Syarat Kesebangunan Bangun Datar

A. Syarat Kesebangunan Bangun Datar

Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita temukan bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama, misalnya permukaan meja di kelas, bentuk keramik lantai, permukaan CD, kaca pada jendela rumah, tampak depan rumah-rumah di perumahan, bentuk bangun pada sarang lebah, dan lain sebagainya.

1. Syarat Dua Bangun yang Sama dan Sebangun (Kongruen)

Dua buah bangun datar yang tepat saling menutupi atau tepat saling berimpit disebut dua bangun yang sama dan sebangun atau kongruen. Perhatikan gambar 1.1

C R

A B P Q

(i)

G F K J

D E H I

(ii)

W F O N

T U (iii) L M

(iv)

Gambar 1.1

2. Foto dan Model Berskala

Sebuah foto atau model berskala mempunyai bentuk yang sama dengan bentuk aslinya atau bentuk sebenarnya. Pada foto atau model berskala, semua ukuran aslinya diperkecil atau diperbesar dengan perbandingan yang sama. Jadi, bagian-bagian yang bersesuaian dari foto atau model berskala dengan bangun aslinya memiliki perbandingan yang sama.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan Gambar 1.2 berikut ini!

1,5 m 12 cm 36 cm

x m

(i) (ii)

Gambar 1.2

Gambar 1.2 (ii) merupakan model dari gambar 1.2 (i), sehingga bagian-bagian yang bersesuaian sebanding. Bagian-bagian yang bersesuaian adalah panjang pada model dengan panjang sebenarnya, lebar pada model dengan lebar sebenarnya, dan tinggi pada model dengan tinggi sebenarnya. Karena sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, maka dapat perbandingan berikut ini.

panjang pada model

panjang sebenarnya=lebar pada modellebar sebenarnya=tinggi pada modeltinggisebenarnya

Dengan menggunakan perbandingan di atas, maka dapat dihitung panjang model sebenarnya pada Gambar 1.2 (i), yaitu:

Lebar pada model = 12 cm Pajang pada model = 36 cm

Lebar sebenarnya = 1,5 m = 150 cm

Misalkan panjang sebenarnya = x cm, maka dengan memilih sepasang perbandingan di atas diperoleh:

lebar pada model

lebar sebenarnya=panjang pada modelpanjang sebenarnya

12 150=36x 12x=150×36

12x=5.400

x=450

Jadi, panjang papan sebenarnya = 450 cm = 4,5 m

3. Syarat Dua Bangun Yang Sebangun

Dalam bahasan foto dan model berskala, telah diketahui bahwa antara bangun asli dengan foto atau modelnya mempunyai bentuk yang sama, tetapi ukuran atau besarnya berlainan. Bangun-bangun seperti itu disebut bangun yang sebangun.

Gambar 1.3 (i) dan (ii) berikut menunjukkan bangun persegi panjang dengan bentuk yang sama, tetapi ukurannya berlainan. Ukuran-ukuran gambar tersebut adalah

Jadi, perbandingan bagian-bagian yang bersesuaian adalah sama, yaitu: EF:AB=EH:AD=3 :1

Ukuran sudut-sudut yang bersesuaian juga sama, yaitu: ∠A=∠E=90°

∠B=∠F=90° ∠C=∠G=90° ∠D=∠H=90°

Jadi, persegi panjang ABCD dan EFGH sebangun dan keduanya memiliki sifat-sifat berikut:

a. Pasangan sisi yang bersesuaian sebanding. b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

(i) (ii) (iii) Gambar 1.4

Gambar 1.4 menunjukkan bangun-bangun yang memiliki pasangan-pasangan sudut yang sama, tetapi ada yang tidak bersesuaian. Sepasang sudut yang bersesuaian dan sepasang sisi yang bersesuaian harus seletak.

Perhatikan Gambar 1.4 (i) dan (ii). Ternyata sudut-sudut yang sama besar kedudukannya seletak, sehingga bangun pada Gambar 1.7 (i) dan (ii) memiliki sudut-sudut bersesuaian yang sama besar.

Bangun pada Gambar 1.4 (iii) juga memiliki pasangan-pasangan sudut yang sama dengan bagun pada Gambar 1.4 (i), tetapi sudut-sudut yang sama itu urutannya tidak bersesuaian.

Gambar 1.5

Perhatikan urutan sudut-sudut pada Gambar 1.5 dengan mengikuti arah panah mulai dari sudut-sudut bernomor (1)

a. Kedua sudut bernomor (1) sama besar. b. Kedua sudut bernomor (2) juga sama besar.

c. Kedua sudut bernomor (3) maupun (4) tidak sama besarnya.

