DISTRIBUSI WEIBULL Konsep Dasar & Aplikasinya

KATA PENGANTAR DEKAN

Saya mewakili fakultas mengucapkan terima kasih atas kebijakan dan dukungan Rektor UIN Mataram beserta jajarannya. Semoga agenda ini dapat menjadi amal dan membawa keberkahan bagi sivitas akademika UIN Mataram dan masyarakat luas.

PRAKATA PENULIS

IKHTISAR: PEMODELAN EMPIRIS

PENDAHULUAN
ILUSTRASI MASALAH
METODE PEMODELAN EMPIRIS
Mengumpulkan Data
Analisis Data Awal
Pemilihan Model
Estimasi Parameter
Validasi Model

Taksonomi
PEMILIHAN MODEL WEIBULL
APLIKASI DARI MODEL WEIBULL

Data yang tersedia (dari perkebunan lain) adalah tinggi pohon saat panen untuk kedua spesies. Dalam hal ini, data yang tersedia adalah distribusi ukuran bijih, yang diambil sampelnya secara acak setelah peledakan.

TAKSONOMI MODEL WEIBULL

TAKSONOMI UNTUK MODEL WEIBULL

Model Tipe I: Transformasi dari Variabel Weibull

Model Tipe II: Modifikasi / Generalisasi Distribusi Weibull Untuk model ini 𝐺𝐺(𝑡𝑡; 𝜃𝜃) terkait dengan 𝐹𝐹(𝑡𝑡; 𝜃𝜃) melalui beberapa

Model Tipe III: Model yang Melibatkan Dua atau Lebih Distribusi

Model Tipe IV: Model Weibull dengan Parameter yang Bervariasi

Memang benar, model ini akan menjadi fungsi dari variabel independen 𝑡𝑡 atau variabel lain (seperti tingkat stres) atau variabel acak.

Model Tipe V: Model Weibull Diskrit

Model Tipe VII: Model Proses Titik Stokastik

Notasi

MODEL TIPE 1: TRANSFORMASI DARI VARIABEL WEIBULL

Transformasi Linear
Transformasi Non-Linear Model I(b)-1

Model ini juga dapat diklasifikasikan sebagai kasus khusus dari distribusi Weibull 3 parameter dengan parameter bentuk 𝛽𝛽= 1. Model ini juga dapat diklasifikasikan sebagai kasus khusus dari model Weibull standar dengan parameter bentuk 𝛽𝛽= 1.

MODEL-MODEL TIPE II: MODIFIKASI/

Modifikasi dari Distribusi Weibull Model II(b)-1

Model ini juga dibahas lebih eksplisit oleh Stacy dan Mihram (1965) dan disebut distribusi Weibull yang digeneralisasi. Perhatikan bahwa model akan direduksi menjadi model Weibull standar ketika 𝑣𝑣= 1. Model ini melibatkan satu parameter tambahan 𝑣𝑣 ≥0 dan memenuhi persamaan berikut :.

MODEL TIPE III: MODEL YANG MELIBATKAN DUA ATAU LEBIH DISTRIBUSI

Modifikasi dari Distribusi Weibull
Model Competing Risk
Model Perkalian
Model Sectional

Jika 𝛼𝛼 besar, kita dapat menulis 𝑒𝑒(𝑡𝑡 𝛼𝛼⁄ )≈1 +𝑒𝑒(𝑡𝑡 𝛼𝛼⁄ ) dan dalam kasus ini persamaan (2.35) akan menjadi distribusi dua parameter Wei (1). Jika semua subpopulasi adalah distribusi Weibull dua parameter, maka kita dapat berasumsi, tanpa kehilangan keumumannya, 𝛽𝛽1≤ 𝛽𝛽2≤ ⋯ ≤ 𝛽𝛽𝑛𝑛 dan kapan 𝛽𝛽𝑖𝗖𝑖𝑖 𝑖< 𝑗𝑗, diasumsikan 𝛼𝛼𝑖𝑖 ≥ 𝛼𝛼 𝑗𝑗.

