ECONOMIC ORDER QUANTITY (EOQ) FOR PERISHABLE GOODS WITH WEIBULL DISTRIBUTION AND EXPONENTIAL DEMAND RATE PROPORTIONAL TO
PRICE
PROPOSAL SKRIPSI
oleh
MELIYANA 225090407111060 WILLIAM SURYA 225090401111001
PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG 2025
ECONOMIC ORDER QUANTITY (EOQ) FOR PERISHABLE GOODS WITH WEIBULL DISTRIBUTION AND EXPONENTIAL DEMAND RATE PROPORTIONAL TO
PRICE
PROPOSAL SKRIPSI/SKRIPSI
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Matematika
oleh
MELIYANA 225090407111060 WILLIAM SURYA 225090401111001
PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG 2025
ABSTRAK
Perusahaan yang bergerak di bidang konsumsi tentu produk mudah rusak sehingga sering mengalami kerugian besar akibat sifat alami produk mereka. Kerugian ini berdampak pada pendapatan. Hal ini disebabkan oleh perencanaan produksi yang tidak terstruktur dan model prediksi yang tidak akurat. Dengan adanya model prediksi yang tepat, produsen dapat merancang rencana produksi yang lebih efisien, menentukan produk mana yang harus dibuat, serta dalam jumlah berapa. Dalam penelitian ini, dikembangkan modelEconomic Order Quantity (EOQ) untuk barang mudah rusak dengan distribusi umur weibull dan tingkat permintaan eksponensial yang bergantung pada harga. Persamaan diferensial untuk menggambarkan kondisi inventaris dalam interval waktu [0, t2] diperoleh dan diselesaikan untuk mendapatkan persamaan jumlah inventaris pada waktu tertentu t. Simulasi hasil dilakukan menggunakan bahasa pemrograman R, hasilnya menunjukkan bahwa model ini cocok dengan data yang ada, dengan rata-rata EOQ berkisar antara 60 hingga 400 roti, serta waktu pemesanan yang dilakukan dalam selang 1 atau 2 hari. Pola EOQ juga bervariasi tergantung pada jenis roti yang dianalisis.Dari hasil penelitian ini, dapat disimpulkan bahwa model EOQ yang dikembangkan cocok untuk barang yang cepat rusak dengan distribusi umur weibull serta tingkat permintaan eksponensial yang bergantung pada harga.
Kata kunci: Economic Order Quantity, Tingkat Permintaan Eksponensial, Barang Mudah Rusak, Distribusi Weibull.
ABSTRACT
Companies operating in the consumer goods sector often deal with perishable products, leading to significant losses due to the natural characteristics of their goods. These losses impact revenue, primarily caused by unstructured production planning and inaccurate predictive models. With an accurate predictive model, producers can design more efficient production plans, determine which products to manufacture, and decide the appropriate quantities.This study develops an Economic Order Quantity (EOQ) model for perishable goods, incorporating a Weibull-distributed shelf life and a price-dependent exponential demand rate. A differential equation is derived to describe inventory conditions over the time interval [0, t2] and is solved to obtain an equation for inventory levels at a given time t. Simulations are conducted using the R programming language. The results indicate that the model aligns well with the existing data, with EOQ values ranging from 60 to 400 loaves of bread and order intervals of 1 to 2 days. The EOQ pattern also varies depending on the type of bread analyzed. Based on these findings, it can be concluded that the developed EOQ model is suitable for perishable goods with a weibull-distributed shelf life and a price-dependent exponential demand rate.
