DOKUMEN Kesebangunan dan kekongruenan bangun datar

(1)

(2)

Bagaimana bisa? Kita bisa melihat contoh penerapan soal

kesebangunan, yang mengulas materi tersebut pada akhir bagian materi ini

➢ Dengan belajar materi kesebangunan memungkinkan seseorang menghitung lebar sungai tanpa mengukurnya.

➢ Selain itu juga dapat digunakan untuk menghitung tinggi gedung.

➢ Kesebangunan dan kekongruenan merupakan bagian dari ilmu geometri

➢ Bangun datar yang akan dibahas meliputi segitiga dan trapezium

Apakah perbedaan kesebangunan dan kekongruenan?

Cari lebih lanjut pada bahasan di bawah.

(3)

z

1. Kesebangunan pada bangun datar

➢ Kesebangunan merupakan sebuah bangun datar di mana sudut – sudutnya mempunyai kesesuaian yang sama besarnya.

➢ Dan juga panjang sisi – sisi sudutnya juga bersesuaian, mempunyai sebuah perbandingan yang senilai.

➢ Dengan kata lain, kesebangunan merupakan dua buah bangun yang memiliki sudut serta panjang sisi yang senilai.

➢ Kesebangunan disimbolkan dengan ‘~‘ yang bisa dibaca

sebangun. Misalkan diberikan dua buah bangun datar segitiga

ABC dan segitiga DEF. Maka jika terdapat tulisan ∆ABC ~ ∆

DEF dapat diartikan bahwa dua buah segitiga tersebut sebangun

(4)

Perhatikan contoh di bawah ini:

➢ Dua Bangun Datar yang Sebangun

(5)

Dua bangun datar pada slide 4 di atas adalah dua bangun yang sebangun, dengan memiliki beberapa sifat seperti yang ada di bawah ini:

1. Pasangan Sisi -sisinya yang Bersesuaian mempunyai Perbandingan senilai. Berikut penjelasannya:

Sisi AD dan KN merupakan ^𝐴𝐵

𝐾𝑁 = ³

6 = ¹

2 Sisi AB dan KL merupakan ^𝐴𝐵

𝐾𝐿 = ³

6 = ¹

2

Sisi BC dan LM merupakan ^𝐵𝐶

𝐿𝑀 = ³

6 = ¹

2 Sisi CD dan MN merupakan ^𝐶𝐷

𝑀𝑁 = ³

6 = ¹

2

Sehingga, dari uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa

𝐴𝐷

𝐾𝑁

=

^𝐴𝐵

𝐾𝐿

=

^𝐵𝐶

𝐿𝑀

=

^𝐶𝐷

𝑀𝑁

.

2. Besar Sudut – Sudut yang Bersesuaian Sama, yaitu:

∠A = ∠P; ∠B = ∠Q; ∠C = ∠R

(6)

Perhatikan contoh lainnya tentang kesebangunan dua bangun datar berikut

Bangun ABCD dan EFGH memenuhi kedua syarat, maka bangun ABCD dan EFGH sebangun, dinotasikan dengan ABCD

~

^EFGH

2. Sudut-sudut yang bersesuaian besarnya sama, yaitu:

∠A = ∠E; ∠B = ∠F; ∠C = ∠G; ∠D = ∠H

Apabila diamati dengan teliti, dari gambar di atas, dua segi empat sebangun akan diperoleh:

1. Perbandingan panjang sisi yang bersesuaian adalah sebanding (senilai), yaitu:

AB

EF

=

^BC

FG

=

^CD

GH

=

^AD

EH

(7)

Jabaran perbandingan sisi dan sudut antara bangun datar sebangun menentukan panjang sisi yang belum diketahui

1. Menentukan salah satu sisi dan sudut yang belum diketahui pada kesebangunan bangun datar.

Pada gambar di samping trapesium PQRS sebangun dengan trapesium WXYZ. Hitunglah:

a. Besar sudut R dan sudut Y b. Panjang YZ

Ingat syarat kesebangunan bangun datar!

