implikasi : (If F then G) adalah kalimat F disebut sebagai anticendent dan G sebagai consequent
• Jika F dan G adalah kalimat, maka ekivalensi : (F if and only if G) adalah kalimat.
F disebut sebagai left-hand-side dan G sebagai rigth-hand-side dari ekivalensi jika F, G, dan H adalah kalimat, maka kondisional: if F then G else H adalah kalimat.
F disebut sebagai if-clausa, G sebagai then-clausa, dan H adalah sebagai else-clausa
Contoh :
Diketahui ekspresi : E : ((not (P or Q) if only of ((not P) and (not Q))) adalah kalimat.
Karena :
1. P adalah kalimat, Q adalah kalimat 2. (P or Q), (not P), (not Q) adalah kalimat
3. (not (P or Q) and ((notP) and (notQ)) adalah kalimat
4. ((not (P or Q)) if and only if ((not P) and (not Q))) adalah kalimat
3.2 ARTI KALIMAT
Suatu kalimat (P or (not Q)) dapat diketahui kebenarannya, jika diketahui nilai kebenaran dari simbol proposisi P dan Q.
3.2.1 Interpretasi
Definisi 3.3 :
Suatu interpretasi I adalah suatu tanda untuk nilai kebenaran, true atau false, untuk setiap kumpulan simbol proposisi. Untuk setiap kalimat F, interpretasi I disebut dengan interpretasi untuk F jika I bernilai true atau false untuk setiap simbol proposisi F.
Contoh :
Diketahui kalimat F : P or (not Q)
Satu interpretasi I1 bernilai false untuk P dan true untuk Q, yaitu : I1 : P adalah false
Q adalah true
Interpretasi lain I2 untuk kalimat F adalah false untuk P dan false untuk Q, yaitu : I2 : P adalah false
Q adalah false
Sehingga kita dapat mengatakan bahwa, P adalah false dan Q adalah true untuk I1, dan P adalah false dan Q adalah false untuk I2
3.2.2 Aturan-aturan semantik
Definisi 3.4
Jika E berupa kalimat dan I adalah intepretasi dari E, maka nilai kebenaran dari E (dan semua subkalimatnya) dengan interpretasi I ditentukan dengan melakukan pengulangan aturan-aturan semantik berikut ini :
• Aturan Proposisi
Nilai kebenaran dari setiap simbol proposisi : P, Q, R, … dalam E adalah sama dengan nilai kebenaran yang diberikan untuk I
• Aturan true
Kalimat true adalah true untuk I
• Aturan false
Kalimat false adalah false untuk I
• Aturan not
Negasi kalimat : not F adalah true jika F adalah false dan false jika F adalah true
• Aturan and
Konjungsi F and G adalah true jika F dan G keduanya benar, dan false jika sebaliknya (yaitu jika F false atau G false)
• Aturan or
Disjunngsi F or G adalah true jika F true atau jika G true, dan false jika keduanya false
• Aturan if-then
Implikasi if F then G adalah true jika F false atau jika G true dan false jika F true dan G false
• Aturan if-and-only-if
Ekivalensi F if and only if G adalah true jika nilai kebenaran F adalah sama dengan nilai kebena ran G, sebaliknya false jika memiliki nilai kebenaran keduanya berbeda.
• Aturan if-then-else
Nilai kebenaran kondisional if F then G else H adalah nilai kebenaran G jika F true dan nilai kebenaran H jika F false.
