C
D
E
0 110
B
A
B
A
C
D
K
L
M
NI. KESEBANGUNAN DAN
KONGRUEN
Uji Kompetensi Awal
1. Suatu peta dengan skala 1 : 2.500.000. Jika jarak kota A dan B pada peta adalah 6 cm, maka tentukanlah jarak kota A dan kota B !
2. Lebar suatu slide 34 cm dan tingginya 22 cm. Pada suatu layar, lebar slide menjadi 81 cm. Berapakah tinggi slide pada layar?
3. Sebuah papan reklame berbentuk segitiga sama kaki yang alasnya 12 m dan tingginya 9 m. Jika alas pada gambar 18 cm, tentukanlah :
a. tinggi pada gambar, b. keliling pada gambar.
4. Sebuah foto dengan ukuran 4 cm x 6 cm diperbesar menjadi tiga kalinya. Hitunglah perbandingan luas foto sebelum dan sesudah perbesaran.
5. Perhatikan gambar berikut ini. a. Tentukan besar
DEC,b. Tentukan besar
BEC,c. Tentukan sudut yang saling bertolak belakang.
A. Bangun yang Kongruen
1. Dua Bangun Datar Kongruen
Jika Dua bangun datar dikatakan kongruen maka:
1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. 2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
( Choliq, 2008;4 )
Sebangun dilambangkan tanda
Panjang sisi yang bersesuaian : AB = KL, BC = LM, CD = MN, AD = KN
Besar sudut bersesuaian :
A =
K
B =
L
C =
M
D =
NJadi Bangun Datar ABCD
Bangun datar KLMN.(Choli
q, 2008;2)
Contoh
1. Tunjukkanlah apakah bangun-bangun datar berikut kongruen. Jelaskan!
D 3cm C S 3 cm R 2 cm 2 cm
A B P Q ⃟ Penyelesaian :
(i). Panjang sisi-sisi yang bersesuaian : AD = PS = 2 cm
AB = PQ = 3 cm BC = QR = 2 cm CD = RS = 3 cm
(ii) Besar sudut-sudut yang bersesuaian
A =
P = 900
B =
Q = 900
C =
R = 900
D =
S = 900Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang maka Persegi panjang ABCD
persegi panjang PQRS
2. Dua Segitiga Kongruen
Jika Dua segitiga dikatakan kongruen maka : 1. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. 2. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. ( Choliq, 2008;4-5
F
B
E
H
A B DE
∆ABC
∆DEF, maka :
CAB =
FDE,
ABC=
DEF,
ACB=
DFEAB = DE, BC= EF, dan AC= DF
Sifat-sifat Dua Segitiga Kongruen
1. Ketiga sisi yang bersesuian sama panjang (sisi-sisi-sisi)
C R
A B P Q AB = PQ (sisi)
BC = PR (sisi) AC = PR (sisi)
Jadi, ∆ABC
∆ PQR (sisi,sisi,sisi)2. Dua sisi dan satu sudut ( sisi, sudut, sisi )
C R
A B P Q
AB = PQ (sisi)
B =
Q (sudut) BC = QR (sisi)Jadi, ∆ ABC
∆ PQR (sisi,sudut,sisi) 3. Dua sisi dan satu sudut yang menghadap salahsatu sisi yang sama (sisi-sisi-sudut) C R
A B P Q
AC = AB (sisi) AB = PQ (sisi)
B =
Q (sudut)Jadi, ∆ ABC
∆ PQR (sisi, sisi, sudut)4. Satu sisi dan dua sudut yang terletak pada sisi itu (sudut-sisi-sudut)
C R
A B P Q
A =
P (sudut)AB = PQ (sisi)
B =
Q (sudut )Jadi, ∆ABC
∆ PQR (sudut,,sisi,sudut)5. Dua sudut dan satu sisi dihadapan salah satu sudut yang sama (sisi-sudut-sudut).
C R
A B P Q
AB = PQ ( sisi )
B =
Q ( sudut )
C =
R ( sudut )Jadi, ∆ABC
∆ PQR ( sisi,sudut, sudut )( Choliq, 2008;4-5 )
Contoh :
1. Perhatikan gambar limas berikut. Bila EF tegak lurus ABCD, maka tentukan dua segitiga yang kongruen!
C
A G D
⃟ Penyelesaian :
∆EFH
∆EFG, karena : EF = EFEG = EH (s-s-s) GF = HF
∆EGA
∆EGD, karena : EG = EGEA = ED (s-s-s) AG = DG
∆EHB = ∆EHC, karena : EH =EH
EB = EC (s-s-s) BH = CH
H
A
B
C
D
E
F
EA = EC (s-s-s)AF = CF
∆EFD = ∆EFB, karena : EF = EF
EB = ED (s-s-s) BF = DF
( Junaidi, 2004;115 ) 2. Perhatikan gambar berikut!
a. Selidikilah apakah kedua segitiga itu kongruen?
b. Sebutkan pasangan sudut yang sama besar!
C R 9 9
6 8
A 8 B P
6 Q
⃟ Penyelesaian :
a. Dari gambar disamping diketahui bahwa :
AC = QP, AB = QR, BC = RP Maka ∆ABC
∆ QRP.b. Karena ∆ABC
∆ PQR, maka :
B =
R,
C =
P,
A =
Q( Junaidi, 2004;115 )
Latihan 1.1
1. Amatilah gambar berikut ! B
A C
D
ABCD adalah belah ketupat dengan salah satu diagonalnya BD. Dari gambar tersebut diperoleh ∆ABD
∆CBD.a. Tentukan pasang sisi yang sama panjang! b. Tentukan pasangan sudut yang sama besar!
(Djumanta, 2008; 31)
2.
Pada belah ketupat ABCD terbentuk dari duasegitiga sama sisi yang kongruen. DE
AB dan DF
BC.a. Sebutkan dua segitiga sama sisi kongruen b. Buktikan ∆AED
∆BEDc. Buktikan ∆BFD
∆CFD2. Pasangan Segitiga-segitiga berikut adalah kongruen. Berikan alasannya. Jelaskan.
a. ∆ABC dan ∆ADC
D C
A B
b. ∆DHE dan ∆EHF, dengan GD//EF dan sama panjang.
G E
D F
c. ∆KLM dan ∆LMN
K N
L M d. ∆QSP dan ∆SRP P
S Q R
e. ∆SUX dan ∆SVW S
W X
y y
x x
x x
y
y
f. ∆HJK dan ∆HJI H
K I
J
g. ∆BCE dan ∆DCE, ∆AED dan ∆ABE A
D B E
C
h. ∆KLM dan ∆KNO K
L O
M N
( Marsigit, 2009;21,23 ) i. ∆ABE dan ∆CDF, dengan ABCD adalah
jajargenjang
E
D C
A B
F
(Cholik, 2008;27)
j. ∆ABE dan ∆CDE dengan
BCD =
BADdan AB = CD. C
D
E
B
A
(Djumanta, 2008; 24) 3. Pada gambar berikut, KLMN adalah persegi
panjang dengan kedua diagonalnyaberpotongan di titik O.
K L O
N M
a. Buktikan bahwa ∆KLM kongruen dengan ∆MNK.
b. Tentukan pasangan segitiga lain yang kongruen dari gam bar tersebut.
4. Pada gambar berikut, ABCD adalah trapesium samakaki dengan kedua garis diagonal nya berpotongan di titik O.
D C
O
A B
a. Buktikan bahwa ∆DAC kong ruen dengan ∆
CBD.
b. Tentukan pasangan segitiga lain yang kongruen dari gambar tersebut.
( Djumanta, 2008; 25)
5. Perhatikan gambar berikut! R
S
T
┐
P U Q
Pada segitiga PQR, QT adalah garis bagi sudut Q, ST RQ, dan TU PQ. Sebutkan segitiga yang kongruen!
cm 2 3
0
45 450
cm BC AB AC
2 3
3 32 2
2 2
0 ) 14 (a
0 ) 10 2 ( a 3. Menghitung Panjang Sisi dan
Besar Sudut pada Dua Bangun Kongruen
Contoh :
1. Perhatikan gambar dibawah ini. Apakah ∆ABC
∆DEF ? Jelaskan !C
F 3 cm
A 3 cm B D E
(Marsigit, 2009;8)
⃟ Penyelesaian:
Untuk ∆ABC, Untuk ∆DEF
AC2 = AB2 + BC2
F = 1800 (
D +
E)= 1800 - 900
= 900
Maka DF = EF = 3 cm Sehingga :
AB = BC = DF = EF
A =
C = 450
A =
C =
D =E
dan
B =
Fmengakibatkan ABC
∆DEFLatihan 1.2
R 1.