(8)

a. Menentukan besar sudut R dan sudut Y Sudut-sudut yang sama besar adalah:

∠ P = ∠ X ; ∠ Q = ∠ Y ; ∠ R = ∠ Z ; ∠ S = ∠ W

Ingat: Sudut di dalam jajargenjang yang saling berhadapan sama besar Jumlah sudut dalam jar genjang adalah 360^𝑜

Perhatikan jajar genjang PQRS: ∠P = ∠R dan ∠Q = ∠S (berhadapan) Sehingga, 2(∠P) + 2(∠S) = 360

 2(∠P) + 2(140) = 360

 2(∠P) + 280 = 360

 2(∠P) = 360 − 280

 2(∠P) = 80  ∠P= ⁸⁰

2  ∠P = 40 = ∠R

 ∠ S =∠ Q = 140 = ∠ Y

Jadi besar sudut R adalah 40⁰ dan besar sudut Y adalah 140⁰

(9)

b. Menentukan panjang YZ, maka tentukan dahulu

Perbandingan sisinya:

PQ

XY

=

^QR

YZ

=

^RS

ZW

=

^SP

18 WX

9

=

¹⁰

YZ

=

¹⁸

9

=

¹⁰

WX (Ingat: pada jajar genjang sisi yang saling berhadapan sama panjang)

Cukup ambil 2 perbandingan saja yang memuat nilai ketiga sisinya diketahui:

PQ

XY

=

^QR

YZ



¹⁸

9

=

¹⁰

𝑌𝑍

 YZ =

^{9 x 10}

18

 YZ =

^{1 x 10}

2

 YZ = 5

Jadi panjang YZ adalah 5 cm

(10)

2. Kekongruenan pada bangun datar

❖ Kekongruenan bangun datar adalah dua benda atau lebih yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama

❖ Simbol kongruen adalah ≅

Contoh kekongruenan bangun datar di sekitar kita antara lain adalah seni mozaik (sarang lebah, desain dan arsitektur).

a. Polygon beraturan yang dapat menjadi seni mozaik adalah persegi, segitiga sama sisi, dan segienam beraturan.

(11)

c. Sarang lebah sebagai contoh bentuk mozaik di alam yang terdiri dari banyak sel berbentuk segi enam atau heksagonal seperti gambar di samping

d. Pola berulang dari bentuk kongruen biasanya juga digunakan dalam desain dan arsitektur. Contohnya seni mozaik juga digunakan dalam gambar islami yang dapat dinikmati pada elemen arsitektur.

b. Seni mozaik juga dapat dibentuk dari Poligon tak beraturan atau kombinasi dari dua atau lebih

poligon beraturan, seperti gambar di samping

(12)

Konsep dua bangun datar kongruen

Dua bangun yang kongruen bisa didapatkan melalui refleksi,

rotasi, dan translasi. Contoh:

(13)

Jadi terbukti jika trapesium ABCD kongruen dengan trapesium PQRS (trapesium ABCD ≅ trapesium PQRS), maka:

∠A = ∠R, ∠B = ∠S = 105⁰ , ∠C = ∠P = 75⁰, ∠D = ∠Q = 65⁰ Jadi ∠R = 360⁰ – (105⁰ + 65⁰ + 75⁰) = 360⁰ – 245⁰ = 115⁰

(14)

Terdapat pasangan bangun datar yang kongruen pada gambar di berikut ini.