MODEL TIPE IV: MODEL WEIBULL DENGAN VARIASI PARAMETER

Variasi Parameter Waktu
Model Weibull Accelerated L ife
Model dengan Perubahan Parameter dan Waktu
Parameter Acak

Srivastava (1989) menyebut model ini sebagai distribusi Weibull yang digeneralisasi dan mengusulkan model yang memenuhi persamaan berikut. Catatan: Model jenis ini banyak digunakan dalam pengujian umur dipercepat (Nelson, 1990) dalam teori reliabilitas.

MODEL TIPE V: MODEL WEIBULL DISKRIT

Dalam hal ini, parameter skala 𝛼𝛼 dalam model Weibull standar dipandang sebagai variabel acak dengan fungsi distribusi 𝐹𝐹𝛼𝛼(. 𝐺𝐺(𝑡𝑡) =∫ 𝐹𝐹(𝑡𝑡|𝛼𝛼=𝑢𝑢)𝑑𝑑 𝐹 𝐹𝛼𝛼(𝑢𝑢) (2.50) Perhatikan bahwa ini adalah model campuran kontinu dan disebut juga model Weibull komposit dari Dubey (1968). MODEL TIPE VI: MODEL WEIBULL MULTIVARIAT Kelompok model multivariat ini merupakan bentuk ekspansi. Kelompok model multivariat ini merupakan bentuk ekspansi.

MODEL TIPE VI: MODEL WEIBULL MULTIVARIAT Kelompok model multivariat ini merupakan bentuk ekstensi Kelompok model multivariat ini merupakan bentuk ekstensi

Model Multivariat
MODEL TIPE VII: MODEL STOKASTIK (POIN T PROCE SS) PROCE SS)

Model Fungsi Intensitas Weibull Model VII(a)-1: Power L aw Process
Model Weibull Proses Pembaruan (Renewal Process) Ragam dari model ini adalah sebagai berikut

Model ini diperoleh dari transformasi daya distribusi bivariat eksponensial yang dikemukakan oleh Marshal dan Olkin (1967) dengan fungsi survival sebagai berikut. 2.55) akan mengubah bentuk ini menjadi distribusi bivariat eksponensial ketika 𝛽𝛽1=𝛽𝛽2= 1. 𝐹𝐹�(𝑡𝑡1,𝑡𝑡2) =𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝 í 𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆0 𝑒(𝑡𝑒𝑒(𝑡𝑒𝑒(𝑡𝑒𝑒(𝑡𝑒𝑒)𝑡𝑒𝑒(𝑡𝑒 𝑒) bisa dikatakan modifikasi atau generalisasi model bivariat eksponensial yang diprakarsai oleh Marshall dan Olkin karena bentuk eksponensial pada suku ketiga mempunyai parameter baru. Model ini didasarkan pada kajian sistem dengan komponen 𝑟𝑟 yang umur masing-masing komponen diasumsikan berdistribusi Weibull.

Model ini adalah model proses titik dengan beberapa koneksi/hubungan dengan model Weibull standar. Model ini diusulkan oleh Lakey dan Rigdon (1993) dan merupakan kasus khusus dari proses gamma termodulasi yang diusulkan oleh Berman (1981). Perhatikan bahwa ketika 𝛿𝛿= 1, model ini berubah menjadi model intensitas Weibull yang lebih sederhana [Model VII(a)-1] dan ketika 𝛽𝛽= 1, model ini kemudian berubah menjadi model pembaharuan Weibull reguler [Model VII (b)-1] .

Model ini merupakan kasus khusus dari tipe yang lebih umum yang diperkenalkan oleh Lawless dan Thiagarajah (1996).