C 400
800
8 cm
400 800
A B P Q
Pada gambar diatas, AC = PQ, panjang AB = 9 cm, dan
BC = 8 cm.
a. Buktikanlah ∆ABC
∆PQR ! b. Tentukan panjang PR dan QR !(Cholik, 2008;27) 2. Diberikan jajargenjang ABCD
jajargenjangEFGH. Jika keliling jajargenjang ABCD adalah 10 cm, hitunglah nilai x, panjang sisi EF, FG, GH, dan HE.
D (3 x-3) cm C H G
x cm
A B E F (Marsigit, 2009;9)
3. Pada gambar dibawah, ∆ABC
∆DBC,
A = 900 ,
BEC = 1200 dan BC = 6 cm. Tentukan :a.
ACB,
DBC,
ABC,
DCB, AB, DC, AC, dan DB.b. Apakah ∆ABE
∆DCE? Tentukan unsur-unsurnya!A D E
B C
(Marsigit, 2009;9)
4. Diberikan ABCD
PQRS. Tentukan nilai a, besar
P,
Q,
R.A P
B Q
a0 700
D C S R
5. Diberikan trapesium ABCD
trapesium EFGH. Jika keliling trapesium EFGH adalah 6 dm, hitunglah nilai x, panjang sisi EF, FG, GH, dan EH.D C F E (x + 2 ) dm
(2x -1) dm x dm
(3x +2) dm
A B G H
(Marsigit, 2009;10)
6. Gambar dibawah ini menunjukkan bahwa ABCD adalah trapezium sama kaki. Jika besar sudut
AED = 900, AE = 15 cm, dan AD = 17cm, hitunglah :
D C a. panjang EC,
b. panjang BD, c. panjang CD. E
A B
(Junaidi,
2002;120)
2 5 , 2
5 2 4 5 , 1
3
QR BC PR AC PQ AB
a. ∆KOL
∆KONb. ∆MOL
∆MON(Junaidi, 2002;120)
B. Bangun yang Sebangun
Syarat Dua bangun datar dikatakan sebangun maka :
1. Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama besar,
2. Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) pada kedua bangun datar sama besar.
* Sebangun dilambangkan tanda ~ (Marsigit, 2009;24) Contoh
1. Dua buah persegi panjang masing-masing berukuran 20 cm
15 cm dan 4 cm
3 cm. Apakah kedua persegi panjang tersebut sebangun ?⃟ Penyelesaian:
Persegi panjang I : panjang = 20 cm. lebar = 15 cm Persegi panjang II : panjang = 4 cm
lebar = 3 cm
Besar sudut kedua persegi panjang itu sama sebab setiap sudutnya siku-siku.
Perbandingan panjang = 20 cm : 4 cm = 5 : 1 Perbandingan lebar = 15 cm : 3 cm = 5 : 1
Jadi, kedua persegi panjang itu sebangun, sebab sudut-sudut yang bersesuain sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.
(Cholik, 2008;11)
Dua segitiga dikatakan sebangun:
1.
Jika dua buah segitiga memiliki sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka kedua segitiga tersebut sebangun dan mengakibatkan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sebanding.2.
Jika dua buah segitiga memiliki sisi-sisi bersesuaian yang sebanding, maka kedua segitiga itu sebangun.3.
Jika dua buah segitiga memiliki satu sudut yang sama besar dan dua sisi yang mengapit itu sebanding, maka kedua segitiga itu sebangun.(Cholik, 2008;6 ) C F
A D
E
B
Δ ABC dan Δ DEF mempunyai bentuk yang sama, ukuran yang berbeda, dengan :
sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar dan,
A =
D,
B =
E,
C =
F sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sebanding.
DF AC DE
AB EF BC
Dalam hal ini ditulis Δ ABC ~ Δ DEF.
(Ichwan,2008;6)
Contoh :
1. Perhatikan pasangan ∆ABC dan ∆PQR.
Apakah segitiga-segitiga tersebut sebangun ? C
x
R 4 cm 5 cm x
2 cm 2,5 cm
A 3 cm B P 1,5 cm Q
( Marsigit, 2009 ; 25) ⃟ Jawab :
(i)
A =
P ( = 900)
B =
Q ( =0 )
C =
R (= x) (ii)
Jadi, karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama,
maka ∆ABC ~ ∆PQR .
Latihan 1.3
1. Manakah diantara bangun-bangun dibawah ini yang pasti sebangun ?
(Junaidi, 2002;90)
2. Mengapa kedua gambar dibawah ini tidak sebangun? Jelaskan!
(Junaidi, 2002;90)
3. Tentukanlah pasangan bangun datar berikut sebangun atau tidak sebangun. Jelaskan!
(i) G 1 cm D 1 cm C
1 cm
B 2 cm A 2 cm
E 4 cm F
Segiempat ABCD dan segiempat EFCG. (ii) G D C
3 cm 2,5 cm
2 cm
A B E 2,5 cm F
Bangun segiempat ABCD dan segiempat EFCG. (iii) C
∆ABC dan ∆DEC D E
A B
(iv) C
E ∆ABC dan ∆EDC
D
A B
(Marsigit, 2009;33 )
(v) C
D
∆FBD dan ∆ABC ∆AEF dan ∆EDC E
B F A
4. Diberikan ∆ ABC sikusiku di C. CD adalah garis tinggi pada sisi AB. Tuliskan pasangan-pasangan segitiga yang sebangun. Kemudian tuliskan rangkaian perbandingan seharga dari sisi-sisinya.
(Husein, 2005;42)
B
D
C A
(Husein, 2005;42)
5. Amati gambar berikut.
H
F G
E D C
3cm I
A B 4 cm Dari gambar tersebut, buktikan: a. DCG sebangun dengan IBC, b. DCG sebangun dengan HGF.
Kemudian, tentukan panjang CI, IB, HG, dan HF. (Djumanto, 2008; 16) 6. Pada segitiga ABC berikut, AC = 4 dan BC = 3 dengan CDEF persegi. Tentukanlah panjang EF!
B
E F
A D C
( Olimpiade tingkat SMP)
7. Pada gambar persegi ABCD berikut, jika AB = 8 cm dan EF = x, Berapakah luas total daerah yang diarsir?
D C
E F
A B
Rumus-rumus dalam Segitiga Siku-siku dengan Garis Tinggi
C C C
D D D
A B A B A B (i) (ii) (iii)
AD2 = BD
CD AB2 = BD
BC CA2 = CD
CB
( Cholik, 2008;7)
Latihan 1.4
1. C Pada gambar D disamping , ∆ABC
siku-siku di A . Panjang BD = 7 cm, DC = 4 cm, A B hitunglah a. Panjang AD
b. Panjang AB 2. R
P S Q
Pada gambar diatas, ∆PQR siku-siku di R. Panjang PS = 3 cm dan SQ = 8 cm. Hitunglah luas segitiga PQR!
(Cholik, 2008; 26)
3. K L
N M
Pada gambar diatas, panjang KL = 4 cm dan ML = 5 cm. Hitunglah panjang LN !
( Cholik, 1999; 50) 4. D C
E
F
A B
Pada gambar diatas, ABCD adalah persegi panjang dengan AE dan CF tegak lurus terhadap BD. Buktikan bahwa panjang AE = CF !
(Cholik, 2008; 28)
5. Pada gambar berikut diketahui panjang PR = 10 cm, PT = 5 cm, dan TQ = 7 cm.
R
S 10
P 5 T 7 Q
a. Buktikan ∆PTR dan ∆ PSQ sebangun ! b. Sebutkan pasangan sisi yang sebanding! c. Hitunglah panjang PS !
(Cholik, 2008; 28) 6. C
B 4 cm D O
A 6cm
Pada gambar di atas, AB adalah diameter lingkaran, dan CD
AB . Tentukanlah : a. besar
ACB,b. panjang CD !
(Cholik, 2008; 28)
7. R
x cm S
8 cm 3x cm
P Q
Pada gambar diatas, ∆PQR siku-siku di P. Panjang PR = 8 cm dan RS = x cm, dan SQ = 3x cm. Tentukan nilai x !
(Cholik, 2008; 29)
8. E
D
A B C
b. panjang BD !
(Cholik, 2008; 28) 9. D C
E F
A B
Pada gambar diatas , AB // EF// CD. Panjang DC = 12 cm, EF = 16 cm, DE = 6 cm, AE = 4 cm, dan AB = (2x + 5 ) cm. Hitunglah nilai x !
(Cholik, 2008; 28)
10. Pada gambar berikut
ADE dan
B adalah sepasang sudut yang saling berpelurus.C
E
D
A B
a. Nyatakan besar
ABC dalam
ADE , demikian juga untuk
CDE.b. Buktikan ∆ABC sebangun dengan ∆CDE. c. Jika AD = 7 cm, CD = 10 cm, CE = 8 cm,
hitunglah panjang BC!