Jika sudut-sudut yang bersesuaian dapat ditentukan maka sisi-sisi yang bersesuaian juga dapat ditentukan dengan mudah, meskipun kedudukan (posisi) kedua bangun berbeda.

4. Menetukan Panjang Sisi

a. Menentukan Panjang Sisi pada Dua Bangun yang Sama dan Sebangun

Untuk menentukan panjang sisi pada dua bangun yang sama dan sebangun, gunakan ketentuan sebagai berikut:

Jika dua bangun sama dan sebangun maka: 1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. 2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Contoh:

Gambar 1.6

Pada gambar di atas ∆ ABC dan ∆≝¿ sama dan sebangun. Jika diketahui panjang AB=8cm , AC=6cm , dan DF=7cm , tentukan panjang DE , EF ,dan BC !

Penyelesaian:

Karena ∆ ABC dan ∆≝¿ kongruen, maka: AB=DE_{, jadi} DE=8cm

AC=EF_{, jadi} EF=6cm BC=DF, jadi BC=7cm

b. Menentukan Panjang Sisi pada Dua Bangun yang Sebangun

Untuk menghitung panjang sisi pada dua bangun yang sebangun, gunakan ketentuan yang telah dibahas pada Subbab 3, yaitu:

1. Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. 2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Gambar 1.7

Pada gambar 1.7 menunjukkan dua bangun yang sebangun. Tentukan panjang AB danQR !

Jadi, panjang AB=8cm

AD

B. Segitiga – segitiga sama dan sebangun. 1. Syarat dua segitiga sama dan sebangun.

Pada cermin datar, bangun asli dengan bayangannya merupakan bangun – bangun yang sama sebangun, demikian juga segitiga dan bayangannya adalah bangun – bangun yang sama dan sebangun atau kongruen.

y

x

Gambar 1.8

Jika ∆ ABC direflesikan (dicerminkan) terhadap garis XY , maka bayangannya adalah ∆ A ’ B ’C ’. Jadi ∆ABC dan ∆ A ’ B ’C ’ sama dan sebangun.

Selanjutnya ∆ A ’ B ’C ’ ditranslasikan (digeser) ke kanan, maka akan berhimpit atau tepat menutupi ∆≝¿. Maka ∆ A ’ B ’C ’ dan ∆≝¿ sama dan sebangun.

Berdasarkan dari uraian diatas, dapat disimpulkan sebagai berikut: Jika dua buah segitiga sama dan sebangun, maka :

a. Sisi yang bersesuaian sama panjang

b. Sudut – sudut yang bersesuaian sama besar. 2. Sifat – sifat dua segitiga sama dan sebangun.

Dua buah bangun yang sama bentuk maupun ukurannya dikatakan dua bangun yang sama dan sebangun. Jadi, jika dua buah bangun yang sama dan sebangun diimpitkan maka kedua bangun tersebuat akan tepat saling menutupi atau bagian – bangian yang bersesuaian akan saling menempati dengan tepat.

Perhatikan gambar 1.9

Gambar 1.9 Jika ∆ ABC dihimpitkan pada ∆≝¿, maka :

∠A ↔∠D , Sebab∠A=∠D ∠B↔∠E , Sebab∠B=∠E ∠C ↔∠F , Sebab∠C=∠F

AB↔ DE , Sebab AB=DE AC ↔ DF ,Sebab AC=DF BC ↔ EF , SebabBC=EF

∠A ↔∠D , dibaca ∠A saling menempati dengan ∠D

Jadi, ∆ ABC ↔ ∆≝, berarti ∆ ABC dan ∆≝¿ sama dan sebangun(kongruen). a. Ketiga sisi yang bersesuain sama panjang (sisi, sisi, sisi).

Gambar 1.10

Dari gambar jika ∆ ABC diimpitkan pada ∆ PQR maka: AB↔ PQ, _Sebab AB=PQ

Jadi, ∆ ABC dan ∆ PQR saling menempati dengan tepat, sehingga ∆ ABC dan ∆ PQR sama dan sebangun.

b. Ketiga sudut yang bersesuaian sama besar (sd,sd,sd)

Pada gambar 1.13 ∠K=∠R Sehingga kaki ∠Kdan kaki∠R dapat berimpit, tetapi belum tentu tepat salling menutupi, sebab tidak diketahui apakalah KL=RS atau KM=RT.