DISTRIBUSI WEIBULL STANDAR & APLIKASINYA

DISTRIBUSI WEIBULL UNIVARIAT

Berbeda dengan Persamaan (3.1), fungsi distribusi (FD) 𝑋𝑋 didefinisikan sebagai peluang benda masih bekerja dalam selang waktu [0,𝑒𝑒] dan memenuhi persamaan. 3.2) Melalui keduanya, fungsi lain seperti tingkat bahaya, fungsi bahaya kumulatif, dan fungsi padat probabilitas dapat diperoleh. Fungsi hazard damage rate (FLH) dapat diperoleh melalui fungsi reliabilitas yang dinyatakan melalui persamaan. 3.3) FLH merupakan rate yang menunjukkan rata-rata perubahan peluang suatu produk yang tidak rusak pada waktu 𝑒𝑒 akan mengalami kerusakan pada waktu 𝑒𝑒+𝑑𝑑𝑒𝑒. Perhatikan Gambar 3.7, variabel acak dengan distribusi Weibull mempunyai tingkat cedera (bahaya) yang berada pada interval 0 <.

Dalam kasus mesin fotokopi, tingkat kerusakan yang tinggi pada awal periode merupakan representasi dari kemungkinan mesin tersebut mengalami cacat produksi, hingga kemudian angka tersebut berangsur-angsur menurun seiring bertambahnya usia mesin. Tingkat kegagalan yang konstan (periode kegagalan acak) menggambarkan kondisi suatu mesin pada usia muda, yang masih mungkin mengalami kerusakan akibat pemakaian, meskipun tingkat kerusakannya stabil. Berdasarkan FLH, distribusi Weibull mempunyai tingkat kerusakan yang menurun untuk nilai 𝛽𝛽< 1, konstan untuk nilai, 𝛽𝛽=.

Sedangkan fungsi kepadatan probabilitas (FPP) dari distribusi Weibull univariat dapat diturunkan melalui fungsi distribusi kumulatif pada persamaan (3.2), sehingga dapat dituliskan persamaan sebagai berikut.

Gambar 3.1. Grafik fungsi keandalan/survival distribusi Weibull dengan nilai 𝛼𝛼 = 1 dan nilai 𝛽𝛽 = 0.5, 1, 1.5, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 5 .

DISTRIBUSI MASA HIDUP BIVARIAT

Ekspektasi dan varians dari variabel acak kontinu non-negatif 𝑋𝑋~𝑊𝑊𝑒𝑒𝑖𝑖𝑏𝑏𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙(𝛽𝑋~𝑊𝑊𝑒𝑒𝑖𝑖𝑏 𝑏𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙) dari himpunan dapat dinyatakan dalam fungsi persamaan gamma berikut, sehingga dapat dituliskan 𝐻𝐻∗(𝑒𝑒) =�𝜓𝜓 −1�𝐹𝐹�(𝑒𝑒)��1 𝛾𝛾⁄ , yang merupakan fungsi kumulatif yang valid dengan [0]❻d yang merupakan fungsi kumulatif yang valid. 𝐻 𝐻 ∗ Konsep di atas dapat digunakan untuk membangun distribusi Weibull bivariat dengan fungsi reliabilitas marjinal Weibull dengan parameter 𝛼𝛼𝑥𝑥,𝑦𝑦 dan 𝛽𝛽𝑥𝑥,𝑦𝑦 sebagai berikut.

Sedangkan fungsi laju kerusakan (bahaya) kumulatif tidak lain adalah bentuk persamaan logaritma natural (3.8), sehingga dituliskan persamaan sebagai berikut. Fungsi probabilitas padat untuk distribusi Weibull bivariat diperoleh dengan derivasi parsial dari persamaan (3.9), sehingga dapat dituliskan sebagai persamaan berikut. Korelasi antara 𝑋𝑋 dan 𝑌𝑌 juga diperoleh dari persamaan (3.15) dan (3.7) yang dituliskan sebagai berikut. 3.16) Selain itu, Lu dan Bhatacharyya (1990) juga menyatakan bahwa untuk kasus 𝛽𝛽𝑥𝑥=𝛽𝛽𝑦𝑦=𝛽𝛽 korelasi antara 𝑋𝑋 dan 𝑌𝑌 dapat lebih sederhana ditulis dengan persamaan berikut.

3.17) Model sebaran Weibull bivariat ini nantinya digunakan untuk merepresentasikan sebaran umur mesin fotocopy berdasarkan umur dan pemakaian (diwakili dengan jumlah eksemplar).