(Wagiyo, 2008; 16)
11. Pada diagram berikut , ED tegak lurus terhadap hypotenuse segitiga siku-siku sama kaki ABC. JIka AC = CD = 2, berapakah luas segitiga EDB? A
E
B D C
(Olimpiade tingkat SMP)
12. Sebuah pohon mempunyai bayangan 18 cm diatas tanah mendatar, sedangkan sebuah tiang yang tingginya 4 m mempunyai bayangan 6 m. Hitunglah tinggi pohon sebenarnya.
(Junaidi, 2002; 101)
13. Dua tiang bendera mempunyai bayangan yang panjangnya berturut-turut x m, dan ( x+12 ) m. Jika panjang tiang yang pendek
adalah 3 1
panjang tiang yang panjang. Hitunglah x.
( Marsigit, 2009; 36)
14. A
sungai
B C D
E
Jika BC = 40 m, CD = 10 m, dan DE = 75 m, tentukan lebar sungai AB.
(Husein, 2005; 61) 15. Dua orang berjalan dari tempat yang sama
membentuk suatu sudut. Orang pertama berjalan dengan kecepatan 1m/s dan orang kedua berjalan dengan kecepatan 2 m/s terus menerus dengan sudut yang sama, maka berapa jarak mereka terpisah selama 5 menit?
(Marsigit, 2009; 37)
16. Jarak dari rumah ke stadion olahraga adalah 10 km, jarak dari rumah ke taman adalah x km, dan jarak dari taman ke sekolah adalah 3x km. Carilah jarak dari rumah ke sekolah, jarak dari rumah ke taman, dan jarak dari taman ke sekolah!
Stadion OR Sekolah
3x km
Taman x km Rumah
(Marsigit, 2009; 37)
Evaluasi Bab 1
1. Sebuah model pesawat, panjangnya 40 cm, lebarnya 32 cm. Jika panjang sebenarnya 30 m, maka lebar pesawat sebenarnya adalah …
(UAN 2003)
a. 42,66 m c. 30 m
b. 37,50 m d. 24 m
2. Dua buah segitiga adalah kongruen atau sama dan sebangun bila memenuhi syarat-syarat berikut, kecuali
a. ss.ss.ss c. sd.ss.sd b. sd.sd.sd d. ss.sd.ss 3. Perhatikan gambar disamping,
BD = 4 cm dan AD = 3 cm. A Panjang BC adalah …(UAN 2009)
a. 5 cm c. 8 cm b. 6,25 cm d. 8,25 cm
B D C
3. Perhatikan gambar berikut. Pernyataan yang benar adalah … (SOAL UAN) Q
a. SE : QP := RS : RQ b. SE : PQ = RP : RE S c. SE : PQ = RS : SQ
d. SE : PQ = RE : EP
R E P
4. Perhatikan gambar berikut !
Diketahui DE//AB, AB = 15 cm, C CD = 6 cm . Panjang AC 6 cm
adalah … (SOAL UAN)
a. 3,25 cm D E b. 5,35 cm 8 cm c. 11,15 cm
d. 11,25 cm A 15 cm B 5. Tinggi sebuah tiang besi 1,5 m mempunyai panjang bayangan 1m. Pada saat yang sama, panjang bayangan tiang bendera 6 m. tinggi tiang bendera tersebut adalah … (UAN 2004)
a. 10 m c. 6 m
b. 9 m d. 4 m
6. Perhatikan gambar! Segitiga ABC kongruen dengan segitiga BCD . Keliling bangun tersebut adalah … (UAN 2003) A D a. 75,5 cm c. 76,5 cm 21 cm
b. 89,0 cm d. 91,0 cm
B 20 cm C
7. Perhatikan gambar berikut. Pernyataan dibawah benar, kecuali …( UAN 2002)
a.
BCD = 400 dan DE = 8 cmb.
BCE = 400 dan AD = 8 cmc.
DAE = 500 dan BD = 10 cmd.
AED = 900 dan AB = 12 cm A D8 cm 6 cm
E C 500
B
8. C 15 cm D 4 cm
P Q 9 cm
A 28 cm B
Dari gambar trapezium diatas, PQ//AB. Panjang PQ adalah … (UAN 2002)
a. 13 cm c. 19 cm
b. 17 cm d. 24 cm
9. Perhatikan gambar
berikut!
D B Diketahui panjang EA =18cm,EB=3 E C dan EC = 9 cm. A Panjang garis ED adalah…
a. 5 cm c. 6,5 cm
b. 6 cm d. 8 cm
10. Sebuah foto berukuran lebar 20 cm dan tinggi 30 cm diletakkan pada selembar karton. Sisa karton disebelah kiri, kanan, dan atas foto 2 cm. Jika foto dan karton sebangun, lebar karton dibawah foto adalah …( UN 2009)
a. 2 cm c. 4 cm
b. 3 cm d. 6 cm
11. Perhatikan gambar !
Segitiga ABC dan DEF kongruen.
Pasangan garis yang tidak sama panjang adalah.. ( UN 2009)
0
30 19. Perhatikan gambar disamping. Jika CE = EB,
AD = DB, besar
ABC = 30 , dan panjang0CA = 4 cm, maka panjang CF adalah … (Olimpiade Sains Tingkat SMP 2006) C
E F
A D B
a.
283 4
c. 7 3 2
b. 28
3 1
d. 7
3 4
20. Perhatikan berikut. Diketahui PQRS adalah jajar genjang dan misalkan garis SU memotong diagonal PR dititik T, memotongruas garis QR dititik U, dan memotong garis PQ dititik V. S R
T
P Q V
(Olimpiade Sains Tingkat SMP 2006) Jika panjang ruas garis ST 16 cm dan panjang ruas garis TU 8 cm, maka panjang ruas garis UV adalah… cm.
a. 12 c. 20
b. 18 d. 22
21. Segitiga ABC dan ABD adalah segitiga samakaki dengan AB = AC = BD dan BD memotong AC di titik E. Jika BD tegaklurus AC, maka jumlah sudut C dan sudut D adalah … (Soal Olimpiade Tingkat SMP)
A
D E
B C
a.
1150 c. 1300b.
1200 d. 135022. Pertimbangkan suatu segitiga siku-siku ABC dengan hipotenusa AB = c dan rumus dimisalkan dengan tingginya h , berikut ∆ABC
(a). h xy A (b).
c ab
h x C
(c).
xy b a h
2 2
b h y
C a B Rumusan ini yang benar :
a. (a) saja c. (c) saja b. (b) saja d. (a) dan (b)
(Soal Olimpiade Tingkat SMP)
23. Perhatikan gambar !
K L
P Q
N M
Diketahui KL = 10 cm dan MN = 14 cm. P dan Q adalah titik tengan LN dan KM. Panjang PQ adalah … ( UN 2009/2010)
a. 2 cm c. 5 cm
b. 3 cm d. 7 cm
24. Pada segiiga siku-siku ABC berikut, AC = 4 cm dan BC = 3 cm dengan CDEF persegi. Panjang EF adalah …
B
E F
A D C
(Soal Olimpiade Tingkat SMP)
a.
7 12c. 7 15
b. 2
d.6 11
25. Segitiga ABC, AB
AC dengan M dan N titik tengah dan AX tegak lurus BC. Berapakah perbandingan luas area yang diarsir dengan luas area segitiga ? ( Soal Olimpiade Tingkat SMP )a. 8 5
A
b. 8 3
c. 4 3
0 120
2
cm
C
r
tB
D
P
alas sisi atas sisi
tegak sisi
rusuk
t r V
t r V
tinggi alas
luas tabung Volume
2 2
) ( 2 )
(
2 )
lub ( lim
t r r tabung permukaan
sisi Luas
rt tabung
ung se
ut se Luas
r lingkaran
keliling 2
D
B
A
A
C d.
2 1
B X C
II. BANGUN RUANG SISI
LENGKUNG
Uji Kompetensi Awal
1. Jari-jari suatu lingkaran adalah 28 cm, Hitunglah :
a. Keliling lingkaran tersebut, b. Luas lingkaran tersebut!
2. Apa yang kamu ketahui mengenai Teorema Phytagoras?
3.
8 cm ?
4 cm ?
3 cm 6 cm
Lengkapi sisi miring pada segitiga sebangun disamping!
4. Jika lingkaran A memiliki jari-jari ra dan lingkaran B memiliki jari-jari rb, dengan ra= 2
b r .
a. Berapakah perbandingan Luas lingkaran A dan lingkaran B,
b. Berapakah Perbandingan keliling lingkaran A dan lingkaran B.
