PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL BERDASARKAN SENSOR TIPE I
Rizka Anggraini
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This article discusses parameters of Weibull distribution type-I censored. The estimators are obtained through maximum likelihood method. The estimators of Weibull distribution type-I censored does not have explisit solution. Then the numerical approach is applied, which is called approximate maximum likelihood estimators through numerical method, so that the estimators are obained explicit form.
Keywords: Type-I censored, Weibull distribution, extreme value distribution, maximum likelihood method, Taylor theorem
ABSTRAK
Artikel ini membahas parameter distribusi Weibull berdasarkan sensor tipe I. Penaksir parameter distribusi Weibull berdasarkan sensor tipe I diperoleh dengan metode maksimum likelihood. Penaksir distribusi Weibull berdasarkan sensor tipe I tidak berbentuk eksplisit. Selanjutnya dilakukan pendekatan secara numerik yang disebut pendekatan penaksir maksimum likelihood, sehingga penaksir parame-ter yang diperoleh berbentuk eksplisit.
Kata kunci: Sensor tipe I, distribusi Weibull, distribusi nilai ekstrim, metode
maksimum likelihood, teorema Taylor
1. PENDAHULUAN
Di dalam buku Kleinbaum dan Klein [7, h. 4] disebutkan bahwa analisis survival adalah prosedur untuk menganalisa data dimana variabel yang diperhatikan yaitu waktu sampai terjadinya suatu kejadian. Pada analisis survival, waktu yang diukur disebut waktu survival karena variabel tersebut menunjukkan waktu objek dapat bertahan selama dilakukan pengamatan.
Kleinbaum dan Klein [7, h. 5] menjelaskan dalam bukunya bahwa analisis
survival harus mempertimbangkan masalah analitis yaitu sensor. Sensor terjadi ketika diperoleh informasi mengenai waktu hidup objek, tetapi tidak diketahui pasti waktu hidupnya. Di dalam buku Lee dan Wang [10, h. 2] sensor dibagi menjadi tiga tipe yaitu sensor tipe I, tipe II dan tipe III. Sensor tipe I merupakan pengamatan akan dihentikan apabila mencapai waktu penyensoran tertentu. Sensor tipe II terjadi apabila pengamatan akan dihentikan setelah kerusakan atau kegagalan objek ke-r telah diperoleh. Sensor tipe III merupakan suatu penga-matan yang dilakukan terhadap beberapa objek pada waktu yang berbeda pada jangka waktu tertentu.
Di dalam buku Kleinbaum dan Klein [7, h. 260], terdapat beberapa distribusi yang digunakan pada analisis survival yaitu distribusi Weibull, distribusi Eksponensial, distribusi Log-normal dan distribusi Gamma. Dari beberapa dis-tribusi tersebut, artikel ini menggunakan disdis-tribusi Weibull.
Lai [8, h. 1] menjelaskan dalam bukunya bahwa distribusi Weibull merupakan distribusi peluang kontinu yang diperkenalkan oleh Waloddi Weibull pada tahun 1951. Sejak saat itu, distribusi Weibull menjadi salah satu distribusi waktu hidup yang paling baik dalam teknik keandalan dan dibidang lain.
Pada artikel ini, penaksir parameter diperoleh dengan metode maksimum
likelihood dan dilanjutkan dengan teorema Taylor yang digunakan untuk memperoleh penaksir parameter yang berbentuk eksplisit. Pembahasan tersebut merupakan tinjauan sebagian dari artikel Joarder et al. [6].
2. LANDASAN TEORI
Lai [8, h. 1] menjelaskan dalam bukunya bahwa distribusi Weibull merupakan distribusi peluang kontinu yang diperkenalkan oleh Waloddi Weibull pada tahun 1951. Sejak saat itu, distribusi Weibull menjadi salah satu distribusi waktu hidup yang paling baik dalam teknik keandalan dan dibidang lain. Di dalam buku Klein dan Moeschberger [?, h. 45] disebutkan bahwa distribusi Weibull biasanya digunakan dalam pembahasan uji hidup yang sering digunakan dalam berbagai bidang seperti biomedik dan industri.