Keywords: Economic order quantity, exponential demand rate, Perishable goods, weibull distribution
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . i
ABSTRAK . . . iii
ABSTRACT. . . v
DAFTAR ISI . . . vii
BAB I PENDAHULUAN . . . 1
1.1 Latar Belakang . . . 1
1.2 Keterkinian/ Riwayat Penelitian . . . 3
1.2.1 Model EOQ Probabilistik Untuk Barang Perisable dengan Umur Simpan Tetap (Evy Juniastina, 2018) . 3 1.2.2 Model Persediaan Barang dengan Permintaan Eksponensial dan Kuadratik untuk Barang Berdeteriorasi Berdistribusi Weibull (Raka Iswara Prathama Setiawan, 2019) . . . 5
1.2.3 Analisis Pengendalian Persediaan Bahan Baku Menggunakan Metode Min-Max dan Economic Order Quantity (EOQ) pada UD. Raja Gizi ( Nikmaturrahmah, 2023 ) . . . 6
1.3 Rumusan Masalah . . . 7
1.4 Tujuan Penelitian . . . 7
1.5 Asumsi . . . 7
1.6 Batasan . . . 8
1.7 Output Penelitian . . . 8
BAB II DASAR TEORI . . . 9
2.1 Pengertian Persediaan . . . 9
2.2 Jenis-jenis Persediaan . . . 9
2.3 Biaya Persediaan . . . 10
2.4 Economic Order Quantity(EOQ) . . . 11
2.5 Persediaan Pengaman (Safety Stock) . . . 12
2.6 Titik Pemesanan Kembali (Reorder Point) . . . 13
2.7 Total Biaya Persediaan (Total Inventory Cost) . 13
2.8 Distribusi Weibull . . . 14
2.8.1 Distribusi Weibull 3 Parameter . . . . 14
2.8.2 Distribusi Weibull 2 Parameter . . . . 14
2.8.3 Distribusi Weibull 1 Parameter . . . . 15
2.9 Distribusi Eksponensial . . . 15
2.9.1 Distribusi Fungsi Kepadatan Eksponensial . . . 16
2.9.2 Rata-Rata Fungsi Kepadatan Peluang Eksponensial . . . 16
2.9.3 Variansi Fungsi Kepadatan Peluang Eksponensial . . . 17
BAB III METODE PENELITIAN . . . 19
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian . . . 19
3.2 Deskripsi Tempat Penelitian . . . 19
3.3 Sumber Data . . . 19
3.4 Langkah-langkah Penelitian . . . 20
3.5 Langkah-langkah Analisis Data . . . 21
3.6 Diagram Alir . . . 23
BAB IV SIMULASI. . . 25
4.1 Data . . . 25
4.2 Perhitungan . . . 25
4.3 Analisa . . . 26
4.4 Kesimpulan . . . 26
BAB V APLIKASI/TERAPAN . . . 29
5.1 Penerapan . . . 29
5.2 Latar belakang . . . 29
5.3 Rumusan Masalah . . . 29
5.4 Batasan . . . 29
5.5 Tujuan . . . 30
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Manajemen inventaris merupakan salah satu aspek penting bagi perusahaan yang menangani produk konsumsi dan barang yang mudah rusak. Produk-produk ini memiliki sifat alami yang menyebabkan penurunan kualitas seiring waktu,sehingga berdampak pada peningkatan biaya penyimpanan dan kerugian finansial.
Ketidaktepatan dalam perencanaan produksi serta ketiadaan model prediksi yang akurat sering kali menjadi penyebab utama terjadinya pemborosan dan ketidakefisienan dalam pengelolaan stok.
Barang yang mudah rusak, seperti makanan, obat-obatan, serta produk dengan masa simpan terbatas, memerlukan strategi pengelolaan inventaris yang tepat untuk mengurangi potensi kerugian akibat penurunan kualitas produk. Salah satu pendekatan yang sering digunakan dalam manajemen inventaris adalah model Economic Order Quantity (EOQ) untuk menentukan jumlah optimal barang yang harus dipesan dan kapan waktu yang tepat untuk melakukan pemesanan ulang. Namun, model EOQ klasik mengasumsikan tingkat permintaan yang tetap dan tidak mempertimbangkan faktor penurunan kualitas produk dalam inventaris.
Untuk mengatasi permasalahan tersebut, penelitian ini mengembangkan model EOQ yang lebih realistis untuk barang yang mudah rusak, dengan menggunakan distribusi umur Weibull dan tingkat permintaan eksponensial yang bergantung pada harga. Model ini memperhitungkan perubahan permintaan yang dapat dipengaruhi oleh harga serta faktor penurunan kualitas yang terjadi seiring berjalannya waktu, dengan menggunakan simulasi berbasis R programming.Banyak peneliti telah mengembangkan model EOQ Wilson dengan mempertimbangkan pola permintaan yang bervariasi terhadap waktu serta tingkat penurunan kualitas barang. Singh dan Banerjee (2019) meneliti barang yang mudah rusak, di mana penurunan kualitasnya dimulai segera setelah diperoleh, dengan
tingkat penurunan yang konstan. Barang yang mereka teliti adalah produk dengan pergerakan cepat di pasar, yang permintaannya meningkat dengan pesat, sehingga hasil penelitian ini memberikan kebijakan yang membantu pembeli dalam menentukan jumlah pemesanan yang optimal. D´ıaz et al. (2020) menyoroti kondisi di mana permintaan dan penjualan tidak selalu sejalan, serta mempertimbangkan biaya pembuangan unit yang tidak terjual, selain biaya penyimpanan dan pengadaan konvensional. Patriarca et al.
(2020) mengembangkan model kontrol inventaris untuk barang mudah rusak dengan tingkat permintaan yang berubah seiring waktu dan bergantung pada jumlah stok yang tersedia. Distribusi Weibull dikenal luas dalam pemodelan tingkat kelangsungan hidup, sementara distribusi eksponensial merupakan kasus khusus dari distribusi Weibull.