5.
A r
B
a. Berapakah luas lingkaran jika luas bidang yang diarsir = a ?
b. Jika jari-jari lingkaran adalah 5 cm, berapakah panjang busur AB ?
6. Gambarlah jaring-jaring prisma segiempat beraturan.
7. Tentukan luas permukaan kubus yang memiliki panjang rusuk 5 cm.
8. Sebuah limas segiempat memiliki panjang alas 15 cm dan lebarnya 12 cm. Tentukan volume limas tersebut.
A. Tabung
C C’
t
A A’
Unsur-unsur tabung :
a. Sisi alas, sisi atas
berbentuk lingkaran b. Selimut tabung
sisi lengkung tabungc. Diameter
AB, CDd. Jari-jari (r)
PB, PA e. Tinggi tabung (t)
AC, BD(Wagiyo,2008; 36)
1. Sebuah tabung memiliki tinggi 22 cm dan jari-jari lingkaran alasnya 7 cm.
Hitunglah:
a. luas selimut tabung, b. luas sisi tabung,
⃟Penyelesaian:
a. Luas selimut tabung = 2πrt
= 2× 7 22
×7 × 22
= 968 cm2 b. Luas sisi tabung = 2πr (r + t)
= 2 × 7 22
× 7 (7 + 22)
= 44 × 29 = 1.276 cm2
(Ichwan, 2008;42) 2. Perhatikan gambar berikut.
Jika kita ingin membuat kaleng terbuka seperti gambar
di samping, berapakah luas seng yang diperlukan
untuk membuatnya? 35cm
12 cm
⃟ Penyelesaian:
Luas seng = Luas selimut + Luas alas tabung = (2πrt) + (πr2)
= (2 × 3,14 × 12 × 35) + (3,14× 12 × 12) = 1637,6 + 452, 16
= 2089,76 cm2
3. Tentukan volume tabung dengan jari-jari alas 9 cm dan tinggi tabung 18 cm?
⃟ Penyelesaian:
V = πr2t
= 3,14 × 9 × 9 × 18 = 4.578,12 cm3 (Ichwan, 2008, 43)
Latihan 2.1
1. Jari-jari alas suatu tabung adalah 14 cm. Tentukan
tinggi tabung jika selimut tabung
luasnya 2.112 cm
2.
2. Tentukan luas sisi tabung tanpa tutup jika
diketahui tinggi tabung 21 cm dan luas
selimut tabung tanpa atap adalah 792 cm
2.
3. Diketahui sebuah tabung memiliki luas selimut 7.536 cm2. Tentukan volume tabung tersebut jika tingginya 40 cm.
4. Sebuah tangki minyak yang tingginya 32 m dan diameter sisi alasnya 84 m
akan dicat bagian luarnya. Berapakah luas tangki minyak yang akan dicat? Jika satu galon cat dapat digunakan untuk mengecat seluas 325 m2, berapa galon cat yang dibutuhkan?
5. Tentukan luas seluruh permukaan bangun berikut :
a. b.
4cm
30 cm
8cm
16cm 4 cm
(Ichwan, 2008, 44) 6. Sebuah tempat penampungan air berbentuk
tabung akan diperluas sehingga jari-jari alasnya 2 kali dari semula. Berapa kali perbesaran volume penampungan air dari volume semula?
7. Sebuah kolam renang dibuat model tabung dan alasnya berbentuk lingkaran dengan keliling 77 meter. Tentukanperbandingan banyaknya air yang digunakan untuk mengisi kolam renang dengan kedalaman 1,2 meter dengan
kedalaman 1,8 meter.
8. . Jika tinggi tabung diduakalikan, apakah luas permukaan menjadi dua kali sebelumnya? Jelaskan.
9. Ari menggambar jaring-jaring sebuah tabung di atas kertas. Ukuran kertas gambarnya 20 cm x 15 cm. Tabung yang digambar berjari-jari 2 cm dan tingginya 10 cm. Apakah kertas gambar itu cukup untuk membuat tabung yang diinginkan? Jelaskan.
10. Pot plastik berbentuk tabung (polibag) sering digunakan untuk menanam benih tanaman. Jika sebanyak 15 benih akan ditanam masing-masing dalam polibag berdiameter 25 cm dan tinggi 85 cm, berapa sentimeter persegi bahan plastik yang digunakan untukmembuat seluruh polibag itu?
12 cm 18 cm
4 cm
1
T
r
A
B
ts
T
s
T
A
alas sisiA
t r V t r V tinggi alas luas ucut Volume 2 2 3 1 3 1 3 1 ker ) ( 2 ) ( 2 ) lub ( lim t r r tabung permukaan sisi Luas rt tabung ung se ut se Luas juring berbentuk ucut utselim ker
s
1
T T1 1
T
B. Kerucut
2 2
2 r t
s t2 s2 r2 r2 s2t2
dengan t = tinggi kerucut, r = jari-jari kerucut , s = garis pelukis.
Unsur- unsur Kerucut:
a. Bidang alas
berbentuk lingkaran b. Diameter alas (d)
ABc. Jari-jari (r)
A, B d. Tinggi kerucut
Te. Selimut kerucut
bidang lengkung f. Garis pelukis (s)
garis dari T kelingkaran.
( Sulaiman, 2008; 48)
Contoh 2.2
Contoh.
1. Sebuah kerucut berdiameter 12 cm. Jika tingginya 8 cm dan
= 3,14, hitunglah: a. Luas selimutnya;b. Luas alasnya;
c. Luas permukaan kerucut. d. Volume kerucut
⃟ Penyelesaian:
Amati gambar berikut.
8 cm
6 cm
r = 6 cm dan t = 8 cm
2 2
2 r t
s = 6282 3664
cm s 10010
a. Luas selimut kerucut
L1 =
rs = 3,14 × 6 × 10 = 188,4 cm2.b. Luas alas kerucut
L2 =
r
2 = 3,14 × 6× 6 = 113,04 cm2 c. Luas permukaan kerucutL = L1 + L2 = 188,4 + 113,04 = 301,44 cm2.
d. Volume kerucut V =
3
1
2r
= 3 1× 3,14 × 6× 6
= 37,68 cm3.
(Djumanta, 2008;43)
Latihan 2.2
1. Gambar berikut menunjukkan kerucut dengan panjang garis pelukis 20 cm dan keliling
alasnya 88 cm. 20 cm Hitunglah :
a. jari-jarinya, b. tingginya, c. luas selimutnya, d. luas sisinya. e. Volumenya.
2.
Sebuah kerucut dari selembar karton berbentuk setengah lingkaran dengan diameter 30 cm.Tentukan panjang jari-jari alas kerucut tersebut.3
12 cm
18 cm
10 cm (Djumanta, 2008; 42) 4. Suatu kerucut memilki volume 1.884 dm3. Jika
tingginya 8 dm, tentukan: a. panjang jari-jari alas kerucut, b. panjang garis pelukis, c. luas selimut kerucut, d. luas permukaan kerucut.
5. Perbandingan jari-jari alas dan tinggi kerucut 7 : 12. Jika volume kerucut 77 cm3, hitunglah panjang jari-jari alas dan tinggi kerucut tersebut !
(Wagiyo, 2008 ;47)
6. Tentukan kedalaman sebuah wadah yang berbentuk kerucut yang dapat diisi penuh dengan 0,2 liter zat cair bila diameter alasnya 25 cm!
7. Dua Kerucut dengan tingginya sama yakni 10 cm. Kerucut pertama dengan jari-jari 4 cm dan kerucut kedua dengan jari-jari 5 cm. Tentukan perbandingan volume kerucut pertama dengan kerucut kedua!
( Sulaiman, 2008;45)
8. Sebuah pabrik akan membuat tenda berbentuk kerucut tanpa alas dari kain parasut. Tenda yang akan dibuat memiliki diameter 20 m dan panjang garis pelukis 5 m. Jika biaya pembuatan tenda tiap m2 adalah Rp80.000,00, berapa biaya yang harus disediakan untuk membuat sebuah tenda? ( Djumanta, 2008; 43)
9. Gambar di samping menunjukkan sebuah
kap lampu berbentuk kerucut terpancung.
Luas bahan yang digunakan untuk
membuat kap lampu itu adalah . . . .
9 cm
17 cm
21 cm
21cm (Icwhan, 2008; 66) 10. Sebuah tempat es krim berbentuk kerucut
mempunyai volume 30π cm3.
a. Berapakah volume tempat es krim bila jari-jarinya dua kali jari-jari semula? b. Berapakah volume tempat es krim bila tingginya dua kali tinggi semula? c. Berapakah volume tempat es krim bila tinggi dan jari-jarinya dua kali tinggi dan jari-jari semula?
