DISTRIBUSI WEIBULL dari Walpole
Teknologi modern telah memungkinkan para insinyur untuk merancang banyak sistem rumit yang pengoperasian dan keamanannya bergantung pada
keandalan berbagai komponen yang menyusun sistem tersebut. Misalnya, sekring dapat putus, kolom baja dapat tertekuk, atau perangkat penginderaan panas dapat rusak. Komponen identik yang mengalami kondisi lingkungan yang identik akan rusak pada waktu yang berbeda dan tidak dapat diprediksi. Kita telah melihat peran distribusi gamma dan eksponensial dalam jenis masalah ini.
Distribusi lain yang telah digunakan secara luas dalam beberapa tahun terakhir untuk menangani masalah tersebut adalah distribusi Weibull, yang
diperkenalkan oleh fisikawan Swedia Waloddi Weibull pada tahun 1939.
Variabel acak kontinu X mempunyai distribusi Weibull, dengan parameter Ξ± dan Ξ², jika fungsi kerapatannya diberikan oleh
di mana Ξ±>0 dan Ξ²>0
Grafik distribusi Weibull untuk Ξ± = 1 dan berbagai nilai parameter Ξ²
diilustrasikan pada Gambar 6.30. Kita melihat bahwa kurva berubah bentuk secara signifikan untuk berbagai nilai parameter Ξ². Jika Ξ² = 1, distribusi Weibull berkurang menjadi distribusi eksponensial. Untuk nilai Ξ²>1, kurva menjadi agak berbentuk lonceng dan menyerupai kurva normal tetapi menunjukkan beberapa kemiringan. Rata-rata dan varians distribusi Weibull dinyatakan dalam teorema berikut
Seperti distribusi gamma dan eksponensial, distribusi Weibull juga diterapkan pada masalah keandalan dan pengujian masa pakai seperti waktu hingga kegagalan atau lamanya masa pakai komponen, diukur dari waktu tertentu hingga komponen tersebut gagal.
Mari kita nyatakan waktu hingga kegagalan ini dengan variabel acak kontinu T, dengan fungsi kerapatan probabilitas f(t), di mana f(t) adalah distribusi Weibull.
Distribusi Weibull memiliki fleksibilitas inheren karena tidak memerlukan sifat kekurangan memori dari distribusi eksponensial. Fungsi distribusi kumulatif
(cdf) untuk Weibull dapat ditulis dalam bentuk tertutup dan tentu saja berguna dalam menghitung probabilitas
Bila distribusi Weibull berlaku, sering kali berguna untuk menentukan tingkat kegagalan (kadang-kadang disebut tingkat bahaya) guna memperoleh
gambaran keausan atau kerusakan komponen. Mari kita definisikan keandalan suatu komponen atau produk sebagai probabilitas bahwa komponen atau produk tersebut akan berfungsi dengan baik setidaknya untuk waktu tertentu dalam kondisi eksperimen tertentu. Oleh karena itu, jika R(t) didefinisikan sebagai keandalan komponen tertentu pada waktu t, kita dapat menulis
di mana F(t) adalah fungsi distribusi kumulatif dari T. Probabilitas bersyarat bahwa suatu komponen akan gagal dalam interval dari T = t hingga T = t +Ξt, dengan asumsi komponen tersebut bertahan hingga waktu t, adalah
Dengan membagi rasio ini dengan Ξt dan mengambil limit sebagai Ξt β 0, kita memperoleh tingkat kegagalan, yang dilambangkan dengan Z(t). Jadi,
yang menyatakan tingkat kegagalan dalam hal distribusi waktu terjadinya kegagalan.
Karena Z(t)=f(t)/[1 β F(t)], tingkat kegagalan diberikan sebagai berikut:
Interpretasi Tingkat Kegagalan
Kuantitas Z(t) secara tepat dinamakan sebagai tingkat kegagalan karena ia mengukur tingkat
perubahan dari waktu ke waktu dari probabilitas bersyarat bahwa komponen tersebut bertahan selama Ξt tambahan mengingat komponen tersebut telah bertahan hingga waktu t. Tingkat penurunan (atau peningkatan) seiring waktu adalah penting. Berikut ini adalah poin-poin penting.
(a) Jika Ξ² = 1, tingkat kegagalan = Ξ±, sebuah konstanta. Ini, seperti yang ditunjukkan sebelumnya, adalah kasus khusus dari distribusi eksponensial di mana kurangnya memori berlaku.
(b) Jika Ξ²>1, Z(t) adalah fungsi peningkatan waktu t, yang menunjukkan bahwa komponen tersebut aus seiring waktu.
(c) Jika Ξ²<1, Z(t) adalah fungsi penurunan waktu t dan karenanya komponen tersebut menguat atau mengeras seiring waktu.
Misalnya, barang di bengkel mesin dalam Contoh 6.24 memiliki Ξ² =2, dan karenanya aus seiring waktu. Faktanya, fungsi tingkat kegagalan diberikan oleh Z(t)=0,02t.
Di sisi lain, misalkan parameternya adalah Ξ² =3/4 dan Ξ± = 2. Dalam hal ini, Z(t)=1,5/t1/4 dan karenanya komponen tersebut semakin kuat seiring waktu