Gambar 1.11

Demikian juga untuk ∠L=∠S dan ∠M=∠T. Belum tentu LM=ST_{. Oleh} karena ∆ KLM dan ∆ RST belum tentu tepat saling menutupi, maka ∆ KLM dan ∆ RST _{belum tentu sama dan sebangun.}

c. Dua sisi sama panjang dan sudut yang diapit sama besar (sisi, sudut, sisi)

Gambar 1.12

1) Perhatikan ∆ PQR dan ∆ XYZ! PQ=YX (diketahui)

∆ PQR dan ∆ XYZ mempunyai dua sisi bersesuaian yang sama panjang dan

satu sudut apit yang sama besar.

Jadi, ∆ PQR dan ∆ XYZ sama dan sebangun (sisi, sudut, sisi) 2) Pasangan Sudut yang sama besar adalah:

∠P=∠Y ,∠Q=∠X , dan∠R=∠Z

d. Satu sisi dan dua sudut (sd,sd,sisi), (sd,sisi,sd), atau (sudut,sisi,sudut).

Gambar 1.13 1) Perhatikan ∆ AEC dan ∆ DEB!

∠A=∠D (diketahui) AE=DE (diketahui)

∠AEC=∠DEB (bertolak belakang)

Jadi, ∆ AEC dan ∆ DEB sama dan sebangun (sudut, sisi, sudut) 2) Pasangan sisi yang sama panjang adalah:

AE=DE , AC=DB, dan CE=BE

C. Segitiga-segitiga yang sebangun 1. Syarat-syarat segitiga sebangun

Gambar 1.14 Perhatikan ∆ ABCdan ∆≝¿

∠A=∠D _{(karena sehadap)} ∠B=∠E _{(karena sehadap)}

∠C=∠F _{(karena kedua sudut yang lain sama)}

Jadi, ∠ABC dan ∠≝¿ sama sudut (sudut-sudut bersesuaian sama besar). Perbandingan sisi-sisi-yang bersesuaian

AB:DE=3 : 4 AC:DF=3 : 4 BC:EF=3 : 4

Jadi sisi-sisi yang besesuaian pada ∆ ABC dan∆≝¿ sebanding. Jadi dapat disimpulkan bahwa:

Jika sudut-sudut yang bersesuaian pada dua buah segitiga sama besar maka sisi-sisi yang bersesuaian adalah sebanding. Jadi, kedua segitiga itu pasti sebangun.

Gambar 1.15

Pada gambar diatas diperoleh hubungan besar sudut sebagai berikut ∠A=∠P

∠B=∠Q ∠C=∠R

Jadi ∆ ABC dan ∆ PQR sebangun karena sudut-sudut yang bersesuian sama besar, sehingga sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, yaitu

AB

PQ

=

ACPR

=

BCQR

Contoh:

Dalam ∆ ABC dan ∆ PQR diketahui besar ∠BAC = 60°, ∠ABC= 40°, ∠QPR = 60°, ∠PRQ = 80°. Apakah kedua segitiga tersebut sebangun? Penyelesaian :

Gambar 1.16 Pada ∆ ABC

∠BAC=60° ∠ABC=40°

∠ACB=180°−100° ¿80°

∠BAC=∠QPR=60° ∠ABC=∠PQR=40° ∠ACB=∠PRQ=80°

Pada ∆ PQR ∠QPR=60 ∠PRQ=80°

Jadi ∆ ABC dan ∆ PQR sebangun karena sudut-sudut yang besesuaian sama besar.

b. Segitiga sebangun pada sisi yang bersesuaian

Gambar 1.17

Pada gambar diatas ∆ ABC dan ∆≝¿ memiliki sudut-sudut yang bersesuaian yang sama besar yaitu ∠A=∠D,∠B=∠E ,∠C=∠F . Panjang sisi pada ∆≝¿ adalah 2 kali panjang sisi-sisi pada ∆ ABC yang bersesuaian sebanding. Jadi ∆ ABC dan ∆≝¿ merupakan dua segitiga yang sebangun Panjang sisi-sisi ∆≝¿ adalah 2 kali panjang sisi-sisi pada ∆ ABC yang bersesuaian .

Jadi dapat disimpulkan bahwa:

Jika sisi-sisi yang bersesuaian pada sebuah segitiga sebanding atau memiliki perbandingan yang sama maka sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Jadi, kedua segitiga itu pasti sebangun.