(Sulaiman 2008;52)
11. Azis akan membuat dua buah kerucut dari bahan karton. Luas permukaan kerucut kesatu dua kali luas permukaan kerucut yang kedua. Adapun panjang garis pelukis kerucut yang kesatu juga dua kali panjanggaris pelukis yang kedua. Hitunglah perbandingan jari-jari kedua kerucut itu?
12. Jari-jari sebuah kerucut 5 cm tinggi 17 cm. Sebuah kerucut lain dengan jari-jari lingkaran
alasnya 3 2
dari jari-jari lingkaran alas kerucut
pertama dan tinggi 3 1
dari kerucut pertama.
Tentukan:
a. perbandingan volume kedua kerucut, b. selisih volume kedua kerucut.
13. Eric ingin membuat cup dengan melekatkan kedua sisi AB dan AC pada setengah lingkaran dengan jari-jari AB = AC = 2 . Berapakah volume dari cup tersebut?
B = C
B A C
A
( Olimpiade Tingkat SMP )
14. Selimut kerucut dibuat dari juring lingkaran dengan jari-jari 15 cm dan sudut pusat 216 .0
Tentukan jari-jari alas kerucut yang terbentuk! ( Marsigit, 2009 ; 69) 15. Didalam sebuah bola dibuat dua buah kerucut yang memiliki bidang alas persekutuan dan tinggi kerucut-kerucut itu adalah 6 dm dan 9 dm. Jika diameter bola 18 dm, maka hitunglah : a. volume selimut kerucut,
b. luas permukaan bola.
C. Bola
r
d
r = jari- jari bola d = diameter bola
Bola tidak mempunyai titik sudut dan rusuk. Bola hanya memiliki satu bidang sisi yang lengkung.
L
Luas permukaan bola = 4πr
2Volume bola = 3
3 4
r
dengan r : jari jari bola
( Sulaiman, 2008;54)
Contoh
:
1. Hitunglah luas sisi bola dan volume bola
yang berdiameter 11 cm.
⃟ Penyelesaian:
Luas sisi bola
= 4πr
2= 4 × 3,14 × 5,5 × 5,5
= 379,94 cm
2Volume bola =
33 4
r
=
3 4
× 3,14 × 5,5×5,5×5,5
= 696, 56 cm
3Latihan 2.3
1. Bumi hampir menyerupai bola dengan jari-jari 6.400 km. Jika 70% permukaan bumi merupakan lautan, hitunglah luas lautan sampai km2 terdekat.
( Sulaiman, 2008;60)
2. Sebuah bandul logam berbentuk gabungan kerucut dan setengah bola seperti gambar dibawah. Jika jari-jari bola 7 cm dan tinggi kerucut 24 cm, berapakah luas permukaan bandul itu?
( Sulaiman, 2008;63)
3.
Sebuah balon yang bentuknya mendekatibentuk bola dengan jari-jari 3 cm. Kemudian balon tersebut ditiup hingga jari-jarinya 7 cm. Tentukan perubahan volume balon sebelum dan setelah ditiup.
( Sulaiman, 2008;63) 4. Dua bola jari-jarinya masing-masing adalah r1
dan r2. Adapun luas permukaannya masing-masing L1 dan L2. Jika r2 = 3r1, tentukan perbandingan L1 : L2.
( Nuniek, 2008; 33)
5. Gambar berikut merupakan tabung dengan bagian atas dan bawah berupa setengah bola. Jika diameter tabung 8,25cm dan tinggi tabung 20 cm, tentukanlah luas per mukaan
banguntersebut.
8, 25 cm
(Djumanta, 2008 ; 42)
6. Pada gambar disamping diperlihatkan kerucut yang didalamnya terdapat sebuah bola yang menyinggung bidang alas dan selimut kerucut dari dalam. Jika panjang garis pelukis 20 cm dan diameter alas kerucut adalah 24 cm, hitunglah:
20 cm
a. Volume kerucut, b. Volume bola,
c. Volume bagian kerucut diluar bola itu, d. Luas sisi ( permukaan) kerucut, dan, e. Luas permukaan bola.
\
Evaluasi Bab 2
1. Luas seluruh sisi sebuah kubus 216 cm2. Volume kubus adalah … cm2.( UAN 2002)
a. 384 c. 216
b. 244 d. 144
2. Kawat sepanjang 10 akan dibuat model kerangka balok berukuran 5 cm × 4 cm × 3 cm. Banyak model kerangka balok yang dapat dibuat adalah .. (UAN 2006 )
a. 16 c. 20
b. 17 d. 21
3. Panjang diagonal ruang dari balok yang berukuran 12 cm × 4 cm × 3 cm … ( UAN 1995)
a. 4 cm c. 12 cm
b. 5 cm d. 13 cm
4. Sebuah kerucut berjari-jari 5 cm, tingginya 12 cm. Luas seluruh sisi kerucut adalah … cm3. (UAN 2002)
a. 118,4 c. 266,9
b. 204,1 d. 282,6
5. Luas selimut tabung tanpa tutup adalah 456
cm2. Perbandingan tinggi dan jari-jari tabung 2 : 1. Volume tabung adalah … cm3(UAN 2004)
a.
4
c. 518
b.
128
d.1.024
6. Perhatikan gambar berikut .
Tabung kemasan bola tenis berkapasitas 5 buah. Jika diameter bola 2r, maka volum ruang yang kosong diantara bola-bola tersebut adalah … ( UAN 2004 )
a. 3
10 1
r
c. 5r3
b. 3,5r3 d. 7r3
7. Perhatikan gambar berikut!
Sebuah tempat air berbentuk setengah bola yang panjang jari-jarinya 10 cm penuh berisi air. Seluruh air dalam bola dituang kedalam wadah berbentuk tabung yang panjang jari-jarinya sama dengan jari-jari bola. Tinggi air dalam wadah adalah … ( UAN 2006 )
a. 13,3 cm b. 20 cm c. 26,7 cm
d. 40 cm
8. Gambar bangun berikut terdiri dari tabung dan kerucut. Jika tinggi tabung sama dengan 2 kali tinggi kerucut dan diameter alas kerucut 14 cm, volum bangun tersebut adalah … cm3(UAN
2009)
a. 2.234 c. 3.234 b. 3.134 d. 4.158
27 cm
9. Kubah sebuah bangunan berbentuk belahan bola ( setengah bola ) dengan panjang diameter 14 meter. Pada bagian luar kubah akan dicat dengan biyaya Rp 25.000,00 setiap meter persegi. Biyaya yang dikeluarkan a
Untuk pengecatan kubah tersebut adalah … (UN 2009/2010)
a.
Rp 3.850.000,00 c. Rp11.550.000,00
b. Rp 7.700.000,00 d. Rp
15.400.000,00
10. Perhatikan penampang bak berbentuk setengah tabung berikut !
7 m 15 m
Duapertiga bagian dari bak tersebut berisi air. Volum air di dalam bak adalah …(UN 2009/2010)
a.
96, 25 m3 c. 288, 75m3b.
192, 50 m3 d. 385 m311. Gamar di samping adalah prisma dengan ABFE berbentuk trapesium. Luas permukaan prisma adalah …(UN 2009/2010)
H40 cm G
E F D E
0
20
0
90
0
65
0
75
x
III. STATISTIKA
Uji Kompetensi Awal
1. Urutkan data berikut dari yang terkecil.
a. 21, 6, 17, 9, 15 b. –9, –12, 2, –5, 1
2. Pada pemilihan ketua kelas, Firdaus memperoleh 21% suara, Agus 47% suara, dan Dadi 30% suara. Hitung berapa persen suara yang tidak memilih.
3.
Tentukan nilai x!
A. Data Statistik
Statistikaadalah ilmu yang mempelajari tentang pengumpulan data, penyusunan data, penyajian data, penganalisisan data, dan pengambilan kesimpulan secara tepat.
Statistik merupakan kumpulan data, baik bilangan maupun nonbilangan yang disusun dalam tabel dan atau diagram yang menggambarkan atau
memaparkan suatu masalah.
Dataadalah keterangan tentang ciri-ciri objek yang diamati yang kadang-kadang berbentuk angka-angka.
Secara umum, statistika dibagi menjadi dua fase, yaitu:
a. Statistika deskriptif, yaitu fase statistika yang hanya meliputi kegiatan-kegiatan mengumpulkan data, menyusun, dan
menggambarkan data dalam bentuk tabel atau grafik, serta menganalisis data yang diperoleh tanpa menarik kesimpulan terhadap populasi secara umum.
b. Statistika induktif atau inferensi, yaitu fase statistika lebih lanjut di mana data yang diperoleh dianalisis agar diperoleh kesimpulan terhadap populasi secara umum.