Contoh :
Misalkan sebuah kalimat :
A : if (x and (not y)) then ((not x) or z) Dan interpretasi I untuk A adalah : I : x à T
y à F z à F
Dengan menggunakan aturan semantik di atas, maka kalimat A dapat ditentukan nilai kebenarannya, sebagai berikut :
- karena y à F, maka berdasarkan aturan not, (not y) à T
- karena x à T dan (not y) à T, maka berdasarkan aturan and, (x and (not y)) à T - karena x à T, maka berdasarkan aturan Not, (not x) à F
- karena (not x) à f dan z à F, maka berdasarkan aturan or, ((not x) or z) à F
- karena (x and (not y)) à T dan ((not x) or z) à F, maka berdasarkan aturan if-then, if (x and (not y)) then ((not x) or z) à F
3.3 SIFAT-SIFAT KALIMAT
1. VALID
Kalimat A valid jika bernilai true berdasarkan semua interpretasi untuk A (disebut juga Tautologi)
2. STATISFIABLE
Kalimat A statisfiable jika bernilai true berdasarkan beberapa interpretasi untuk A 3. CONTRADICTORY (UNSTATISFIABLE)
Kalimat A contradictory jika bernilai False berdasarkan semua interpretasi untuk A 4. IMPLIES
Kalimat A implies kalimat B, jika untuk sebarang interpretasi I untuk A dan B, jika A bernilai true berdasarkan I maka B juga bernilai true berdasarkan I
5. EQUIVALENT
Kalimat A dan B ekivalen jika, untuk setiap interpretasi untuk A dan B, A mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan B
6. CONSISTENT
Sekumpulan kalimat A1, A2, … konsisten jika ada interpretasi untuk A1, A2, … sehingga Ai (I = 1, 2, 3, …) bernilai true
Contoh :
- Kalimat w or (not w) adalah kalimat valid dan statisfiable - Kalimat x and (not x) adalah kalimat contadictory
3.4 PENENTUAN NILAI KEBENARAN
Penentuan nilai kebena ran suatu kalimat dapat dilakukan dengan 3 cara yaitu : 1. Tabel Kebenaran
2. Tabel Jarang (sparse) 3. Pohon Semantik Contoh :
1. if (p and q) then (p or (not r)
Menggunakan Tabel Kebenaran
p q r p and q not r p or not r If (p and q) then (p or not r
F F F F T T T
F F T F F F T
F T F F T T T
F T T F F F T
T F F F T T T
T F T F F T T
T T F T T T T
T T T T F T T
Menggunakan Tabel Jarang
p Q r p and q
If-then
p or not rT - - - T T
F - - F T -
Menggunakan Pohon Semantik
1
2 p T
p F 3
T T
2. if (if x then y) then (if (not x) then (not y)) Dengan menggunakan Pohon Semantik
x memiliki dua kemungkinan nilai yaitu T atau F, maka dibentuk
Jika x ß T, maka nilai A pasti T sehingga pohon menjadi :
Jika x ß F, maka nilai A bergantung pada y, sehingga pohon menjadi :
Jika y ß T, maka nilai kebenaran A adalah F,
Jika y ß F, maka nilai kebenaran A adalah T; sehingga phon semantik menjadi :
1
2 x T
x F
3
1
2 x T
x F 3 T
1
2 x T
x F T 3
y T F
4 5
1
2 x T
x F 3 T
y T F
F T
4 5
y
3.5 PEMBUKTIAN DENGAN ASUMSI SALAH
Untuk membuktikan validitas sebuah kalimat diperlukan pembuktian nilai True, untuk semua interpretasi yang mungkin pada kalimat tersebut. Akan lebih mudah untuk membuktikan bahwa jika ada 1 interpretasi yang mengakibatkan nilai kalimat tersebut False maka kalimat tersebut tidak valid.
Contoh :
1. A : if ((not x) or (not y)) then (not (x and y))
Misalkan A bernilai False berdasarkan suatu interpretasi, sehingga : if ((not x) or (not y)) then (not (x and y)) ß False
Akan dicoba untuk menurunkan kondisi-kondisi sehingga akan terlihat apakah asusmsi awal yang diambil dapat terjadi/tidak
A akan bernilai F jika anticendent à T dan consequent à F
if ((not x) or (not y)) then (not (x and y))
F T F
Dari anticendent belum dapat ditarik kesimpulan, sehingga lihatlah ke consequentnya.
Consequent bernilai F jika (x and y) à T, berarti x à T dan y à T, sehingga : if ((not x) or (not y)) then (not (x and y)) ß False
F T T T F T T T
F (?)