Struktur pemodelan yang digunakan dalam penelitian ini belum pernah diterapkan sebelumnya. Dengan menggunakan penurunan eksponensial pada tingkat permintaan terhadap harga, asumsi bahwa harga suatu produk tetap sepanjang siklus hidupnya dapat lebih dilonggarkan. Untuk barang yang mudah rusak, parameter penurunan harga dipilih sedemikian rupa sehingga harga tetap relatif stabil dalam beberapa hari pertama setelah produksi. Dengan adanya model EOQ yang mempertimbangkan faktor usia produk dan perubahan permintaan, perusahaan dapat lebih efisien dalam mengelola stok, mengurangi biaya penyimpanan yang tidak perlu, serta meminimalkan risiko kehilangan produk akibat penurunan kualitas.
Penelitian ini diharapkan dapat menjadi acuan dalam pengembangan strategi manajemen inventaris yang lebih adaptif untuk produk yang cepat rusak, sehingga operasional dapat lebih efisien.
1.2 Keterkinian/ Riwayat Penelitian
1.2.1 Model EOQ Probabilistik Untuk Barang Perisable dengan Umur Simpan Tetap (Evy Juniastina, 2018)
Persamaan dengan topik yang akan diteliti :
• Keduanya memiliki topik utama yang sama yaitu EOQ (Economic Order Quantity) untuk barang perishable (barang mudah rusak atau memiliki umur simpan terbatas).
• Tujuan utama keduanya adalah meminimalkan total biaya persediaan dengan menentukan jumlah pemesanan yang paling ekonomis.
• Keduanya menggunakan pendekatan probabilistik, karena permintaan tidak dianggap tetap.
• Keduanya melakukan simulasi numerik untuk menguji model.
Perbedaan dengan topik yang akan diteliti :
• Skripsi menggunakan umur simpan tetap, sedangkan topik yang akan diteliti menggunakan distribusi Weibull untuk memperhitungkan tingkat kerusakan yang berubah seiring waktu.
• Pendekatan matematis dalam skripsi menggunakan fungsi biaya total dan analisis sensitivitas, sementara topik penelitian menggunakan model diferensial dan simulasi dengan bahasa pemrograman Easy Fit dan R.
• Permintaan dalam skripsi diasumsikan acak berdistribusi normal, sedangkan pada topik penelitian permintaan menurun secara eksponensial terhadap harga.
1.2.2 Model Persediaan Barang dengan Permintaan Eksponensial dan Kuadratik untuk Barang Berdeteriorasi Berdistribusi Weibull (Raka Iswara Prathama Setiawan, 2019)
Persamaan dengan topik yang akan diteliti
• Sama-sama meneliti barang perishable dengan lifetime berdistribusi Weibull.
• Sama-sama bertujuan mencari EOQ yang optimal untuk meminimalkan biaya.
• Model permintaan yang digunakan adalah eksponensial.
Perbedaan dengan topik yang akan diteliti :
• Skripsi tidak membahas secara khusus model permintaan kuadratik.
• Permintaan dalam skripsi bergantung pada harga dan waktu, sedangkan topik penelitian lebih menekankan hubungan permintaan dengan harga saja.
1.2.3 Analisis Pengendalian Persediaan Bahan Baku Menggunakan Metode Min-Max dan Economic Order Quantity (EOQ) pada UD. Raja Gizi ( Nikmaturrahmah, 2023 )
Persamaan dengan topik yang akan diteliti
• Sama-sama mencari EOQ untuk meminimalkan biaya pemesanan.
• Permintaan bersifat independen terhadap waktu.
Perbedaan dengan topik yang akan diteliti
1.3 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, rumusan masalah pada penelitian ini adalah:
1. Bagaimana menentukan jumlah pesanan optimal untuk barang yang cepat rusak sehingga dapat meminimalkan terjadinya kerusakan?
2. Bagaiman tingkat pembusukan roti dapat dimodelkan dengan menggunakan distribusi weibull?
3. Bagaimana pola permintaan pelanggan dapat dimodelkan dengan menggunakan distribusi eksponensial?
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah yang telah dipaparkan, tujuan penelitian ini adalah:
1. Mengetahui EOQ barang yang mudah rusak untuk sehingga kerusakan dapat diminimalkan.
2. Memodelkan tingkat pembusukan roti dengan distibusi weibul untuk memperkirakan masa simpan yang optimal .
3. Memodelkan pola permintaan pelanggan terhadap pembelian roti menggunakan distribusi eksponensial.
1.5 Asumsi
1. Barang yang dianalisis bersifat mudah rusak, dan tingkat kerusakannya mengikuti distribusi Weibull.
2. Tingkat permintaan konsumen dipengaruhi oleh harga dan mengikuti distribusi eksponensial.
3. Harga produk dianggap tetap atau stabil dalam beberapa hari pertama masa hidup produk.
4. Model EOQ disimulasikan menggunakan bahasa pemrograman R untuk memperoleh jumlah pemesanan optimal.
1.6 Batasan
1. Penelitian dilakukan pada satu jenis produk, yaitu roti, sehingga hasilnya belum tentu berlaku untuk produk mudah rusak lainnya.