(Ichwan, 2009;72)
1. Populasi dan Sampel
Populasi adalah seluruh objek secara lengkap yang diteliti yang memiliki sifat-sifat sejenis.
Sampel adalah bagian dari populasi yang memiliki sifat-sifat cukup mewakili sifat-sifat
yang dimiliki populasi.
( Wagiyo, 2008;62 )
Contoh.
1. Dalam menentukan penyakit seseorang dokter mengambil 10 cc darah penderita tersebut untuk diperiksa di laboratorium.
Sampel : 10 cc darah penderita
Populasi : darah penderita
2. Waskito ingin mengetahui apakah duku yang dijual di pinggir jalan itu manis, seperti kata penjualnya. Ia mengambil beberapa buah yang terletak menyebar, lalu dimakan.
Sampel : beberapa buah duku yang dimakan Waskito
Populasi : seluruh duku yang dijual di pinggir jalan
( Wagiyo, 2008;62 ) 3. Seseorang ingin mengetahui tingkat penghasilan
setiap kepala keluarga di suatu kelurahan.
Sampel : beberapa kepala keluarga yang ditanya di kelurahan.
Populasi : Seluruh kepala keluarga yang ada di kelurahan.
( Nuniek, 2008; 39)
Latihan 3.1
1. Sebuah pabrik roti membuat beberapa jenis roti yaitu roti kacang hijau, roti cokelat, roti susu dan roti nenas. Salah seorang pegawai pabrik roti tersebut mengambil masing-masing tiga buah roti kacang hijau, tiga buah roti cokelat, tiga buah roti susu dan tiga buah roti nenas. Roti yang telah diambil diperlihatkan kepada para pembeli roti di ruang bagian pemasaran dari pabrik tersebut. Tentukan populasi dan sampelnya.
( Sulaiman, 2008; 69)
Jangkauan = data terbesar – data terkecil
kelas Banyaknya
Jangkauan kelas
Lebar
kelas Banyaknya
Jangkauan Mujair kemudian ditunjukkan pada temannya.
Tentukan populasi dan sampelnya.
( Sulaiman, 2008; 69)
3. Ada pendapat sementara bahwa akhir-akhir ini ada kecenderungan hasil prestasi akademik siswa SMP di DKI Jaya menurun. Lembaga pendidik yang terkait mengadakan suatu penelitian untuk membuktikan kebenaran dan mencari sebab-sebabnya. Tentukan populasi dan sampelnya!
4. Ada suatu pernyataan: “Nilai UAN rata-rata di DKI Jaya untuk jenjang SD, SMP,dan SMA tahun 2004 naik”. Tentukan populasi dan sampelnya!
5. Seorang penyuluh pertanian ingin mengetahui kadar air pada gabah dalam satu karung. Oleh karena itu dia mengambil tiga cangkir gabah dari tempat berbeda dalam karung
kemudiamemeriksa kadar airnya. Tentukan populasi dan sampelnya.
(Wagiyo, 2008; 63)
2. Penyajian Data Statistika
Ada dua cara penyajian data yang sering dilakukan, yaitu:
a. daftar atau tabel; b. grafik atau diagram.
a. Tabel Sebaran Frekuensi 1). Tabel Sebaran Data Tunggal
Misalkan , diberikan nilai Matematika hasil ulangan umum semester 1
Kelas IXA tercatat sebagai berikut : 2 4 4 3 3 5 6 6
7 3 6 5 6 7 8 1 7 6 5 7 4 7 3 4 8 5 6 2 5 6 5 4 5 5 5 6 9 4 10 7
Sajian data tersebut dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berikut :
Tabel3.1 Distribusi frekuensi nilai ulangan Matematika 40 siswa Kelas IX A
Nilai Turus (Tally) Frekuensi (fi)
1 | 1
2 || 2
3 |||| 4
4 ||||| | 6
5 ||||| |||| 9
6 ||||| ||| 8
7 ||||| | 6
8 || 2
9 | 1
10 | 1
Jumlah 40
Wagiyo (2008;61)
2). Tabel Sebaran Data Berkelompok
Misalkan data nilai Matematika 80 siswa kelas IX suatu SMP pada ulangan blok adalah sebagai berikut:
79 49 48 74 81 98 87 80 63 60 83 81 70 74 99 95 80 59 71 77 82 60 67 89 63 76 63 88 70 66 88 79 75 80 84 90 70 91 93 82 78 70 71 92 38 56 81 74 73 68 72 85 51 65 93 83 86 90 31 83 73 74 43 86 88 92 93 76 71 90 72 67 75 80 91 61 72 97 91 88 ( Marsigit , 2009,78)
Cara menyusun table sebaran frekuensi data berkelompok adalah sebagai berikut : 1. Hitung jangkauan data.
2. Tentukan banyaknya baris (kelas) yang diinginkan.
Banyaknya kelas biasanya antara 5 – 15. 3. Hitung lebar kelas.
4. Susunlah kelas-klas dari kelas yang terkecil sampai kelas terbesar.
Misalkan, untuk data diatas dipilih banyak baris (kelas) adalah 7 maka lebar kelasnya ditentukan dengan cara berikut :
Jangkauan = data terbesar – data terkecil = 99 – 31
= 68
Lebar kelas =
= 7 68
= 9,71(dibulatkan menjadi 10)
Selanjutnya disusun kelas terkecil sampai yang terbesar sebagai berikut :
Kelas ke-6 : 81-90, dan Kelas ke-7 : 91-100.
Tabel3.2 Nilai ulangan Matematika 80 siswa Kelas IX SMP
Nilai Turus (Tally) Frekuensi (fi)
31-40 || 2
41-50 ||| 3
51-60 ||||| 5
61-70 ||||| ||||| ||| 13
71-80 ||||| ||||| ||||| |||||
|||| 24
81-90 ||||| ||||| ||||| |||||
| 21
91-100 ||||| ||||| || 12
Jumlah 80
(Marsigit , 2009,78)
b. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
a. Diagram Gambar (pictogram)
Diagram gambar atau piktogram adalah bagan yang menampilkan data dalam bentuk gambar. Menyajikan data dalam bentuk pictogram merupakan cara yang paling sederhana.
(Nuniek, 2008; 40)
Contoh :
Jumlah penduduk di suatu kecamatan adalah sebagai berikut.
Kelurahan A sebanyak 800 orang. Kelurahan B sebanyak 650 orang. Kelurahan C sebanyak 700 orang.
Sajikan data tersebut dalam bentuk piktogram.
⃟ Penyelesaian :
Tabel 3.3 Jumlah Penduduk disuatu kecamatan.
Kelurahan
Jumlah Penduduk
= 100 0rang
A
B
C
Nuniek, 2008;40
b. Diagram Batang
Diagram batang biasanya digunakan untuk menyajikan data dalam bentuk kategori. Untuk menggambar diagram batang, diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang saling berpotongan.
(Nuniek, 2008; 41)
Contoh.
Data banyak siswa tingkat SD, SMP, SMA, dan SMK di suatu daerah diperoleh data seperti pada table sebagai berikut :
Tabel 3.4
Tabel Banyak Siswa
Tingkat Sekolah Banyak siswa SD
SMP SMA SMK
2.550 2.250 1.500 1.350
Jumlah 7.650
Gambar 3.1
(Jumanta, 2008 ; 63)
c. Diagram Garis
Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data yang berkesinambungan dan berkala. Seperti pada diagram batang, untuk menggambar diagram garis, diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang saling berpotongan.
(Nuniek, 2008;41)
Contoh :
Diketahui data jumlah TV berwarna yang terjual di toko elektronik Maju Bersama setiap bulannya pada tahun 2006 adalah sebagai berikut.
Tabel 3.5 Tabel Banyak TV terjual di Toko Maju Bersama.
Bulan Jumlah TV
Januari 20
Pebruari 15
Maret 12
April 15
Mei 15
% 50 % 100 300 150
% 67 , 26 % 100 300
70
% 33 , 23 % 100 300
70
0
0 80
360 300
80
0
0 180
360 300 150
0
0 84
360 300
70
Juli 10
Agustus 10
September 15
Oktober 20
November 15
Desember 25
Sajikan data tersebut dalam bentuk diagram garis.
Gambar 3.2
(Nuniek, 2008;41)
d. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran biasanya digunakan untuk menunjukkan perbandingan suatu data terhadap keseluruhan. Biasanya, besar daerah pada lingkaran dinyatakan dalam persen (%) atau derajat (° ).
(Nuniek, 2008;41)
Contoh.