Definisi 1 [1, h. 116] Misalkan variabel random X berdistribusi Weibull dengan parameter bentuk dan skala masing-masing α dan λ. Fungsi kepadatan peluang dari
X adalah f (x; α, λ) = α λαx α−1 e(−xλ) α , (1) dengan x > 0, α > 0, dan λ > 0.
Fungsi distribusi kumulatif untuk distribusi Weibull yaitu
F (x) = 1− e(−λx) α
Di dalam buku Lawless [9, h. 20] disebutkan bahwa distribusi nilai ekstrim disebut juga sebagai distribusi Gumbel. Distribusi nilai ekstrim diperoleh dengan melakukan transformasi variabel terhadap distribusi Weibull.
Teorema 2 [1, h. 198] Misalkan X adalah variabel random kontinu dengan fungsi kepadatan peluang f (x), dan asumsikan bahwa Y = u(X) mendefinisikan trans-formasi satu-satu dari A = x|f(x) > 0 pada B = y|f(y) > 0 dengan invers trans-formasi x = w(y). Jika turunan dari w(y) kontinu dan tidak nol pada B, maka fungsi kepadatan peluang dari Y adalah
f (y) = f (w(y)) d dyw(y)
(3)
Bukti. Terdapat pada Bain dan Engelhardt [1, h. 198]. 2 Definisi 3 [6] Jika variabel random X mempunyai fungsi kepadatan peluang berdistribusi Weibull, maka variabel random Y = ln X berdistribusi nilai ekstrim dengan fungsi kepadatan peluang yaitu
f (y; µ, σ) = 1 σe ( y−µ σ −e (y−µ σ ) ) , (4) dengan −∞ < y < ∞, µ = ln λ, dan σ = α1.
Fungsi distribusi kumulatif untuk distribusi nilai ekstrim sebagai berikut:
F (y) = 1− e−e(
y−µ σ )
.
Jika X merupakan variabel random menyatakan waktu bertahan hidup, maka Y merupakan variabel random menyatakan logaritma dari waktu bertahan hidup. Fungsi survival untuk distribusi nilai ekstrim, yaitu
S(y) = 1− F (y) S(y) = e−e(
y−µ σ )
. (5)
Metode maksimum likelihood merupakan metode yang digunakan untuk menaksir parameter sedemikian hingga penaksir yang diperoleh memaksimumkan fungsi likelihood. Penaksir yang diperoleh disebut penaksir maksimum likelihood. Definisi 4 [1, h. 293] Fungsi likelihood merupakan fungsi kepadatan peluang bersama dari n variabel random X1, X2, . . . , Xn dan dinyatakan dalam bentuk f (x1, x2, . . . , xn; θ). Jika X1, X2, . . . , Xn ditetapkan, maka fungsi likelihood adalah
menyatakan suatu sampel random dari f (x; θ), maka L(θ) = f (x1; θ).f (x2; θ).· · · .f(xn; θ) = n ∏ i=1 f (xi, θ).
Definisi 5 [1, h. 294] Misalkan f (x1, x2, . . . , xn; θ), θ ∈ Ω, adalah fungsi
kepadatan peluang bersama dari X1, X2, . . . , Xn. Untuk suatu himpunan
penga-matan, x1, x2, . . . , xn, nilai ˆθ dalam Ω yang memaksimumkan f (x1, x2, . . . , xn; θ)
disebut suatu penaksir maksimum likelihood dari θ yang memenuhi
f (x1, x2, ..., xn; ˆθ) = max
θ∈ Ωf (x1, x2, ..., xn; θ).