Tentukan:

a. panjang sisi AB dan PS b. besar sudut C dan R

Jawab:

Ingat syarat kekongruenan bangun datar

a. menentukan panjang sisi AB dan PQ, maka kita harus mencari sisi-sisi yang bersesuaian dan sama panjang

AB = PQ ; BC = QR; CD = RS ; AD = PS

AB = 3 cm ; 2√2 cm = 2√2 cm ; 1 cm = 1 cm ; 2 cm = PS

Jadi panjang sisi AB = 3 cm dan panjang sisi PS = 2 cm

(15)

b. menentukan besar sudut, maka kita harus mencari sudut-sudut yang bersesuaian dan sama besar

∠ A = ∠ P = 90

⁰

∠ C = ∠ R

∠ B = ∠ Q = 45

⁰

∠ D = ∠ S = 90

⁰

∠ C = ∠ R = 360 – (90 x 2 + 45)

= 360 – 225

= 135

Jadi besar sudut C dan sudut R adalah 135

⁰

(16)

Sebangun

sisi-sisi yang bersesuaian harus mempunyai

perbandingan senilai

Kongruen sisi-sisi yang

bersesuaian harus sama panjang

PERBEDAAN SEBANGUN DAN KONGRUEN

Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

PERSAMAAN SEBANGUN DAN KONGRUEN

Jadi, semua bangun yang kongruen sudah pasti sebangun,

tapi kalau bangun yang sebangun belum tentu kongruen

(17)

z

(18)

➢ Seperti hal yang telah dipelajari bersama tentang syarat-syarat

kesebangunan bangun datar. Segitiga juga merupakan salah satu bentuk bangun datar, maka syarat dua bangun datar sebangun juga berlaku pada segitiga sebangun,

Untuk membuktikan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun, kita tidak perlu membandingkan semua panjang sisi dan besar sudut yang bersesuaian.

Namun ada syarat/kriteria khusus yang berlaku pada segitiga sebangun.

Prinsip-prinsip kesebangunan dua segitiga secara sederhana sesuai dengan pengertian kesebangunan, dua buah segitiga disebut sebangun jika:

a) Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua segitiga itu sama besar.

b) Sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga itu sebanding

(19)

Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

(kriteria sudut-sudut-sudut), yaitu:

∠ABC = ∠DEF (karena sehadap)

∠BCA = ∠EFD (karena sehadap)

∠CAB = ∠FDE (karena kedua sudut yang lain sama)

a) Segitiga sebangun berdasarkan sudut-sudut bersesuaian

(sudut-sudut-sudut) dan/atau

sisi-sisi yang bersesuaian (sisi-sisi-sisi) Perhatikan gambar disamping!

Perbandingan sisi-sisi yang

bersesuaian sama besar (kriteria sisi- sisi-sisi), yaitu:

AB : DE = 3 : 4 AC : DF = 3 : 4 BC : EF = 3 : 4

Khusus pada segitiga

,

dua segitiga dikatakan sebangun bila salah satu dari syarat syarat/kriteria di bawah ini terpenuhi

:

^{(syarat 1)}

(20)

b) Segitiga sebangun berdasar satu sudut dan dua sisi yang mengapit sudut (sisi-sudut-sisi)

Perhatikan ∆ABC dan ∆DEF pada gambar di bawah .

,

dua segitiga dikatakan sebangun bila salah satu dari syarat syarat/kriteria di bawah ini terpenuhi

:

^{(syarat 2)}

(21)

Pada ∆ABC : AC = 8 cm BC = 6 cm

∠BCA = 110⁰

Pada ∆PQR:

PR = 12 cm QR = 9 cm

∠QRP = 110⁰

Perbandingan sisi yang bersesuaian adalah:

AC : PR = 8 cm : 12 cm = 2 : 3 BC : QR = 6 cm : 9 cm = 2 : 3

Jadi ∆ABC dan ∆PQR sebangun karena besar ∠BCA = ∠QRP dan dua sisi bersesuaian yang mengapit sudut itu sebanding.

(22)

Rumus-rumus yang diperoleh dari kesebangunan dalam segitiga

(23)

Rumus-rumus yang diperoleh dari kesebangunan dalam segitiga

(24)

Rumus-rumus yang diperoleh dari kesebangunan dalam segitiga.