Diberikan data jumlah pasien pada Rumah Sakit Griya Husada sebagai berikut.
Tabel 3.6 Tabel Jumlah Pasien di Rumah Sakit
Sakit Jumlah Pasien
Demam Berdarah TBC Tifus
150 70 80
Jumlah 300
Maka diperoleh persentase dan besar sudut pusat sebagai berikut :
Tabel 3.7 Tabel Persentase Pasien di Rumah Sakit Sakit Jumlah
Pasien
Persentase Sudut Pusat Lingkaran
DB
TBC
Tifus
150
70
80
Selanjutnya data dari tabel tersebut dibuat diagram lingkaran.
Gambar 3.3
(Ichwan, 2008;88)
Latihan 3.2
1. Data banyaknya koleksi buku dari 36 siswa adalah sebagai berikut .
8 4 5 2 1 12 5 6 5 1 1 5 6 4 2 3 8 9 10 11 9 5 5 4 2 3 10 9 6 7 7 6 5 5 4 11
a. Buatlah tabel sebaran frekuensi data tunggalnya.
b. Berapakah jumlah buku terbanyak dalam koleksi buku ketigapuluh enam siswa tersebut?
( Marsigit, 2009; 80)
2. Data tinggi badan 40 siswa adalah sebagai berikut.
143 164 152 151 165 167 172 145 153 162 160 157 153 146 149 154 155 168 170 156 152 154 171 163 165 166 153 149 145 160 155 153 152 148 147 162 165 165 169 148
Buatlah tabel sebaran frekuensi data
berkelompok dengan lebar kelas adalah 5 dan dimulai dari 143 (data terkecil ).
n x x x x data Banyak datum Jumlah x
Mean( ) 1 2 3 n
8 9 9 7 6 8
8
data Banyak datum Jumlah x 8 60 10 3 2 1 3 2 1 70 10 0 , 7 x x x x x x x x n x x x x x n n n n f f f x f x f x f x f x 2 1 3 3 2 2 1 1 3. Hasil penjualan buku pelajaran di sebuah toko
buku menurut tingkat sekolah pada tahun 2006 adalah sebagai berikut.
Buku SD = 70.000 eksemplar. Buku SMP = 76.500 eksemplar. Buku SMA = 72.500 eksemplar.
Buku Perguruan Tinggi = 56.000 eksemplar. a. Buatlah tabel frekuensi dari data tersebut. b. Buatlah diagram batangnya.
(Djumanta, 2008 ;67)
4. Banyaknya buku yang terjual di toko buku Gemar Membaca selama satu minggu adalah sebagai berikut.
Hari Jumlah Buku
Senin 40 Selasa 25 Rabu 35 Kamis 40 Jum’at 30 Sabtu 50 Minggu 55
Buatlah diagram garis keterangan diatas! ( Nuniek, 2008;43)
5. Misalnya, suatu data mengenai banyaknya siswa di daerah D menurut tingkat sekolah
berdasarkan hasil penelitian tahun 2006 adalah sebagai beri kut.
35% terdiri atas siswa SD. 30% terdiri atas siswa SMP. 25% terdiri atas siswa SMA. 10% terdiri atas siswa SMK.
a. Buatlah diagram lingkaran dari data tersebut. b. Jika jumlah siswa SD sebanyak 600 orang, hitunglah jumlah siswa:
(i) SMP; (ii) SMA; (iii) SMK.
(Djumanta, 2008 ;67)
6. Banyaknya kendaraan bermotor rakitan (dalam unit) dari tahun 1995 sampai dengan tahun 1998 tercatat sebagai berikut.
Jenis Kendaraan
Tahun
1995 1996 1997 1998
Jeep 6.079 5.598 4.0811 1.257
Sedan 39.839 35.303 55.102 8.401 Pick up 275.552 220.681 267.367 43.194
Bus 48.020 52.761 49.958 4.699
Truk 18.051 11.151 12.771 528
Motor 1.042.938 1.425.373 1.861.111 519.404 Jumlah 1.430.479 2.250.390 2.250.390 577.483 Sumber:Statistik Indonesia, 2000
a. Buatlah diagram garis kendaraan ber motor rakitan dalam negeri selama tahun 1995–1998 untuk keenam jenis kendaraan.
b. Pada tahun berapakah perakitan kendaraan paling banyak?
c. Jenis kendaraan apakah yang paling banyak dirakit selama tahun 1995–1998?
(Djumanta, 2008 ;67)
B. Ukuran Pemusatan Data
1. Mean ( Rata-rata)
Mean (dibaca: min) diartikan sebagai rata-rata atau nilai rataan. Mean digunakan untuk
membandingkan sampelsampel yang sejenis. Mean dicari dengan menghitung jumlah semua ukuran dibagi dengan banyaknya ukuran.
g. Jika suatu data terdiri atas n data, yaitu n
x x
x1, 2,, mean dari data tersebut dirumuskan sebagai berikut.
h. Jika data dalam table sebaran frekuensi tunggal, maka mean data tersebut adalah:
( Marsigit, 2009; 90)
Contoh.
1. Nilai delapan kali ulangan Matematika Dina adalah sebagai berikut.
8, 8, 6,7, 6, 7, 9, 9 Tentukan mean dari data tersebut.
⃟ Penyelesaian:
= 7,5
Jadi, mean dari data tersebut adalah 7,5
2. Rata-rata nilai ulangan Geografi 10 orang siswa adalah 7,0. Jika nilai Rino dimasukkan, nilai rata-rata tersebut berubah menjadi 6,8. Tentukan nilai ulangan Geografi Rino.
(Nuniek,2008;44)
⃟ Penyelesaian:
8 , 4 70 8 , 74 70 8 , 74 11 70 8 , 6 11 8 , 6 11 11 11 11 11 2 1 x x x x x x x 7 , 43 10 437 4 1 3 2 180 44 129 84 4 3 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 x f f f f x f x f x f x f x
Jika nilai Rino (xn + 1 = x11) dimasukkan,
Jadi nilai geografi Rino = 4,8
3. Hasil pengukuran berat badan 10 siswa SMP disajikan di dalam tabel distribusi frekuensi seperti pada gambar tersebut.
Berat Badan
i x
Frekuensi
i
f xi fi
42 43 44 45 2 3 1 4 84 129 44 180
Jumlah 10 437
(Nuniek, 2008;44)
Tentukan mean dari data tesebut!
⃟ Penyelesaian:
Jadi mean dari data diatas adalah 43,7.
2. Median (Me)
Median adalah nilai tengah dalam sekumpulan data, setelah data tersebut diurutkan. Cara menentukan median dari data tunggal yaitu sebagai berikut.
Misalnya x1,x2,,xn adalah data yang telah diurutkan dari nilai terkecil sampai terbesar sehingga diperoleh urutan data x1 x2,,xn.
a. Data Ganjil
Untuk banyaknya data ganjil (n ganjil) maka median adalah :
Me =
2 1
n x
b. Data Genap
Untuk banyaknya data genap (n genap) maka median adalah :
Me =
2
1 2 2
n nx
x
( Ichwan, 2008 ;80)
Contoh.
1. Tentukan median dari data berikut. 6, 7, 6, 6, 5, 8, 7
⃟ Penyelesaian:
Urutkan data terlebih dahulu. 5, 6, 6, 6 , 7, 7, 8
(banyaknya datum = 7 (ganjil)).
Me = 2
1
n
x = 4 6
2 1
7 x
x
Jadi, median dari data tersebut adalah 6
2. Setelah delapan kali ulangan Fisika, Budhi memperoleh nilai sebagai berikut.
7, 7, 10, 8, 6, 6, 7, 8. Tentukan median dari data tersebut.
⃟ Penyelesaian:
Setelah diurutkan, data nilai Fisika Budhi akan tampak seperti berikut.
6, 6, 7, 7, 7, 8 8, 10 (banyaknya data = 8 (genap)).
Me =
2
1 2 2
n nx
x
=2
2
5 4 1 2 8 2 8x
x
x
x
= 7
2 7 7
Jadi, median dari data tersebut adalah 7.
Modus didefinisikan sebagai nilai data yang paling sering atau paling banyak muncul atau nilai data yang frekuensinya paling besar.
( Ichwan, 2008 ;80)
Contoh :
1. Diberikan sekumpulan data sebagai berikut. 1, 4, 3, 5, 2, 3, 2, 2 , 5, 4, 3, 1
Tentukan modus dari data tersebut.