Jika L(θ) memiliki turunan dan maksimum pada Ω dimana Ω adalah interval terbuka, maka penaksir maksimum likelihood diperoleh dengan menyelesaikan persamaan
∂
∂θL(θ) = 0. (6)
Setiap nilai θ yang memaksimumkan L(θ) juga akan memaksimumkan fungsi logaritma natural-likelihood, ln L(θ). Sehingga penaksir maksimum likelihood dari
L(θ) diperoleh dengan menyelesaikan persamaan ∂
∂θ ln L(θ) = 0. (7)
Bartle dan Sherbert[4, h. 188] menyatakan bahwa setiap fungsi dapat didekati dengan polinomial. Teorema yang menggunakan polinomial adalah teorema Taylor. Teorema 6 [4, h. 188] Misalkan n ∈ N, I = [a, b] dan f : I → R sedemikian hingga f dan f′, f′′, f′′′, ..., f(n) kontinu pada I dan f(n+1) ada pada (a, b).
Jika x0 ∈ I maka untuk sebarang x ∈ I terdapat suatu titik c diantara x dan x0,
sehingga f (x) =f (x0) + f′(x0)(x− x0) + f′′(x0) 2! (x− x0) 2+ ... + f(n)(x0) n! (x− x0) n + f (n+1)(c) (n + 1)! (x− x0) (n+1). (8)
Bukti.Terdapat pada Bartle dan Sherbert [4, h. 189]. 2 3. PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL
BERDASARKAN SENSOR TIPE I
Parameter distribusi Weibull berdasarkan sensor tipe I ditaksir menggunakan metode maksimum likelihood. Selanjutnya akan ditaksir parameter dari
distribusi nilai ekstrim. Kemudian dilanjutkan dengan melakukan komputasi numerik menggunakan teorema Taylor, hingga didapatkan bentuk penaksir yang bersifat eksplisit.
Di dalam buku Lee dan Wang [10, h. 162] disebutkan bahwa misalkan
X1, . . . , Xd, Xd+1∗ , . . . , Xn∗ merupakan waktu yang diamati dari n objek, dengan d
waktu eksak dan (n − d) waktu tersensor kanan. Jika waktu survival diskrit,
f (x, θ) menyatakan peluang dari pengamatan X dan S(x, θ) menyatakan peluang
untuk waktu survival lebih besar dari X, maka ∏di=1f (xi, θ) menyatakan peluang
bersama dari waktu survival tidak tersensor dan ∏ni=d+1S(x∗i, θ) menyatakan
peluang bersama dari waktu survival sensor kanan. Fungsi kepadatan peluang bersama disebut sebagai fungsi likelihood untuk parameter θ yang dinotasikan
L(θ) dapat dinyatakan sebagai berikut:
L(θ) = d ∏ i=1 f (xi, θ) n ∏ i=d+1 S(x∗i, θ) (9)
Di dalam artikel Joarder et al. [6], disebutkan bahwa asumsikan n objek dinyatakan oleh X1, X2, . . . , Xn dan waktu sensor T diketahui terlebih dahulu. Waktu
hidup terurut dari objek penelitian dinyatakan oleh X(1), X(2), . . . , X(n). Misalkan
d(≤ n) merupakan banyak objek yang gagal dan berada sebelum waktu T, maka
berdasarkan sensor tipe I dapat dinyatakan oleh {
X(1), X(2), . . . , Xn
}
dengan0≤ d ≤ n danX(d) < T < Xd+1. (10)
Meskipun Xd+1 tidak teramati tetapi X(d) < T < Xd+1 mempunyai arti bahwa
kegagalan d terjadi sebelum T dan tidak ada kegagalan diantara X(d) dan T , dengan
kata lain Xd+1, . . . , Xn tidak teramati.
Teorema 7 [1, h. 223] Jika X(1), X(2), . . . , X(d) merupakan nilai-nilai dari sampel
random berukuran n dari f (x) yaitu sensor kanan tipe I di T, maka fungsi kepadatan peluang bersama dari X(1), X(2), . . . , X(d) yaitu
f (x(1), x(2), . . . , x(d)) = n! (n− d)![1− F (T )] n−d d ∏ i=1 f (x(i)), (11) dengan x(1), x(2), . . . , x(d) < T , d = 1, 2, . . . , n, P [R = 0] = [1− F (T )]n.
Dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh fungsi kepadatan peluang bersama dari X1, X2, . . . , Xd, yang merupakan sampel random sebelum waktu T , yaitu
f (x(1), x(2), . . . , x(d)) = n! (n− d)! (α λα )d∏d i=1 xα(i)−1e− (∑d i=1 (x(i) λ )α +(n−d)(Tλ)α) . (12) L(α, λ) = n! (n− d)! (α λα )d∏d i=1 xα(i)−1e− (∑d i=1 (x(i) λ )α +(n−d)(Tλ)α) . (13)
Selanjutnya melakukan transformasi logaritma natural terhadap persamaan (13), yaitu ln L(α, λ) = d(ln α− α ln λ) + (α − 1) d ∑ i=1 ln x(i)− d ∑ i=1 (x (i) λ )α − (n − d) ( T λ )α . (14) Kemudian persamaan (14) diturunkan secara parsial terhadap α dan λ selanjutnya disamakan dengan nol, diperoleh
0 =d α − d ln λ + d ∑ i=1 ln x(i)− d ∑ i=1 (x(i) λ )α (ln x(i)− ln λ) − (n − d) ( T λ )α (ln T − ln λ). (15) 0 =− dα λ + α d ∑ i=1 xα (i) λα+1 + (n− d) αTα λα+1. (16)
Penaksir parameter α dan λ diperoleh dengan metode eliminasi, sehingga ˆ α = d −∑d i=1ln x(i)+ ∑d i=1 (x(i) λ )α (ln x(i)− ln T ) + d ln T , (17) ˆ λ =α √∑d i=1x α (i)+ (n− d)Tα d . (18)
Dari persamaan (17) dan (18), dapat dilihat bahwa penaksir parameter berdistribusi Weibull berdasarkan sensor tipe I diperoleh dengan metode maksimum likelihood. Namun, ˆα dan ˆλ tidak berbentuk eksplisit sehinga penaksir
parameter ditentukan dengan menggunakan distribusi nilai ekstrim, yaitu dengan melakukan transformasi variabel Y = ln X.
Dengan mensubtitusikan fungsi kepadatan peluang dan fungsi survival dari nilai ekstrim ke persamaan (9) diperoleh fungsi likelihood yaitu
L(µ, σ) = 1 σd d ∏ i=1 e y(i)−µσ −e ( y(i)−µ σ ) e ( −(n−d)e(W−µσ ) ) , (19)
logaritma natural terhadap persamaan (19), yaitu ln L(µ, σ) =−d ln σ + 1 σ d ∑ i=1 ( y(i)− µ ) − d ∑ i=1 e ( y(i)−µ σ ) − (n − d)e(W−µσ ). (20)
Kemudian persamaan (20) diturunkan secara parsial terhadap µ dan σ
selanjutnya disamakan dengan nol, diperoleh
0 =− d + d ∑ i=1 e ( y(i)−µ σ ) + (n− d)e(Wσ−µ). (21) 0 =− dσ − d ∑ i=1 (y(i)− µ) + ( y(i)− µ )∑d i=1 e ( y(i)−µ σ ) + (n− d)(W − µ)e(W−µσ ). (22)
Penaksir parameter µ dan σ, diperoleh dengan metode eliminasi. Sehingga diperoleh
ˆ µ = W ( d−∑di=1e ( y(i)−µ σ )) − dσ −∑d i=1(y(i)− µ) + ∑d i=1y(i)e ( y(i)−µ σ ) d , (23) ˆ σ =1 d ( − d ∑ i=1 (y(i)− µ) + (y(i)− µ) d ∑ i=1 e ( y(i)−µ σ ) + (n− d)(W − µ)e(Wσ−µ) ) . (24)
Penaksir parameter ˆµ dan ˆσ pada persamaan (23) dan (24) diperoleh dalam
bentuk implisit, oleh karena itu pendekatan numerik dijadikan sebagai cara alternatif untuk memperoleh penaksir parameter yang berbentuk eksplisit. Metode numerik yang digunakan adalah deret Taylor orde satu. Langkah pertama ialah memisalkan persamaan (19) dengan
z(i) = y(i)− µ σ , i = 1, 2,· · · , d, V =W − µ σ , g(y) =ey−ey, (25) ¯ G(y) =e−ey, D =n− d.