Gambar 3.12. Grafik fungsi survival Weibull Bivariat

DISTRIBUSI WEIBULL MULTIVARIAT BERDASARKAN RAN DOM HAZARD BERDASARKAN RAN DOM HAZARD

Sementara itu, fungsi bahaya multivariat Weibull juga dibangun dengan memodifikasi Persamaan (3.20) sehingga diperoleh persamaan berikut. Sedangkan fungsi bahaya kumulatif tidak lain merupakan integrasi persamaan (3.20) atau lebih sederhananya fungsi logaritma natural dari persamaan (2.4.1.a). Momen umum model distribusi Weibull multivariat diperoleh dengan terlebih dahulu melakukan transformasi pada distribusinya.

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL UNIVARIAT

Dalam studi kasus ini, data yang digunakan adalah waktu antar kerusakan (WAK) dan salinan antar kerusakan (CAK). Rata-rata waktu dan penyalinan antar kegagalan sistem masing-masing adalah 42,31 hari dan 28.189 lembar kertas. Kedua fenomena tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.5 Perhatikan kerusakan ke 4 dari kerusakan ke 5, setelah mengalami perbaikan (tindakan), mesin fotokopi mengalami umur yang lebih panjang dan produktivitas mesin fotokopi mengalami peningkatan yang tajam.

Selain itu, grafik waktu dan salinan antara setiap kerusakan disajikan untuk Web Pembersih, Roller Umpan, dan Filter Ozon. Pada Gambar 4.8 kerusakannya tidak terlalu terlihat, semakin mendekat seiring bertambahnya usia dan aktivitas mesin fotocopy. Untuk mengetahui distribusi data antara tingkat kerusakan sistem dan komponen mesin fotokopi, dilakukan plot probabilitas pada data WAK dan CAK.

Sedangkan Tabel 4.4 dan 4.5 menunjukkan hasil estimasi parameter berdasarkan data kerusakan komponen feed roller dan filter ozon.

Gambar 4.1. Diagram Alir Metode Numerik Newton-Raphson (N-R).

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL BIVARIAT

Seperti yang telah disimpulkan sebelumnya pada simulasi (tabel 4.1), estimasi parameter pada studi kasus ini juga menghasilkan tren serupa. Namun perlu diperhatikan pada tabel 4.4 terlihat bahwa estimator 𝛽𝛽̂𝑎𝑎𝑦𝑦𝑠𝑠 dan 𝛽𝛽̂𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠 yang dihasilkan oleh GA selalu mempunyai nilai diatas 𝛽𝛽̂𝑑𝑑𝑎 𝑎𝑦𝑦𝑠𝑠 dan 𝛽𝛽̂𝑐𝑠 dihasilkan oleh dua metode lainnya (N-R dan Wei bull Fit). Sebagaimana fungsi kemungkinan univariat pada persamaan (4.2) mengandung fungsi eksponensial, maka persamaan (4.10) juga harus ditransformasikan terlebih dahulu untuk lebih menyederhanakan proses selanjutnya.

Dalam hal ini, transformasi logaritmik dipilih sehingga fungsi log-likelihood dari distribusi Weibull bivariat sesuai dengan persamaan berikut. Seperti pada kasus univariat, studi kasus estimasi bivariat parameter Weibull menggunakan GA dilakukan pada data WAK dan CAK untuk mesin fotokopi, mesin pembersih, feed roller, dan filter ozon. Jika kita bandingkan nilai tersebut dengan estimator yang diperoleh pada tabel 3.2.2.a,b,c, terlihat bahwa estimator bivariat cenderung berada di atas estimator univariat.

Selain itu, Tabel 4.7 juga memuat korelasi WAK dan CAK untuk mesin fotokopi, jalur pembersih, feed roller, dan filter ozon.

Tabel 4.6 Hasil Simulasi Algoritma Genetika untuk Distribusi Weibull Bivariat

APLIKASI: ESTIMASI BIAYA GARANSI

Nilai parameter yang digunakan merupakan hasil estimasi parameter komponen menggunakan GA pada Tabel 3.2.2.b,c dan d. Contoh pembacaan tabel adalah : Pada tahun ke 7 web cleaning mengalami 2.4759 penggantian atau bisa dikatakan 2 sampai 3 penggantian dengan biaya penggantian dan sebagainya. Contoh pembacaan tabel adalah : Pada 1 juta eksemplar, web cleaning mengalami 1,0885 penggantian atau bisa dikatakan 1 penggantian dengan harga dan seterusnya.