⃟ Penyelesaian:
Perhatikan data tersebut dan beri tanda pada data/nilai yang paling sering muncul. 1, 4, 3, 5, 2 , 3, 2 , 2 , 5, 4, 3, 1 Data yang paling sering muncul adalah 2. Jadi, modus dari data tersebut adalah 2
Latihan 3.3
Kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Tentukan mean dari data-data berikut. a.. 12, 14, 14, 13, 10, 12
b. 7,5; 6,5; 4,5; 6,5; 4,5; 5,5; 5,5; 6,5; 7,5; 7,5
2. Mean dari 10 data adalah 5,8. Tentukan jumlah seluruh data tersebut.
3. Rata-rata tinggi badan 15 anak adalah 152 cm. Jika tinggi badan Indra dimasukkan ke dalam perhitungan tersebut, rata-ratanya menjadi 152,5 cm. Tentukan tinggi badan Indra.
4. Data nilai ulangan Bahasa Indonesia 15 siswa Kelas XI adalah sebagai berikut.
7, 5, 4, 6, 5, 7, 8, 6, 4, 4, 5, 9, 5, 6, 4
Jika siswa yang dianggap lulus adalah yang nilainya di atas rata-rata, tentukan banyak siswa yang lulus.
5. Berdasarkan hasil survei yang dilakukan oleh sebuah perusahaan pakaian selama satu bulan, diperoleh data nomor celana yang terjual selama satu bulan, yaitu sebagai berikut.
27 35 32 30 30 32 32 28 29 30 32 27 27 30 28 29 29 29 27 28 28 30 32 27 Tentukan modus dari data tersebut.
6. Diagram batang di samping menunjukkan data anak yang masih sekolah. Tentukanlah Rata-rata dari data tersebut
(Sulaiman, 2008; 87)
7. Diketahui hasil ulangan Matematika 30 orang siswa adalah sebagai berikut.
5 6 7 6 7 8 8 5 9 10 9 9 5 7 7 8 7 6 6 6 5 8 8 7 6 9 10 10 8 7
a. Buatlah tabel distribusi frekuensinya b. Tentukan mean, modus, dan mediannya.
8. Waktu rata-rata hasil tes lari 100 m dari 45 siswa adalah 15 sekon. Jika seorang siswa terlambat mengikuti tes tersebut dan ketika dites waktu yang tercatat 12 sekon, berapakah waktu rata-rata dari 46 siswa tersebut?
( Djumanta, 2008 ; 78 )
9. Data keuntungan koperasi sekolah yang dihitung perhari dalam sebulan tersaji dalam table berikut
Keuntungan (dalam Rp)
i x
Frekuensi ( dalam hari)
i f 50.000
60.000 67.000 72.000 75.000 77.500 85.000
2 3 8 5 4 2 1
a. Tentukan rata-rata keuntungan koperasi tersebut perhari!
b. Tentukan modusnya! c. Tentukan mediannya!
( Marsigit, 2009 ; 93)
10. Sebuah perusahaan sepatu ingin mengetahui ukuran sepatu yang harus diproduksi paling banyak.
Setelah survei selama tiga bulan, diperoleh data nomor sepatu yang banyak dijual, yaitu sebagai berikut.
40 42 39 38 40 39 42 40 37 36 39 39 40 38 37 37 40 39 39 36 39 36 37 38 40 40 37 40 37 39
a. Tentukan mean, modus, dan median dari data tersebut.
b. Nilai apakah yang tepat untuk menentukan nomor sepatu yang harus diproduksi paling banyak? Mean, modus, atau median? Jelaskan jawabanmu.
( Nuniek, 2008; 48)
data 4
1 data
4
1 data
4 1
data 4 1
C. Ukuran Penyebaran Data
1. Jangkauan
Jangkauan suatu data adalah selisih data terbesar dengan data terkecil. Biasanya, jangkauan dilambangkan dengan J. Untuk mengetahui jangkauan suatu data, kamu harus mengurutkan data-data tersebut terlebih dahulu. Misalnya, diketahui data tinggi badan 8 siswa sebagai berikut. 150 155 160 157 158 160 155 150
Jika data tersebut diurutkan akan tampak seperti berikut.
150 150 155 155 157 158 160 160
Jangkauan data tersebut adalah 160 – 150 = 10. Jangkauan diperlukan untuk mengetahui tersebar atau terkumpulnya suatu data.
(Nuniek, 2008 ;48)
Contoh .14
1. Tentukan jangkauan dari data berikut. a. 26, 40, 18, 25, 16, 45, 30
b. 15, 15, 15, 15, 15
⃟ Penyelesaian :
a. Urutkan data terlebih dahulu. 16, 18, 25, 26, 30, 40, 45
J = datum terbesar – datum terkecil = 45 – 16 = 29
Jadi, jangkauan data tersebut adalah 29
b. Data ini jangkauannya nol. Mengapa? Coba kamu jelaskan alasannya
2. Suatu data memiliki mean 16 dan jangkauan 6. Jika setiap nilai di dalam data tersebut dikalikan
q, kemudian dikurangi p maka diperoleh data baru dengan mean 20 dan jangkauan 9. Tentukan nilai dari 2p + q.
⃟ Penyelesaian :
Data mula-mula adalah x1, x2, x3, ..., xn dengan mean
x
= 16 dan j = 6 sehingga j = xn – x1 = 6 ... (1)Data baru adalah qx1 – p, qx2 – p, qx3 – p, ..., qxn – p dengan j = 9
sehingga (qxn – p) – (qx1 – p) = 9
q(xn – x1) = 9 ... (2)
Substitusikan persamaan (1) ke (2), diperoleh
q . 6 = 9
q = 2 3
Diketahui
z
= 20 makaz
= qx
– p qx
– p = 20
2 3
.16 – p = 20
P = 4
Jadi, 2p + q = 2(4) + 3 = 12
2. Kuartil
Kuartil suatu data diperoleh dengan membagi suatu data terurut menjadi empat bagian sama besar. Kuartil terdiri atas tiga macam, yaitu:
a. kuartil bawah (Q1)
b. kuartil tengah/median (Q2)
c. kuartil atas (Q3)
Jika suatu data dilambangkan dengan garis lurus, letak kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atasnya adalah sebagai berikut.
Kelompok 1 * Kelompok 2 * Kelompok 3 * Kelompok 4
Q1 Q2 Q3
(kuartil bawah) (kuartil tengah) (kuartil atas)
Cara menentukan kuartil sebagai berikut.
• Urutkan data dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar.
• Tentukan Q2 atau median.
• Tentukan Q1 dengan membagi data di bawah
2
Q menjadi dua bagian yang sama besar. • Tentukan Q3 dengan membagi data di atasQ2
menjadi dua bagian sama besar.
Jangkauan interkuartiladalah selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah. Jika jangkauan interkuartil dinotasikan dengan QR maka
R
Q = Q3– Q1
Simpangan kuartil (jangkauan semiinterkuartil)
adalah setengah dari jangkauan interkuartil.
Jika jangkauan semiinterkuartil dinotasikan dengan
d
Q maka :
d Q =
2 1
R Q
atau Qd = 2 1
(Q3 – Q1)
(Djumanta, 2009 ; 81)
2 12 12
Tentukan kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2
), dan kuartil atas (Q3) dari data-data berikut.
a. 20 35 50 45 30 30 25 40 45 30 35 b. 11 13 10 10 12 15 14 12
⃟ Penyelesaian :
a. Urutkan data terlebih dahulu.
5 data di bawah 5 data di atas
20 25 30 30 30 35 35 40 45 45 50
Q1 Q2 Q3
Jadi, Q1 = 30, Q2= 35, dan Q3 = 45.
b. Urutkan data terlebih dahulu. 10 10 11 12 12 13 14 15 Q1 Q2 Q3
= 2
11 10
= = 2
14 13
= 10,5 = 12 = 13,5
Jadi, Q1 = 10,5; Q2 = 12; dan Q3 = 13,5
Untuk menentukan kuartil data yang beberapa datumnya sama (memiliki frekuensi tertentu), dapat digunakan rumus berikut.
Misalkan, banyak seluruh datum: n1n2ni = N, dengan i = 1, 2, 3, ..., sehingga
1
Q merupakan datum ke- 4 1
N atau 25% N;
2
Q merupakan datum ke- 2 1
N atau 50% N;
3
Q merupakan datum ke-4 3
N atau 75% N.
Contoh.
Misalnya, data pada Tabel 3.14 adalah nilai ulangan Matematika dari 40 siswa Kelas IX A.
a. Tentukan kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas.
b. Tentukan jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil.
Nilai Frekuensi
1 2 3 4
1 4 22
5
5 6 7 8 9 10
8 9 5 4 1 1
⃟ Penyelesaian :
Diketahui: N =n1n2ni
= 1 + 4 + 2 + 5 + 8 + 9 + 5 + 4 + 1 + 1 = 40
a. Q<