Teori salah. ganti

(25)

Penyelesaian:

AC = 15 cm, GH = 20 cm AC = GE =BF = 15 cm GH = FE = AB = 20 cm EB = HE = BC

EB² = BF² = FE² EB = 15² + 20² EB = 225 + 400 EB = 625

EB = 25 𝑐𝑚 Contoh 1

1) Perhatikan gambar di bawah ini!

Diketahui AC = 15 cm, GH = 20 cm.

Tentukan panjang EB !

(26)

Penyelesaian:

AC = AD + CD = 3 + 6 = 9 Panjang AB:

𝐶𝐷

𝐴𝐶 = ^𝐷𝐸

𝐴𝐵  ⁶

9 = ¹⁰

𝐴𝐵

𝐴𝐵 = ^{9 ×10}

6

AB = ⁹⁰

6

AB = 15 cm Contoh 2

2) Perhatikan gambar di bawah ini!

Tentukan panjang AB !

(27)

Diketahui:

PS = 3,6 cm; SR = 6,4 cm PR = PS + SR

= 3,6 + 6,4 = 10 cm Penyelesaian:

𝑃𝑄² = 𝑃𝑆 × 𝑃𝑅 𝑃𝑄² = 3,6 × 10 𝑃𝑄² = 36

PQ = 36  PQ = 6 cm Contoh 3

3) Perhatikan gambar

segitiga PQR di bawah ini!

Tentukan panjang PQ !

(28)

z

(29)

z

(30)

➢ Pada pembahasan tentang kekongruenan pada bangun datar, telah

diperoleh kesimpulan bahwa jika dua bangun datar kongruen maka sisi- sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

➢ Apakah hal tersebut berlaku pada pada bangun datar segitiga?

Perhatikan gambar berikut!

(sisi dan sudut yang bersesuaian adalah yang mempunyai simbol yang sama)

P

Jika ∆ABC ditranslasi ke ∆KLM akan tepat berimpit, sehingga sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

(31)

Maka dari gambar pada slide 2 di atas dapat diperoleh:

Sudut-sudut:

➢ ∠CAB dan ∠MKL saling menempati karena ∠CAB = ∠MKL

➢ ∠ABC dan ∠KLM saling menempati karena ∠ABC = ∠KLM

➢ ∠BCA dan ∠LMK saling menempati karena ∠BCA = ∠LMK Sisi-sisi:

➢ AB dan KL saling menempati karena AB = KL

➢ BC dan LM saling menempati karena BC = LM

➢ AC dan KM saling menempati karena AC = KM

Ternyata ∆ABC dan ∆KLM mempunyai sisi dan

sudut yang bersesuaian sama besar, ketika diimpitkan akan saling menutupi. Jadi ∆ABC ≅ ∆KLM.

(32)

Jadi, ∆PQR dan

∆UVW saling

menempati dengan tepat , sehingga

∆PQR kongruen dengan ∆UVW (∆PQR ≅ ∆UVW) Dari gambar di atas, jika ∆PQR diimpitkan pada

∆UVW maka diperoleh:

▪ PQ dan UV saling menempati sebab PQ = UV

▪ QR dan VW saling menempati sebab QR = VW

▪ PR dan UV saling menempati sebab PR = UV

a) Ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang ( sisi-sisi-sisi)

,

dua segitiga dikatakan kongruen bila salah satu dari syarat syarat/kriteria di bawah ini terpenuhi

:

^{(syarat 1)}

(33)

Jadi, ∆ABC dan

∆DEF saling

∆ABC kongruen dengan ∆DEF (∆ABC ≅ ∆DEF) Dari gambar di bawah jika ∆ABC diimpitkan pada

∆DEF maka akan diperoleh:

▪ AB dan DE saling menempati karena AB = DE

▪ ∠CAB dan ∠FDE saling menempati karena

∠CAB = ∠FDE

▪ AC dan DF saling menempati karena AC = DF

b) Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit kedua sisi tersebut sama besar (sisi-sudut-sisi)