2. Data yang digunakan bersifat sekunder dan diperoleh dari satu lokasi, yaitu Afe Babalola University Bakery, Nigeria.
3. Periode pengamatan dibatasi dari Januari hingga Juli 2019.
4. Permintaan konsumen hanya dimodelkan berdasarkan faktor harga, tanpa mempertimbangkan faktor eksternal lainnya.
1.7 Output Penelitian
1. Model EOQ berbasis pembusukan yang dapat digunakan untuk mengoptimalkan total produksi.
2. Parameter distribusi weibull dan eksponensial yang menggambarkan tingkat pembusukan roti dan permintaan pelanggan.
3. Simulasi dan analisis hasil menggunakan R programming.
BAB II DASAR TEORI
2.1 Pengertian Persediaan
Persediaan merupakan simpanan produk-produk mentah atau barang jadi yang disimpan untuk digunakan dalam masa mendatang dalam kurun waktu tertentu. Beberapa definisi persediaan menurut para ahli adalah sebagai berikut.
1. Menurut Ristono (2013), persediaan dapat diartikan sebagai barang-barang yang disimpan untuk digunakan atau dijual pada masa atau periode akan datang.
2. Menurut Rangkuti (2004), persediaan merupakan bahan-bahan, barang dalam proses, dan bahan-bahan dalam proses yang tersimpan untuk digunakan atau dijual pada masa yang akan datang.
2.2 Jenis-jenis Persediaan
Menurut Heizer dan Render (2015), berdasarkan proses manufakturnya persediaan dibagi menjadi empat jenis, yaitu:
1. Persediaan bahan baku (raw material), yaitu persediaan barang-barang berwujud yang digunakan dalam proses produksi. Barang ini diperoleh dari sumber-sumber alam atau dibeli dari supplier atau perusahaan yang membuat atau menghasilkan bahan baku untuk perusahaan lain yang menggunakannya.
2. Persediaan barang setengah jadi atau barang dalam proses (work in process), yaitu persediaan barang-barang yang belum keseluruhan dari tiap-tiap bagian dalam proses produksi atau yang telah diolah tetapi belum selesai.
3. Persediaan pemeliharaan, perbaikan dan operasi (maintenance, repair, operating, MRO), yaitu pemeliharaan, perbaikan, dan operasi untuk menjaga agar perusahaan dan proses produksi tetap produktif. MRO tetap ada karena kebutuhan, waktu pemeliharaan dan perbaikan tidak dapat diprediksi.
4. Persediaan barang jadi (finished goods), yaitu produk yang sudah selesai dan menunggu pengiriman. Barang jadi bisa disimpan karena permintaan pelanggan di masa depan tidak diketahui.
2.3 Biaya Persediaan
Menurut Stevenson dan Chuong (2015), terdapat tiga biaya yang berhubungan dengan persediaan, yaitu:
1. Biaya penyimpanan (holding / carrying), adalah biaya yang berhubungan dengan kepemilikan barang secara fisik dalam penyimpanan.
2. Biaya pemesanan (ordering cost) adalah biaya untuk memesan dan menerima persediaan.
3. Biaya kekurangan (shoRTage cost) adalah biaya yang terjadi ketika permintaan melebihi pasokan persediaan yang ada di tangan.
Perhitungan EOQ menurut Taylor (2019: 822):
EOQatauQ∗=
r2DCo
Cc (2.1)
Keterangan:
• Q∗= Kuantitas pemesanan optimum per periode/tahun
2.4 Economic Order Quantity(EOQ)
Model kuantitas pesanan ekonomis (economic order quantity) merupakan teknik pengendalian persediaan yang meminimalkan total biaya pemesanan dan penyimpanan (Heizer dan Render, 2015).
Terdapat 2 jenis biaya yang digunakan sebagai dasar perhitungan EOQ, yaitu biaya pemesanan (ordering cost) dan biaya penyimpanan (carrying cost). Rumus biaya penyimpanan per pesanan menurut Ahyari (2012:182) adalah sebagai berikut:
Biaya penyimpanan(Cc)per unit =K·U (2.2) Keterangan:
• K = Persentase biaya penyimpanan terhadap harga beli per unit bahan
• U = Harga per unit bahan
Rumus biaya penyimpanan per periode/tahun menurut Taylor (2019:820) adalah sebagai berikut.