Perhatikan gambar 1.18

Gambar 1.18 Pada ∆ ABC:

AC=8cm BC=6cm ∠C=110°

Pada ∆ PQR: PR=12cm QR=9cm ∠R=110° AC:PR=8cm:12cm=2:3

BC:QR=6cm: 9cm=2 :3

Jadi, ∆ ABC dan ∆ PQR sebangun karena besar ∠C=∠C dan dua sisi yang bersesuaian yang mengapit sudut itu sebanding.

2. Menghitung panjang sisi pada segitiga sebangun

Jika dua buah segitiga memiliki pasangan-pasangan sudut yang sama, maka kedua segitiga itu sebangun, sehingga kedua segitiga itu memiliki pasangan sisi yang bersesuaian sebanding. Dengan demikian, jika diketahui dua segitiga memiliki pasangan sudut yang sama maka dapat ditentukan panjang sisi-sisinya dengan menggunakan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian.

Diketahui panjangAB=8cm , BC=6cm , XY=12cm, dan XZ=10cm . Tentukan

Jadi panjang AC dan YZ adalah 6,67 cm dan 9 cm.

D. Segitiga Sebangun pada Segitiga Siku-Siku dan Segitiga Sebangun dengan Garis-garis Sejajar

1. Segitiga sebangun pada segitiga siku-siku dengan garis tinggi ke sisi miring Perhatikan Gambar dibawah.

Gambar 1.20

Gambar 1.21

Dengan memperhatikan sudut-sudutnya, maka terdapat tiga segitiga sebangun, yaitu ∆ ABC, ∆ ABD, ∆ ADC.

Berdasarkan pasangan segitiga yang sebangun, maka dapat dituliskan sebagai berikut:

a. ∆ ABD dan ∆ ADC sebangun, maka:

Gambar 1.22 AD

CD=BDAD

AD × AD=BD× CD

(AD)2=BD× CD

b. ∆ ABD dan ∆ ABC sebangun, maka:

Gambar 1.23 BC

AB=BDAB

AB× AB=BD × BC

(AB)2=BD × BC

Gambar 1.24 BC

AC=CDAC

AC × AC=CD × BC

(AC)2=CD × BC

Untuk lebih mudah mengingat, perhatikan arah garis berpanah pada masing-masing gambar berikut:

Gambar 1.25 Contoh:

Segitiga PQR siku-siku di P Panjang QR=20cm dan QS=8cm. Tentukan panjang PS!

Jawab: QR=20cm QS=8cm

RS=20–8=12cm

(PS)2=QS× RS (PS)2=8×12 (PS)2=96

PS=√96=4√6

Jadi, panjang PS adalah 4√6 cm.

Dalam ∆ ADE , DE/¿BC . Perhatikan ∆ ADE dan ∆ ABC.

Gambar 1.26

∠ABC=∠ADE (sehadap) ∠ACB=∠AED (sehadap) ∠BAC=∠DAE (berhimpit)

Jadi, ∆ ADE dan ∆ ABC sebangun, karena sudut yang bersesuaian sama besar, sehingga diperoleh:

AB

AD=ACAE=BCDE

Contoh:

Pada ∆ ABC dibawah, BC/¿DE.

Gambar 1.27 Tentukan:

a. Panjang DEdan AB

b. Besar ∠ACB ,∠ADE , dan ∠DAE .

Jawab:

AB b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besarnya

∠ABC=∠ADE (sehadap)

∠ACB=∠AED (sehadap)

∠BAC=∠DAE (berhimpit)

Sehingga:

E. Penerapan Kesebangunan pada Soal Cerita

Gambar 1.28

Penyelesaian:

Misalnya lebar sungai h meter.

Perhatikan bahwa ∆ ABE ≈ ∆ CDE dan sisi bersesuaian sebanding, sudut-sudutnya sama besar sehingga

EC EA=CDAB

h h+3=46 6h=4(h+3)

6h=4h+12 6h−4h=12 2h=12 h=6m

Jadi, lebar sungai 6 m.

Gambar 1.29 Penyelesaian:

tinggi pemuda (t1) = 170 cm = 1,7 m

bayangan pemuda (b1) = 2 m

bayangan pohon (b2) = 5 m

Ditanya : tinggi pohon (t2)?

Jawab: t2

t1=

b2

b1

t2

1,7=52 2t2=1,7×5

t2=1,7₂×5

t2=4,25m

Jadi, tinggi pohon sebenarnya 4,25 m

DAFTAR PUSTAKA