Kemudian diperoleh persamaan sebagai berikut:
L(µ, σ) = 1 σd d ∏ i=1 g(z(i))( ¯G(V ))D. (26)
yaitu ln L(µ, σ) =− d ln σ + d ∑ i=1 ln(g(z(i))) + D ln( ¯G(V )). (27)
Kemudian persamaan (27) diturunkan secara parsial terhadap µ dan σ selanjutnya disamakan dengan nol, diperoleh
0 = − d ∑ i=1 g′(z(i)) g(z(i)) + D× g(V ) ¯ G(V ). (28) 0 = −d − d ∑ i=1 g′(z(i)) g(z(i)) × z(i)+ D× g(V ) ¯ G(V )× V. (29)
Penaksir parameter ˆµ dan ˆσ diperoleh dengan menyelesaikan gg(z′(z(i))
(i)) dan
g(V )
¯
G(V )
menggunakan deret Taylor orde satu yaitu
f (x)≈ f(x0) + f′(x0)(x− x0) (30)
Di dalam artikel Balakrishnan dan Varadan [3] disebutkan bahwa pendekatan teo-rema Taylor orde satu untuk g′(z(i))
g(z(i)) dan
g(V )
¯
G(V ) berturut-turut diekspansikan di
sek-itar µi dan µ∗d. Berdasarkan persamaan (30), diperoleh pendekatan g′(z(i)) g(z(i)) dan g(V ) ¯ G(V ) yaitu g′(z(i)) g(z(i)) ≈ g′(µi) g(µi) + ( g′′(µi) g(µi) − ( g′(µi) g(µi) )2) (z(i)− µi), (31) g(V ) ¯ G(V ) ≈ g(µ∗d) ¯ G(µ∗d) + ( g′(µ∗d) ¯ G(µ∗d)− ( g(µ∗d) ¯ G(µ∗d) )2) (V − µ∗d). (32)
Kemudian persamaan (31) dan (26) disubtitusikan ke dalam persamaan (28) yaitu − ( d ∑ i=1 g′(µi) g(µi) + ( g′′(µi) g(µi) − ( g′(µi) g(µi) )2) (z(i)− µi) ) + D ( g(µ∗d) ¯ G(µ∗d) + ( g′(µ∗d) ¯ G(µ∗d)− ( g(µ∗d) ¯ G(µ∗d) )2) (V − µ∗d) ) ≈ 0. (33)
persamaan (33), lantas diperoleh (( d ∑ i=1 eµi + Deµ∗d ) − ( d ∑ i=1 µieµi + Dµ∗de µ∗d ) − d ) σ + ( d ∑ i=1 y(i)eµi + DW eµ ∗ d ) − µ ( d ∑ i=1 eµi+ Deµ∗d ) ≈ 0. (34)
Setelah itu persamaan (31) dan (26) disubtitusikan ke dalam persamaan (29) yaitu − d − ( g′(µi) g(µi) + ( g′′(µi) g(µi) − ( g′(µi) g(µi) )2) (z(i)− µi) ) × z(i) + D× ( g(µ∗d) ¯ G(µ∗d) + ( g′(µ∗d) ¯ G(µ∗d) − ( g(µ∗d) ¯ G(µ∗d) )2) (V − µ∗d) ) × V ≈ 0. (35)
Persamaan (25) disubtitusikan ke dalam persamaan (35) diperoleh
dσ2+ ( − ( d ∑ i=1 y(i)eµi+ DW eµ ∗ d ) + d ∑ i=1 (y(i)− µ) + ( d ∑ i=1 y(i)µieµi + DW µ∗deµ ∗ d ) + µ (( d ∑ i=1 eµi + Deµ∗d ) − ( d ∑ i=1 µieµi+ Dµ∗deµ ∗ d )) ) σ − µ2 ( d ∑ i=1 eµi + Deµ∗d ) + 2µ ( d ∑ i=1 y(i)eµi+ DW eµ ∗ d ) − ( d ∑ i=1 y(i)2 eµi + DW2eµ∗d ) ≈ 0 (36)
Berdasarkan pendekatan (34) dan pendekatan (36) ditulis menjadi