berikut:
Biaya penyimpanan periode/tahunan=Cc
Q∗
2 (2.3)
Keterangan:
• Q∗= Kuantitas optimum (quantity optimal) per periode/tahun
• Cc= Biaya penyimpanan per unit
Biaya Pemesanan (Ordering Cost) biaya pemesanan menurut Taylor (2019:822) adalah:
Biaya pemesanan periode/tahunan=CoD
Q∗ (2.4)
Keterangan:
• Co= Biaya pemesanan per pesanan
• D= Permintaan barang dalam unit per periode/tahun
• Q∗= Kuantitas ekonomis (quantity optimal) per periode/tahun Menurut Taylor (2019:824) rumus frekuensi pemesanan adalah:
Frekuensi Pemesanan=I = D
EOQ (2.5)
Keterangan:
• I= Frekuensi pemesanan per periode/tahun
• D = Jumlah permintaan barang yang dibutuhkan per periode/tahun
• EOQ = Jumlah pembelian optimal yang ekonomis per periode/tahun
2.5 Persediaan Pengaman (Safety Stock)
Persediaan pengaman (safety stock) adalah persediaan yang disimpan yang melebihi permintaan yang diperkirakan, karena adanya permintaan dan/waktu yang bersifat variabel (Stevenson & Chuong, 2015).
Persediaan pengaman dengan asumsi permintaan bersifat fluktuatif dan lead time bersifat tetap dapat dirumuskan sebagai berikut (Taylor, 2019:840):
SS=Zσd
√
L (2.6)
Keterangan:
2.6 Titik Pemesanan Kembali (Reorder Point)
Reorder point adalah suatu sistem dari cara pemesanan bahan, dimana pesanan dilakukan apabila persediaan yang telah mencapai suatu atau tingkat tertentu. Jika ada kesalahan dalam melakukan penentuan reorder point, maka mengakibatkan penimbunan persediaan maupun keterlambatan dalam produksi (Eryandi, 2020).
Berikut ini perhitunganreorder pointdengan asumsi permintaan yang berubah-ubah (Taylor, 2019:840):
R=dL+Zσd
√
L (2.7)
Keterangan:
• d= Rata-rata permintaan harian
• L=Lead time
• Z = Jumlah deviasi standar dari probabilitas level layanan 2.7 Total Biaya Persediaan (Total Inventory Cost)
Total inventory costadalah jumlah dari biaya keseluruhan yang terkandung dalam persediaan pada suatu sistem. Biaya persediaan ini meliputi biaya penyimpanan, biaya pemesanan, dan biaya pembelian.
TIC minimum akan terjadi pada tingkat pembelian yang ekonomis (Apriyani & Muhsin, 2011).
Rumus perhitungan TIC (total inventory cost) menurut Taylor (2019:822):
Total biaya persediaan=Cc
Q∗ 2 +Co
D
Q∗ (2.8)
Keterangan:
• Q∗= Kuantitas optimum (quantity optimal) per periode/tahun
• Cc= Biaya penyimpanan per unit
• Co= Biaya pemesanan per pesanan
• D= Permintaan barang dalam unit per periode/tahun
2.8 Distribusi Weibull
Distribusi Weibull pertama kali diperkenalkan oleh Weibull pada tahun 1936 dengan 3 (tiga) parameter, yang kemudian seiring perkembangan konsep Distribusi Weibull tersebut terdapat juga distribusi Weibull dengan dua dan satu parameter, dengan masing-masing distribusinya dikemukakan sebagai berikut.
2.8.1 Distribusi Weibull 3 Parameter
Distribusi Weibull 3 Parameter merupakan metode analisis Weibull yang memuat tiga parameter secara simultan yaitu parameter lokasi (a), parameter skala (b), dan parameter bentuk (c). Rumus Distribusi Weibull 3 parameter dikemukakan sebagai berikut.
f(x|a, b, c) = c a
x−a b
c−1
exp
−
x−a b
c
, x≥a
dimana,
• a: parameter lokasi
• b: parameter skala
• c: parameter bentuk
2.8.2 Distribusi Weibull 2 Parameter
Berbeda dengan Distribusi Weibull 3 Parameter, pada model 2 parameter hanya:
a. Distribusi versi skala bentuk f(x|0, b, c) = c
b x
b c−1
exp
−x b
c
b. Distribusi versi lokasi bentuk
2.8.3 Distribusi Weibull 1 Parameter
Distribusi Weibull 1 Parameter merupakan model Weibull yang hanya menggunakan satu parameter dalam:
a.
f(x|0,1, c) =c(x)c−1exp(−xc) b.
f(x|0, b,1) = 1 bexp
−x b
c.
f(x|a,1,1) = exp(−(x−a)c)
2.9 Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada Tahun 1999. Distribusi ini diambil dari salah satu fungsi kepadatan kumulatif yang digunakan pada pertengahan Abad 19 (Gompertz-Verhulst) untuk membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk.
Distribusi eksponensial merupakan salah satu distribusi yang banyak digunakan dalam statistika. Pada akhir Tahun 1940, peneliti telah memulai untuk memilih distribusi eksponensial dalam menggambarkan pola kehidupan elektronik. Distribusi eksponensial dalam penelitian tersebut mempunyai ciri-ciri oleh nilai bahaya berupa konstan θ, dan nilai θ pada penelitian ini merupakan suatu parameter. Nilai θ yang tinggi mengindikasikan tinggi resiko, dan survival yang singkat, nilai θ yang rendah mengindikasikan resiko rendah dan survival yang lama. Ketika θ = 1 distribusi ini dianggap sebagai distribusi eksponensial satuan.