,

:

^{(syarat 2)}

(34)

Jadi, ∆PQR dan

∆UVW saling

∆PQR kongruen dengan ∆UVW (∆PQR ≅ ∆UVW) Dari gambar di atas jika ∆PQR diimpitkan pada

∆UVW maka akan diperoleh:

▪ ∠RPQ dan ∠WUV saling menempati karena

∠RPQ = ∠WUV

▪ PQ dan UV saling menempati karena PQ = UV

▪ ∠PQR dan ∠UVW saling menempati karena

∠PQR = ∠UVW

c) Satu sisi dan diapit dua sudut yang terletak pada sisi segitiga (sudut-sisi-sudut)

,

:

^{(syarat 3)}

(35)

Jadi, ∆ABC dan

∆DEF saling

∆ABC kongruen dengan ∆DEF (∆ABC ≅ ∆DEF) Dari gambar di atas jika ∆ABC diimpitkan pada

∆DEF maka akan diperoleh:

▪ ∠ACB dan ∠DFE saling menempati karena

∠ACB = ∠DFE

▪ ∠CAB dan ∠FDE saling menempati karena

∠CAB = ∠FDE

▪ AB dan DE saling menempati karena AB = DE

c. Atau dua sudut dan satu sisi dihadapan salah satu sudut yang sama (sudut-sudut-sisi) atau (sisi- sudut-sudut)

,

:

^{(syarat 3)}

(36)

Contoh soal 1

Perhatikan gambar di samping.

Buktikan bahwa ∆ABC ≅ ∆CDE !

Jawab:

Berdasarkan gambar di atas, dapat diketahui:

AC = CD (ada simbol sama panjang)

∠ECD dan ∠ACB (sama karena saling bertolak belakang) EC = BC (ada simbul sama panjang)

Jadi,

∆ABC ≅ ∆CDE

(Berdasarkan kriteria sisi sudut sisi)

(37)

Contoh soal 2

Jawab:

Berdasarkan gambar di atas, dapat diketahui:

PQ = RQ (ada simbol sama panjang) RS = PS (ada simbol sama panjang)

QS pada

∆PQS = QS pada ∆RQS

(berimpit)

Jadi,

∆PQS ≅ ∆RQS

(Berdasarkan kriteria sisi sisi sisi)

Buktikan bahwa ∆PQS ≅ ∆RQS !

(38)

Contoh soal 3

Jawab:

∆ABC ≅ ∆BDE, dengan AB = BE.

maka BAC = DBE = 60°

BED = ABC = 50°

ACB = BDE

ACB + ABC + BAC = 180°

ACB + 50° + 60° = 180°

ACB + 110° = 180°  ACB = 180° – 110° = 70°

Jadi

∠

ACB = 70°

Jika ∆ABC ≅ ∆BDE, dengan AB = BE.

Berapakah besar ∠ ACB?

(39)

Latihan Soal

Seorang peneliti akan mengukur lebar sungai ciliwung, Dia menbuat garis lurus AB di tepi Sungai

sepanjang 48 m. Kemudian peneliti berdiri di titik C tegak lurus AB yang berjarak 6 m dari D, dan DE = 8 m (DE// AB). Cobalah kalian bantu peneliti tersebut untuk mengukur lebar Sungai Ciliwung.

B A C

D E

48 m 8 m

6 m

(40)

Latihan Soal

Lapangan Sémpur) terletak di seputar Kebun

Raya Bogor, tepatnya di sisi bagian utara setelah Jalan Si Jalak Harupat. Namanya berasal dari nama sejenis tumbuhan, sempur. Jika lapangan hijau berukuran (100 x 65) m, jalan yang

berwarna peace mempunyai lebar 3 m, maka tentukan lebar taman yang berwarna merah !

65 m

100 m

(41)