Terlihat pada anticendent bahwa terjadi kontradiksi, berarti kondisi A à F tidak pernah terjadi. Sehingga kesimpulannya A valid
2. B : (if x then y) if and only if ((not x) or y)
Ada 2 kasus yang membuat kalimat B bernilai False Kasus I :
(if x then y) iff ((not x) or y) T F F
Sisi kiri belum dapat ditarik kesimpulan, lihatlah sisi kanan :
((not x) or y) akan bernilai F jika x à T dan y à F, sehingga :
(if x then y) iff ((not x) or y) T T F F T F F
Terjadi kontradiksi pada bagian sisi kiri.
Kasus II :
(if x then y) iff ((not x) or y) F F T Lihat pada bagian anticendent,
(if x then y) akan bernilai F jika x à T dan y à F, sehingga :
(if x then y) iff ((not x) or y) F T F F T T F
Terjadi kontradiksi pada bagian sisi kanan.
Karena 1 kasus yang menyebabkan B bernilai False tidak mungkin terjadi, maka dapat ditarik kesimpulan : B valid
3.6 EKIVALENSI LOGIK DAN KONSEKUENSI LOGIK
Definisi Ekivalensi Logik :
Dua buah kalimat A dan B merupakan ekivalensi logik jika dan hanya jika memiliki nilai yang sama pada semua interpretasi yang diberikan.
Teore ma
A Ekivalensi B, jika dan hanya jika ( A iff B) merupakan Tautologi
Definisi Konsekuensi Logik
B adalah konsekuensi logik dari A jika untuk setiap pemberian nilai kebenaran ke variabel pada A dan pada B sedemikian sehingga jika A mempunyai nilai TRUE maka B juga mempunyai nilai TRUE
Teorema
B Konsekuensi Logis dari A, jika dan hanya jika (if A then B) merupakan Tautologi F (?)
F (?)
Catatan :
Jika pernyataan lebih dari 1, misal A1, A2, A3 maka bentuk konsekuensi logiknya menjadi : IF (A1 AND A2 AND A3) THEN B
Contoh Kasus :
Periksa apakah B merupakan kesimpulan dari 6 argumen dibawah ini ? A1 : if P then (Q and R and S)
A2 : if T then (if U then (if not Y then not S)) A3 : if Q then T
A4 : if R then (if X then U) A5 : if Y then not X
A6 : X
--- B : not P
Jawaban harus dibuktikan bahwa kalimat :
IF (A1 and A2 and A3 and A4 and A5 and A6) THEN B adalah VALID 3.7 KONJUNGSI DAN DISJUNGSI JAMAK
Misal diberikan kalimat yang mengandung operator konjungsi atau konjungsi lebih dari satu, sebagai berikut :
A : p and q and r B : p or q or r
Maka urutan perngerjaan operasi pada kalimat tersebut dilakukan dari kiri ke kanan sesuai aturan sebagai berikut :
1. Konjungsi Jamak
A1 and A2 and A3 and A4 and … and An
Memiliki arti :
((… ((A1 and A2) and A3) and A4) and … ) and An)
2. Disjungsi Jamak
A1 or A2 or A3 or A4 or … or An
Memiliki arti :
((… ((A1 or A2) orA3) or A4) or … ) and An)
Kalimat-kalimat berikut adalah ekivalen karena adanya hukum asosiasi : A : ((w and x) and y) and z
B : w and (x and (y and z)) C : w and ((x and y) and z)
Aturan semantik untuk hubungan jamak : 1. Konjungsi jamak
A1 and A2 and A3 and … and An bernilai True jika tiap conjuct A1, A2, A3, A4, … An
adalah True 2. Disjungsi Jamak
A1 or A2 or A3 or … or An adalah bernilai True jika setidaknya salah satu dari A1, A2, A3, A4, … An adalah true
3.8 SUBSTITUSI
Substitusi adalah operasi pengantian subkalimat dari suatu kalimat dengan subkalimat yang lain.
Ada dua jenis substitusi 1. Substitusi Total
Penggantian seluruh kemunculan suatu subkalimat 2. Substitusi Parsial
Penggantian nol, satu, atau lebih kemunculan suatu subkalimat.
Definisi : (Substitusi Total) Jika A, B, C adalah kalimat, maka
A w{B ß C}
Adalah kalimat yang dihasilkan dengan mengganti seluruh kemunculan B di A dengan C.