Contoh pembacaan tabelnya adalah: Pada tahun ke 9, feed roller mengalami 3.9892 penggantian atau bisa dikatakan 3 sampai 4 kali penggantian dengan biaya $498.9219; Contoh pembacaan tabelnya adalah: Pada salinan ke-1,5 juta, roller suplai mengalami 1,8504 penggantian atau bisa dikatakan 1 hingga 2 penggantian biaya dan seterusnya. Contoh pembacaan tabelnya adalah: Pada tahun ke 9 filter ozon mengalami 2,2385 kali penggantian atau bisa dikatakan 2 sampai 3 kali penggantian dengan biaya sebesar.

Contoh pembacaan tabel adalah: Pada salinan ke-2 juta, filter ozon diganti 1,8780 atau bisa dikatakan 1 hingga 2 penggantian dengan biaya.

Gambar 5.1 Wilayah FRW Satu Dimensi. Periode garansi dimulai dari awal pembelian produk, hingga suatu waktu T yang ditentukan

Alternatifnya, cacat kedua dapat terjadi pada hari ke-100 dan salinan ke-1100, dan sebaliknya. yang harus dipenuhi oleh model distribusi bivariat yang akan digunakan untuk memperkirakan biaya garansi dua dimensi. Ekspektasi biaya FRW dua dimensi memenuhi Persamaan. 5.11) Perhatikan bahwa fungsi 𝐸𝐸[𝑁𝑁(𝑡𝑡,𝑢𝑢)] tidak lain adalah ekspektasi jumlah kerusakan di wilayah [0,𝑡𝑡) dan [0,𝑢𝑢). Evaluasi fungsi update dan estimasi biaya garansi dua dimensi juga dilakukan terhadap data kerusakan komponen yaitu cleaning track, feed roller dan ozon filter.

Hasil evaluasi fungsi update dua dimensi pada komponen cleaning web, feed roll, dan filter ozon masing-masing dapat dilihat pada Tabel 5.8, 5.9, dan 5.10. Sedangkan perkiraan biaya garansi dua dimensi berdasarkan FRW dapat dilihat masing-masing pada tabel 5.13. Perlu diketahui bahwa pada tahun ke 5 dan ke 1 juta salinan, filter ozon diganti sebanyak 2,8931 kali atau 2 hingga 3 kali penggantian.

Artinya jika produsen ingin menetapkan masa garansi feed roller dua dimensi pada T = 5 tahun dan U = 1 juta keping, maka harga jual satuan harus lebih tinggi dari itu agar mendapat keuntungan.

Gambar 5.3 Kebijakan dua dimensi FRW 1. Bidang terarsir adalah daerah garansi. Pemanufaktur menyediakan penggantian atau perbaikan hingga batas

DAFTAR PUSTAKA

2004) : Two-dimensional failure modeling with minimal repair. 2010) : A study on the Weibull distribution for parameter estimation. 2005): Introduction to mathematical statistics, ed. 2009) : A Hybrid Policy for Minimum Repair and Aged Replacement for Warranted Products, 2nd Pacific Conference on Manufacturing System. Statistical tests for exponential service from M/G/1 waiting time data. 2002): Probability and Statistics for Engineers and Scientists, ed.

SINOPSIS

Di bawah ini kami akan menunjukkan langkah-langkah matematika untuk memperoleh ekspektasi dan varians suatu variabel acak dengan distribusi Weibull. Untuk menunjukkan keunikan solusi 𝛽𝛽̂ dapat dilakukan dengan membuktikan fungsi pada ruas kanan, misal. 𝑓𝑓1(𝛽𝛽) adalah fungsi monotonik menurun, sedangkan fungsi di ruas kiri, misal. 𝑓𝑓2(𝛽𝛽) merupakan fungsi monoton meningkat.

BIODATA PENULIS