(c1− c2− d)σ + c3− µc1 ≈ 0, (37) Aσ2+ Bσ + C ≈ 0, (38) yang mana c1 = ∑d i=1eµi + Deµ ∗ d, c2 = ∑d i=1µieµi + Dµdeµ ∗ d, c3 = ∑d i=1y(i)eµi + DW eµ∗d, d 1 = ∑d i=1y(i)µie µi + DW µ∗ deµ ∗ d, d2 = ∑d i=1y 2 i=1eµi + DW2eµ ∗ d, d3 = ∑d
i=1(y(i)− µ), A = d, B = −c3+ d1+ d3+ µ(c1+ c2), C =−µ2c1+ 2µc3− d2 dan
D = n− d. Solusi dari pendekatan yang diperoleh yaitu
ˆ
µ≈ (c1− c2− d)ˆσ + c3 c1
ˆ
σ ≈ −B + √
B2− 4AC
2A . (40)
Dari persamaan (39) dan (40) dapat dilihat persamaan sudah berbentuk eksplisit. Parameter µ dan σ merupakan parameter dari distribusi nilai
ekstrim. Hubungan distribusi nilai ekstrim dengan distribusi Weibull ialah µ = ln λ dan σ = 1α. Sehingga diperoleh λ = eµ dan α = 1
σ. Balakrishnan dan Varadan [3]
menjelaskan dalam artikelnya bahwa berdasarkan teorema Taylor g′(z(i))
g(z(i)) dan
g(V )
¯
G(V )
berturut-turut diekspansikan disekitar titik µi = ln(− ln qi) dan µ∗d = ln(− ln qd∗)
dengan pi = n+1i , qi = 1− pi, i = 1, 2, . . . , d, p∗d=
(pd+pd+1)
2 , qd∗ = 1− p∗d.
4. Langkah Menaksir Parameter Distribusi Weibull Berdasarkan Sensor Tipe I dengan MATLAB
Untuk memberikan gambaran tentang teori yang berkaitan dengan pen-dekatan penaksir maksimum likelihood untuk parameter distribusi Weibull berdasarkan sensor tipe I. Berikut disajikan sebuah contoh yang diambil dari buku Collett [5, h. 9].
Data pada Tabel 1 dibawah ini merupakan pengamatan waktu survival terhadap 48 pasien yang mengalami penyakit myeloma pada usia antara 50 hingga 80 tahun. Myeloma adalah sel kanker ganas yang berasal dari sel plasma. Waktu penelitian dibatasi hingga 30 bulan. Dalam waktu 30 bulan, diperoleh data 35 pasien yang meninggal dengan waktu yang berbeda-beda.
Solusi diperoleh dengan menggunakan program MATLAB 7.10.0. Hasil per-hitungan dapat dilihat pada Tabel 2.
Pada Tabel 2 kolom pertama menyatakan urutan iterasi, kolom kedua merupakan nilai dari ˆµ, kolom ketiga merupakan nilai dari ˆσ, kolom keempat
merupakan eror yang diperoleh dari parameter ˆσ dan kolom terakhir adalah eror
yang diperoleh dari parameter ˆσ. Batas eror ˆµ dan ˆσ yaitu 10−6. Terlihat dari Tabel 2, diperlukan 15 kali iterasi untuk memperoleh nilai dari ˆµ dan ˆσ.
4. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa penaksir parameter distribusi Weibull berdasarkan sensor tipe I diperoleh dengan melakukan transformasi variabel Y = ln X, yang menghasilkan distribusi nilai ekstrim. Penaksir parameter distribusi nilai ekstrim diperoleh dengan metode maksimum likelihood dan kemudian dilakukan pendekatan dengan deret Taylor orde 1. Penaksir parameter distribusi nilai ekstrim tersebut sudah berbentuk eksplisit. Berdasarkan transformasi variabel diperoleh hubungan param-eter distribusi Weibull dengan paramparam-eter distribusi nilai ekstrim yaitu λ = eµ dan
α = σ1. Dari hubungan tersebut diperoleh penaksir parameter distribusi Weibull berdasarkan sensor tipe I yang berbentuk eksplisit.
Tabel 1: Data Waktu Survival Penyakit Myeloma pada Tahun 1975 di Pusat Kese-hatan Universitas Virginia Barat, Amerika Serikat
Pasien ke-i Waktu Survival Pasien ke-i Waktu Survival
(dalam bulan) (dalam bulan)
1 13 19 5 2 6 20 16 3 10 21 1 4 7 22 5 5 10 23 10 6 10 24 18 7 14 25 1 8 16 26 18 9 4 27 6 10 5 28 1 11 11 29 23 12 10 30 15 13 15 31 18 14 5 32 12 15 24 33 12 16 4 34 17 17 8 35 3 18 18
Sumber : Pusat Kesehatan Universitas Virginia Barat, Amerika Serikat
Tabel 2: Hasil Komputasi Data Waktu Survival Penyakit Myeloma pada Tahun 1975 di Pusat Kesehatan Universitas Virginia Barat, Amerika Serikat
n µˆ σˆ error µ error σ 1 -6.1106 2.4721 1.79729261 0.28007975 2 -6.4526 2.7521 0.34196071 0.09108257 3 -6.5638 2.8432 0.11120639 0.03163033 4 -6.6024 2.8748 0.03861875 0.01120210 5 -6.6161 2.8861 0.01367710 0.00399372 6 -6.6210 2.8900 0.00487609 0.00142714 7 -6.6227 2.8915 0.00174245 0.00051040 8 -6.6233 2.8920 0.00062317 0.00018260 9 -6.6235 2.8922 0.00022294 0.00006533 10 -6.6236 2.8922 0.00007976 0.00002337 11 -6.6237 2.8923 0.00002854 0.00000836 12 -6.6237 2.8923 0.00001021 0.00000299 13 -6.6237 2.8923 0.00000365 0.00000107 14 -6.6237 2.8923 0.00000131 0.00000038 15 -6.6237 2.8923 0.00000047 0.00000014
Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada dosen Pembimbing Haposan Sirait, M.Si yang telah memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] L. J. Bain dan M. Engelhardt, Introduction to Probability and Mathematical Statistics, Second Edition, Wardsworth Publishing Company,
Belmont, 1991.
[2] L. J. Bain dan M. Engelhardt, Statistical Analysis of Reliability and Life-testing
Models, Marcel Dekker, New York, 1991.
[3] N. Balakrishnan dan J. Varadan, Approximate MLEs for the location and scale
parameters of the extreme value distribution with censoring, IEEE Transaction
on Reliability, 40 (1991), 146-151.
[4] R. G. Bartle dan D. R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, Third Edition, John Wiley and Sons, New York, 1999.
[5] D. Collett, Modelling Survival Data in Medical Research, Second Edition, Chap-man and Hall, New York, 2003.
[6] A. Joarder, H. Krishna dan D. Kundu, Inference on Weibull parameters with
conventional type-I censoring, Computational Statistics and Data Analysis, 55
(2011), 1-11.
[7] D. G. Kleinbaum dan M. Klein, Survival Analysis: A Self-Learning Text, Second
Edition, Springer Science Bussiness Media, New York, 2005.
[8] C. D. Lai, Generalized Weibull Distributions, Springer, New York, 2014. [9] J. F. Lawless, Statistical Models and Methods for Lifetime Data, Second Edition,
John Wiley and Sons, Hoboken, 2003.
[10] E. T. Lee dan J. W. Wang, Statistical Methods for Survival Data Analysis,