Suatu densitas peluang dikatakan distribusi eksponensial dengan satu parameter X ∼ Exp(θ), jika distribusi tersebut mempunyai fungsi kepadatan peluang yaitu:
f(x) =θe−θx
Fungsi kepadatan peluang tersebut adalah distribusi oleh beberapa teori yang menyebabkan fungsi densitas kepadatan peluang
tersebut dapat digunakan dalam suatu penelitian. Teori-teori yang mengikuti fungsi kepadatan peluang tersebut diantaranya adalah distribusi fungsi, rata-rata fungsi kepadatan peluang, dan variasi fungsi kepadatan peluang. Untuk kerja teori tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut :
2.9.1 Distribusi Fungsi Kepadatan Eksponensial
Untuk membuktikan distribusi fungsi kepadatan peluang eksponensial maka harus dibuktikan sama dengan (=) 1.
f(x) =θe−θx, x >0
∞
Z
−∞
f(x)dx= 1
∞
Z
−∞
f(x)dx=
∞
Z
−∞
f(x)dx
∞
Z
−∞
f(x)dx= 1
(2) Dari hasil diatas dapat dikatakan fungsi kepadatan peluang eksponensial sama dengan satu.
2.9.2 Rata-Rata Fungsi Kepadatan Peluang Eksponensial
Dicari rata-rata fungsi kepadatan peluang eksponensial dengan
∞
Z
−∞
xf(x)dx=
∞
Z
−∞
xθe−θxdx
(3)
∞
Z
−∞
xf(x)dx= 1 θ
Dari hasil diatas didapat rata-rata fungsi kepadatan peluang eksponensial yaitu:
E(x) = 1 θ
2.9.3 Variansi Fungsi Kepadatan Peluang Eksponensial
Untuk mencari nilai variansi peneliti menggunakan rumus sebagai berikut:
V(x) =E(x2)−(E(x))2 dengan:
E(x2) =
∞
Z
−∞
x2f(x)dx dan (E(x))2 = 1
θ 2
maka dapat diselesaikan nilai variansi untuk fungsi kepadatan eksponensial adalah
V(x) =E(x2)−(E(x))2
V(x) = 1 θ2
(4)
Didapatlah nilai variansi fungsi kepadatan peluang eksponensial yaitu:
V(x) = 1 θ2
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Afe Babalola University Bakery, yang terletak di Ado Ekiti, Nigeria. Tempat ini dipilih karena merupakan salah satu produsen roti yang memiliki catatan produksi dan distribusi yang lengkap, sehingga memungkinkan analisis yang lebih akurat mengenai jumlah pesanan optimal (EOQ). Adapun waktu penelitian berlangsung selama Januari hingga Juli 2019.
3.2 Deskripsi Tempat Penelitian
Afe Babalola University Bakery yang berlokasi di Ado Ekiti, Nigeria, dipilih sebagai lokasi penelitian karena memiliki catatan produksi dan distribusi roti yang lengkap dan sistematis, sehingga mendukung kebutuhan data untuk pemodelan Economic Order Quantity (EOQ). Produk roti yang dihasilkan bersifat mudah rusak, sesuai dengan fokus penelitian pada barang perishable dengan umur simpan pendek. Selain itu, variasi permintaan yang terjadi akibat perubahan harga menjadikan tempat ini relevan untuk diterapkannya model permintaan eksponensial terhadap harga. Sebagai bagian dari institusi pendidikan tinggi, bakery ini juga menyediakan lingkungan yang kondusif untuk kegiatan riset berbasis data aktual.
3.3 Sumber Data
Dataset untuk penelitian ini diperoleh dari Afe Babalola University Bakery, Ado Ekiti, Nigeria. Data ini merupakan data sekunder yang berupa catatan pasokan roti ke berbagai pengecer (pelanggan) dari Januari hingga Juli 2019. Diketahui bahwa roti mengalami pembusukan dalam waktu singkat, tergantung pada metode pengolahannya. Penelitian ini menggunakan pendekatan kuantitatif dengan metode pemodelan ekonomi pemesanan optimal.
3.4 Langkah-langkah Penelitian
1. Identifikasi Masalah Permasalahan kerugian yang dihadapi bisnis yang menjual barang mudah rusak, seperti roti, yang disebabkan tidak adanya model prediksi pemesanan yang optimal. Untuk mengatasi permasalahan tersebut, diperlukan metode yang dapat menentukan jumlah pemesanan yang tepat yaitu Economic Order Quantity ( EOQ) dengan mempertimbangkan tingkat kerusakan produk dan permintaan pelanggan.