Contoh :
1. [ x and (y or x) ] w { x ß (if w then z) }
menghasilkan :
(if w then z) and (y or (if w then z))
2. [ if x then (y and z) ] w { (y and z) ß w } menghasilkan :
if x then w
Catatan :
• Substitusi dikerjakan dalam 1 langkah
[x and y] w { x ß (x and z)} menghasilkan (x and z) and y
• Substitusi tidak memiliki efek jika subkalimat yang akan diganti tidak muncul dalam kalimat,
[x and y] w { z ß w } menghasilkan menghasilkan x and y
• Substitusi untuk konjungs i dan disjungsi jamak : [x and y and z] w{(x and y) ß w}
Sebenarnya [(x and y) and z]w{(x and y) ß w} menghasilkan w and z
Definisi : (Substitusi Parsial) Jika A, B, C, adalah kalimat maka
A {B ß C}
Akan menghasilkan salah satu kalimat dengan mengganti nol, sebagian, atau seluruh kemunculan subkalimat b di A dengan subkalimat C
Contoh :
[ x and x ] {x ß y}
akan menghasilkan salah satu dari kalimat-kalimat berikut : 1. x or a {mengganti nol kemunculan x }
2. y or x {mengganti kemunculan x pertama}
3. x or y {mengganti kemunculan x kedua}
4. y or y {mengganti seluruh kemunculan dari x}
Substitusi parsial bersifat invertible, yaitu salah satu kalimat yang mungkin dihasilkan adalah kalimat semula.
( A {BßC}) {C ß B}
hasilnya adalah A
Contoh :
[ (x or y) {x ß y}] {y ß x}
salah satu kalimat yang mungkin adalah : x or y [(x or y) w {x ßy}] w {y ß x }
hasil yang diperoleh tepat 1 kalimat yaitu : x or x
3.9 SUBSTITUSI JAMAK
Definisi : Misal A, B1, B2, …, dan C1, C2, …, Cn adalah kalimat dengan B1, B2, …, Bn
saling berlainan.
a. Substitusi Total
Substitusi total dituliskan sebagai :
A w [ B1 ß C1
B2 ß C2
…
Bn ß Cn ]
Adalah kalimat yang diperoleh dengan menggantikan secara simultan (serempak) setiap kemunculan Bi di Ai dengan Ci
b. Substitusi Partial
Substitusi partial dituliskan sebagai :
A [ B1 ß C1
B2 ß C2
…
Bn ß Cn ]
Adalah salah satu kalimat yang diperoleh dengan menggantikan nol, satu, atau lebih kemunculan Bi di Ai dengan Ci
Contoh :
1. Substitusi jamak dilakukan serentak dalam 1 langkah
x w [ x ß y y ß x ]
menghasilkan kalimat : y
Bedakan dengan substitusi bertahap sebagai berikut : x w {x ßy} w {y ßz} menghasilkan kalimat : z
2. [ if x
then if y or x x ß z
then y or z ] (y or z ) ß not z
menghasilkan : if x
then [if (y or x) then y or z ]
3. [ if x
then if (y or x) x ß z then (y or z) ] (y or z) ß not z
menghasilkan salah satu dari 8 kalimat.
3.10 PERLUASAN INTERPRETASI
Definisi : (Interpretasi yang diperluas)
Jika I adalah suatu interpretasi, x adalah simbol proposisi dan τ adalah nilai kebenaran (true/false) maka perluasan interpretasi :
[ x ß I ] o I
adalah interpretasi yang memberikan nilai τ pada x dan memberikan nilai kebenaran yang sesuai dengan interpretasi I untuk semua simbol proposisi selain x.
Contoh :
IA : x ß T Y ß F Jika IB = [y ß T] o IA
maka IB interpretasi dengan x ß T, y ß T
Untuk suatu interpretasi I dengan simbol proposisi x1, x2, … , xn dan nilai kebenaran τ1, τ2,
… , τn maka
[x1 ] ß τ1] o [x2 ß τ1] o … o [xn ß τn] o I berarti
([x1 ] ß τ1] o ([x2 ß τ1] o (… o ([xn ß τn] o I)))