2. Studi Literatur Peneliti mengumpulkan berbagai artikel ilmiah dan jurnal yang relevan untuk mendukung penelitian dalam menentukan Economic Order Quantity (EOQ) pada produksi roti dengan mempertimbangkan tingkat kerusakan dan permintaan pelanggan. Kajian literatur ini berfokus pada teori dan metode yang digunakan dalam optimasi persediaan barang yang mudah rusak. Literatur yang dikaji meliputi teori distribusi weibull, yang digunakan untuk memodelkan tingkat kerusakan roti, serta distribusi eksponensial, yang digunakan untuk memahami tingkat permintaan pelanggan berdasarkan harga.
3. Pengumpulan Data Penulis mengumpulkan data berupa data sekunder yang yang berkaitan dengan produksi dan distribusi roti di Afe Babalola University Bakery, Ado Ekiti, Nigeria, selama periode Januari hingga Juli 2019. Sumber data diperoleh dari laporan operasional bakery, dokumen produksi dan penjualan, serta literatur tambahan yang membahas manajemen persediaan dan model EOQ. Data yang dikumpulkan mencakup jumlah produksi dan distribusi roti, waktu rata-rata roti tetap layak konsumsi sebelum rusak, permintaan pelanggan, serta biaya operasional.
distribusi eksponensial digunakan untuk memahami pola permintaan pelanggan. Data yang telah dikumpulkan diolah menggunakan model EOQ, yang mempertimbangkan kedua faktor tersebut. Analisis dilakukan dengan bantuan simulasi menggunakan R Programming untuk mengetahui bagaimana perubahan parameter Weibull dan Eksponensial mempengaruhi EOQ.
5. Interpretasi Hasil Penulis mengevaluasi hasil model EOQ yang diterapkan dapat mengoptimalkan produksi roti, mengurangi pemborosan akibat kerusakan produk, serta menyesuaikan jumlah produksi dengan permintaan pelanggan.
3.5 Langkah-langkah Analisis Data
Dalam penelitian ini, analisis data dilakukan secara sistematis untuk menentukan EOQ yang optimal. Berikut adalah langkah-langkahnya:
1. Pengolahan Data Pembusukan Roti Dengan menggunakan distribusi weibull data waktu kerusakan roti dapat dianalisis, parameter distribusi ini dihitung untuk memahami pola pembusukan setiap jenis roti. semakin tinggi nilai parameter weibull, semakin cepat roti membusuk,
2. Pengolahan Data Permintaan Pelanggan Data permintaan pelanggan dianalisis menggunakan distribusi eksponensial.
Model ini digunakan untuk memahami hubungan antara harga roti dan jumlah permintaan pelanggan. Parameter distribusi eksponensial dihitung untuk menentukan seberapa besar perubahan permintaan akibat perubahan harga.
3. Perhitungan Economic Order Quantity (EOQ) Berdasarkan data permintaan dan pembusukan, dilakukan perhitungan EOQ menggunakan persamaan diferensial. Perhitungan ini untuk mengetahui jumlah pemesanan optimal yang dapat meminimalkan pemborosan yang disebabkan oleh pembusukan roti serta memastikan stok cukup untuk memenuhi permintaan pelanggan.
4. Simulasi Model EOQ dengan R Programming
Data yang telah diolah kemudian diuji melalui simulasi menggunakan R Programming. Simulasi dilakukan dengan mengubah parameter Weibull dan Eksponensial untuk mengetahui perubahan tingkat pembusukan dan permintaan yang mempengaruhi EOQ.
5. Pengujian Kesesuaian Model (Goodness of Fit Test)
Untuk memastikan bahwa Distribusi Weibull benar-benar cocok dengan data pembusukan, dilakukan uji statistik menggunakan Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling, dan Chi-Square.
Hasil dari pengujian ini menentukan apakah parameter yang digunakan sudah sesuai dengan pola pembusukan roti yang diamati.
6. Interpretasi Hasil dan Pengambilan Kesimpulan
Hasil dari perhitungan EOQ dibandingkan dengan metode pemesanan konvensional yang digunakan oleh bakery. Jika model EOQ terbukti dapat mengurangi terhadap pemborosan serta membuat produksi lebih efisien, maka model ini dianggap efektif dan dapat diimplementasikan.
3.6 Diagram Alir
Mulai
Identifikasi Masalah
Studi Literatur
Pengumpulan Data
Analisis Data
Interpretasi Hasil
Selesai
BAB IV SIMULASI
4.1 Data
Dalam penelitian ini digunakan data parameter sebagai berikut:
Permintaan barang mengikuti model:
D(t) =a·pr·tm = 100·p−1·t= 100
50 ·t= 2t
Barang mengalami kerusakan mengikuti distribusi Weibull dengan fungsi keandalan:
R(t) =e−(αt)β
4.2 Perhitungan
Langkah-langkah perhitungan simulasi dilakukan sebagai berikut:
1. Fungsi Total Biaya (Total Cost / TC) Total biaya terdiri atas:
C1 = A
T (Biaya pemesanan)
C2 = h T
Z T
0
R(t)·
Q− Z t
0
D(u)du
dt (Biaya penyimpanan) C3 =π·jumlah kekurangan (Biaya kehabisan stok) 2. Estimasi Optimal
Dengan substitusi parameter dan perhitungan numerik, diperoleh:
T∗≈1,47 (Waktu siklus optimal) Q∗=
Z T∗
0
D(t)·R(t)dt≈147,78 (Jumlah pemesanan optimal) T C≈323,69 (Total biaya minimum)
4.3 Analisa
Hasil simulasi menunjukkan bahwa:
• Laju kerusakan meningkat seiring waktu karena parameter bentukβ = 1,5>1.
• Permintaan meningkat terhadap waktu namun menurun terhadap harga.
• Optimasi dilakukan untuk menentukan waktu dan jumlah pemesanan yang meminimalkan total biaya.
• NilaiT∗ = 1,47 menunjukkan siklus pemesanan sekitar 1,47 unit waktu.
• NilaiQ≈147,78adalah jumlah pemesanan optimal.
4.4 Kesimpulan
Simulasi menunjukkan bahwa model persediaan dengan barang mudah rusak dan permintaan dinamis menghasilkan keputusan optimal sebagai berikut:
• Waktu siklus optimal:T∗≈1,47unit waktu.
• Ukuran pemesanan optimal:Q∗ ≈147,78unit.
• Total biaya minimum:T C≈323,69.
• Model ini efektif untuk barang mudah rusak karena mempertimbangkan kerusakan dan perilaku permintaan.
Tabel 4.1 Data Parameter Model Persediaan
Parameter Keterangan Nilai
p Harga jual per unit barang Rp 50
A Biaya pemesanan per siklus Rp 25
h Biaya penyimpanan per unit per waktu Rp 1,5
π Biaya kekurangan per unit Rp 2,5
α Parameter skala distribusi Weibull 0,01 β Parameter bentuk distribusi Weibull 1,5
a Parameter skala permintaan 100
r Elastisitas harga terhadap permintaan -1 m Faktor pengaruh waktu terhadap permintaan 1
BAB V
APLIKASI/TERAPAN
5.1 Penerapan
Metode ini dapat diterapkan di tempat produksi/toko yang menjual produk yang bersifat cepat kadaluarsa atau membusuk seperti makanan .
5.2 Latar belakang
Di toko dengan produksi barang yang mempunyai masa simpan terbatas memerlukan strategi pengelolaan inventaris yang tepat untuk mengurangi potensi kerugian akibat penurunan kualitas produk.
Pendekatan penelitian ini yang menggunakan model Economic Order Quantity (EOQ) untuk menentukan jumlah optimal barang yang harus dipesan dan kapan waktu yang tepat untuk melakukan pemesanan ulang sangat tepat untuk menyelesaikan permasalahan tersebut.
5.3 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, rumusan masalah pada penelitian ini adalah:
1. Bagaimana menentukan jumlah pesanan optimal untuk barang yang cepat rusak sehingga dapat meminimalkan terjadinya kerusakan?
2. Bagaiman tingkat pembusukan roti dapat dimodelkan dengan menggunakan distribusi weibull?
3. Bagaimana pola permintaan pelanggan dapat dimodelkan dengan menggunakan distribusi eksponensial?
5.4 Batasan Asumsi:
1. Barang yang dianalisis bersifat mudah rusak, dan tingkat kerusakannya mengikuti distribusi Weibull.
2. Tingkat permintaan konsumen dipengaruhi oleh harga dan mengikuti distribusi eksponensial.
3. Harga produk dianggap tetap atau stabil dalam beberapa hari pertama masa hidup produk.
4. Model EOQ disimulasikan menggunakan bahasa pemrograman R untuk memperoleh jumlah pemesanan optimal.
Batasan :
1. Penelitian dilakukan pada satu jenis produk, yaitu roti, sehingga hasilnya belum tentu berlaku untuk produk mudah rusak lainnya.
2. Data yang digunakan bersifat sekunder dan diperoleh dari satu lokasi, yaitu Afe Babalola University Bakery, Nigeria.
3. Periode pengamatan dibatasi dari Januari hingga Juli 2019.
4. Permintaan konsumen hanya dimodelkan berdasarkan faktor harga, tanpa mempertimbangkan faktor eksternal lainnya 5.5 Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah yang telah dipaparkan, tujuan penelitian ini adalah:
1. Mengetahui EOQ barang yang mudah rusak untuk sehingga kerusakan dapat diminimalkan.
2. Memodelkan tingkat pembusukan roti dengan distibusi weibul untuk memperkirakan masa simpan yang optimal .
